Funktionalanalysis mit Anwendungen

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Funktionalanalysis mit Anwendungen
Wolf Hofmann
WS 2005/06

Inhaltsverzeichnis
Literaturhinweise v
Vorbemerkung vi
Einleitung 1
R¨aume: Struktureller Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
§ 1 Topologische und metrische R¨aume 8
Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Beispiele metrischer R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Beispiele metrischer R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Ein Mehrfachbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
§ 2 Eigenschaften metrischer R¨aume 19
§ 3 Lin. R¨aume, lin. top. R¨aume, lin. halbgeordn. R¨aume,lok. konv.
R¨aume 29
Der Raum D (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
K
Der Raum D(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
§ 4 Normierte R¨aume 49
Eigenschaften normierter R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Folgen und Reihen in normierten R¨aumen . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Endlichdimensionale normierte R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Normierte Produktr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Normierte Quotientenr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Die Lp-R¨aume 1 p < . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
≤ ∞
ii
INHALTSVERZEICHNIS iii
Die Ungleichungen von H¨older und Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . 64
Fortsetzung: Lp-R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Die R¨aume ℓp, 1 ≤ p ≤ ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Sobolev-R¨aume und schwache Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
§ 5 Unit¨are R¨aume, Hilbertr¨aume 80
Orthonormalsysteme in Pr¨a-Hilbertr¨aumen . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
§ 6 Kompaktheit 94
Kompaktheitskriterien fu¨r die R¨aume C(K)und Lp(Rd) . . . . . . . . 98
§ 7 Lineare Operatoren 101
Beispiele linearer Operatoren und Funktionale . . . . . . . . . . . . . . . 105
Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Distributionsableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Identifikation von Funktion f und Distribution F . . . . . . . . . . . . 112
Distributionelle L¨osungen partieller Differentialgleichungen . . . . . . . . 113
§ 8 Fortsetzung linearer Abbildungen und Funktionale 116
Anwendungen des Satzes von Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Dualr¨aume unit¨arer R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Anwendung des Riesz’schen Darstellungssatzes auf Differentialgleichungen 125
Transformation auf homogene Randwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Einbettung in einen geeigneten Raum, schwache L¨osung . . . . . . . . . . 126
Anmerkungen zum Dualraum von C[a,b] . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
§ 9 Prinzip der gleichm¨aßigen Beschr¨anktheit 134
Anwendung auf die Konvergenz von Quadraturformeln . . . . . . . . . . 136
§ 10 Der Satz von der offenen Abbildung 138
Homomorphiesatz von Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Satz vom abgeschlossenen Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
§ 11 Ein schwacher“ Paragraph 144
”
Schwache Topologie, schwache Konvergenz, schwache Kompaktheit, Re-
flexivit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
iv INHALTSVERZEICHNIS
Charakterisierung schwach konvergenter Folgen . . . . . . . . . . . . . . 149
Beispiele zur und Eigenschaften der Reflexivit¨at . . . . . . . . . . . . . . 150
Schwach kompakte Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
§ 12 Duale und Adjungierte Abbildungen 157
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Variationsprinzip fu¨r selbstadjungierte Operatoren . . . . . . . . . . . . . 162
§ 13 Kompakte und vollstetige Operatoren 168
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Eigenschaften kompakter Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
§ 14 Spektraltheorie kompakter Operatoren 178
Die Fredholm’sche Alternative fu¨r Integralgleichungen . . . . . . . . . . . 195
Selbstadjungierte kompakte Operatoren in Hilbertr¨aumen . . . . . . . . . 197
Literaturhinweise v
Literatur
ALT, H.W.: Lineare Funktionalanalysis, Springer 1985
AUBIN J.P.: Applied Functional Analysis, Wiley, 1970
BALAKRISHNAN A.V.: Applied Functional Analysis, Springer 1976
BREZIS H.: Analyse Fonctionel et Applications, Masson 1983
CONVEY J.B.: A course in Functional Analysis, Springer 1985
COLLATZ L.: Funktionalanalysis und Numerische Mathematik, Springer 1964
CYREF C.W.: Numerical Functional Analysis, Clarendon Press 1982
DUNFORD N.-SCHWARZ J.T.: Linear Operators I,II Interscience Publishers 1958
HEUSER H.: Funktionalanalysis, Teubner 1975
HIRZEBRUCH F.-SCHARLAU W.: Einfu¨hrung in die Funktionalanalysis, BI 1971
LJUSTERNIK L.A.-Sobolev W.I.: Elemente der Funktionalanalysis, Akad.-Verl. 1968
PFLAUMANN E.-UNGER U.: Funktionalanalysis I, BI 1974
REED M-SIMON S.:Meth. of Mod. Math. Phys., Academic Press 1962
RUDIN W.: Functional Analysis, Mc-Graw-Hill, 1973
RUDIN W.: Real and Complex Analysis, Mc-Graw-Hill,1974
SCHECHTER M.: Principles of Functional Analysis, Academic Press 1971
TAYLOR A.E.-LAY D.C.: Introduction to Funtional Analysis, Wiley 1980
WERNER D.: Funktionalanalysis, Springer1997
WLOKA J.: Funktionalanalysis und ihre Anwendungen, De Gruyter 1971
YOSIDA J.: Functional Analysis, Springer 1980
vi Vorbemerkung
Vorbemerkung
Dieses Skript will und soll kein Lehrbuch ersetzen. Es soll die Studenten/innen vom
Zwang des Mitschreibens befreien um ihnen die M¨oglichkeit zu geben, dem Gang der
Handlungbesserfolgenzuk¨onnenundumdie(n¨otige!)Nacharbeitunddie(wu¨nschens-
werte!) Vorbereitung zu erleichtern. Eine Motivierung vieler Fragen, ihre Einordnung
in gr¨oßere Zusammenh¨ange, Erg¨anzung durch Beispiele erfolgt in der Vorlesung, den
U¨bungen und (hoffentlich) einem eigenst¨andigen Literaturstudium. Schon ein flu¨chti-
ges Studium der Literatur (bzw. der Inhaltsverzeichnisse einzelner Bu¨cher) zeigt, daß
man Dutzende verschiedener Vorlesungen u¨ber Funktionalanalysis halten kann. Diese
Vorlesung muß sich also auf eine Auswahl beschr¨anken. Sie wird versuchen m¨oglichst
viele Grundlagen (Einstiegsm¨oglichkeiten in einzelnen Theorien) zu vermitteln, kann
deshalb jedoch bei den einzelnen Abschnitten nicht in die Tiefe gehen.
Zur ku¨rzeren Darstellung benutzen wir folgende Abku¨rzungen
def
fu¨r alle und <========> wird definiert durch
∀ ∧
es gibt oder
∃ ∨
! es gibt genau ein ...
∃
: sodaß Implikation
⇒
Einleitung 1
Einleitung
Der Frage Was ist Funktionalanalysis?“ kann man sich auf 2 M¨oglichkeiten ( andeu-
” ”
tungsweise“) n¨ahern.
1. Struktur-theoretisch: Man abstrahiert von Bekanntem und entwickelt weiter. Dies
ist der Weg, den die meisten Lehrbu¨cher verfolgen. Er ist elegant, zeitsparend und un-
einsichtig.
2. Auf dem Hintergrund der klassischen Rn-Analysis kann man Verallgemeinerungen
klassischer Begriffe diskutieren, wenn diese Begriffe zur L¨osung eines Problems nicht
ausreichen (solche Begriffe sind z.B. Konvergenz, Stetigkeit, Differenzierbarkeit, In-
tegration usw.). Sie alle bedu¨rfen neuerer Kl¨arung, wenn man, ausgehend von Rn,
n gehen l¨aßt. Welche Probleme auftreten, wollen wir an einigen Beispielen
→ ∞
erl¨autern, bevor wir in die Theorie einsteigen.
1. Der Rn ist mit der Norm x = max x , x = (x ,...,x )T Rn ein
i 1 n
k k∞ i=1,...,n | | ∈
vollst¨andiger, normierter Raum. Eine abgeschlossene, beschr¨ankte Menge ist hier
kompakt (folgenkompakt).
Betrachte auf einer beschr¨ankten, abgeschlossenen Menge S Rn die Menge
⊂
C0(S) der stetigen Funktionen mit der analogen Norm (Normaxiome nachrech-
nen)
f := sup f(x)
k k∞ x S | |
∈
C0(S) ist dimensional. (Was heißt das?) Abgeschlossene und beschr¨ankte
∞
Mengen sind in diesem Raum nicht kompakt (Satz von Arzela u. Ascoli).
n
Im Rn wird durch (x,y) = x y ein Skalarprodukt definiert, das die Norm
i i
i=1
x = (x,x) (EuklidischePNorm) erzeugt. Die Euklidische Norm ist zur Max-
2
k k
Norm ¨aquivalent. Es gilt (U¨bung)
p
1 x
k k∞ 1.
√n ≤ x ≤
2
k k
In C(S) lautet das Analogon zum Skalarprodukt
(f,g) = f(x)g(x)dx (Axiome nachrechnen).
Z
S
Es erzeugt die Norm
f = f(x) 2dx (Normbeweise sp¨ater).
2
k k | |
v
uZS
u
t
Diese Norm ist zur Supremumsnorm nicht mehr ¨aquivalent. Es gilt zwar
f max f(x) 2 dx dx f ,
2
k k ≤ vx S | | ≤ v · k k∞
u ∈ ZS uZS
u u
t t
2 Einleitung
d.h. Konvergenz bzgl. impliziert Konvergenz bzgl. . Das umgekehrte
2
k k∞ k k
ist nicht richtig, wie folgendes Beispiel zeigt:
1 x
S = [ 1,1] R, 0 < ε < 1, f (x) = max 0, 1 | |
ε
− ⊂ s ε − ε
(cid:18) (cid:18) (cid:19)(cid:19)
Es ist
f = 1 (beliebig groß fu¨r ε 0)
k εk∞ ε →
q
f = 1.
ε 2
k k
Aus der Analysis ist bekannt, daß C(S) mit vollst¨andig ist. Fu¨r C(S) mit
kk∞
gilt das nicht, denn fu¨r S = [0,1] ist die Folge
2
kk
1 fu¨r 0 t 1,
≤ ≤ 2
xn(t) =  1−2n t− 12 fu¨r 12 ≤ t ≤ 12 + 2−n,


 0 (cid:0) (cid:1) fu¨r 1 + 2 n t 1,
2 − ≤ ≤




eine Cauchy–Folge, die keinen stetigen Grenzwert hat.
Frage:
Kann man diesen Raum vervollst¨andigen? (Und bzgl. welchen Konvergenzbe-
griffs?)
2. N Teilchen im R3 stehen gem¨aß den Gesetzen von Newton und Hook in Wech-
3N
selwirkung mx¨ = w x mit x , i,k = 1,...,3N (3 Raumkoordinaten
i ik k k
−
k=1
fu¨r jedes Teilchen). P
Der L¨osungsansatz fu¨r kleine Schwingungen
x = a sin ωt, a R
i i i
∈
liefert
3N
a mω2 sin ωt = w a sin ωt
i ik k
k=1
P
a ω2 = wik a
i m k
k
P
bzw. ω2 a = W a mit a = (a ,...,a )T, W = wik
1 3N m
Behandlung fu¨r (cid:0) (cid:1)
N < ? N (U¨bergang zu Materie)
∞ → ∞
Matrizen W ? Operatoren
Eigenwerte λ = ω2 ? EW
Eigenvektoren a ? EV
allg. Bewegung (Superposition, Summie- ? Integration
rung)
Einleitung 3
3. Eine zylindrische Dosemit vorgegebenem Volumen V = r2πh hat dieOberfl¨ache
O = 2r2π +2πrh
bzw. O(r) = 2πr2 +2V
r
Die Dose mit minimaler Oberfl¨ache findet man durch Differenzieren O (r) = 0.
′
DieLageeinerKettenlinie u(x) wirddadurchbestimmt,daßdiepotentielleEner-
gie der Kette minimal ist.
u(b)
u(a)
a b
Die potentielle Energie der Kette wird, in Abh¨angigkeit von ihrer Lage, beschrie-
ben durch einen Ausdruck der Form
b
φ(u(x)) = F(t,u(t),u(t))dt, φ : C1[a,b] R.
′
→
Z
a
Wie wird so was minimiert? Was ist das Analogen der Ableitung (das Argument
von φ ist eine Funktion)? Wann existiert u¨berhaupt ein Minimum?
Vgl. U¨bungen. Dort zeigen wir als Beispiel:
Das Funktional
1
φ(u) = u + u(x)2dx
′ ′
k k∞
Z
0
ist auf der im C1[0,1] abgeschlossenen Menge
M = u C1[0,1]; u(0) = 0, u(1) = 1
1 ′
{ ∈ }
zwar nach unten beschr¨ankt, besitzt jedoch kein Minimum ( Variationsrech-
→
nung)
n
4. Jedes x Rn besitzt eine Basisdarstellung x = a ei mit Elementen ei,
i
∈
i=1
i = 1,...,n, die zueinander orthogonal sind. P
Bei der L¨osung der Differentialgleichung fu¨r eine schwingende Saite der L¨ange
ℓ = 2π stellen sich die Fragen (vgl. U¨bungen):
Bilden die Funktionen φ = 1,cos t,sin t,cos 2t,sin 2t,... eine Basis des
{ i}∞i=1 { }