Table Of ContentB O U R B A K I
É L É M E N T S D E
MATHÉMATIQUE
N. BOURBAKI
É L É M E N T S D E
MATHÉMATIQUE
FONCTIONS
D’UNE
VARIABLE RÉELLE
Théorie élémentaire
123
Réimpressioninchangéedel’éditionorginalede1976
©Hermann,Paris,1976
©N.Bourbaki,1981
©N.BourbakietSpringer-VerlagBerlinHeidelberg2007
ISBN-10 3-540-34036-X SpringerBerlinHeidelbergNewYork
ISBN-13 978-3-540-34036-2 SpringerBerlinHeidelbergNewYork
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.
Mode d'emploi e ce traltef
NOUVELLE ÉDITION
1. Le traité prend les mathématiques à leur début, et donne des démonstrations
complètes. Sa lecture ne suppose donc, en principe, aucune connaissance mathéma-
tique particulière, mais seulement une certaine habitude du raisonnement mathéma-
tique et un certain pouvoir d'abstraction. Néanmoins, le traité est destiné plus
particulièrement à des lecteurs possédant au moins une bonne connaissance des
matières enseignées dans la première ou les deux premières années de l'université.
2. Le mode d'exposition suivi est axiomatique et procède le plus souvent du géné-
ral au particulier. Les nécessités de la démonstration exigent que les chapitres se
suivent, en principe, dans un ordre logique rigoureusement fixé, L'utilité de certaines
considérations n'apparaîtra donc au lecteur qu'à la lecture de chapitres ultérieurs, à
moins qu' il ne possède déjà des connaissances assez étendues.
3. Le traité est divisé en Livres et chaque Livre en chapitres. Les Livres actuelle-
ment publiés, en totalité ou en partie, sont les suivants:
Théorie des Ensembles désigné par E
Algèbre A
i'
Topologie générale TG
3)
Fonctions d'une variable réelle ,, FVK
Espaces vectoriels topologiques , EVT
y
Intégration INT
Y'
Algèbre commutative ,) AC
Variétés différentielles et analytiques )> VAR
Groupes et algèbres de Lie LIE
,? 1's
Théories spectrales
3'
Dans les six premiers Livres (pour l'ordre indiqué-ci dessus), chaque énoncé ne
fait appel qu'aux définitions et résultats exposés précédemment dans ce Livrc ou dans
ies Livres antérieurs. A partir du septième Livre, le lecteur trouvera éventuellement, au
début de chaque Livre ou chapitre, l'indication précise des autres Livres ou chapitres
utilisés (les six premiers Livres etant toujours supposés connus).
4. Cependant, quelques passages font exception aux règles précédentes Ils sont
*. . . .,
placés entre deux astérisques: Dans certains cas, il s'agit seulement de faciliter
la compréhension du texte par des exemples qui se réfèrent à des faits que le lecteur
peut déjà connaître par ailleurs. Parfois aussi, on utilise, non seulement les résultats
supposés connus dans tout le chapitre en cours, mais des résultats démontrés ailleurs
dans le traité. Ces passages seront employés librement dans les parties qui supposent
connus les chapitres où ces passages sont insérés et les chapitres auxquels ces passages
font appel. Le lecteur pourra, nous l'espérons, vérifier l'absence de tout cercle vicieux.
5. A certains Livres (soit publiés, soit en préparation) sont annexés des fasciculles
de résultats. Ces fascicules contiennent l'essentiel des définitions et des résultats du
Livre, mais aucune démonstration.
6. L'armature logique de chaque chapitre est constituée par les déjnitions, les
axiomes, et les théorèmes de ce chapitre; c'est là ce qu'il est principalement nécessaire de
retenir en vue de ce qui doit suivre. Les résultats moins importants, ou qui peuvent
être facilement retrouvés à partir des théorèmes, figurent sous le nom de proposi-
<(
tions r), (( lemmes s, ((corollaires> ><( r,e marques >>et,c ; ceux qui peuvent être omis en
première lecture sont imprimés en petits caractères. Sous le nom de scholie on
<( )),
trouvera quelquefois un commentaire d'un théorème particulièrement important.
Pour éviter des répétitions fastidieuses, on convient parfois d'introduire certaines
notations ou certaines abréviations qui ne sont valables qu'à l'intérieur d'un seul
chapitre ou d'un seul paragraphe (par exemple, dans un chapitre où tous les anneaux
considérés sont commutatifs, on peut convenir que le mot anneau signifie toujours
))
G anneau commutatif O). De telles conventions sont explicitement mentionnées à la
tête du chapitre dans lequel elles s'appliquent.
7. Certains passages sont destinés à prémunir le lecteur contre des erreurs graves,
où il risquerait de tomber; ces passages sont signalés en marge par le signe
(Qt ournant dangereux D).
8. Les exercices sont destinés, d'une part, à permettre au lecteur de vérifier qu'il a
bien assimilé le texte; d'autre part à lui faire connaître des résultats qui n'avaient pas
leur place dans le texte; les plus dificiles sont marqués du signe 11 .
9. La terminologie suivie dans ce traité a fait l'objet d'une attention particulière.
On s'est eforcé de nejamais s'écarter de la terminologie repe sans de très sérieuses raisons.
10. On a cherché à utiliser, sans sacrifier la simplicité de l'exposé, un langage
rigoureusement correct. Autant qu'il a été possible, les abus de langage ou de notation,
sans lesquels tout texte mathématique risque de devenir pédantesque et même illisible,
ont été signalés au passage.
1 1. Le texte étant consacré à l'exposé dogmatique d'une théorie, on n'y trouvera
qu'exceptionnellement des références bibliographiques; celles-ci sont groupées dans
des Notes historiques. La bibliographie qui suit chacune de ces Notes ne comporte le
plus souvent que les livres et mémoires originaux qui ont eu le plus d'importance dans
l'évolution de la théorie considérée; elle ne vise nullement à être complète.
Quant aux exercices, il n'a pas été jugé utile en général d'indiquer leur pro-
venance, qui est très diverse (mémoires originaux, ouvrages didactiques, recueils
d'exercices).
12. Dans la nouvelle édition, les renvois à des théorèmes, axiomes, définitions,
remarques, etc. sont donnés en principe en indiquant successivement le Livre (par
l'abréviation qui lui correspond dans la liste donnée au no 3), le chapitre et la page
où ils se trouvent. A l'intérieur d'un même Livre la mention de ce Livre est supprimée;
par exemple, dans le Livre d'Algêbre,
E, III, p. 32, cor. 3
renvoie au corollaire 3 se trouvant au Livre de Théorie des Ensembles, chapitre III,
page 32 de ce chapitre;
II, p. 23, Remarque 3
renvoie à la Remarque 3 du Livre d'Algèbre, chapitre II, page 23 de ce chapitre.
Les fascicules de résultats sont désignés par la lettre R; par exemple: EVT, R
signifie fascicule de résultats du Livre sur les Espaces vectoriels topologiques
(( )>.
Comme certains Livres doivent seulement être publiés plus tard dans la nouvelle
édition, les renvois à ces Livres se font en indiquant successivement le Livre, le
chapitre, le paragraphe et le numéro où se trouve le résultat en question; par exemple :
AC, III, 5 4, no 5, cor. de la prop. 6.
Au cas où le Livre cité a été modifié au cours d'éditions successives, on indique en
outre l'édition.
INTRODUCTION
L'objet de ce Livre est l'étude élémentaire des propriétés infinitésimales des
fonctions d'une variable réelle; l'extension de ces propriétés aux fonctions de
plusieurs variables réelles, ou, à plus forte raison, à des fonctions définies dans des
espaces plus généraux, ne pourra être traitée que dans des Livres ultérieurs.
Les propriétés que nous démontrerons sont surtout utilisées lorsqu'elles se
rapportent à des fonctions numériques (finies) d'une variable réelle; mais la plupart
s'étendent sans nouveau raisonnement aux fonctions d'une variable réelle pre-
nant leurs valeurs dans un espace vectoriel de dimensionjnie sur le corps R, et plus
généralement à des fonctions prenant leurs valeurs dans un espace vectoriel topo-
logique sur R (voir ci-dessous) ;c omme ces fonctions interviennent fréquemment en
Analyse, c'est pour elles que nous énoncerons toutes les propriétés qui ne sont pas
spéciales aux fonctions numériques.
La notion d'espace vectoriel topologique, dont nous venons de parler, est
définie et étudiée en détail au Livre V de ce Traité; mais dans le présent Livre, nous
n'aurons besoin d'aucun des résultats du Livre V; seules interviendront quelques
définitions que nous allons reproduire ci-dessous pour la commodité du lecteur.
Nous ne reviendrons pas sur la définition d'une espace vectoriel sur un corps
commutatif K (A, II, p. 3) .l Un espace vectoriel topologique E sur un coqs topologique K
l Les éléments (ou vecteurs) d'un espace vectoriel E sur un corps commutatif K seront notés
d'ordinaire dans ce chapitre par des minuscules grasses, les scalaires par des minuscules latines; le
plus souvent, nous noterons à droite le scalaire t dans le produit par t d'un vecteur x, produit qui
s'écrira donc xt; éventuellement, nous nous permettrons toutefois d'utiliser la notation à gauche tx
dans certains cas où elle sera plus commode; nous écrirons aussi parfois le prodüit du scalaire ljt
+
(t O) et du vecteur x sous la forme x/t.
FvR 1.10 INTRODUCTION
+
est un espace vectoriel sur K muni d'une topologie telle que les fonctions x y et
xt soient continues dans E x E et dans E x K respectivement; une telle topologie
est en particulier compatible avec la structure de groupe additif de E. Lorsque le
groupe topologique E est complet, on dit que l'espace vectoriel topologique E est
complet. Tout espace vectoriel normé sur un corps valué K (TG, IX, p. 31)l est un
espace vectoriel topologique sur K.
Soit E un espace vectoriel (muni ou non d'une topologie) sur le corps R des
nombres réels; si x, y sont deux points quelconques de E, on appelle segment
+
fermé d'extrémités x, y l'ensemble des points xt y(l - t) lorsque t parcourt
l'intervalle fermé (0, 1) de R. On dit qu'une partie A de E est convexe si, quels
que soient les points x, y de A, le segment fermé d'extrémités x et y est contenu
dans A. Par exemple, une variété linéaire affine est convexe; il en est de même
d'un segment fermé; dans Rn, un parallélotope (TG, VI, p. 3) est convexe.
Toute intersection d'ensembles convexes est un ensemble convexe.
On dit qu'un espace vectoriel topologique E sur le corps R est localement
convexe si l'origine (et par suite tout point de E) possède un système fondamental
de voisinages convexes. Tout espace normé E sur R est localement convexe; en effet,
<
les boules llxll r (r > O) forment un système fondamental de voisinages de O
<
dans E, et chacune d'elles est un ensemble convexe, car les relations llxll r,
<
llyll r entraînent
< <
pour O t 1. En particulier, les espaces numériques Rn sont localement
convexes.
Enfin, une algèbre topologique A sur un corps topologique (commutatif) K est une
+
algèbre sur K munie d'une topologie telle que les fonctions x y, xy et xt soient
continues dans A x A, A x A et A x K respectivement; lorsqu'on munit seule-
ment A de sa topologie et de sa structure d'espace vectoriel sur K, A est donc un
espace vectoriel topologique. Toute algèbre normée sur un corps vabé K (TG, IX,
p. 37) est une algèbre topologique sur K.
l On rappelle qu'une norme sur E est une fonction numérique llxll définie dans E, à valeurs
finies et 3 O, telle que la relation llxll = O soit équivalente à x = O et qu'on ait
IIx + YII < ll~ll+ llrll et llxtll = Ilxll.ltl
pour tout t E K (Itl étant la valeur absolue de t dans K).
CHAPITRE 1
Dérivées
Ainsi qu'il a été dit dans l'Introduction, nous étudierons dans ce chapitre et le
suivant les propriétés infinitésimales des fonctions définies dans une partie du
corps R des nombres réels, et prenant leurs valeurs dans un espace vectoriel topo-
logique E sur le corps R; nous dirons pour abréger qu'une telle fonction est une
fonction vectorielle d'une variable réelle. Le cas le plus important est celui où E = R
(fonctions numériques finies d'une variable réelle). Lorsque E = Rn, la con-
sid3ration dlung fonction vectorielle à valeursdans E revient-à la consid&ation
-
simultanée de n fonctions numériques finies.
Beaucoup des définitions et propriétés énoncées dans le chapitre 1 s'étendent aux
fonctions définies dans une partie du corps C des nombres complexes, et prenant leurs
valeurs dans un espace vectoriel topologique sur êI (fonctions vectorielles d'une
variable complexe). Certaines de ces définitions et propriété s'étendent même aux
fonctions définies sur une partie d'un corps fofiologiyue commutatif quelconque K,e t
prenant leurs valeurs dans un espace vectoriel topologique sur K.
Nous signalerons ces généralisations au passage (voir en particulier 1, p. 8,
Remarque 2), en insistant surtout sur le cas des fonctions d'une variable complexe, de
beaucoup le plus important avec celui des fonctions d'une variable réelle, et qui sera
étudié de manière plus approfondie dans un Livre ultérieur.
1. Dérivée d'une fonction vectorielle
DÉFINITION 1. - Soit f une fonction vectorielle déJinie dans un intervalle 1 c R, non
réduit à un point. On dit que f estdérjvable eB un point x, €1 si lim f (4 - f(_xo)
- - - - - - - - - x--t x~,xsI,-x +-x ~X - Xo
FVR 1.12 DÉRIVÉES $ 1
existe (dam l'espace vectoriel où f prend ses valeurs) ; la valeur de cette de limite s'appelle
.
dérivée première (ou simplement dérivée) de f au point x,, et se note f '(x,) ou Df (x,)
Si f est dérivable au point x,, il en est de même de la restriction de f à tout
intervalle J c 1, non réduit à un point et tel que x, E J, et la dérivée de cette res-
triction est égale à ff(x,). Réciproquement, soit J un intervalle contenu dans 1 et
contenant un voisinage de x, par rapport à I ; si la restriction de f à J admet une
dérivée au point x,, il en est de même de f.
On exprime ces propriétés en disant que la notion de dérivée est une notion locale.
*
Remarques. - 1) En Cinématique, si le point f (t) est la position d'un point mobile
*
dans l'espace R3 à l'instant t, f(t) - (tO) est ce qu'on appelle la vitesse moyenne du
t - to
mobile entre les instants to et t, et sa limite f1(t0)l a vitesse instantanée (ou simplement
,
vitesse) à l'instant to (lorsque cette limite existe).
2) Si une fonction î, définie dans 1, est dérivable en un point xo E 1, elle est néces-
sairement continue par rai-port à I en ce point.
DÉFINITION2. -Soit f une fonction vectorielle d@ie dans un intervalle 1 c R, et soit
x, un point de 1 tel que l'intervalle 1 n [x,, +KI[ (resp. 1 n ) -a, x,)) ne soit pas
réduit à un point. On dit que f est dérivable à droite (resp. à gauche) au point xo si la res-
triction de f à l'intervalle 1 n (x,, +KI( (resp. 1 n ) - co, x,)) est dérivable aupoint x,;
la valeur de la dérivée de cette restriction au point x,, s'appelle dérivée à droite (resp. à
gauche) de f aupoint x,, et se note fi (x,) (resp. fi (x,)).
Soit f une fonction vectorielle définie dans 1, x, un point intérieur à 1 et tel que f
soit continue en ce point; il résulte des déf. 1 et 2 que, pour que f soit dérivable au
point x,, il faut et il suffit que f admette en ce point une dérivée à droite et une
dérivée à gauche, et que ces dérivées soient égales; on a alors
f '(x,) = (x,) = fi (x,) .
Exemfiles. - 1) Une fonction constante a en tout point une dérivée nulle.
+
2) Une fonction linéaire affine x ++ ax b a en tout point une dérivée égale à a,
donc constante.
3) La fonction numérique l/x (définie pour x # 0) est dérivable en tout point
xo # O, car on a - i)/(x - 9)= --,1 et comme I/x est continue au point xo,
xxo
la limite de l'expression précédente est - l/x$
4) La fonction numérique 1x1, définie dans R, admet au point x = O une dérivée
+
à droite égale à 1 et une dérivée à gauche égale à - 1; e lle n'est donc pas dérivable
en ce point.
* 5) La fonction numérique égale à O pour x = 0, à x sin I/x pour x # 0, est
définie et continue dans R, mais elle n'admet ni dérivée à droite ni dérivée à gauche
au point x = O., On peut donner des exemples de fonctions continues dans un inter-
valle et n'ayant de dérivée en aucun point de l'intervalle (1, p. 42, exerc. 2 et 3).
DÉFINITION3. - On dit qu'une fonction vectorielle f dgnie dans un intervalle 1 c R
est dérivable (resp. dérivable à droite, dérivable à gauche) dans 1 si elle est dérivable (resp.
