Funktionentheorie: Eine Einführung, Sechste Auflage (Springer-Lehrbuch)

133 Pages·2010·4.55 MB·German

by  Klaus Jänich

Springer-Lehrbuch
Springer
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Tokio
Klaus Tanich
Fun ktionen-
theorie
Eine Einfiihrung
Sechste Auflage
Mit loo Abbildungen
Springer
Prof. Dr. Klaus Janich
Universitat Regensburg
Fakultat fiir Mathematik
93040 Regensburg
Deutschland
e-mail: [email protected]
Mathematics Subject Classification (2000): 30-01
Die 1. und r. Auflage erschienenin der Reihe Hochschulten mit dem Titel EinfUhrungin die Funktionentheorie
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detaillierte bibliografische Daten sind im Internet (Iber <http:lldnb.ddb.de> abrufbar.
ISBN 3-540-20392-3 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York
ISBN 3-540-66152-2 3. Aufl. Springer-VerlagB erlin Heidelberg New York
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Vorwort zur sechsten Auflage
Wieder konnte ich nach freundlichen Hinweisen meiner
Leser und Horer einige Ausbesserungen vornehmen, vom
hl, in einer Bildunterschrift, das ein fl, sein musste
his zur Verwandlung eines z in z, aber zu wirklichen
Veranderungen oder Erganzungen konnte ich mich auch
diesmal nicht entschlieflen.
Regensburg, im Dezember 2003 K. Janich
Vorwort zur vierten Auflage
Im vorigen Sommer habe ich wieder ein~naFl unktionen-
theorie gelesen, fur Mathematikstudenten im vierten Se-
mester, und dabei dieses Buch zugrunde gelegt. Dank der
dabei von meinen Horern und mir auf den Text gerichte-
ten Aufmerksamkeit kann ich die vierte Auflage nun mit
grofler Zuversicht, die durch die allgemeine Lebenserfah-
rung nur ganz wenig gedampft ist, zur druckfehlerfreien
Zone erklaren.
Die ubungsaufgaben habe ich revidiert und vermehrt,
die in der dritten Auflage leeren halben Seiten am Ende
der Kapitel sind deshalb jetzt auch bedruckt.
Allen Lesern einen freundlichen Grufl!
Regensburg, im Juni 1996 K. Janich
vi Vorwort
Vorwort zur dritten Auflage
Unter Funktionentheorie - wenn man ein Vorwort dazu
benutzen darf, direlct zum kunftigen Leser zu spreehen,
anstatt darin die Kenner gleichsam um Erlaubnis fur das
Buch zu bitten - unter Funktionentheorie also versteht
man nicht die "Theorie der Funktionen" schlechthin,
vielmehr ist Funktionentheorie der traditionelle Name fur
die Theorie der lcomplexwertigen analytischen oder ho-
lomorphen Ffi~ktionene iner kornplexen Veriinderlichen.
Diese Funktionen sind einerseits sehr gewohnlich, in
den1 Sinne namlich, daB man ihnen in vielen mathema-
tischen Gebieten begegnet. Polynome sind zum Beispiel
- -
holomorph, ebenso Sinus und Cosinus, die Exponential-
funlction, der Logarithmus usw., wenn man sie als von
einer komplexen Variablen abhangig auffaBt.
Andererseits haben die holomorphen Funktionen er-
staunliche Eigenschaften und gehorchen merkwurdigen
strikten Gesetzen, die man nicht ahnen kann, wenn man
diese Funktionen nus so im reellen Gewande der Analysis
daherlcommen sieht .
Noch zu ~neineSr tudienzeit machten die Mathematik-
st,udenten meist erst in1 Hauptstudium mit der Funktio-
nentheorie Bekanntschaft. Heute gehort zumindest eine
Einfuhrung in die Funlctionentheorie zur Grundausbil-
dung, und als eine solche Einfuhrung ist der vorliegende
Text gedacht. Er heiBt zwar dritte Auflage, ist aber ei-
gentlich ein unter Benutzung der zweiten Auflage neu
verfaBtes Buch. Beim Schreiben habe ich mir meine Leser
als 2\lIathe1natiiistudei1ttl11i m hitter1 oder viertell Seme-
ster vorgestellt, die, wie ich aus meiner Lehrerfahrung
weiB, durchaus keine begrifflichen Schwieriglceiten mit
der Funlctionentheorie haben, denen aber in ihrer Stu-
diensituation naturgemaB die Zeit fehlt, bereits ein uin-
fangreiches Sllerlc durchzuarbeiten. Ich hoffe, daB dieser
schinale Band nit seine~nz iigigen Tempo einige Freunde
finden wid.
Regensburg, in1 November 1992 Klaus Janich
Inhalt sverzeichnis
.
1 Holomorphe Funktionen
.................
1.1 Komplexe Differenzierbarkeit 1
.................................
1.2 Potenzreihen 2
1.3 Die Cauchy-Riemannschen
Differentialgleichungen .......................5
.............................
1.4 Ubungsaufgaben 8
.............
1.5 Hinweise zu den Ubungsaufgaben 9
.
2 Der Cauchysche Integralsatz
.............................
2.1 Kurvenintegrale 10
2.2 Der Cauchysche Integralsatz
.............................
fiir ein Rechteck 11
2.3 Cauchyscher Integralsatz
fiir Bilder von Rechtecken ...................1 4
............................
2.4 Ubungsaufgaben 17
2.5 Hinweise zu den ubungsaufgaben ............1 8
.
3 Erste Folgerungen
aus dem Cauchyschen Integralsatz
...........................
3.1 Die Cauchyformel 20
...........
3.2 Der Potenzreihenentwicklungssatz 21
3.3 Satz von Morera und Spiegelungsprinzip .....2 4
.........
3.4 Nullstellen holomorpher Funktionen 26
..............
3.5 Identitatssatz und Gebietstreue 29
............................
3.6 Ubungsaufgaben 32
............
3.7 Hinweise zu den Ubungsaufgaben 33
...
vlll Inhalt sverzeichnis
.
4 Isolierte Singularitaten
......
4.1 Die drei Typen isolierter Singularitaten 35
....................
4.2 Meromorphe Funktionen 36
...............................
4.3 Laurentreihen 37
...................
4.4 Laurentreihenentwicklung 40
......
4.5 Anwendung auf isolierte Singularitaten 42
............................
4.6 Ubungsaufgaben 43
............
4.7 Hinweise zu den Ubungsaufgaben 45
.
5 Analytische Fortsetzung
Analytische Fortsetzung langs Kreisketten ...4 6
Der komplexe Logarithmus als Beispiel ......4 8
Analytische Fortsetzung langs Wegen ........5 0
Analytische Fortsetzung
und Kurvenintegrale .......................5. 2
......................
Homotopie von Wegen 54
Der Monodromiesatz ........................5 9
Ubungsaufgaben ...........................6.2
Hinweise zu den ubungsaufgaben ............6 3
.
6 Die Umlaufszahlversion
des Cauchyschen Integralsatzes
6.1 Die Frage nach einer allgemeinen Fassung
des Cauchyschen Integralsatzes ..............6 4
6.2 Die Umlaufszahl ...........................6.5
6.3 Die Umlaufszahlversion
des Cauchyschen Integralsatzes ..............6 9
6.4 Cauchyformel und Residuensatz .............7 2
6.5 Ubungsaufgaben ............................7 4
6.6 Hinweise zu den Ubungsaufgaben ............7 6
.
7 Der Residuenkalkiil
7.1 Vorbemerkungen ...........................7.7
7.2 Integrale uber die ganze reelle Achse .........7 8
7.3 Hauptwerte ................................8.0
7.4 Integrale iiber die positive reelle Halbachse . . 83
7.5 Integrale iiber ein Interval1 ..................8 4
Inhaltsverzeichnis ix
. .
7.6 Das Null- und Polstellen zahlende Integral 85
............................
7.7 Ubungsaufgaben 88
...........
7.8 Hinweise zu den Ubungsaufgaben 90
.
8 Folgen holomorpher Funktionen
.....................
8.1 Kompakte Konvergenz 91
8.2 Blatterzahlen von Grenzfunktionen .........9 2
8.3 Lokal beschrankte Folgen ..................9. 4
8.4 Der Satz von Monte1 ......................9.6
...........................
8.5 Ubungsaufgaben 97
8.6 Hinweise zu den Ubungsaufgaben ...........9 8
.
9 Satz von Mittag-Leffler
und WeierstraBscher Produktsatz
................
9.1 Der Satz von Mittag-Leffler 99
9.2 Die Partialbruchzerlegung von l/sin z ....1 00
......................
9.3 Unendliche Produkte 102
...........
9.4 Der Weierstraflsche Produktsatz 104
9.5 Ubungsaufgaben .........................1. 07
.........
9.6 Hinweise zu den Ubungsaufgaben 108
.
10 Der Riemannsche Abbildungssatz
10.1 Der Satz .................................1. 10
.......................
10.2 Erster Beweisschritt 112
.....................
10.3 Zweiter Beweisschritt 114
......................
10.4 Dritter Beweisschritt 116
..........................
10.5 Ubungsaufgaben 117
10.6 Hinweise zu den ubungsaufgaben ......... 118
Literaturverzeichnis ............................1 19
Register .........................................1.2 0