Fundamentos da Teoria Ergódica

556 Pages·2014·3.948 MB·Portuguese

by  Marcelo Viana, Krerley Oliveira

Fundamentos da Teoria Ergo´dica
Krerley Oliveira e Marcelo Viana
ii
Pref´acio
Em termos simples, a Teoria Ergo´dica ´e a disciplina matem´atica que estuda
sistemas dinˆamicos munidos de medidas invariantes. Come¸caremos por dar as
defini¸co˜es precisas destas no¸co˜es e por analisar as principais motivac¸o˜es para o
seu estudo, ap´os o que mencionaremos alguns momentos marcantes da hist´oria
desta disciplina. Ao final do prefa´cio esboc¸aremos o conteu´do deste livro e a
sua organizac¸a˜o,bem como os requisitos desej´aveis para o seu estudo.
Sistemas dinˆamicos
Ha´ v´ariasdefini¸co˜es, mais oumenosgerais,do que´eum sistema dinˆamico. No´s
nos restringiremos a dois modelos principais. O primeiro deles, ao qual nos
referiremos na maior parte do tempo, s˜ao as transformac¸o˜es f : M M em
→
algum espa¸co M. Heuristicamente, pensamos em f como associando a cada
estado x M do sistema o estado f(x) M em que o sistema se encontrar´a
∈ ∈
uma unidade de tempo depois. Trata-se portanto de um modelo de dinˆamica
com tempo discreto.
Tamb´emconsideraremosfluxos,ques˜aomodelosdesistemasdinˆamicoscom
tempocont´ınuo. LembrequeumfluxoemM ´euma fam´ıliaft :M M,t R
→ ∈
de transformac¸o˜es satisfazendo
f0 = identidade e ft fs =ft+s para todo t,s R. (0.0.1)
◦ ∈
Fluxos aparecem, por exemplo, associados a equa¸co˜es diferenciais: tome como
ft a transformac¸a˜o que associa a cada ponto x o valor no tempo t da solu¸ca˜o
da equa¸ca˜o que passa por x no tempo zero.
Num caso e no outro, sempre suporemos que o sistema dinˆamico ´e men-
sura´vel, ou seja, que o espa¸co M esta´ munido de uma σ-´algebra de subconjun-
tos ditos mensura´veis e que essa σ-´algebra ´e preservada pela dinˆamica: a pr´e-
imagem de qualquer conjunto mensur´avel tamb´em ´e um conjunto mensur´avel.
Na maior parte dos casos, M ser´a um espa¸co topol´ogico, ou at´e um espa¸co
m´etrico,munidodamenorσ-´algebraquecont´emtodososabertos(σ-´algebrade
Borel). De fato, em muitas das situac¸o˜es que consideraremosao longo do livro,
suporemos mesmo que M ´e uma variedade e que a dinˆamica ´e diferencia´vel.
iii
iv
Medidas invariantes
Sempreconsideraremosmedidasµdefinidanaσ-´algebradoespa¸coM. Dizemos
que µ ´e uma probabilidade se µ(M)=1. Na maior parte dos casos trataremos
com medidas finitas, isto ´e, tais que µ(M) < . Neste caso sempre podemos
∞
transformar µ numa probabilidade ν: para isso basta definir
µ(E)
ν(E)= para cada conjunto mensur´avel E M.
µ(M) ⊂
Em geral, uma medida µ diz-se invariante pela transformac¸a˜o f se
µ(E)=µ(f−1(E)) para todo conjunto mensur´avel E M. (0.0.2)
⊂
Heuristicamente,istosignificaqueaprobabilidadedeumpontoestarnumdado
conjunto ´e igual `a probabilidade de que a sua imagem esteja nesse conjunto.
Note que a defini¸ca˜o (0.0.2) faz sentido, uma vez que, por hip´otese, a pr´e-
imagem de qualquer conjunto mensur´avel ainda´e um conjunto mensur´avel.
No caso de fluxos, substitu´ımos a rela¸ca˜o (0.0.2) por
µ(E)=µ(f−t(E)) para todo mensur´avel E M e todo t R. (0.0.3)
⊂ ∈
Por que estudar medidas invariantes?
ComoemtodoramodaMatema´tica,parteimportantedamotivac¸˜ao´eintr´ınseca
e est´etica: estas estruturas matem´aticas tˆem propriedades profundas e surpre-
endentes que conduzem `a demonstra¸ca˜o de bel´ıssimos teoremas. Igualmente
fascinante, id´eias e resultados da Teoria Ergo´dica se aplicam em outras ´areas
da Matema´tica que a priori nada tˆem de probabil´ıstico, por exemplo a Combi-
nat´oria e a Teoria dos Nu´meros.
Outra raza˜o para este estudo ´e que muitos fenˆomenos importantes na Na-
tureza e nas ciˆencias experimentais s˜ao modelados por sistemas dinˆamicos que
deixaminvariantealgumamedidainteressante. Oexemplomaisimportante,his-
toricamente, veio da F´ısica: sistemas hamiltonianos, que descrevem a evoluc¸a˜o
de sistemas conservativos na mecˆanica newtoniana, correspondem a fluxos que
preservam uma medida natural, a medida de Liouville. Ali´as veremos que sis-
temas dinˆamicos muito gerais possuem medidas invariantes.
Ainda outra motivac¸a˜ofundamentalparaque nos interessemospor medidas
invariantes ´e que o seu estudo pode conduzir a informa¸ca˜o importante sobre
o comportamento dinˆamico do sistema, que dificilmente poderia ser obtida de
outro modo. O Teorema de Recorrˆencia de Poincar´e, um dos primeiros que
estudaremos neste livro, ilustra bem o que acabamos de dizer: ele afirma que a
´orbita de quase todo ponto, relativamente a qualquer medida invariante finita,
regressa arbitrariamente perto do ponto inicial.
Breve apresenta¸c˜ao histo´rica
Apalavraerg´odico ´eoresultadodaconcatenac¸a˜odeduaspalavrasgregas,ergos
= trabalho e odos = caminho, e foi introduzida pelo f´ısico L. Boltzmann, no
v
s´eculo19,noseutrabalhosobreateoriacin´eticadosgases. Ossistemasemque
L. Boltzmann, J. C. Maxwell, J. C. Gibbs, os principais fundadores da teoria
cin´etica,estavaminteressadoss˜aodescritospor umfluxohamiltoniano,ouseja,
uma equa¸ca˜o diferencial da forma
dq dq dp dp ∂H ∂H ∂H ∂H
1 n 1 n
,..., , ,..., = ,..., , ,..., .
dt dt dt dt ∂p ∂p −∂q −∂q
(cid:18) (cid:19) (cid:18) 1 n 1 n(cid:19)
Boltzmannacreditavaqueas´orbitast´ıpicasdofluxopreenchemtodaasuperf´ıcie
de energiaH−1(c) que as cont´em. A partir desta hip´otese erg´odica, ele deduziu
queasm´ediastemporaisdegrandezasobserv´aveis(fun¸co˜es)aolongode´orbitas
t´ıpicas coincidem com as respectivas m´edias espaciais na superf´ıcie de energia,
um fato crucial para a sua formulac¸a˜o da teoria cin´etica.
De fato, esta hip´otese ´e claramente falsa e, com o tempo, tornou-se usual
chamar hip´otese ergo´dica ao que seria uma consequˆencia dela, a saber, que
as m´edias temporais e espaciais s˜ao iguais. Sistemas para os quais vale esta
igualdade foram chamados erg´odicos. E pode dizer-se que boa parte da Teoria
Ergo´dica, tal como ela se desenvolveu ao longo do s´eculo 20, foi motivada pelo
problema de decidir se a maioria dos sistemas hamiltonianos, especialmente
aqueles que aparecem na teoria cin´etica dos gases, s˜ao ergo´dicos ou na˜o.
Um avan¸co fundamental ocorreunos anos trinta, quando os matem´aticos J.
von Neumann e G. D. Birkhoff provaram que m´edias temporais existem para
quase toda ´orbita. No entanto, em meados dos anos cinquenta, o grande ma-
tem´atico russo A. N. Kolmogorov observou que muitos sistemas hamiltonianos
na˜o s˜ao ergo´dicos. Este resultado espectacular foi muito expandido por V. Ar-
noldeporJ.Moser,noqueveioaserchamadoteoriaKAMemhomenagemaos
trˆes.
Por outro lado, ainda nos anos trinta, E. Hopf tinha dado os primeiros
exemplos importantes de sistemas hamiltonianos ergo´dicos, os fluxos geod´esi-
cos de superf´ıcies com curvatura negativa. O seu resultado foi generalizado
por D. Anosov, nos anos sessenta, para variedades de qualquer dimens˜ao. De
fato, Anosov tratou uma classe bem mais geral de sistemas, tanto com tempo
cont´ınuo como com tempo discreto, que s˜ao chamados sistemas de Anosov, ou
sistemas globalmente hiperbo´licos. Uma classe ainda mais ampla de sistemas,
chamadosuniformementehiperbo´licos,foiintroduzidaporS.Smale,econstituiu
um importante foco da teoria dos Sistemas Dinaˆmicos ao longo das u´ltimas
d´ecadas.
Nos anos setenta, Ya. Sinai desenvolveu a teoria das medidas de Gibbs dos
sistemasdeAnosov,conservativosoudissipativos,quefoilogoemseguidaesten-
dida por D. Ruelle e por R. Bowen para sistemas uniformemente hiperbo´licos,
constituindo uma das maiores realizac¸o˜es da teoria ergo´dica diferencia´vel. Na˜o
podemos deixar de mencionar,nesta breve lista de contribui¸co˜es fundamentais,
a introduc¸a˜o da no¸ca˜o de entropia por Kolmogorov e Sinai no final dos anos
cinquenta, e a demonstra¸ca˜o,por D. Ornstein cerca de dez anos depois, de que
aentropia´euminvariantecompletoparadeslocamentos(“shifts”)deBernoulli:
dois deslocamentos de Bernoulli s˜ao equivalentes se, e somente se, eles tˆem a
mesma entropia.
vi
Histo´rico sucinto
Este livro foi desenvolvido a partir de notas de curso que escrevemos para os
participantes de minicursos ministrados na Escola de Ver˜ao do Departamento
de Matema´tica da Universidade Federal de Pernambuco (Recife), em janeiro
de 2003, e do encontro Novos Talentos em Matema´tica da Funda¸ca˜o Calouste
Gulbenkian (Lisboa), em setembro de 2004.
Nos dois casos, o pu´blico estava formado majoritariamente por alunos jo-
vens que na˜o tinham contato pr´evio com a Teoria Ergo´dica (em muitos casos
nem mesmo com a Teoria da Medida) e tornava-se necess´ario fornecer material
bastante acess´ıvel que permitisse a esses alunos acompanhar minimamente as
ideias principais a serem expostas. Ainda neste esta´gio, o texto foi utilizado
por colegas, tais como o professor Vanderlei Horita (UNESP), para ministrar
minicursos a pu´blicos com um perfil semelhante.
Aolongododesenvolvimentodotexto,buscamospreservarocar´aterelemen-
tardoscap´ıtulosiniciais,especialmenteosCap´ıtulos1e2,detalformaqueeles
possamserutilizadosdeformaindependente,comumm´ınimodepr´e-requisitos.
Sobretudo a partir do minicurso ministrado no Col´oquio Brasileiro de Ma-
tem´atica (IMPA, Rio de Janeiro)de 2005,este projeto foi adquirindo objetivos
mais abrangentes. Gradualmente, fomos evoluindo para tentar apresentar num
texto coerente, com formato de livro de texto, o material que consideramos
formaronu´cleocentraldaTeoriaErgo´dica. Paraissonosinspiramosfortemente
nanossapr´opriaexperiˆenciacomopesquisadoresda´area,buscandoreunirnuma
apresenta¸ca˜o unificada as no¸co˜es e resultados que se mostraram importantes
para o extraordin´ario desenvolvimento que esta ´area tem vivido nas u´ltimas
d´ecadas.
Umapreocupac¸a˜oimportantefoitentarmanterotextoomaisposs´ıvelauto-
contido. De fato, a Teoria Ergo´dica se apoia em diversas disciplinas da Ma-
tem´atica, com destaque para a Teoria da Medida, a Topologia e a An´alise. No
Cap´ıtulo0 coligimosasprincipaisno¸co˜ese resultadosdestasdisciplinas ques˜ao
u´teis para o restante do texto. De um modo geral,as demonstra¸co˜ess˜ao omiti-
das, j´a que existem diversos excelentes textos sobre estes temas. Uma exce¸ca˜o
s˜ao os resultados sobre medidas em espa¸cos m´etricos (Se¸ca˜o 0.3), para as quais
optamos por incluir provas dos fatos que mais nos interessam.
Por outro lado, pressupomos que o leitor conhece os conceitos e resultados
fundamentais da A´lgebra Linear, inclusive a forma canˆonica de Jordan.
Organiza¸c˜ao do texto
O corpo principal do livro esta´ formado pelos Cap´ıtulos 1 a 12, que podem ser
organizados do seguinte modo:
OsCap´ıtulos1a4formamumaesp´eciedecicloba´sico,noqualapresenta-
•
mosasno¸co˜eseresultadosfundamentaisdaTeoriaErgo´dica-invariˆancia,
recorrˆencia e ergodicidade - bem como alguns exemplos principais. O
Cap´ıtulo 3 introduz os resultados fundamentais (teoremas ergo´dicos) em
torno dos quais esta´ constitu´ıda toda a teoria.
vii
OCap´ıtulo4,ondeintroduzimosano¸ca˜odeergodicidade,´eumdospontos
•
fulcraisdestetexto. Osdoiscap´ıtulosseguintes(Cap´ıtulos5e6)desenvol-
vemalgunstemasimportantesrelacionadoscomessano¸ca˜o: decomposi¸ca˜o
de medidas invariantes em medidas ergo´dicas e sistemas admitindo uma
u´nica medida invariante.
Os Cap´ıtulos 7 a 9 tratam temas bastante diversos - perda de mem´oria,
•
problemadoisomorfismoeentropia-masseestruturamdeformacoerente
em torno da ideia de estudar sistemas cada vez mais ‘cao´ticos’: sistemas
misturadores,sistemascomespectrodeLebesgue,sistemasdeKolmogorov
e sistemas de Bernoulli.
OCap´ıtulo9´eoutropontofulcraldotexto. Al´emdeapresentarano¸ca˜ode
•
entropia,buscamosdaraoleitor a oportunidadede observareste conceito
riqu´ıssimo sob diversos pontos de vista. Essa teoria se articula natural-
mente com o conteu´do do Cap´ıtulo 10, onde desenvolvemos a vertente
topol´ogica da no¸ca˜o de entropia.
Os Cap´ıtulos 11 e 12 s˜ao dedicados a uma classe paradigm´atica de sis-
•
temas, as transformac¸o˜es expansoras, que nos permitem exibir uma apli-
ca¸ca˜o concreta (e espetacular!) de muitas das ideias gerais apresentadas
ao longo do texto. Vemos o Teorema de Ruelle e suas aplica¸co˜es como o
culminar natural de todo o texto.
Exemplos e aplica¸co˜es tˆem um papel fundamental em qualquer disciplina
matem´atica e isso ´e particularmente verdade no caso da Teoria Ergo´dica. Por
esta raza˜o,dedicamos particular atenc¸a˜o `a apresenta¸ca˜o de situac¸o˜es concretas
que ilustram e valorizam os resultados gerais. Tais exemplos e constru¸co˜es s˜ao
introduzidos gradativamente, buscando para cada um o contexto que melhor
real¸caasuarelevˆancia. Tipicamente,elesreaparecememcap´ıtulossubsequentes
para ilustrar os conceitos fundamentais que vamos introduzindo.
Os exerc´ıcios incluidos em cada se¸ca˜o tˆem uma func¸a˜o tripla. Num n´ıvel
maisrotineiro,elespermitemadquirirfamiliaridadecomosconceitoseousodos
resultados apresentados no texto. Tamb´em deixamos para os exerc´ıcios alguns
argumentosedemonstra¸co˜esquena˜os˜aousadosnasequˆenciadotextoe/ouque
pertencem a ´areas afins mais elementares (Topologia, Teoria da Medida etc).
Finalmente, exerc´ıcios mais sofisticados testam a compreens˜ao global da teoria
apresentada. Parafacilidadedoleitor,numase¸ca˜oaofinaldolivroapresentamos
solu¸co˜es mais ou menos detalhadas de todos os exerc´ıcios.
Como utilizar este livro
Os comenta´riosa seguir se destinam, prioritariamente,ao leitor que vaiutilizar
este livro para ministrar um curso.
OCap´ıtulo0constituifontedereferˆenciasparamaterialqueprecedeocurso.
Emprinc´ıpio,elena˜oser´aobjetodeapresenta¸ca˜oemaula,excetopontualmente,
em caso de necessidade.
viii
O conteu´do dos Cap´ıtulos 1 a 12 ´e adequado para um curso anual, ou
uma sequˆencia de dois cursos semestrais. Se o leitor disp˜oe desse tempo, po-
dera´ tentar cobrir a grande maioria do material, possivelmente reservando al-
guns to´picos para semin´arios apresentados pelos alunos. As seguintes se¸co˜es
s˜ao especialmente adequadas para esse fim: Se¸ca˜o 1.5, Se¸ca˜o 2.5, Se¸ca˜o 3.4,
Se¸ca˜o 4.4, Se¸ca˜o 6.4, Se¸ca˜o 7.3, Se¸ca˜o 7.4, Se¸ca˜o 8.3 Se¸ca˜o 8.4, Se¸ca˜o 8.5,
Se¸ca˜o 9.5, Se¸ca˜o 9.7, Se¸ca˜o 10.4, Se¸ca˜o 10.5, Se¸ca˜o 11.1, Se¸ca˜o 11.3, Se¸ca˜o 12.3
e Se¸ca˜o 12.4. Neste formato, o teorema de Ruelle (Teorema 12.1) constitui a
conclus˜ao natural para o curso.
Caso o leitor disponha apenas de um semestre, ser´a necess´ario selecionar o
material mais fundamental para apresenta¸ca˜o em aula. A sugest˜ao dos autores
´e buscar cobrir o seguinte programa:
Cap´ıtulo 1: Se¸co˜es 1.1, 1.2 e 1.3.
•
Cap´ıtulo 2 Se¸co˜es 2.1 e 2.2.
•
Cap´ıtulo 3: Se¸co˜es 3.1, 3.2 e 3.3.
•
Cap´ıtulo 4: Se¸co˜es 4.1, 4.2 e 4.3.
•
Cap´ıtulo 5: Se¸ca˜o 5.1 (mencionar o teorema de Rokhlin).
•
Cap´ıtulo 6: Se¸co˜es 6.1, 6.2 e 6.3.
•
Cap´ıtulo 7: Se¸co˜es 7.1 e 7.2.
•
Cap´ıtulo 8: Se¸ca˜o 8.1 (mencionar o teorema de Ornstein).
•
Cap´ıtulo 9: Se¸co˜es 9.1, 9.2, 9.3 e 9.4.
•
Cap´ıtulo 10: Se¸co˜es 10.1 e 10.2.
•
Cap´ıtulo 11: Se¸ca˜o 11.1.
•
Neste formato, o curso podera´ ser encerrado com a demonstra¸ca˜o do princ´ıpio
variacional para a entropia (Teorema 10.1) ou com a constru¸ca˜o de medidas
invariantes absolutamente cont´ınuas para transformac¸o˜es expansoras em varie-
dades (Teorema 11.1.2).
Em qualquer dos casos, procuramos elaborar o texto de tal forma que o
professor possa se concentrar na apresenta¸ca˜o das ideias e resultados centrais,
deixando a cargo do aluno estudar por si mesmo muitas das demonstra¸co˜es e
resultadoscomplementares. Ase¸ca˜ofinal,comasdicasesolu¸c˜oesdosexerc´ıcios,
´epartedesseesfor¸coparafacilitaroestudoautˆonomodoaluno. Defato,dedica-
mosbastanteesfor¸coafazerqueasdemonstra¸co˜essejamamiga´veis,detalhando
cuidadosamente os argumentos e incluindo referˆencias expl´ıcitas aos resultados
anteriores que esta˜o sendo utilizados, bem como aos pontos do texto onde as
no¸co˜espertinentesforamintroduzidas. Al´emdisso,apardapresenc¸aregularde
exemplosedosexerc´ıciosaofinaldecadase¸ca˜o,na˜ohesitamosemapresentara
mesma no¸ca˜o de dois ou mais pontos de vista sempre que isso nos pareceu u´til
para a sua compreens˜ao em profundidade.
ix
Agradecimentos
A elaborac¸a˜o deste texto se estendeu por mais de uma d´ecada. Ao longo desse
tempo recebemos sugest˜oes, comenta´rios e cr´ıticas construtivas de um grande
nu´mero de colegas e alunos. A lista que mencionamos a seguir esta´ certamente
incompleta e desde j´a nos desculpamos a qualquer um que tenha sido omitido
inadvertidamente.
A primeira vers˜ao das Se¸co˜es 0.1-0.2 foi escrita por Jo˜ao Gouveia, V´ıtor
Saraiva e Ricardo Andrade, os quais atuaram como monitores do minicurso no
evento Novos Talentos em Matema´tica 2004, que mencionamos previamente.
Diversos colegas utilizaram vers˜oes variadas do texto para ministrar mi-
nicursos e nos brindaram com as conclus˜oes de suas experiˆencias. Al´em de
VanderleiHorita(UNESP),NivaldoMuniz (UFMA) eMeysamNassiri(Teera˜),
gostar´ıamos de ressaltar os copiosos comenta´rios de V´ıtor Arau´jo (UFRJ e,
agora, UFBA), que influenciaram significativamente o modo como o texto foi
evoluindo. Franc¸ois Ledrappier (Paris) nos ajudou com algumas questo˜es rela-
tivas aos sistema resultantes de substitui¸co˜es.
Sucessivas gera¸co˜es de alunos dos cursos de po´s-gradua¸c˜ao do IMPA e da
UFAL nos facultaram testar o texto na sala de aula. O retorno dado por Aline
Gomes Cerqueira, ErmersonAraujo, Rafael Lucena e Xiao-Chuan Liu nos per-
mitiu corrigir muitas das debilidades do texto. Edileno de Almeida Santos,
Felippe Soares Guimar˜aes, Fernando Nera Lenarduzzi,´Italo Dowell Lira Melo,
Marco Vinicius Bahi Aymone e Renan Henrique Finder escreveram boa parte
das dicas para os exerc´ıcios dos Cap´ıtulos 0 a 8.
Krerley Oliveira 1 e Marcelo Viana 2
1Departamento de Matema´tica, Universidade Federal de Alagoas, Campus A. C. Sim˜oes
s/n,57072-090Maceio´,Brasil. [email protected].
2IMPA,EstradaD.Castorina110,22460-320RiodeJaneiro,Brasil. [email protected].
x