Table Of ContentGanzzahlige a(cid:30)ne Hecke Algebren
Diplomarbeit
Betreuer: Prof. Dr. Peter Schneider
Mathematisches Institut
Fachbereich 10 - Mathematik und Informatik
Westf(cid:228)lische Wilhelms-Universit(cid:228)t M(cid:252)nster
vorgelegt von
Marten Bornmann
Ich widme diese Arbeit meinem Ne(cid:27)en Moritz,
der heute das Licht der Welt erblickt hat.
Danksagungen
An dieser Stelle m(cid:246)chte ich allen danken, die mich bei der Erstellung dieser Diplom-
arbeit unterst(cid:252)tzt haben.
Zuerst bedanke ich mich bei Herrn Prof. Dr. Peter Schneider f(cid:252)r ein interessantes
Thema und die sowohl hilfreiche als auch engagierte Betreuung. Auch Dr. Tobias
Schmidt, der zwischenzeitlich die Betreuung (cid:252)bernommen hat, m(cid:246)chte ich hiermit
meinen Dank aussprechen.
Des Weiteren bin ich vielen Kommilitonen sehr dankbar, ob f(cid:252)r fachliche Gespr(cid:228)-
che, moralischen Beistand oder praktische Hilfe. Da eine solche Au(cid:29)istung nicht
vollst(cid:228)ndig sein kann, werde ich diese kurz halten. Namentlich hervorheben m(cid:246)chte
ich Thomas Albers, Raphael Meiners, Lisa Ott, Franziska Schneider und Torsten
Schoeneberg, wobei ich Torsten noch einmal explizit f(cid:252)r das Korrekturlesen danke.
Schlie(cid:255)lich gilt ein herzlicher Dank meiner Familie, insbesondere meinen Eltern.
Sie haben mich in jeder Situation unterst(cid:252)tzt und mir durch ihre Liebe und ihr
Vertrauen stets Motivation und R(cid:252)ckhalt gegeben.
Einleitung
Etwas pr(cid:228)ziser k(cid:246)nnte der Titel dieser Arbeit etwa (cid:18)Endlichkeitsaussagen f(cid:252)r ganz-
zahlige a(cid:30)ne generische Hecke Algebren einer Weylgruppe(cid:17) lauten. Diese Algebren
und ihre Moduln (cid:28)nden ihre Anwendung in der Darstellungstheorie der reduktiven
p-adischen Gruppen (cid:252)ber p-adischen K(cid:246)rpern und solchen in Charakteristik p. Das
Hauptziel dieser Arbeit ist die Darstellung eines Resultates von Vigneras ([11]) aus
dem Jahre 2004.
Wir beginnen zun(cid:228)chst mit dem Studium von Wurzeldaten in Kapitel 1 dieser Ar-
beit. Abgesehen von einigen algebraischen Grundkenntnissen wird dabei kein spezi-
elles Vorwissen (cid:21) insbesondere nicht die Theorie der Wurzelsysteme (cid:21) vorausgesetzt.
ˇ ˇ ˇ
Wir(cid:28)xierenzun(cid:228)chsteinWurzeldatumR = (X,X,R,R).DabeisindX undX freie
Z-Moduln von endlichem Rang und R bzw. Rˇ die Teilmengen der Wurzeln bzw. Ko-
wurzeln.
Zun(cid:228)chst geht es vor allem darum, den Anschluss an die Theorie der Wurzelsysteme
zu suchen, die in der Literatur besser abgedeckt ist als die der Wurzeldaten. Wir
werden (cid:21) ausgehend von einer mit R gegebenen Bilinearform (·,·) (cid:21) ein Skalarpro-
dukt (cid:104)·,·(cid:105) konstruieren und k(cid:246)nnen R als Wurzelsystem im euklidischen Vektorraum
V = X ⊗R au(cid:27)assen. Dies erlaubt es uns, Argumente aus der Theorie der Wurzel-
systeme, wie etwa in [2] oder [4], zu (cid:252)bernehmen. Eines der Hauptresultate besagt,
dass jedes Wurzeldatum eine Basis B besitzt, das hei(cid:255)t eine linear unabh(cid:228)ngige
Teilmenge von R, so dass jede Wurzel ganzzahlige Linearkombination mit nur nicht
negativen oder nur nicht positiven Koe(cid:30)zienten von Elementen von B ist. Wir (cid:28)-
xieren dann eine solche Basis B und verstehen unter einen Wurzeldatum ein solches
ˇ ˇ
mit ausgezeichneter Basis, das hei(cid:255)t ein Tupel R = (X,X,R,R,B).
In Abschnitt 1.3 betrachten wir dann schlie(cid:255)lich irreduzible Wurzeldaten und eine
Zerlegung von gewissen (cid:18)wesentlichen(cid:17) Wurzeldaten in solche. Dies ist vor allem eine
Vorbereitung auf Kapitel 2, in dem wir Weylgruppen studieren. Gewisse Weylgrup-
pen (cid:21) namentlich die endliche und die a(cid:30)ne Weylgruppe (cid:21) h(cid:228)ngen n(cid:228)mlich gar nicht
davon ab, ob ein Wurzeldatum durch seinen wesentlichen Anteil ersetzt wird oder
nicht, so dass wir uns auf den wesentlichen und dann sogar den irreduziblen Fall
beschr(cid:228)nken k(cid:246)nnen.
In Kapitel 2 sind dann Weylgruppen die zu studierenden Objekte. Zu jeder Wurzel
α ∈ R haben wir eine zugeh(cid:246)rige Spiegelung s ∈ GL(X). Die endliche Weylgruppe
α
W ist dann die von allen s erzeugte Untergruppe von GL(X). Wir werden zeigen,
0 α
dass diese eine von S = {s : α ∈ B} erzeugte Coxeter-Gruppe ist.
0 α
i
ii
Abschnitt 2.2 besch(cid:228)ftigt sich mit der a(cid:30)nen Weylgruppe W . Diese ist das semi-
aff
direkte Produkt von W und Q, wobei Q der von R erzeugte Untermodul von X ist.
0
ˇ
Wirde(cid:28)niereneineOrdnungsrelation(cid:22)aufRundordnendenminimalenElementen
bez(cid:252)glich dieser Ordnungsrelation a(cid:30)ne Spiegelungen zu. Ist S dann die Vereini-
gung von S und obigen Spiegelungen, so k(cid:246)nnen wir mit (cid:228)hnlichen Methoden wie
0
in Abschnitt 2.1 zeigen, dass (W ,S) ein Coxeter-System ist. Au(cid:255)erdem werden
aff
wir der L(cid:228)ngenfunktion dieses Coxeter-Systems eine geometrische Interpretation
anhand von trennenden Hyperebenen geben. Wir erhalten so auch eine Fortsetzung
der L(cid:228)ngenfunktion auf die Weylgruppe W, die wir als das semidirekte Produkt von
W und X de(cid:28)nieren.
0
Dabei sehen wir, dass es eine endlich erzeugte abelsche Untergruppe Ω ⊂ W gibt,
so dass W = ΩW gilt. Diese erlaubt es uns, f(cid:252)r das Studium von W, das letzt-
aff
endlich unser Ziel ist, (cid:228)hnliche Argumente zu verwenden wie bei Coxeter-Gruppen.
Wir k(cid:246)nnen Ω als Menge aller Elemente von W mit L(cid:228)nge 0 beschreiben. Nach der
Untersuchung der L(cid:228)ngenfunktion auf W, f(cid:252)r die wir eine explizite Formel ange-
ben k(cid:246)nnen, de(cid:28)nieren wir eine Ordnungsrelation (cid:21) die Bruhat-Ordnung (cid:21) auf der
Coxeter-Gruppe W und setzen diese mit Hilfe von Ω auf W fort. Schlie(cid:255)lich be-
aff
sch(cid:228)ftigen wir uns in Kapitel 2 noch mit Braidgruppen, die wir dann f(cid:252)r technische
Zwecke in Hecke Algebren verwenden k(cid:246)nnen.
In Kapitel 3 wenden wir uns dann letztendlich dem Studium von Hecke Algebren
zu. Wir betrachten vor allem eine Hecke Algebra H, die wir als freien Modul (cid:252)ber
einem Polynomring Z[q ] in endlich vielen Variablen mit der Basis (T ) de-
∗ w w∈W
(cid:28)nieren, so dass die Multiplikation gewisse Relationen erf(cid:252)llt. Im Gegensatz zur
h(cid:228)u(cid:28)g verwendeten Variante einer Hecke Algebra sind die so genannten generischen
Gewichte q in H nicht invertierbar. Wir k(cid:246)nnen H jedoch als Unteralgebra einer
s
−1
Hecke Algebra H[q 2] au(cid:27)assen, in der die generischen Gewichte invertierbar sind.
∗
−1
F(cid:252)r (eine etwas weniger allgemeine Variante von) H[q 2] gibt es ein bekanntes Re-
∗
sultat von Bernstein und Lusztig ([6]): Diesem zu Folge gibt es eine kommutative
−1 −1
Teilalgebra A von H[q 2], (cid:252)ber der H[q 2] ein freier Modul vom endlichen Rang
∗ ∗
#W ist.DieZerlegungvonW ineinsemidirektesProduktvonW undX (cid:252)bertr(cid:228)gt
0 0
−1
sich also in gewisser Weise auf H[q 2]. Wir haben eine nat(cid:252)rliche W -Wirkung auf
∗ 0
H[q−12], so dass wir das Zentrum von H[q−12] als Menge AW0 aller invarianten Ele-
∗ ∗
mente beschreiben k(cid:246)nnen. Dieses ist ein freier Modul (cid:252)ber einem Ring Z[q±12] von
∗
Laurent-Polynomen, dessen Basis (cid:252)ber die Bahnen der nat(cid:252)rlichen W -Wirkung auf
0
X indiziert ist. Die dort hinf(cid:252)hrenden Argumentationen beruhen jedoch zu gro(cid:255)en
−1
Teilen darauf, dass die Gewichte q in H[q 2] invertierbar sind. Jedoch ist es beim
s ∗
StudiumderModuln(cid:252)berHeckeAlgebren,dieinderDarstellungstheorievonreduk-
tiven p-adischen Gruppen (cid:252)ber p-adischen K(cid:246)rpern oder K(cid:246)rpern in Charakteristik
p auftreten, unerl(cid:228)sslich, die Gewichte nicht zu invertieren. Mit dieser Situation,
das hei(cid:255)t mit der der Hecke Algebra H, besch(cid:228)ftigt sich oben erw(cid:228)hnter Artikel [11]
von Vigneras. Dort wird eine alternative Basis (E ) de(cid:28)niert, die es erlaubt,
w w∈W
(cid:228)hnliche Aussagen wie obige auf H zu (cid:252)bertragen. Wir werden zun(cid:228)chst zeigen,
dass A∩H ein freier Z[q ]-Modul mit der Basis (E ) ist. Daraufhin werden wir
∗ x x∈X
iii
feststellen, dass H ein endlich erzeugter H ∩A-Modul ist. Die Aussagen (cid:252)ber das
Zentrum (cid:252)bertragen sich ebenfalls in (cid:228)hnlicher Weise: Wir werden zeigen, dass sich
dieW -OperationaufAzueinersolchenaufA∩H einschr(cid:228)nktundsichdasZentrum
0
analog durch (A∩H)W0 beschreiben l(cid:228)sst. Dieses ist ein freier Z[q ]-Modul, dessen
∗
Basis wieder (cid:252)ber die Bahnen der W -Wirkung auf X indiziert ist. Au(cid:255)erdem ist
0
A∩H (cid:252)ber dem Zentrum von H endlich erzeugt und dieses ist eine endlich erzeugte
Z[q ]-Algebra.
∗
