Galerkin-Spektralverfahren für die Fokker-Planck-Gleichung

100 Pages·2016·2.696 MB·German

by  Christoph Lohmann (auth.)

Christoph Lohmann
Galerkin-Spektralverfahren
für die Fokker-Planck-
Gleichung
BestMasters
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mierten Hochschulen in Deutschland, Österreich und der Schweiz entstanden
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zur Verö ffentlichung empfohlen und behandeln aktuelle Themen aus unter­
schiedlichen Fachgebieten der Naturwissenschaften, Psychologie, Technik und
Wirtschaftswis senschaften.
Die Reihe wendet sich an Praktiker und Wissenschaftler gleichermaßen und soll
insbesondere auch Nachwuchswissenschaftlern Orientierung geben.
Christoph Lohmann
Galerkin-Spektralverfahren
für die Fokker-Planck-
Gleichung
Christoph Lohmann
Dortmund, Deutschland
BestMasters
ISBN 978­3­658­13310­8 ISBN 978­3­658­13311­5 (eBook)
DOI 10.1007/978­3­658­13311­5
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Vorwort
Der Lehrstuhl für Angewandte Mathematik und Numerik (LS III) der Fakultät
Mathematikan derTechnischenUniversitätDortmund beschäftigtsich unterder
Leitung von Herrn Prof. Dr. Stefan Turek und Herrn Prof. Dr. Dmitri Kuzmin
im Bereich des Wissenschaftlichen Rechnens mit der Numerik für Partielle Dif-
ferentialgleichungen. Hierbei stehen unter anderem die Aspekte von effizienten
LöserverfahrenimBezugaufhardwareorientiertenImplementierungensowiedie
Sicherstellung physikalischer Eigenschaften im Fokus der Forschung. Letzterer
ForschungsschwerpunktdiskutiertbeispielsweisepositivitätserhaltendeFinite-Ele-
mente-ApproximationenoderdieVermeidungkünstlicherOszillationen.
IndiesemZusammenhangentstanddasThemengebietderFeinstrukturmodellie-
rungvonFasersuspensionenunddieimWintersemester2014/15verfassteundin
diesemWerkveröffentlichteMasterarbeitmitdemTitel„Physikkonforme Galerkin-
Verfahren zur Simulation der Orientierungszustände in Fasersuspensionen“.
Da das Fließverhalten von Fasersuspensionen auf der lokalen Zusammensetzung
der Mixtur sowie den Orientierungen der mikroskopischen Fibern aufbaut, wird
in bewährten Modellen eine makroskopische Verteilungsfunktion eingeführt und
Kopplungen der verschiedenen Phasen mittels sogenannter Orientierungstensoren
beschrieben.DiesemüssenausphysikalischenGründendieEigenschaftenderpositi-
venSemidefinitheitunddernormiertenSpurbewahren.Indieserwissenschaftlichen
ArbeitwerdenausdiesemGrunddieTensorenunterbesondererBerücksichtigung
derDefinitheituntersucht,entsprechendeBedingungenhergeleitetundnumerische
Korrekturverfahrenaufgestellt.DiedabeientstandenenMethodenlassensichohne
BeschränkungenauchaufandereModellemittensoriellenGrößenübertragen.
DieArbeitwurdebetreutdurchHerrnProf.Dr.DmitriKuzmin,dermirjederzeit
mit Rat und Tat zur Seite stand und die Publizierung initiiert hat. Aus diesem
GrundgiltihmeinbesondererDank.
Bedanken möchte ich mich außerdem beim gesamten Lehrstuhl fürdie besondere
Arbeitsatmosphäre. Dieser hatmicheine lange Zeit währendmeinesStudiums be-
gleitetunddamitdieEntstehungdiesesWerkeserstermöglichtundmitbeeinflusst.
ChristophLohmann
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis VII
Abbildungsverzeichnis IX
Tabellenverzeichnis XI
1 Einleitung 1
2 Grundlage 5
2.1 HerleitungdesModells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 FormelsammlungaufderSphäreS1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 FehlerabschätzungenfürdieabgeschnitteneFourierreihe . . . . . . . 12
3 Eigenschaften der Orientierungsverteilungsfunktion 15
3.1 OrientierungstensorzweiterOrdnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 OrientierungstensorvierterOrdnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 WeitereverallgemeinerteOrientierungstensoren. . . . . . . . . . . . . 26
4 Galerkin-Verfahren zur Diskretisierung der Fokker-Planck-Gleichung 31
4.1 TrennungderVariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 BehandlungderortsunabhängigenFokker-Planck-Gleichung . . . . . 34
4.2.1 KorrekturmittelsMinimierungsproblem. . . . . . . . . . . . . 37
4.2.2 KorrekturmittelskünstlicherDiffusion . . . . . . . . . . . . . 40
4.2.3 KorrekturmittelsProjektionauflineareFinite-Elemente . . 43
4.3 BehandlungderKonvektionsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5 Numerische Beispiele bzw. Anwendung 49
5.1 OrtsunabhängigeFokker-Planck-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.1.1 EbeneDehnströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.1.2 Scherströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.2 OrtsabhängigeFokker-Planck-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6 Zusammenfassung und Ausblick 89
Literaturverzeichnis 93
Abbildungsverzeichnis
1.1 Produktionslinie„PerlenPM7“ derFirma„VoithPaperGmbH“ . . 2
2.1 KoordinatensystemderOrientierungp∈Sn−1⊂Rn. . . . . . . . . . . 7
3.1 VeranschaulichungdesGibbs’schenPhänomens. . . . . . . . . . . . . 18
5.1 AnalytischeLösungderebenenDehnströmung . . . . . . . . . . . . . 54
5.2 VergleichderVorkonditioniererP−1=I undP−1=A−1 . . . . . . . 58
5.3 FehlerverlauffürCrank-Nicolson-VerfahrenzurOrdnungNp=5000 59
5.4 VerteilungsfunktionnumerischerVerfahrenzurSimulationderebe-
nenDehnströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.5 Orientierungstensoren numerischer Verfahren zur Simulation der
ebenenDehnströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.6 FinaleVerteilungsfunktionundL2-FehlerderebenenDehnströmung 69
5.7 MinimalerEigenwertundFehlernormvonA2amBeispielderebenen
Dehnströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.8 MinimalerEigenwertundFehlernormvonA4amBeispielderebenen
Dehnströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.9 AnalytischeLösungderScherströmung. . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.10 FinaleApproximationderScherströmung . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.11 NumerischeVerfahrenzurSimulationderScherströmung . . . . . . . 81
5.12 SimulationderortsabhängigenFokker-Planck-Gleichung . . . . . . . 86
Tabellenverzeichnis
3.1 AnzahlunabhängigerKomponentenderOrientierungstensoren . . . 19
5.1 ExakteFourierkoeffizientenderebenenDehnströmung . . . . . . . . 56
5.2 KonvergenzderabgeschnittenenFourierreihederebenenDehnströ-
mung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3 NumerischeVerfahrenzurSimulationderebenenDehnströmung . . 65
5.4 KonvergenznumerischerVerfahrenzurSimulationderebenenDehn-
strömungzurZeitt=50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.5 KonvergenznumerischerVerfahrenzurSimulationderebenenDehn-
strömungzurZeitt=200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.6 KonvergenzderabgeschnittenenFourierreihederScherströmung . . 83
5.7 Konvergenzdes numerischen Verfahrenszur Simulationder Scher-
strömungzuunterschiedlichenZeitpunkten . . . . . . . . . . . . . . . 85
1 Einleitung
In vielen Bereichen des täglichen Lebens treten Strömungen unterschiedlichster
Flüssigkeiten auf. Hierbei kann es sich um die auf den ersten Blick belanglose
Strömung eines Flusses als auch um die diffizile Befüllung eines Negatives in
der Fertigungsindustrie handeln. Während ersteres nur selten von Bedeutung
ist, werden gewerbliche Vorgänge sehr genau untersucht und hängen regelmäßig
mitdemErfolgundGewinneinesProjektszusammen.Infolgedessenwerdenbei
komplexenundkostspieligenProzessenSimulationeneingesetzt,diezeitraubende
Experimentierphasen abwenden sollen. Hierfür werden entsprechende Modelle
mit mathematisch abgestimmten Methoden greifbar gemacht und Resultate für
unterschiedlicheKonfigurationenberechnet.EinphasigeStrömungen,wiesiebei
fließendemWasserineinemFlussbettauftauchen,könnenbeispielsweisedurchdie
Navier-Stokes-Gleichungen nachgeahmt werden. Wirdder Bewegung eine weitere
Phasehinzugefügt,sohandeltessichaufgrundderInteraktionumeingekoppeltes
System.
BeiFasersuspensionenwerdendemFluidFibernbeigemischt,diesichgegenseitig
in ihrer Bewegung einschränken und damit die Viskosität der Flüssigkeit stark
verändernkönnen.Solangedie Konzentrationsdichtegeringist, kanndieMixtur
gutdurcheinereineFlüssigkeitapproximiertwerden.DurchHinzufügenweiterer
FasernnähertsichdasVerhaltendesGemischesderBewegungeinesFestkörpers
an.SituationendieserArtfindensichvermehrtbeiderPapierherstellungwieder.
Hierbeiwird demGemengeausWasserundCellulosefasern durchunterschiedliche
Produktionsabläufedie Feuchtigkeit entzogen, sodass final einePapierschichtmit
einemmöglichstoptimalenFlächenmasseprofilentsteht.
Im Gegensatz zur Vergangenheit, in der ein qualitativ hochwertiges Produkt im
Fokusstand,verlagertsichdasInteressederpapiererzeugendenIndustriezueinem
erhöhtenProduktionsausstoßbei(energie-)effizienterenundressourcenschonenderen
Verfahren[23].DetaillierteSimulationenkönnenbeispielsweisebeidemDesignvon
Turbulenzerzeugern und Düsengeometrien eingesetzt werden, um eine optimale
VerteilungderFasernimGemischbeieinemminimalenEinsatzvonRessourcenzu
gewährleisten.
Das Fundament einer solchen Prognose liefert ein mathematisches Modell zur
Simulation der Fasersuspension. Beachtliche Fortschritte in den Bereichen der
„ComputationalFluidDynamics“ (CFD)unddes„HighPerformanceComputing“
(HPC)erlaubenheutzutageSimulationenvonzweiphasigenStrömungeninkomple-
xenGeometrien.UnterVerwendungderLagrangeschenBetrachtungsweisekönnen
© Springer Fachmedien Wiesbaden 2016
C. Lohmann, Galerkin-Spektralverfahren für die Fokker-Planck-Gleichung,
BestMasters, DOI 10.1007/978-3-658-13311-5_1