Table Of ContentGertBohme
Fuzzy-Logik
Einfiihrung in die algebraischen
und logischen Grundlagen
Mit 100 Abbildungen
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York
London Paris Tokyo
Hong Kong Barcelona Budapest
Prof. Dr. phil. Gert Bohme
Am Hofrain 15
78120 Furtwangen
Dieses Werk ist urheberrechtlich geschutzt. Die dadurch begrundeten Rechte. insbesondere die der
Ubersetzung. des Nachdrucks. des Vortrags. der Entnahme von Abbildungen und Tabellen. der
Funksendung. der Mikroverfilmung oderVervielfliltigung auf anderen Wegen und der Speicherung
in Datenverarbeitungsanlagen. bleiben. auch bei nur auszugsweiser Verwertung. vorbehalten. Eine
Vervielfaltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den
Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutsch
land yom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zuHissig. Sie ist grundsatzlich
vergutungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheber
rechtsgesetzes.
ISBN-13: 978-3-540-56658-8 e-ISBN-13: 978-3-642-86785-9
DOl: 10.1007/978-3-642-86785-9
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1993
Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen. Handelsnamen. Warenbezeichnungen usw. in diesem Buch
berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme. daB solche Namen im Sinne
der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher von
jedermann benutzt werden durften.
Sollte in diesem Werk direkt oderindirekt auf Gesetze. Vorschriften oder Richtlinien (z.B. DIN. VD!.
VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein. so kann der Verlag keine Gewahr fUr die
Richtigkeit. Vollstandigkeit oder Aktualitiit ubemehmen. Es empfiehlt sich. gegebenenfalls fUr die
eigenen Arbeiten die vollstandigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils giiltigen Fassung
hinzuzuziehen.
Satz: Reproduktionsfertige Vorlage des Autors;
60/3020 -5 4 3 2 I 0 - Gedruckt auf saurefreiem Papier
Vorwort
Liebe Leserin, lieber Leser! Sie interessieren sich fiir die faszinierende Welt der
Fuzzy-Logik. Zum ersten Male wird hier versucht, unscharfe, verschwommene
Aussagen in den Griff zu bekommen, mit ihnen zu operieren und daraus nach
bestimmten Regeln und Gesetzen Schliisse zu ziehen - ganz so, wie wir das
im tiiglichen Leben stiindig tun.
Was Sie gleich zu Anfang wissen miissen, ist die Tatsache, daB Fuzzy
Logik eine mathematische Theorie ist. Lassen Sie sich von Werbungspro
spekten oder populiirwissenschaftlichen Darstellungen nicht tiiuschen: Wenn
Sie Fuzzy-Logik wirklich verstehen wollen, sei es, urn sie in der Praxis anzu
wenden, sei es, um auf diesem Gebiet wissenschaftlich tiitig zu werden, dann
fiihrt kein Weg an der Mathematik vorbei. Dieses Buch will Ihnen helfen,
einen Zugang zu den vornehmlich algebraischen und logischen Grundlagen
der Fuzzy-Logik zu finden.
Zu diesem Zweck ist der Text auf optimale Verstiindlichkeit angelegt wor
den. Meine Lehrerfahrungen bei der Vermittlung dieses Faches an Studierende
der Informatik und Ingenieurwissenschaften - ich halte diese Vorlesungen seit
vielen Jahren - haben mir dabei gute Dienste gleistet. Ich kenne die Probleme,
die hierbei zu bewiiltigen sind, aus nachster Niihe. Mathematik ist niemals
leicht.
Deshalb will dieses Buch ein echtes Lehr- und Ubungsbuch im Sinne
der Hakenreihe des Springer-Verlages sein. Das heiBt konkret: ausfiihrliches
und griindliches Erklaren abstrakter Begriffe, Anleiten zum selbstiindigen
Arbeiten durch eine Vielzahl von Beispielen und Ubungsaufgaben (samt
vollstiindiger Losungen), kein Bagatellisieren schwieriger Passagen nach dem
Motto "Wie man leicht siehL.", vielmehr schrittweises Heranfiihren an die
Losung und Verdeutlichen der Losungsmethode, gezielte Hinweise auf didak
tisch geeignete, weiterfiihrende Literatur.
Vor aHem habe ich mich bemiiht, Zusammenhiinge, Querverbindungen
und Hintergriinde aufzuzeigen, urn die SinnfaHigkeit der Fuzzy-Konzepte ein
sichtig zu machen. Dazu gehoren insbesondere Riickblicke auf entsprechende
klassische Begriffe und Satze, die in den meisten Fallen als Vorbild fiir die
Fuzzifikation dienten. Unter anderem habe ich der klassischen Aussagenlogik
sowie der mehrwertigen Lukasiewicz-Logik je ein eigenes Kapitel gewidmet,
weil ich weiB, daB diese Gebiete in den Mathematikvorlesungen unserer Inge-
VI Vorwort
nieure durchweg fehlen. Nicht zuletzt habe ich beim Formulieren des Textes
einen persOnlichen Stil gewahlt. Dies solI auch linguistisch zum Ausdruck
bringen, daB hier nicht einfach eine Theorie verkiindet wird, sondern gleich
sam eine personliche Vermittlung yom Autor zur Leserin/zum Leser stattfin
det.
Mein Dank geht an aIle, die mir geholfen haben. Hier habe ich zuerst drei
Diplomanden zu nennen, die in ihren Diplomarbeiten exzellente Leistungen
erbrachten: Dipl.-Inf. (FH) Norbert Staiger, Dipl.-Inf. (FH) Michael Rombach
und Dipl.-Inf (FH) Gerhard Urban. Frau Dipl.-Math. Ingeborg Kettern hat
auch lUr dieses Buch nicht nur die Korrekturen gelesen, sondern eine groBe
Zahl wirklich guter Verbesserungsvorschlage gemacht. Fiir fachliche Hinweise
und didaktische Anregungen bin ich meinen KoIlegen Prof. Dipl.-Ing. H. E. P.
'Thckermann und Prof. Dr. F. Engelke sowie meinem Neffen Joachim Schuster
herzlich verbunden. Die Zusammenarbeit mit den Damen und Herren des
Springer-Verlages war auch in diesem - immerhin drei6igsten - J ahr unserer
Kooperation perfekt wie immer. Zum Schlu6 lassen Sie mich bitte einstimmen
in den Anfang des 107. Psalms: "Danket dem Herrn, denn er ist freundlich,
und seine Giite wahret ewiglich."
Furtwangen/Schwarzwald, im Juli 1993 Gert Bohme
Inhaltsverzeichnis
Vorwort V
Inhaltsverzeichnis VII
1. Fuzzy-Mengen .......................................... 1
1.1 Das Fuzzy-Konzept ................................... 1
1.2 Das klassische Vorbild ................................. 2
1.3 Die Fuzzifikation ...................................... 4
1.4 Haufig auftretende Typen von Fuzzy-Mengen ............. 7
1.5 Mathematische Notationen ............................. 9
1.6 LR-Darstellung mit Referenzfunktionen .............. . . . 13
1.7 a-Niveaumengen ...................................... 16
1.8 Hohe. Normalisierung ................................. 19
1.9 Aufgaben ............................................ 22
2. Beziehungen und Verkniipfungen von Fuzzy-Mengen .... 27
2.1 Fuzzy-Gleichheit. Fuzzy-Teilmengen ..................... 27
2.2 Konzentration. Dilatation .............................. 29
2.3 Allgemeine Forderungen ftir Fuzzy-Operatoren ... . . . . . . . . 32
2.4 Fuzzy-Durchschnitt, -Vereinigung, -Komplement .......... 33
2.5 Struktureigenschaften ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6 t- und s-Normen ...................................... 43
2.7 Parametrisierte t- und s-Normen ........................ 54
2.8 Kompensatorische Parameter-Operatoren ................ 60
2.9 Aufgaben ............................................ 65
3. Fuzzy-Relationen ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1 Begriffsbildung. Notationen ............................ 71
3.2 Zweistellige Verknupfungen von Fuzzy-Relationen ......... 80
3.3 Einstellige Operatoren fur Fuzzy-Relationen .............. 87
3.4 Ahnlichkeits-Eigenschaften binarer Fuzzy-Relationen ...... 93
3.5 Transitive Hullen ..................................... 98
3.6 Ordnungseigenschaften binarer Fuzzy-Relationen .. . . . . . .. 105
3.7 Aufgaben ............................................ 114
VIII Inhaltsverzeichnis
4. Fuzzy-Zahlen ........................................... 119
4.1 Motivation ........................................... 119
4.2 Konvexe Fuzzy-Mengen ................................ 119
4.3 LR-Fuzzy-Zahlen. Grundoperationen .................... 123
4.4 Fuzzy-Intervalle .............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 136
4.5 Aufgaben ............................................ 138
5. Das Erweiterungsprinzip ................................ 141
5.1 Einfiihrung. Einfachste Fassung ......................... 141
5.2 Die allgemeine Fassung ................................ 145
5.3 Fuzzy-Mengen zweiter Ordnung ........................ 150
5.4 Fuzzy-Arithmetik ..................................... 158
5.5 Aufgaben ............................................ 175
6. Klassische Aussagenlogik ................................ 179
6.1 Zielsetzung .................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 179
6.2 Syntax der Aussagenlogik .............................. 180
6.3 Semantik der Aussagenlogik ............................ 181
6.4 Aussagenlogische Aquivalenzen ......................... 185
6.5 Normalformen ........................................ 191
6.6 Aussagenlogische Folgerung ............................ 198
6.7 Modus ponens. Schlu6figuren ........................... 203
6.8 Aufgaben ............................................ 207
7. Fuzzy-Aussagenlogik .................................... 209
7.1 LUKASIEWIcz-Logiken ................................. 209
7.2 Weitere nicht-klassische Logiken ........................ 214
7.3 Der Fuzzy-Logikkalkiil FLl .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 217
7.4 Aufgaben ............................................ 229
8. Approximatives Schlie6en ............................... 231
8.1 Motivation ........................................... 231
8.2 Possibilitatsverteilungen ............................... 234
8.3 Das Projektionsprinzip ................................ 237
8.4 Zylindrische Erweiterung .............................. 241
8.5 Partikularisation ...................................... 242
8.6 Regeln der maximalen und minimalen Restriktion . . . . . . .. 248
8.7 Wenn-dann-Inferenzregeln ........................... " 252
8.8 Die Kompositionsregel ................................. 258
8.9 Der Generalisierte Modus ponens ....................... 261
8.10 Die GODEL-Implikation ................................ 270
8.11 Aufgaben ............................................ 276
Inhaltsverzeichnis IX
9. Losungen 281
Abschnitt 1 281
Abschnitt 2 285
Abschnitt 3 290
Abschnitt 4 296
Abschnitt 5 297
Abschnitt 6 300
Abschnitt 7 301
Abschnitt 8 302
Literatur ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 307
Sachverzeichnis ............................................. 311
1. Fuzzy-Mengen
1.1 Das Fuzzy-Konzept
Unsere Welt ist weitgehend "fuzzy"! Aus dem taglichen Leben wissen wir, daB
die meisten Begriffe nicht scharf abgegrenzt sind. Wir sprechen von "schanem
Wetter", einem "attraktiven Angebot" oder einer "groBen Zahl von Interes
senten" - Formulierungen, die aIle mehr oder weniger unscharf, vage, ver
schwommen sind. In der englischen Sprache sagt man dazu "fuzzy". Dieses
Wort hat unserer Theorie den Na men gegeben und sich unterdessen auch im
Deutschen eingeburgert.
Nun ist der Fuzzy-Charakter groBer Teile unserer Sprache nicht einfach die
Folge eines nachlassigen Sprachgebrauchs. Wollten wir uns standig mit exakt
definierten Begriffsbildungen verstandigen, so muBten wir die unubersehbare
Vielfalt von Differenzierungen und Abstufungen nicht nur aIle benennen und
im Kopfe haben, wir mu6ten auch bei jeder Redewendung genau wissen,
welche Variante in der betreffenden Situation gerade richtig ist.
Zwischenmenschliche Kommunikation ware auf diese Weise nicht mehr
maglich. Vielmehr ist das Fuzzy-Konzept unserer Sprache gerade die Voraus
setzung fur eine praktikable Bewaltigung der Komplexitat unserer Welt.
Wissenschaftliche Arbeit ist aIlerdings immer urn prazise Aussagen be
muht. Das gilt zuerst fur Logik und Mathematik und die darauf bezugneh
menden Natur- und Ingenieurwissenschaften. Fuzzy-Logik stellt die Ergeb
nisse der exakten Disziplinen durchaus nicht in Frage, und selbstverstandlich
ist Fuzzy-Logik selbst so exakt wie jede andere mathematische Theorie. Aber
sie stellt einen neuen Ansatz vor, mit dem sich viele klassische Probleme etwa
der Steuerungs- und Regelungstechnik besser 1000n lassen als mit den her
kommlichen Methoden. Daruber hinaus hat sich gezeigt, daB die Fuzzy-Logik
in der Lage ist, weite Bereiche des menschlichen Denkens und SchlieBens, so
wie es etwa in Expertensysteme implementiert werden muB, mit formalen
Methoden zu beschreiben. In diesem Feld laBt sich mit klassischen Logik
Kalkulen nicht mehr viel ausrichten. Rier steht die Fuzzy-Logik mit der
Theorie der Neuronalen Netze, der Evidenztheorie sowie der Wahrschein
lichkeitstheorie zur Zeit noch in hartem Wettstreit.
Den StartschuB flir unsere Theorie gab der 1906 in Baku geborene LOFTI
ASKER ZADEH mit einer Arbeit uber "Fuzzy-Sets" , die 1965 in der Zeitschrift
2 1. Fuzzy-Mengen
"Information and Control" erschien. ZADEH gehorte zu dieser Zeit dem De
partment of Electrical Engineering and Electronics Research Laboratory der
Berkeley Universitat an. Er wandte sich in erster Linie an mathematisch inter
essierte Ingenieure der Elektrotechnik. Seine formale Modellierung des Fuzzy
Konzepts mit dem Mengen- und Relationenbegriff der modernen Struktural
gebra erwies sich sehr bald als au6erordentlich trag- und entwicklungsf8hig.
Heute wird die Zahl der Publikationen bereits auf 20000 geschatzt. Vor allem
aber das Engagement der Japaner, Fuzzy-Logik fiir die ProzeSregeltechnik
praktisch nutzbar zu machen, hat diese Disziplin heute auch ftir den Herstel
ler und Anwender in den Brennpunkt des Interesses geriickt.
1.2 Das klassische Vorbild
In der klassischen Algebra wird eine Menge M auf einer Grundmenge G so
erklart, daB man festlegt, welche Elemente z der Grundmenge zur Menge M
gehoren sollen ("z EM") bzw. nicht gehoren sollen ("z f/. M"). Bei endlichen
Mengen macht man das formal durch Angabe aIler Elemente, etwa
=
M {a,b,c} .
Beliebige, insbesondere auch unendliche Mengen lassen sich durch charak
teristische Pradikate (Eigenschaften) beschreiben. So ist z. B. auf der Grund
menge aller Vierecke die Menge M der Rauten durch das Pradikat "gleich
lange Seiten" charakterisiert. Wir schreiben diese Erklarung in der Form
M={zlzEG, Pz},
lies: M besteht aus den (und nur den) Elementen z der Grundmenge G,
welche das Pradikat P besitzen (die Eigenschaft P erfiillen). Dabei lassen
wir die Angabe "z E G" wegfallen, wenn die Grundmenge G im Kontext
erklart ist. Die drei wichtigsten FaIle sind
=
(1) M besteht aus allen Elementen der Grundmenge, M G, wenn aIle
Elemente von G das Pradikat P besitzen. P heiSt dann allgemeingiiltig.
(2) Mist die leere Menge, M = 0, wenn das Pradikat P von keinem Element
aus G erfiillt wird. M besitzt keine Elemente, P heiBt in diesem Fall
unerftillbar (inkonsistent).
(3) Mist eine beliebige, nicht-Ieere Menge, M :F 0, wenn das Pradikat P von
(wenigstens) einem z E G erfiillt wird. P heiSt in diesem Fall erfiillbar
(konsistent).
Die Zugehorigkeit bzw. Nicht-Zugehorigkeit eines Elementes z E G zur
Menge M konnen wir aber auch noch anders beschreiben. Wir erklaren dazu
eine charakteristische Funktion I'M, deren Wert J.'M(Z) gleich 1 gesetzt wird,
falls z EM, bzw. gleich 0 gesetzt wird, faIls z f/. M gilt:
1.2 Das Idassische Vorbild 3
M(Z) = {I rur Z E M
I' 0 sonst
Die Funktion I'M hat also die Grundmenge G ala Definitionsbereich und die
zweielementige Menge {O; I} als Wertevorrat:
I'M : G --+ {o; I} .
Zur Veranschaulichung betrachten Sie bitte Abb.l.l: Darstellung der cha.
rakteristischen Funktion I'M fUr die endliche Menge M = {I, 3, 5} auf der
=
Grundmenge G {O, 1,2,3,4,5, 6}:
= =
I'M(l) I'M(3) = I'M(5) 1
I'M(O) = I'M(2) = I'M(4) = I'M(6) = 0 .
• • •
5 6
x-
Abb. 1.1. Charakteristische Funktion I'M einer endlichen Menge M = {l, 3, 5}
I'M besteht also aus diskreten Punkten im Koordinatensystem. Alternativ
dazu zeigt Abb. 1.2 die Funktion I'M rur die unendliche Menge M = [2; 5] aller
reellen Zahlen x mit 2 :$ x :$ 5 auf der Grundmenge G = [0; 6] aller reellen
Zahlen x mit 0 :$ x :$ 61. I'M ist hier eine konstante, stiickweise stetige
Funktion.
o 3 5 6
x_
Abb. 1.2. Charakteristische Funktion I'M einer unendlichen Menge M = [2; 5]R
1 1m folgenden bedeutet [a, b] = {x I a ::; x ::; b} stets das beiderseits abgeschlossene
Interval! auf der reellen Achse.
