Table Of ContentFundamentos Matemáticos
de la Ingeniería
Parte II: Cálculo Diferencial
e Integral
Miguel Barreda Rochera
José Antonio López Ortí
Departament De matemàtiques
Codi d’assignatura 503
Miguel Barreda / J. A. López - ISBN: 978-84-693-422-3 Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Parte II - UJI
Edita: Publicacions de la Universitat Jaume I. Servei de Comunicació i Publicacions
Campus del Riu Sec. Edifici Rectorat i Serveis Centrals. 12071 Castelló de la Plana
http://www.tenda.uji.es e-mail: [email protected]
Col·lecció Sapientia, 37
Primera edició, 2010
www.sapientia.uji.es
ISBN: 978-84-693-4122-3
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Miguel Barreda / J. A. López - ISBN: 978-84-693-422-3 2 Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Parte II - UJI
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Indice General
Pro´logo 5
Notacio´n 7
5. Funciones reales deuna variable 9
5.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.2. Definicio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.3. L´ımitesy continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.3.1. L´ımitedeunafuncio´nen un punto . . . . . . . . . . . . . . 11
5.3.2. L´ımitesinfinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.3.3. L´ımitesen el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.3.4. L´ımitesinfinitosen el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.3.5. Indeterminaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.3.6. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.4. Derivabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.4.1. Laderivadayel problemadelatangente . . . . . . . . . . 42
5.4.2. Reglasdederivacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.4.3. Derivadassucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.5. Aplicacionesdeladerivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.5.1. Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.5.2. Crecimiento, decrecimiento, concavidad, convexidad e in-
flexio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.5.3. Regladel’Hoˆpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.5.4. Representacio´n gra´fica defunciones . . . . . . . . . . . . . 77
5.5.5. Problemasdeoptimizacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6. Integracio´nen una variable 90
6.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.2. Integraldefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.2.1. A´reapordebajo deunacurva . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.2.2. IntegraldeRiemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.3. Integralindefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.3.1. Definicio´ny propiedadesinmediatas . . . . . . . . . . . . . 105
6.3.2. Me´todosgenerales deintegracio´n . . . . . . . . . . . . . . 109
6.3.3. Integracio´ndefuncionesracionales . . . . . . . . . . . . . 116
6.4. Aplicacionesdelaintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
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Miguel Barreda / J. A. López - ISBN: 978-84-693-422-3 3 Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Parte II - UJI
7. Funciones devariasvariables 133
7.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.2. Definicio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.3. L´ımitesy continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.3.1. L´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.3.2. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.4. Derivadasparciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.4.1. Derivadasparciales primeras . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.4.2. Derivadasparciales sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.4.3. Funcionesdeclase k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
C
7.4.4. Regladelacadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7.5. Extremosrelativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.5.1. Extremoslibres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.5.2. Extremoscondicionados.Me´tododelosmultiplicadoresde
Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8. Integracio´nmu´ltiple 187
8.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
8.2. Integralesdobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
8.2.1. Volumenpordebajo deunasuperficie . . . . . . . . . . . . 187
8.2.2. Integraldoblesobreun recta´ngulo . . . . . . . . . . . . . . 189
8.2.3. Integralesdoblessobreregionesma´sgenerales . . . . . . . 194
8.2.4. Cambiodevariableenintegralesdobles . . . . . . . . . . . 201
8.3. Integralestriples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
8.3.1. Integraltriplesobreunacajarectangular . . . . . . . . . . . 207
8.3.2. Integralestriplessobreregionesma´sgenerales . . . . . . . 211
8.3.3. Cambiodevariableenintegralestriples . . . . . . . . . . . 218
8.4. Aplicacionesdelas integralesdoblesy triples . . . . . . . . . . . . 227
8.4.1. Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
8.4.2. Momentosy Centro deMasa . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Bibliograf´ıa 234
4
Miguel Barreda / J. A. López - ISBN: 978-84-693-422-3 4 Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Parte II - UJI
Pro´logo
La asignatura Fundamentos Matema´ticos de la Ingenier´ıa de la titulacio´n de
Ingenier´ıaTe´cnicaenDisen˜oIndustrialconstade4.5cre´ditosteo´ricos,1.5cre´ditos
pra´cticosy1.5cre´ditosdelaboratorio.Tienecara´ctertroncal,anualyseimparteen
primercurso.
La asignatura esta´ dividida en tres partes bien diferenciadas: A´lgebra Lineal,
que se imparte durante el primer semestre, Ca´lculo Diferencial e Integral, que se
imparte durante el segundo semestre y objeto del presente material, y las pra´cticas
delaboratorioqueseimpartenen variosgrupos,unosenel primersemestreyotros
en el segundosemestre.
LosestudiantespuedenaccederalaTitulacio´ndeIngenier´ıaTe´cnicaenDisen˜o
Industrialdesdecualquieradelassiguientesopciones:
COU. Opcio´n Ay C
Bachillerato LOGSE. Opcio´ncient´ıfico-te´cnica, artes yciencias sociales
Accesomayoresde25an˜os.Opcio´ncient´ıfico-te´cnica,artesycienciassocia-
les
FP II. Diferentes opciones
Ciclos formativosdegrado superior.Diferentes opciones
Mo´dulosprofesionales denivelIII. Diferentes opciones
aunquelav´ıadeacceso predominantees elbachillerato LOGSE.
El material que aqu´ı presentamos cubre los aspectos teo´ricos/pra´cticos de la
segundapartedelaasignatura(Ca´lculo Diferencial eIntegral),sinpretenderserun
manual exhaustivo de los contenidos de la misma, ya que los cre´ditos teo´ricos se
impartenunavezporsemana,duranteelsegundosemestre,ensesionesdeunahora
y media, y los cre´ditos pra´cticos se imparten una vez cada dos semanas, durante el
segundosemestre,en sesionesdeunahora.
Este manual esta´ dividido en cuatro temas y cubre los aspectos fundamentales
delca´lculodiferencialeintegral.Alserlacontinuacio´ndelmanualdocenteFunda-
mentos Matema´ticosdela Ingenier´ıa.ParteI:A´lgebraLineal,el cual esta´ dividido
tambie´nen cuatro temas,el presentematerialcomienzaen el Tema5.
Enlosdosprimerostemassehaceunrepasodeaspectosyaestudiadosenelba-
chilleratocient´ıfico-te´cnico,comosonelca´lculodiferencialeintegraldefunciones
Miguel Barreda / J. A. López - ISBN: 978-84-693-422-3 5 Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Parte II - UJI
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realesdevariablereal,yaquelav´ıadeaccesodelbachilleratoLOGSEnogarantiza
que los estudiantes hayan estudiado matema´ticasen el bachillerato. En el tercer te-
maestudiamoselca´lculodiferencial defuncionesdevariasvariablesy enel cuarto
tema estudiamos el ca´lculo integral de funciones de dos y tres variables. Este u´lti-
mo tema so´lo se ha podido impartir una vez en los u´ltimos diez an˜os que llevamos
impartiendo la asignatura debido, simplemente, a los pocos cre´ditos asignados a la
asignatura.
Encada unodelostemas,adema´s deexponerel contenidoteo´rico,semuestran
ejemplos sencillos que ayudan al estudiante a comprender los aspectos teo´ricos, y
ejercicios paraprofundizaren losmismos.
El texto presenta numerosos gra´ficos en color y tres animaciones. Estas ani-
maciones so´lo se pueden visualizar con el ordenador y con el programa Adobe
Acrobat.
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Miguel Barreda / J. A. López - ISBN: 978-84-693-422-3 6 Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Parte II - UJI
Notacio´n
La notacio´n que emplearemos en este material es la esta´ndar en matema´ticas.
DesignaremosporN al conjuntodelosnu´merosnaturales
N = 1,2,3,4,...
{ }
porZal conjuntodelosnu´merosenteros
Z = ..., 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,...
{ − − − − }
porQ alconjuntodelosnu´merosracionales
Q = m/n : m Z,n N
{ ∈ ∈ }
y porR al conjuntodelosnu´merosreales.
Elrestodelanotacio´nempleadaseira´ introduciendoencadaunodelostemas.
Miguel Barreda / J. A. López - ISBN: 978-84-693-422-3 7 Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Parte II - UJI
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Parte II: Cálculo Diferencial
e Integral
Miguel Barreda / J. A. López - ISBN: 978-84-693-422-3 8 Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Parte II - UJI
Tema 5
Funciones reales de una variable
5.1. Introduccio´n
En este tema vamos a estudiar las funciones reales de una variable real. En
concreto, empezaremos introduciendoel concepto del´ımitedesdeun puntode vis-
ta intuitivo, sin entrar en consideraciones formales que exceden las caracter´ısticas
de esta asignatura. A continuacio´n, abordaremos la nocio´n de funcio´n continua
apoya´ndonos en la representacio´n gra´fica y viendo que una funcio´n es continua
si el l´ımitecoincidecon el valordelafuncio´n.
Seguidamente,introduciremosladefinicio´ndefuncio´nderivableindicandoque
elconceptodederivadaseorigino´,enparte,porunproblemageome´trico:elproble-
madelatangente.Elhechodequelacontinuidadyladerivabilidaddeunafuncio´n
se definan medianteun l´ımite,nosha inducidoa incluiralgunas propiedadesdelos
l´ımitesyacompletarlascon las tablasdeindeterminaciones.
Finalizamos el tema con algunas aplicaciones de la derivada, centra´ndonos en
los problemasdema´ximosym´ınimos,y en larepresentacio´ngra´fica defunciones.
5.2. Definicio´n
Una funcio´n real de variable real es una aplicacio´n f : I R definida en
−→
un subconjunto I del conjunto de los nu´meros reales R, que toma valores en R; es
decir, a cadax I lecorrespondeunu´nicovalorf(x) R.
∈ ∈
Ejemplo 5.2.1
La funcio´n f : R R que a cada x R le hace corresponder f(x) = x2, es una
−→ ∈
funcio´n real devariablereal. Por ejemplo:
f(3) = 9, f(4) = 16
�
Cuando nohayaconfusio´n,lafuncio´nreal devariablereal anteriorladenotare-
mosporf(x), indicandocua´l es suvariable,en estecaso x.
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