Table Of ContentFunctional Methods in Condensed
1
Matter Theory
Alexander Altland & Ben Simons
ii
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Contents
1 From Particles to Fields 1
1.1 Classical Harmonic Chain: Phonons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Lagrangian Formulation and Equations of Motion . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Hamiltonian Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Functional Analysis and Variational Principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Maxwell’s Equations as a Variational Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Quantum Chain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.1 Revision of the Quantum Harmonic Oscillator . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.2 Quasi-Particle Interpretation of the Quantum Chain . . . . . . . . . . . . 22
1.5 Quantum Electrodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.1 Waveguide Quantisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6 Noether’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6.1 Symmetry Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6.2 Example: Translational Invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.7 Summary and Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.8 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.8.1 Electrodynamics from a Variational Principle . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.8.2 Hamiltonian of Electromagnetic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.8.3 Phonon specific heat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.8.4 Van der Waals Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2 Second Quantisation 37
2.1 Introduction to Second Quantisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.2 The Apparatus of Second Quantisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2 Applications of Second Quantisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.1 Electrons in a Periodic Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.2 Interaction Effects in the Tight–Binding System . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2.3 Mott–Hubbard Transition and the Magnetic State . . . . . . . . . . . . . 57
2.2.4 Interacting Fermions in One Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.2.5 Quantum Spin Chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.3 Summary and Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.4 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.4.1 Stone-von Neumann Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.4.2 Semi–classical Spin Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
iii
iv CONTENTS
2.4.3 Su-Shrieffer–Heeger Model of a conducting polymer chain . . . . . . . . . 80
2.4.4 Schwinger boson representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.4.5 Jordan-Wigner Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.4.6 Spin–charge separation in one–dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.4.7 The Kondo Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3 Feynman Path Integral 89
3.1 The Path Integral: General Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.2 Construction of the Path Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.2.1 Path Integral and Statistical Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.2.2 Semiclassics from the Path Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.2.3 Construction Recipe of the Path Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.3 Applications of the Feynman Path Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.3.1 Quantum Particle in a Well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.3.2 Double Well Potential: Tunneling and Instantons . . . . . . . . . . . . . 108
3.3.3 Tunneling of Quantum Fields: ‘Fate of the False Vacuum’ . . . . . . . . 117
3.3.4 Tunneling in a Dissipative Environment . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.3.5 Path Integral for Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.3.6 Trace Formulae and Quantum Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.4 Summary and Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.5.1 Quantum Harmonic Oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.5.2 Density Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.5.3 Depinning Transition and Bubble Nucleation . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.5.4 Tunneling in a Dissipative Environment . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.5.5 Winding Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.5.6 Particle in a Periodic Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4 Functional Field Integral 147
4.1 Construction of the Many–body Path Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.1.1 Coherent States (Bosons) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.1.2 Coherent States (Fermions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.2 Field Integral for the Quantum Partition Function . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.2.1 Partition Function of Non–Interacting Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4.3 Field Theoretical Bosonization: A Case Study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.3.1 One–Dimensional Electron Gas (Fermionic Theory) . . . . . . . . . . . . 165
4.3.2 One–Dimensional Electron Gas (Bosonic Theory) . . . . . . . . . . . . . 167
4.4 Summary and Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.5.1 Exercises on Fermion Coherent States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.5.2 Feynman path integral from the Functional Field Integral . . . . . . . . . 174
4.5.3 Quantum Partition Function of the Harmonic Oscillator . . . . . . . . . 174
4.5.4 Boson–fermion duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.5.5 Frequency summations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.5.6 Pauli paramagnetism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
CONTENTS v
4.5.7 Electron–phonon coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.5.8 Disordered Quantum Wires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5 Perturbation Theory 183
5.1 General Structures and Low–Order Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.1.1 An Instructive Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.1.2 φ4–Theory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.1.3 Perturbation Theory at Low Orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5.2 Ground state energy of the interacting electron gas . . . . . . . . . . . . . . . . 197
5.2.1 Qualitative Aspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
5.2.2 Perturbative Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5.3 Infinite Order Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.3.1 Self Energy Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.3.2 Large N Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
5.4 Summary and Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.5 Problem Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5.5.1 Green functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5.5.2 Technical aspects of diagrammatic perturbation theory . . . . . . . . . . 218
5.5.3 Self Consistent T–Matrix Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
5.5.4 Kondo Effect: Perturbation Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
6 Broken Symmetry and Collective Phenomena 227
6.1 Mean-Field Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
6.2 Plasma Theory of the Interacting Electron Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
6.3 Bose–Einstein Condensation and Superfluidity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
6.3.1 Bose–Einstein Condensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
6.3.2 The Weakly Interacting Bose Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
6.3.3 Superfluidity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
6.4 Superconductivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.4.1 Basic Concepts of BCS Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.4.2 Cooper Instability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
6.4.3 Mean–Field Theory of Superconductivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
6.4.4 Superconductivity from the Field Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
6.4.5 Ginzburg–Landau Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
6.4.6 Action of the Goldstone Mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
6.4.7 Meissner Effect and Anderson–Higgs Mechanism . . . . . . . . . . . . . . 270
6.5 Field Theory of the Disordered Electron Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
6.5.1 Disorder in Metals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
6.5.2 Replica Field Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
6.5.3 Basic Notions of Impurity Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
6.5.4 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
6.5.5 Mean–field theory and spontaneous symmetry breaking . . . . . . . . . . 295
6.5.6 Low–energy field theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
6.6 Summary and Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
6.7 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
vi CONTENTS
6.7.1 Peierls Instability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
6.7.2 Temperature profile of the BCS gap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
6.7.3 Fluctuation Contribution to the Ginzburg–Landau Action of the Super-
conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
6.7.4 Coulomb blockade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
6.7.5 Action of a Tunnel Junction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
6.7.6 Josephson junction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
6.7.7 Field Theory of the BCS to BEC crossover . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
6.7.8 Metallic Magnetism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
6.7.9 Functional Bosonization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
7 Response Functions 331
7.1 Crash Course in Modern Experimental Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . 331
7.1.1 Basic Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
7.1.2 Experimental Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
7.2 Linear Response Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
7.2.1 Microscopic Response Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
7.3 Analytic Structure of Correlation Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
7.3.1 Sum Rules and Other Exact Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
7.4 Electromagnetic Linear Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
7.4.1 Longitudinal Conductivity of the Disordered Electron Gas . . . . . . . . 361
7.5 Summary and Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
7.6 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
7.6.1 Orthogonality Catastrophe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
7.6.2 RPA Dielectric Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
7.6.3 Electromagnetic response of a quantum dot . . . . . . . . . . . . . . . . 369
7.6.4 Hall conductivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
8 The Renormalization Group 375
8.1 The One–Dimensional Ising Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
8.1.1 Exact Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
8.1.2 Elements of Scaling Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
8.1.3 Kadanoff’s Block Spin RG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
8.2 Dissipative Quantum Tunneling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
8.3 Renormalization Group: General Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
8.3.1 Gell–Mann–Low Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
8.3.2 Analysis of the Gell–Mann–Low Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
8.3.3 Scaling Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
8.4 RG Analysis of the Ferromagnetic Transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
8.4.1 Preliminary Dimensional Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
8.4.2 Landau Mean–Field Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
8.4.3 Gaussian Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
8.4.4 Renormalization Group Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
8.5 RG analysis of the Nonlinear σ–model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
8.5.1 Field integrals over groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
CONTENTS vii
8.5.2 One-Loop expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
8.6 Berezinskii-Kosterlitz-Thouless Transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
8.6.1 Vortices and the Topological Phase Transition . . . . . . . . . . . . . . . 424
8.6.2 RG analysis of the BKT transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
8.7 Summary and Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
8.8 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
8.8.1 Dissipative Quantum Tunneling: Strong Potential Limit . . . . . . . . . 433
8.8.2 Quantum Criticality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
8.8.3 RG analysis of the non–linear σ model II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
8.8.4 Scaling theory of the Anderson Metal insulator transition . . . . . . . . . 443
8.8.5 Kondo Effect: Poor Man’s Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
9 Topology 451
9.1 Example: Particle on a Ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
9.2 Homotopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
9.2.1 Generalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
9.2.2 Examples of Homotopies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
9.3 θ–Terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
9.3.1 A case study: π (S2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
2
9.3.2 Functional integration and topological textures: generalities . . . . . . . 462
9.3.3 Spin Chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
9.3.4 Integer Quantum Hall Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
9.3.5 Field Theory of the Integer Quantum Hall Effect . . . . . . . . . . . . . 477
9.4 Wess–Zumino Terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
9.4.1 From θ– to Wess–Zumino terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
9.4.2 Example: magnetic moment coupled to fermions . . . . . . . . . . . . . . 501
9.4.3 Spin Chains: Beyond the Semi–classical Limit . . . . . . . . . . . . . . . 505
9.5 Chern–Simons Terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516
9.5.1 Fractional Quantum Hall Effect (FQHE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
9.5.2 Chern–Simons Field Theory: Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
9.5.3 Chern-Simons Field Theory II: Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
9.6 Summary and Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
9.7 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
9.7.1 Persistent current of a disordered ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
9.7.2 Working with the SU(N) Wess-Zumino term . . . . . . . . . . . . . . . . 537
9.7.3 Renormalization-Group Analysis of the SU(N) Wess-Zumino Model . . . 538
9.7.4 Fractional quantum Hall effect: physics at the edge . . . . . . . . . . . . 540
viii CONTENTS
List of Symbols
Sym. Meaning Sym. Meaning
X X–Fermi N normalization factor
F
f Fermi/Bose distribution function O prototype observable
f,b
Z (functional) partition function F (functional) free energy
D functional measure d space dimension
Re/ImX real/imaginary part of X sgnX signum of X
h.c. hermitian conjugate
ν DoS/Vol at E
F
f discrete argument p f(p) continuous argument p
p
R
P principal part
Table 1: List of Symbols
Preface
ix
x CONTENTS
