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Fundamentos de Matemáticas
Matemáticas I
Ana María Díaz Hernández
Luis Manuel Ruiz Virumbrales
Luis Tejero Escribano
Daniel Franco Leis
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SANZ y TORRES
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS. MATEMÁTICAS 1
No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la
transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia,
por registro u otros medios, sin el permiso previo y por escrito de los editores.
© Ana María Díaz Hernández
Luis Manuel Ruiz Virumbrales
Luis Tejero Escribano
Daniel Franco Leis
© EDITORIAL SANZ y TORRES, S. L.
Pinos Alta, 49 - 28029 Madrid
Teléfs.: 902400415 - 91 3148782
www.sanzytorres.com
li [email protected]
www.sanzytorres.comleditorial
[email protected]
ISBN: 84-96094-56-1
Depósito legal: M-33.493-2005
Portada:
Ei2 Imagen Global, Plaza Santa Bárbara, 8, 4° dcha., 28004 Madrid
Composición:
Caslon, S. L., el Matilde Hernández, 31, 3° A, 28019 Madrid
Impresión:
Edigrafos, S. A., cl Volta, 2, PoI. Ind. San Marcos, 28906 Getafe (Madrid)
Encuadernación:
Felipe Méndez, S. A., cl Del Carbón, 6 y 8, PoI. Ind. San José de Valderas 2, 28918 Leganés (Madrid)
INTRODUCCIÓN ............................................................................................. IX
Capítulo 1
ESPACIOS VECTORIALES
l.l. El cuerpo de los números reales: ~ .......... ....... ... ....... ....... .................. 1
1.2. Espacios vectoriales ........................................................................... 10
1.3. Subespacios vectoriales ..................................................................... 19
1.4. Sistemas de generadores .................................................................... 26
1.5. Transformaciones en sistemas de generadores. Espacios vectoriales
finitos. Bases ...................................................................................... 36
l.6. Dimensión de los subespacios de un espacio vectorial finito ............. 46
Capítulo 2
APLICACIONES LINEALES, MATRICES Y DETERMINANTES
2.l. Aplicaciones lineales y matrices .......................... .............................. 57
2.2. Los espacios vectoriales de las aplicaciones lineales y de las matrices .. 65
2.3. Composición de aplicaciones lineales y producto de matrices ........... 72
2.4. Anillos de endomorfismos y matrices cuadradas ................................ 81
2.5. Determinante de una matriz cuadrada ................................................ 96
2.6. Cálculo de la matriz inversa ............................................................... 105
VII
índice general
Capítulo 3
DIAGONALlZACIÓN DE MATRICES. FORMAS DE JORDAN
3.1. Matrices semejantes ............................................................................ 117
3.2. Valores y vectores propios .................................................................. 123
3.3. Diagonalización de matrices ............................................................... 131
3.4. Diagonalización de matrices simétricas .............................................. 140
3.5. Matrices de Jordan .............................................................................. 148
Capítulo 4
FORMAS BILlNEALES y FORMAS CUADRÁTICAS
4.1. Formas bilineales .............................................. ....... ......... .................. 161
4.2. Formas cuadráticas ............................................................................. 169
4.3. Clasificación de las formas cuadráticas .............................................. 177
4.4. Cónicas ............................................................................................... 187
4.5. Cuádricas ............................................................................................ 198
Capítulo 5
FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL
5.1. Conjuntos acotados. Axioma del supremo .......................................... 215
5.2. Sucesiones .......................................................................................... 220
5.3. Series .................................................................................................. 234
5.4. Límites de funciones ........................................................................... 244
5.5. Funciones continuas ........................................................................... 255
5.6. Derivada de una función. Propiedades ................................................ 259
Capítulo 6
EL TEOREMA DE TAYLOR. APLICACIONES
6.1. Teoremas de Rolle y del valor medio .................................................. 275
6.2. Derivadas sucesivas ............................................................................ 282
VIII
índice general
6.3. El teorema de Taylor ........................................................................... 286
6.4. Extremos absolutos... ........... ....... ............ ........ ....... .................. ........... 299
6.5. Extremos relativos .............................................................................. 305
6.6. Concavidad y convexidad ................................................................... 312
Capítulo 7
LA INTEGRAL DE RIEMANN
7.1. Definición de la integral de Riemann .................................................. 321
7.2. Propiedades de la integral .. ...... ............ ................ .................. ........ ..... 331
7.3. Teoremas fundamentales del cálculo integral...................................... 336
7.4. Métodos elementales de integración ................................................... 343
7.5. Integración por partes .. ........ ........ .......... ........ .......... ................ ........... 353
7.6. Integración de funciones racionales. Método de Hermite ................... 363
Capítulo 8
SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES
8.1. Sucesiones de funciones. Convergencia puntual ................................. 381
8.2. Convergencia uniforme. Condición de Cauchy ................................... 385
8.3. Series de funciones ............................................................................. 398
8.4. Continuidad, integración y derivación ........ .......... ........ ...... ................ 400
8.5. Series de potencias. Radio de convergencia ........................................ 404
8.6. Diferenciación e integración de series de potencias ............................ 412
ÍNDICE ANALÍTICO .................................................................................. 417
IX
El objetivo de este texto es el estudio de las nociones de Álgebra y Cálculo Infi
nitesimal que todo alumno de enseñanzas técnicas debe manejar con soltura.
Desde luego, el temario contenido en los ocho capítulos de este libro es ambicio
so, sobre todo porque se debe impartir durante un cuatrimestre. Ello nos ha llevado a
centrarnos en los resultados fundamentales y eliminar los menos importantes. Tam
bién hemos decidido prescindir de la mayoría de las demostraciones y así tener más
tiempo para los ejemplos que aparecen sin cesar a lo largo de todo el libro.
Los cuatro primeros capítulos están dedicados al Álgebra y los cuatro siguientes
al Cálculo Infinitesimal. Cada capítulo está dividido en secciones en las que las defi
niciones y las propiedades vienen destacadas mediante un recuadro. Al final de cada
sección el lector encontrará un recordatorio que llamará su atención sobre algunos de
los hechos más relevantes presentados en la sección.
Los cuatro primeros capítulos han sido elaborados conjuntamente por Ana María
Díaz Hemández y Luis Tejero Escribano. Los capítulos 5 y 6 han sido escritos por
Daniel Franco Leis. Mientras que los dos últimos capítulos han sido elaborados por
Luis Manuel Ruiz Virumbrales.
Ana María Díaz Hemández
Daniel Franco Leis
Luis Manuel Ruiz Virumbrales
Luis Tejero Escribano
XI
