Fuzzy Probabilities: New Approach and Applications

179 Pages·2003·6.084 MB·English

by  Professor James J. Buckley (auth.)

James J. Buckley
Fuzzy Probabilities
(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7) (cid:5)(cid:8) (cid:9)(cid:3)(cid:10)(cid:10)(cid:5)(cid:8)(cid:6)(cid:7)(cid:7) (cid:11)(cid:8)(cid:4) (cid:1)(cid:12)(cid:13)(cid:2) (cid:14)(cid:12)(cid:15)(cid:16)(cid:3)(cid:2)(cid:5)(cid:8)(cid:17)
(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:3)(cid:8)(cid:7)(cid:9)(cid:10)(cid:3)(cid:11)(cid:12)
(cid:18)(cid:19)(cid:12)(cid:13)(cid:20) (cid:21)(cid:11)(cid:8)(cid:3)(cid:7)(cid:10) (cid:22)(cid:11)(cid:23)(cid:16)(cid:19)(cid:10)(cid:24)(cid:25)
(cid:1)(cid:24)(cid:7)(cid:2)(cid:6)(cid:15)(cid:7) (cid:26)(cid:6)(cid:7)(cid:6)(cid:11)(cid:19)(cid:23)(cid:27) (cid:28)(cid:8)(cid:7)(cid:2)(cid:5)(cid:2)(cid:3)(cid:2)(cid:6)
(cid:18)(cid:12)(cid:29)(cid:5)(cid:7)(cid:27) (cid:30)(cid:23)(cid:11)(cid:4)(cid:6)(cid:15)(cid:24) (cid:12)(cid:13) (cid:1)(cid:23)(cid:5)(cid:6)(cid:8)(cid:23)(cid:6)(cid:7)
(cid:3)(cid:29)(cid:20) (cid:31)(cid:6) (cid:6)(cid:29)(cid:7)(cid:25)(cid:11) !
"#$%%& ’(cid:11)(cid:19)(cid:7)(cid:11) ( (cid:18)(cid:12)(cid:29)(cid:11)(cid:8)(cid:4)
)$(cid:15)(cid:11)(cid:5)(cid:29)* (cid:25)(cid:11)(cid:23)(cid:16)(cid:19)(cid:10)(cid:24)(cid:25)+(cid:5),(cid:7)(cid:16)(cid:11)(cid:8)(cid:20) (cid:11) (cid:20)(cid:16)(cid:29)
(cid:27)(cid:2)(cid:2)(cid:16)*-- (cid:20)(cid:7)(cid:16)(cid:19)(cid:5)(cid:8)(cid:17)(cid:6)(cid:19)(cid:20)(cid:4)(cid:6)-(cid:23)(cid:17)(cid:5)$,(cid:5)(cid:8)-(cid:7)(cid:6)(cid:11)(cid:19)(cid:23)(cid:27).,(cid:12)(cid:12)(cid:25)(cid:20)(cid:16)(cid:29)/(cid:7)(cid:6)(cid:19)(cid:5)(cid:6)(cid:7)012%#
(cid:9)(cid:3)(cid:19)(cid:2)(cid:27)(cid:6)(cid:19) 3(cid:12)(cid:29)(cid:3)(cid:15)(cid:6)(cid:7) (cid:12)(cid:13) (cid:2)(cid:27)(cid:5)(cid:7) (cid:7)(cid:6)(cid:19)(cid:5)(cid:6)(cid:7) (cid:23)(cid:11)(cid:8) 4(cid:12)(cid:29)(cid:20)#"%(cid:20)(cid:9)(cid:20)(cid:26)(cid:12)(cid:2)(cid:27)(cid:29)(cid:11)(cid:3)(cid:13)
,(cid:6) (cid:13)(cid:12)(cid:3)(cid:8)(cid:4) (cid:11)(cid:2) (cid:12)(cid:3)(cid:19) (cid:27)(cid:12)(cid:15)(cid:6)(cid:16)(cid:11)(cid:17)(cid:6)(cid:20) (cid:26)(cid:3)(cid:30)(cid:19)(cid:3)(cid:11)(cid:3)(cid:6)(cid:23)(cid:7)(cid:23)(cid:9)(cid:12)(cid:6)(cid:11)(cid:13)(cid:12)(cid:19)(cid:28)(cid:3)(cid:6)(cid:3)(cid:23)(cid:9)(cid:10)(cid:7)(cid:6)(cid:16)#&(cid:12)(cid:17)(cid:15)(cid:23)(cid:9)(cid:12)(cid:6)(cid:7)(cid:19)(cid:5)
(cid:17)(cid:25)(cid:12)(cid:19)(cid:9)(cid:23)(cid:2)(cid:8)(cid:11)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:22)(cid:21)
(cid:28)(cid:1)9(cid:31):$&2";$#%2!$1
4(cid:12)(cid:29)(cid:20)2%(cid:20)5(cid:20)5(cid:11)(cid:23)(cid:14)(cid:19)(cid:5)(cid:15)(cid:15)(cid:12)(cid:8)(cid:11)(cid:8)(cid:4)(cid:18)(cid:20)6(cid:5)(cid:29)(cid:29)(cid:6)(cid:19)(cid:7)7)(cid:4)(cid:7)(cid:20)8
(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15)(cid:16)(cid:9)(cid:10)(cid:9)(cid:7)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:12)(cid:12)(cid:13)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:22)(cid:21) 4(cid:12)(cid:29)(cid:20)#"<(cid:20)(cid:21)(cid:20)(cid:1)(cid:6)(cid:17)(cid:12)3(cid:5)(cid:11)((cid:18)(cid:20)(cid:1)(cid:20)(cid:1)(cid:10)(cid:23)(cid:10)(cid:6)(cid:16)(cid:11)(cid:8)(cid:5)(cid:11)(cid:25)(cid:11)(cid:8)(cid:4)
(cid:28)(cid:1)9(cid:31):$&2";$#%<2$; 5(cid:20)(cid:31)(cid:5)(cid:6)(cid:4)(cid:10) (cid:5)(cid:6)(cid:4)(cid:10)(cid:5)(cid:8)(cid:7)(cid:25)(cid:5)7)(cid:4)(cid:7)(cid:20)8
#)(cid:29)(cid:12)(cid:8)(cid:8)(cid:3)(cid:19)(cid:10)(cid:3)(cid:7)(cid:6)(cid:16)(cid:31)(cid:6)(cid:23)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:9)(cid:25)(cid:3)(cid:6)(cid:23)(cid:24)(cid:3)(cid:23)(cid:2)(cid:12)(cid:16)(cid:11)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:22)(cid:21)
4(cid:12)(cid:29)(cid:20)2<(cid:20)6(cid:20)=(cid:20)>(cid:5)(cid:8)(=(cid:20)=(cid:20)=(cid:11)(cid:12)(cid:11)(cid:8)(cid:4)>(cid:20)(cid:30)(cid:20)?(cid:11)(cid:4)(cid:6)(cid:27)7)(cid:4)(cid:7)(cid:20)8 (cid:28)(cid:1)9(cid:31):$&2";$#%22$&
(cid:4)(cid:7)(cid:23)(cid:7)(cid:24)(cid:9)(cid:6)(cid:9)(cid:6)(cid:25)(cid:20)(cid:26)(cid:12)(cid:15)(cid:25)(cid:2)(cid:27)(cid:3)(cid:23)(cid:11)(cid:7)(cid:6)(cid:16)(cid:28)(cid:19)(cid:7)(cid:6)(cid:15)(cid:17)(cid:7)(cid:19)(cid:29)(cid:12)(cid:8)(cid:30)(cid:15)(cid:23)(cid:9)(cid:6)(cid:25)(cid:20)
(cid:21)(cid:22)(cid:22)(cid:21) 4(cid:12)(cid:29)(cid:20)#"!(cid:20)(cid:18)(cid:20)5(cid:11)(cid:2)(cid:7)(cid:11)(cid:25)(cid:5)(cid:7)(cid:11)(cid:8)(cid:4)>(cid:20)5(cid:20)(cid:1)(cid:10)(cid:2)(cid:11)(cid:8)(cid:4)(cid:6)(cid:19)(cid:11)7)(cid:4)(cid:7)(cid:20)8
(cid:28)(cid:1)9(cid:31):$&2";$#%!#$@ (cid:30)(cid:30)(cid:17)(cid:5)(cid:9)(cid:6)(cid:25)(cid:27)(cid:12)(cid:13)(cid:23)(cid:29)(cid:12)(cid:8)(cid:30)(cid:15)(cid:23)(cid:9)(cid:6)(cid:25)(cid:9)(cid:6)(cid:4)(cid:3)(cid:13)(cid:9)(cid:6)(cid:9)(cid:6)(cid:25)(cid:27)(cid:30)(cid:7)(cid:23)(cid:9)(cid:7)(cid:17)
(cid:26)(cid:3)(cid:17)(cid:7)(cid:23)(cid:9)(cid:12)(cid:6)(cid:11)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:22)(cid:21)
4(cid:12)(cid:29)(cid:20)2!(cid:20)5(cid:20)(cid:1)(cid:23)(cid:27)(cid:15)(cid:5)(cid:2)(cid:2)(A(cid:20)$(cid:31)(cid:20)6(cid:6)(cid:12)(cid:4)(cid:12)(cid:19)(cid:6)(cid:7)(cid:23)(cid:3)((cid:30)(cid:20)(cid:21)(cid:11)(cid:5)(cid:8)( (cid:28)(cid:1)9(cid:31):$&2";$#<"%$&
(cid:30)(cid:20)(cid:21)(cid:11)(cid:5)(cid:8)((cid:1)(cid:20)(cid:21)(cid:11)(cid:5)(cid:8)(cid:11)(cid:8)(cid:4)>(cid:20)(cid:14)(cid:20)(cid:21)(cid:11)(cid:5)(cid:8)7)(cid:4)(cid:7)(cid:20)8
4(cid:12)(cid:29)(cid:20)#"&(cid:20)4(cid:20)F(cid:5)(cid:15)(cid:5)(cid:2)(cid:19)(cid:12)3(cid:11)(cid:8)(cid:4)9(cid:20)A(cid:12)(cid:4)(cid:17)(cid:6)
(cid:29)(cid:12)(cid:8)(cid:30)(cid:15)(cid:23)(cid:7)(cid:23)(cid:9)(cid:12)(cid:6)(cid:7)(cid:17)(cid:31)(cid:6)(cid:23)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:9)(cid:25)(cid:3)(cid:6)(cid:10)(cid:3)(cid:18)(cid:19)(cid:12)(cid:10)(cid:3)(cid:11)(cid:11)(cid:9)(cid:6)(cid:25)
(cid:27)(cid:12)(cid:10)(cid:9)(cid:7)(cid:17)$(cid:15)%%(cid:9)(cid:12)(cid:17)(cid:12)(cid:25)(cid:5)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:22)(cid:21)
(cid:9)(cid:6)(cid:24)(cid:3)(cid:16)(cid:9)(cid:10)(cid:7)(cid:17)(cid:4)(cid:9)(cid:7)(cid:25)(cid:6)(cid:12)(cid:11)(cid:9)(cid:11)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:22)(cid:21)
(cid:28)(cid:1)9(cid:31):$&2";$#<"!$:
(cid:28)(cid:1)9(cid:31):$&2";$#%!:$!
4(cid:12)(cid:29)(cid:20)#";(cid:20)>(cid:20)5(cid:20)(cid:1)(cid:10)(cid:2)(cid:11)(cid:8)(cid:4)(cid:6)(cid:19)(cid:11)(cid:11)(cid:8)(cid:4)(cid:14)(cid:20)(cid:18)(cid:11)(cid:7)(cid:2)(cid:12)(cid:19)(cid:6)7)(cid:4)(cid:7)(cid:20)8
4(cid:12)(cid:29)(cid:20)2&(cid:20)6(cid:20)(cid:14)(cid:11)(cid:29)3(cid:12)(B(cid:20)5(cid:11)(cid:24)(cid:12)(cid:19)(cid:11)(cid:8)(cid:4)(cid:26)(cid:20)5(cid:6)(cid:7)(cid:5)(cid:11)(cid:19)7)(cid:4)(cid:7)(cid:20)8 (cid:27)(cid:12)(cid:13)(cid:23)(cid:29)(cid:12)(cid:8)(cid:30)(cid:15)(cid:23)(cid:9)(cid:6)(cid:25)(cid:9)(cid:6)(cid:1)(cid:3)-(cid:23)(cid:9)(cid:17)(cid:3)(cid:27)(cid:10)(cid:9)(cid:3)(cid:6)(cid:10)(cid:3)(cid:11)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:22).
(cid:25)(cid:25)(cid:19)(cid:3)(cid:25)(cid:7)(cid:23)(cid:9)(cid:12)(cid:6)!(cid:30)(cid:3)(cid:19)(cid:7)(cid:23)(cid:12)(cid:19)(cid:11)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:22)(cid:21) (cid:28)(cid:1)9(cid:31):$&2";$#<#1$;
(cid:28)(cid:1)9(cid:31):$&2";$#%!;$&
4(cid:12)(cid:29)(cid:20)#"2(cid:20)(cid:26)(cid:20)(cid:21)(cid:20)F(cid:3)(cid:19)(cid:12)((cid:21)(cid:20)(cid:1)(cid:11)(cid:8)(cid:2)(cid:12)(cid:7)(cid:11)(cid:8)(cid:4)5(cid:20)B(cid:19)(cid:11)(cid:8)G(cid:11)7)(cid:4)(cid:7)(cid:20)8
4(cid:12)(cid:29)(cid:20)2;(cid:20)>(cid:20)(cid:14)(cid:20)(cid:21)(cid:11)(cid:5)(cid:8)(?(cid:20)(cid:14)(cid:27)(cid:6)(cid:8)(cid:11)(cid:8)(cid:4)(cid:31)(cid:20)(cid:28)(cid:23)(cid:27)(cid:11)(cid:29)(cid:25)(cid:11)(cid:19)(cid:11)(cid:8)C(cid:6) *(cid:9)(cid:12)(cid:17)(cid:12)(cid:25)(cid:9)(cid:10)(cid:7)(cid:17)(cid:17)(cid:5)(cid:31)(cid:6)(cid:11)(cid:30)(cid:9)(cid:19)(cid:3)(cid:16)(cid:26)(cid:12),(cid:12)(cid:23)*(cid:3)(cid:2)(cid:7)&(cid:9)(cid:12)(cid:19)#(cid:6)(cid:25)(cid:9)(cid:6)(cid:3)(cid:3)(cid:19)(cid:9)(cid:6)(cid:25)(cid:20)
7)(cid:4)(cid:7)(cid:20)8 (cid:21)(cid:22)(cid:22).
(cid:31)(cid:6)(cid:23)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:9)(cid:25)(cid:3)(cid:6)(cid:23) (cid:25)(cid:3)(cid:6)(cid:23)(cid:11)(cid:7)(cid:6)(cid:16)(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:9)(cid:19) (cid:30)(cid:30)(cid:17)(cid:9)(cid:10)(cid:7)(cid:23)(cid:9)(cid:12)(cid:6)(cid:11)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:22)(cid:21) (cid:28)(cid:1)9(cid:31):$&2";$#<#:$!
(cid:28)(cid:1)9(cid:31):$&2";$#%!2$<
4(cid:12)(cid:29)(cid:20)##"(cid:20))(cid:20)(cid:9)(cid:5)(cid:8)(cid:25)
4(cid:12)(cid:29)(cid:20)22(cid:20)(cid:14)(cid:20)A(cid:3)(cid:11)(cid:8)(cid:17)(cid:11)(cid:8)(cid:4)=(cid:20)(cid:1)(cid:27)(cid:5) (cid:29)(cid:2)(cid:7)(cid:6)(cid:25)(cid:3)(cid:11)(cid:12)(cid:13)(cid:18)(cid:19)(cid:12),(cid:17)(cid:3)(cid:8)(cid:26)(cid:3)(cid:30)(cid:19)(cid:3)(cid:11)(cid:3)(cid:6)(cid:23)(cid:7)(cid:23)(cid:9)(cid:12)(cid:6)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:22).
(cid:1)(cid:12)"(cid:7)(cid:19)(cid:16)(cid:11)#(cid:13)(cid:13)(cid:9)(cid:10)(cid:9)(cid:3)(cid:6)(cid:23)$(cid:15)%%(cid:5)(cid:31)(cid:6)(cid:13)(cid:12)(cid:19)(cid:8)(cid:7)(cid:23)(cid:9)(cid:12)(cid:6)(cid:18)(cid:19)(cid:12)(cid:10)(cid:3)(cid:11)(cid:11)(cid:9)(cid:6)(cid:25)(cid:20) (cid:28)(cid:1)9(cid:31):$&2";$#<1:$:
(cid:21)(cid:22)(cid:22)(cid:21)
4(cid:12)(cid:29)(cid:20)###(cid:20)(cid:18)(cid:20)(cid:1)(cid:20)(cid:1)(cid:10)(cid:23)(cid:10)(cid:6)(cid:16)(cid:11)(cid:8)(cid:5)(cid:11)(cid:25)((cid:21)(cid:20)(cid:1)(cid:6)(cid:17)(cid:12)3(cid:5)(cid:11)((cid:21)(cid:20)(cid:22)(cid:11)(cid:23)(cid:16)(cid:19)(cid:10)(cid:24)(cid:25)
(cid:28)(cid:1)9(cid:31):$&2";$#%&<$@
(cid:11)(cid:8)(cid:4)>(cid:20)(cid:30)(cid:20)?(cid:11)(cid:4)(cid:6)(cid:27)7)(cid:4)(cid:7)(cid:20)8
4(cid:12)(cid:29)(cid:20)#""(cid:20)(cid:1)(cid:20)$A(cid:20)(cid:14)(cid:27)(cid:6)(cid:8)7)(cid:4)(cid:20)8 (cid:31)(cid:6)(cid:23)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:9)(cid:25)(cid:3)(cid:6)(cid:23)#-(cid:30)(cid:17)(cid:12)(cid:19)(cid:7)(cid:23)(cid:9)(cid:12)(cid:6)(cid:12)(cid:13)(cid:23)(cid:2)(cid:3)/(cid:3),(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:22).
#&(cid:12)(cid:17)(cid:15)(cid:23)(cid:9)(cid:12)(cid:6)(cid:7)(cid:19)(cid:5)(cid:29)(cid:12)(cid:8)(cid:30)(cid:15)(cid:23)(cid:7)(cid:23)(cid:9)(cid:12)(cid:6)(cid:9)(cid:6)#(cid:10)(cid:12)(cid:6)(cid:12)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:7)(cid:6)(cid:16) (cid:28)(cid:1)9(cid:31):$&2";$#<12$1
$(cid:9)(cid:6)(cid:7)(cid:6)(cid:10)(cid:3)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:22)(cid:21) 4(cid:12)(cid:29)(cid:20)##1(cid:20)=(cid:20)(cid:21)(cid:5)(cid:8)
(cid:28)(cid:1)9(cid:31):$&2";$#%&!$; (cid:16)&(cid:7)(cid:6)(cid:10)(cid:3)(cid:16)$(cid:15)%%(cid:5)(cid:27)(cid:5)(cid:11)(cid:23)(cid:3)(cid:8)(cid:11)(cid:4)(cid:3)(cid:11)(cid:9)(cid:25)(cid:6)(cid:7)(cid:6)(cid:16) (cid:30)(cid:30)(cid:17)(cid:9)(cid:10)(cid:7)(cid:23)(cid:9)(cid:12)(cid:6)(cid:11)(cid:20)
(cid:21)(cid:22)(cid:22).
4(cid:12)(cid:29)(cid:20)#"#(cid:20)(cid:1)(cid:20)(cid:21)(cid:20)D3(cid:11)(cid:7)(cid:25)(cid:11)(cid:11)(cid:8)(cid:4)>(cid:20)5(cid:20)(cid:1)(cid:10)(cid:2)(cid:11)(cid:8)(cid:4)(cid:6)(cid:19)(cid:11)7)(cid:4)(cid:7)(cid:20)8
(cid:28)(cid:1)9(cid:31):$&2";$#<:&$:
(cid:27)(cid:12)(cid:13)(cid:23)(cid:29)(cid:12)(cid:8)(cid:30)(cid:15)(cid:23)(cid:9)(cid:6)(cid:25)(cid:9)(cid:6)(cid:31)(cid:6)(cid:16)(cid:15)(cid:11)(cid:23)(cid:19)(cid:9)(cid:7)(cid:17)#(cid:17)(cid:3)(cid:10)(cid:23)(cid:19)(cid:12)(cid:6)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:22)(cid:21)
(cid:28)(cid:1)9(cid:31):$&2";$#%&&$! 4(cid:12)(cid:29)(cid:20)##:(cid:20)(cid:30)(cid:20)(cid:30),(cid:19)(cid:11)(cid:27)(cid:11)(cid:15)(>(cid:20)(cid:14)(cid:20)(cid:21)(cid:11)(cid:5)(cid:8)(cid:11)(cid:8)(cid:4)(cid:21)(cid:20)(cid:22)(cid:11)(cid:23)(cid:16)(cid:19)(cid:10)(cid:24)(cid:25)
7)(cid:4)(cid:7)(cid:20)8
4(cid:12)(cid:29)(cid:20)#"1(cid:20)9(cid:20)>(cid:5)(cid:3) (cid:26)(cid:3)(cid:10)(cid:3)(cid:6)(cid:23) (cid:16)&(cid:7)(cid:6)(cid:10)(cid:3)(cid:11)(cid:9)(cid:6)(cid:31)(cid:6)(cid:23)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:9)(cid:25)(cid:3)(cid:6)(cid:23)(cid:18)(cid:7)(cid:19)(cid:7)(cid:16)(cid:9)(cid:25)(cid:8)(cid:11)(cid:7)(cid:6)(cid:16)
(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:12)(cid:19)(cid:5)(cid:7)(cid:6)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:7)(cid:10)(cid:23)(cid:9)(cid:10)(cid:3)(cid:12)(cid:13)’(cid:6)(cid:10)(cid:3)(cid:19)(cid:23)(cid:7)(cid:9)(cid:6)(cid:18)(cid:19)(cid:12)(cid:25)(cid:19)(cid:7)(cid:8)(cid:8)(cid:9)(cid:6)(cid:25)(cid:20) (cid:30)(cid:30)(cid:17)(cid:9)(cid:10)(cid:7)(cid:23)(cid:9)(cid:12)(cid:6)(cid:11)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:22).
(cid:21)(cid:22)(cid:22)(cid:21) (cid:28)(cid:1)9(cid:31):$&2";$#<:;$#
(cid:28)(cid:1)9(cid:31):$&2";$#%2"$:
4(cid:12)(cid:29)(cid:20)##%(cid:20)5(cid:20)(cid:9)(cid:5)(cid:2)(cid:2)(cid:5)(cid:8)(cid:17)(cid:11)(cid:8)(cid:4))(cid:20)D(cid:19)H(cid:12) (cid:7)(cid:25)(cid:11)7)(cid:4)(cid:7)(cid:20)8
4(cid:12)(cid:29)(cid:20)#":(cid:20)(cid:31)(cid:20)9(cid:11)(cid:19)(cid:8)(cid:6)(cid:7)(cid:11)(cid:8)(cid:4)?(cid:20)$E(cid:20)>(cid:5)(cid:3) *(cid:3)(cid:5)(cid:12)(cid:6)(cid:16)(cid:1)"(cid:12)0(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:12)(cid:19)(cid:5)(cid:7)(cid:6)(cid:16) (cid:30)(cid:30)(cid:17)(cid:9)(cid:10)(cid:7)(cid:23)(cid:9)(cid:12)(cid:6)(cid:11)(cid:12)(cid:13)(cid:24)(cid:15)(cid:17)(cid:23)(cid:9)(cid:30)(cid:17)(cid:3)
((cid:6)(cid:12)"(cid:17)(cid:3)(cid:16)(cid:25)(cid:3))*(cid:7)(cid:11)(cid:3)(cid:16)+(cid:9)(cid:11)(cid:9)(cid:12)(cid:6))(cid:28)(cid:15)(cid:9)(cid:16)(cid:3)(cid:16)(cid:26)(cid:12),(cid:12)(cid:23)(cid:11)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:22)(cid:21) +(cid:7)(cid:17)(cid:15)(cid:3)(cid:16)1(cid:12)(cid:25)(cid:9)(cid:10)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:22).
(cid:28)(cid:1)9(cid:31):$&2";$#%2%$! (cid:28)(cid:1)9(cid:31):$&2";$#<%##$#
James J. Buckley
Fuzzy Probabilities
New Approach and Applications
1 3
Professor James J. Buckley
University of Alabama at Birmingham
Mathematics Department
Birmingham, AL 35294
ISSN 1434-9922
ISBN 3-540-25033-6 Springer Berlin Heidelberg New York
Library of Congress Control Number: 2005921518
This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the
material is concerned, specifi cally the rights of translation, reprinting, reuse of illustrations,
recitations, broadcasting, reproduction on microfi lm or in any other way, and storage in data
banks. Duplication of this publication or parts thereof is permitted only under the provisions
of the German copyright Law of September 9, 1965, in its current version, and permission for
use must always be obtained from Springer-Verlag. Violations are liable to prosecution under
the German Copyright Law.

Springer is a part of Springer Science+Business Media
springeronline.com
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2005
Printed in Germany
The use of general descriptive names, registered names trademarks, etc. in this publication
does not imply, even in the absence of a specifi c statement, that such names are exempt from
the relevant protective laws and regulations and therefore free for general use.
Typesetting: data delivered by authors
Cover design: E. Kirchner, Springer-Verlag, Heidelberg
Printed on acid free paper 89/3141/M - 5 4 3 2 1 0
To Julianne and Helen.

Contents
1 Introduction 1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Fuzzy Sets 7
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Fuzzy Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.1 Fuzzy Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.2 Alpha-Cuts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.3 Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.4 Discrete Fuzzy Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Fuzzy Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.1 Extension Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.2 Interval Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.3 Fuzzy Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Fuzzy Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.1 Extension Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.2 Alpha-Cuts and Interval Arithmetic . . . . . . . . . . 16
2.4.3 Differences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Finding the Minimum of a Fuzzy Number . . . . . . . . . . . 17
2.6 Ordering Fuzzy Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.7 Fuzzy Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.8 Fuzzy Numbers from Confidence Intervals . . . . . . . . . . . 21
2.9 Computing Fuzzy Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.9.1 First Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.9.2 Second Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.10 Figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.11 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Fuzzy Probability Theory 31
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Fuzzy Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Fuzzy Conditional Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
viii CONTENTS
3.4 Fuzzy Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Fuzzy Bayes' Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Blood Types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Resistance to Surveys . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.3 Testing for HIV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.4 Color Blindness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.5 Fuzzy Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Discrete Fuzzy Random Variables
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Fuzzy Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Fuzzy Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Fuzzy Poisson Approximating Fuzzy Binomial . . . . .
4.4.2 Overbooking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 Rapid Response Team . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Fuzzy Queuing Theory
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Regular, Finite. Markov Chains . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Fuzzy Queuing Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Machine Servicing Problem . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Fuzzy Queuing Decision Problem . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 References
6 Fuzzy Markov Chains
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Regular Markov Chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Absorbing Markov Chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Application: Decision Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Fuzzy Decisions Under Risk
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Without Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 WithData . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CONTENTS ix
8 Continuous Fuzzy Random Variables
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Fuzzy Uniform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Fuzzy Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Fuzzy Negative Exponential . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.1 Fuzzy Uniform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.2 Fuzzy Normal Approximation to Fuzzy Binomial . . .
8.5.3 Fuzzy Normal Approximation to Fuzzy Poisson . . . .
8.5.4 Fuzzy Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.5 Fuzzy Negative Exponential . . . . . . . . . . . . . . .
8.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 Fuzzy Inventory Control
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Single Period Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Multiple Periods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 Joint Fuzzy Probability Distributions
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Continuous Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1 Fuzzy Marginals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.2 Fuzzy Conditionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.3 Fuzzy Correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.4 Fuzzy Bivariate Normal . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 Applications of Joint Distributions
11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Political Polls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.1 Fuzzy Marginals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.2 Fuzzy Conditionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.3 Fuzzy Correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Fuzzy Reliability Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12 Functions of a Fuzzy Random Variable
12.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 Discrete Fuzzy Random Variables . . . . . . . . . . . . . .
12.3 Continuous Fuzzy Random Variables . . . . . . . . . . . .