Table Of ContentM.L.Krasnov
·A. I. Kiselev
G. I. Makáreriko
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Cálculo operacional
Teoría de la estabilidad
Editorial MIR Moscú
.
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~~~:~>1Ma~.w~
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Traducido del ruso por
T. l. Shapovalova
impreso en la ·URSS
© MaAaTeJIMTBO «liayKa» ,. 1981
@ Traducci6n al español. Eiliiorial Mir. 1983
Prefacio
Capítulo I
Funciones de variable comp.leja
i § . i. Números complejos y operaciones con ellos
-i . § 2. Funciones de variable compleja
· , § 3. Límite. de sucesión de los números complejos. Límite
:
y continuidad de· una función de variable compleja
i . § 4. Diferenciación de funciones de variable compleja. Con-
1 .
dicioncs de Cauchy-Riemann
·
'
} :§ 5. Integración de. funciones de variable compleja . .
·• ''§ ·6. -Fórmula integral de· Cauchy
·
··¡:· -§ -7. Series -en el. dominio complejo
§:. 8. Ceros . de una función. Los puntos singula,res aislados
§. 9. Re5iduos de funciones
§ 10. Teorema de Cauchy de los residuos. Aplicación de resi-
.
duos al cálculo de las integrales definidas. Sumación de
, _
cierta,s series mediante residuos
! § 11. Residuo logarítmico. Principio de argumento. Teorema
de Rouchet
§ 12. Aplicaciones conformes
·' :§ ·13 Potencial complejo. Su sentido hidrodinámico ·
Capítulo JI
' . .
Cálculo operacional .
7
9
9
21
29
. 36
46
55
'62
80•" .
86
93
117
126
. 155'
161
; :j . .14. ·Obtención de representaciones y ol'iginales
1.61 ..
'. · .§ 15 .. S?luCió~ ... ·del problema ~e qauchy pan~ _las ecuaciones
' :; .
diferenciales lineales ordmarias de coeficientes constan-
.
·· ·
···tes
189'
''_'j46.'Jntegral de Duhamel
202
<§::-::f7'>-S~luci6n de sistemas. de ecuaciones diferenciales lineales
l'J:::' :p(?r el . método operacional
/
.
205
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,~~:;·Jª: ~~~~11ción de las ecuaciones integrales de Volterra con
;;:z ... 0Jcnncleos de la forma .especial
209
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. ;· ·.:·' .
Indice
•····• ,,,
§ 19. Ecuaciones diferenciales con el argumento de retardo
216
§ 20. Solución de ciertos problemas de la física matemática
219
§ 21. Transformación discr-eta de Laplace
222
Capítulo III
Teoría de la estabilidad
§. 22. Concepto a~rca de la estabilidad de solución de un
sistema de ecuaciones .diferenciales. Los más simples
tipos de puntos de reposo
§ 23. Segundo método de Liapunov
§ 24. Examinación de la estabilidad por la primera aproxi-
mación
§ 25. Estabilidad asintótica en total. Estabilidad según La-
grange
§ .26. Criterio _de Rauss-Hurwitz
§ _27. Criterio geométrico de estabilidad (criterio de Mijailov)
§ . 28. D-particiones
§ .. 29. Estabilidad de soluciones de las ecuaciones en diferencias
Respuestas
Suplemento
;Bibliografía
237
237
245
249
254
257
260
264
272
282
330
333
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j
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.:./'·. ·,
. .'·
. ' ,,.
: ·· ~. · •. : -.. ·: ;;- . .
:. J. •
Prefacio
En la presente edición todo el texto está redactado de nuevo
y están incluidos ciertos complementarios. Está ampliada
fa parte consagrada a la teoría de los residuos y a sus aplica-
ciones (en particular, está introducido el concepto del resi-
duo respecto a un punto infinitamente alejado, aplicación
. de los residuos a la sumación de ciertas series). Se ampHa
el númer.o de problemas para la aplicación del cálculo opera-
cional al estudio de ciertas funciones (de función gamma,
función de Bessel y otr.), está aumentado también el número
de problemas para la representación de funciones dadas grá-
ficamente. Está reelaborado el párrafo dedicado a las aplica-
ciones conformes. Está incrementada la cantidad de- ejem-
plos que se analizan rn el texto. Están eliminadas unas
erratas e inexactitudes; algunos problemas que tenían
soluciones muy complicadas están sustituidos por más sim-
ples.
M.L. Krasnov
A .l. Kiseliov
q.. I . M akanrnk'!
Introducción
En el presente :volumen están reunidos más de 1 000
problemas y ejercicios· de las más importantes partes de
las matemáticas superiores: funciones de una variable
compleja, .cálculo operacional y teoría de la estabilidad, los
cuales el lector tiene que resolver por sí mismo, particu-
larmente. Dichos problemas están cogidos de la actividad
práctfoa. de los especialistas técnicos, con los cuales chocan
los ·estudiantes después de haber cursado los estudios.
Este manual puede ser útil también para los lectores que
desean estudiar individualmente dichos materiales es-
peciales del curso de matemáticas superiores.
- De las selecciones ·de problemas conocidas, dedicadas a
las materias indicadas este libro se distingue por las ca-
raQterísticas fundamentales siguientes: por sí mismo repre-
se~tá :un manual-guía de metodología que contiene breves
conodmientos teóricos acerca de cada punto de empalme;
ejercicios y prohlAmas con resoluciones y explicaciones de-
talladas como ejemplos, gran cantidad de problemas y
ejercicios para resolverlos individualmente. Casi todos de
ellos poseen respuestas, y en algunos casos están dotados
por explicaciones para su resolución, o con breves solu-
ciones. Todos los problemas y ejercicios se disponen según
determinada sucesión: de lo simple a lo complejo.
El libro presupone que el lector trabaje sistemática-
mente con el material elegido. De acuerdo con ésto, el nú-
mero de problemas y ejercicios está restringido de modo
que él podrá por lo menos resolver la mayoría ele ellos. En
lo que se refiere al contenido de ejercicios, los autores in-
tentaron evitar según la posibilidad los ejemplos de ele-
vada dificultad técnica. Sin duda, ésto no significa, que en
el libro no haya problemas complejos.
Los autores prestaron principal atención al aspecto ma-
temático del tema, únicamente, en pocas palabras expo-
niendo el sentido geométrico y físico de ciertos problemas
A examinar.
Autore.s
...........
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Capítulo I
Funciones de variable compleja
§ 1. Números complejos y operaciones con ellos
E l númer(I complejo z se llama la expresión del tipo
Z =X + iy
(la forma algebraica del número complejo), donde x y y son los nú-
meros reales cualesquiera y i es la unidad imaginaria que satisface
la condic,ión i 2 = -1. Los números x y y se llaman correspondiente-
mente las partes reales e imaginarías
del numero complefo z y .se deno- '
minan
x = Re z,
y= Im z.
El número com.Plejo z = :e -
-
iy se llama conjiigado al número
.complejo z = x + iy.
Los· números complejos z1 =
=Xi + iy1 YcZz = x 2 + íy2 se con-
sideran ser iguales cuando y sólo
cuando x~ = x2, Y1 = Y2·
y
M
y
.X
Fig. 1
El numero complejo z = x +
iy se representa en el plano X OY
por el punto M con las coordena-
das (x, y) o por el vector, el origen
del · cual se encuentra en el punto O (O, 0) y su extremo se encuentr a
en el punto M (x, y) (fig. 1). La longitud p del vector OM se llama
el 1n6dulo del número complejo y se denomina 1 z ¡ , así que p = 1 z 1 =
= 1! x2 + ¡¡2. El ángulo <p formado . por el vector O M con el eje O X
se llama el argumento del número complejo z y se denomina <p =
= A'rg z; el se determina no un1vocamente, sino con exactitud hasta
el sumando que es múltiple a 2n:
Arg z = arg z + 2kn
(k = o, ±1, ±2, . .. ),
. donde arg z es el valor principal Arg z que determinan las eondiciones
. . '
.. · . .
-.n: < argz~· n ,
10
Funci6n de variable compleja
con todo esto ¡
arctglL, si x >O,
X
n+arctg JL.,
si x< O, y >O,
X
arg z= {
y
1
-:rt+arctg -
, si x<O, y>O,
:¡:
n/2,
six=O,y>O,
l -:rt/2,
si x=O, y<O.
Tienen lugar las relacfones siguientes:
tg (Arg z)=JL,
X
sen (Arg z)
X
cos (Arg z)=
•
Vx2+y2
y
[Cap. 1
(1)
Dos números complejos z1 y z2 son iguales en el caso y sólo en el
caso, cuando sus módulos son iguales y sus argumentos son iguales
o se distinguen en la magnitud que es múltiple a 2:rt;
l Z11 = l z2 ! , Arg z1 = Arg z2 + 2:rtn
(n = O, ±1, ±2, ... ).
Sean dados dos números complejos Z1 =
X1 + iy1, Z2 = X2 + ÍY2·
1. La suma z1 + z2 de los números complejos z1 y z2 se llama
el número complejo
Z:i + Z2 = (x¡ + X2) + i (y¡ + Y2)·
2. La diferencia z1 -
z2 de los números complejos z1 y z 2 se
llama el número complejo
Jr¡ -
Z2 = (x1 -
X2) + i (Y1 ·- Y2).
3. El producto z1 z2 de los números complejos z1 y z2 se llama el
número complejo
.
Z¡Zg = (x1x2 -· Y1Y2) + i (x1Y2 + a;2Y1)·
De la definición del producto de los números com1Jlejos sigue en
particular que
z; = x2 + y2 = 1 z ! 2.
4. El cociente ::. de la división del número complejo z1 en el nú,.
mero complejo z2 ~ O Sff llania tal número complejo z que satisface
a l a ecuación zz2 = z1 . Para el cociente tiene lu¡;ra;r fo. fó:rmuJ¡,i.
; __
... .. .,'
Números complejos-y -operaclones .. con ellos
11
· _·· Aquí fué utilizada la fórmula z21 =
1
~
2
1
·9 •
La fórmula (2) se pµede escribirla en la forma
Z1
. X1X2 + Y1Yll +. a:2Y1 -
X1Y2
z;=
xª+Y~
1
x~ + Y~
.. . ·. · La parte real Re z y la parte imaginaria Im z del número comple-
jo .z · se expresan a través de los números complejos conjugados del
modo siguiente:
_
·
;+z
Rez=~
2
-,
,. ____
, ..... .. .. ·--~···~·-- ·
Ejemplo l .. Mostrar que z1 +z2=;1 +z2 •
Demostraci6n. Según la definición tenemos
z1 + z2 = (x1 + x2) -
i (y1 + y2) = ·(x1 -
ty1) +
+ (x2 - - iy2) = z1 + Z2.
i. Demostrar las relacionas siguientes:
a) Z1 -
Za= Z1 - za;
b) -;1z2 = Z1;2;
e) (-1.)---.3.L·
d) -z + -z - z + z
-
-
'
1
2-
1 .
a·
Z2
•.
Za
· Ejemplo 2. Hallar las soluciones reales de la ecuación
(4 + 2í) X + (5 -
3t) y = 13 + t.
. Solución . Separemos en el miembro primero de la ecuación la
parte real e imaginaria: (4x + 5y) + i (2x -
3y) = 13 + i. De aquí
según la definición de la igualdad de dos números complejos obtenemos
{ 4x + 5y = 13,
2x -
3y = 1.
Resolviendo este sistema, hallamos
X = 2,
y = 1.
Hallar las soluciones reales de las ecuaciones:
2. (3x -
i) (2 + i) + (x -
iy) (1 + -2i) = 5 + 6i.
·· 3. (x -
iy) (a -
ib) = t6, donde a, b son los números
reales dados 1 a 1 =!= 1 b 1·
1
2+i
,¡--
4.
z_,,_i + i+i = v 2, donde z=x+ iy.
1
1
5. Presentar el número complejo
+-----
(a +~b)2
(a-fb)2
\
·. ,r
. en la forma algebraica.
12
Función de variable compleja
[Cap. 1
v1+x2+ix
.
6. Demostrar que
= i (x es real) .
x-i lf 1+x2
7. E
.
t
, d
. .
1
.
1
"'
•
1 xpresar x y y a raves e u y v s1 --+--. =
'
x + iY
.u+iv
= 1 (x, y, u, v son los números reales).
8. Hallar todos los números complejos que satisfacen
la condición z- = z2•
Ejemplo !J. Hallar .el módulo y argumento del número complejo
:rt
:rt
z= -sen 8 -i cos S.
Solución. Tenemos
1t
x=-sen 8 <0,
n
y= -
COS 3<0.
El valor principal del argumento según (1) será
argz = -
:rt +arctg ( ctg;) =-n+arctg [ tg ( ~ -
~) J=
(
3
)
'
3
5
=-n+arctg tg 8
:rt =-n + 8 n=-8 :rt.
Por consiguiente,
5
Argz=-8 :rt+2kn
(k=O, ±1, ±2, ... ),
,z, = v sen2 ~ +cos2 ~ = 1.
9. En los problemas siguientes hallar el módulo y el
valor principal del argumento de los números complejos:
a) z=:4+3i;
b) z = -2+2V3i ;
e) z = - 7 -
i ;
d) z = - cos ~ + i sen ~ ;
e) z= 4-3i;
f) z = coscx-isena(n < cx< ~ n) .
Cualquier número complejo z = x + ty (z =fo O) se puede escribirlo
.en la forma trigonométrica
. z.= p (cos qi + i sen q>) ,
donde p = 1 z 1 ,
<p = Arg z .
Ejemplo 4, Escribir en la forma trigonométrica el número complejo
z = -1 -
i. 1(3.
;.
- .--. .:. : .. ~
......
§ .1]
Númetos complejos y opemciones con ellos
13
Soluci6n. Tenemos
1z1=V<- 1)2 + <- 1f3)2 =2; tg q> -\3=-vs, <p=-: n.
Por consiguiente,
-· 1- t lf 3 = 2 [_ cos ( -
; n) + i sen { -
~ n} J .
Ejemplo 5. Hallar raíces reales de la ecuación
+.
1 + 3.
cos x
i sen :i=2
¡¡ i .
Soluci6n. La ecuación dada no tiene raíces ~ En efecto, esta ecua-
,•
ción es equivalente a las siguientes: cos2 x = 1/2, sen x = 3/4. Las
últimas ecuaciones son incompatibles, porque cosll x + sen2 x =
= 13/16, que es imposible para ningunos valores x . ·
Cualquier número complejo z =f= O se. puede escribirlo en la for- ,
ma exponencial
·
z·= peicp,
dondep=l z !,
cp =Arg z.
<
Ejemplo 6. Hallar todos los números complejos z "fa O que satisfa-
cen Ja condición zn-1 = Z.
Solucí6n. Sea z = petfP. Entonces z-= pe-fcp.
Según la condición
pn-tei(n-1)cp = pe- iq¡
0 · pn~2eincp = 1,
de donde p11- 2 =i, es decir, p=1 y tnq>=2kni , es decir cp=2kn
n
(k=O, i, 2, . .. , n-1). Por consiguiente,
i~
ZJ¡; =
e
n
(k=O, 1, 2, .. ., n- 1).
10. Expresar los siguientes números complejos en · la
forma trigonométrica:.
a) -2; b) 2i; e) -V2+ i V2;
d) 1-sena+icosa(ü<a< ~)
e) 1 + cos et+ i. sen a (O < a< ~ ) . .
1 + cos et -
i sen a
2
'
en la forina exponencial:
f) -2; g) i; h) - i;
i) -1
... - iY3 ;
j) sen a- i cosa ( ~ <a< ;ri:) ; k) 5 + 3i. ·
Sean los números complejos z1 y z2 dados en la .forma trigono-
mótrica z1 = p1 (cos cp1 + t sen <1>1), z2 = p8 (cos 1P2 + t sen <1>2)·
l ri,\\t,:;;
i4
Función de variable compleja
[Cap. 1
Su producto se halla mediante la fórmula
Z1Z2 = P1P2 [cos (cr1 + cr2) + i sen (epi + (jl2)l,
es decir, durante la multiplicación ele los números complejos sus
módulos se multiplican y sus argumentos se suman:
Arg (z1z2) = Arg z1 + Arg z2•
El cociente de dos numeros complejos z1 y z2 =f=. O se halla por la
fórmula
es decir, ·
1
Z¡
¡'
l Z¡ 1
-;;- = z;- '
La elevación del número complejo
z = p (cos q:i + i sen qi)
a la potencia natural n se realiza por la fórmula
l zn l = pn (cos mp + i sen ncp),
es decir,
l zn l = 1 z l n ,
Arg· zn = n Arg z + 2nk (k = O, ±1, • .. ).
De aquí se obtiene la fórmula de l\foivre
(cos cp + i sen qipi = cos ncp + i sen ncp.
Las propiedades del módulo de los números
complejos
1. ¡;¡ = ¡z¡;
2. zz= fz\ 2;
3. lz1z2I = [z1l lz2 [;
4. lzn¡ = ¡z¡n;
lzi! _ lzd
.
5. ~--¡z;¡-
, z2 ,;fr. O,
6. [Re z l ~ l z l, !Imz[ ~ l z [ ;
7. [z1 +z2 l< J zil + lz2I;
8. !lz11- lz2 l l ~ l z1 - z2 I ·
E jemplo 7. Calcular (-1 + i 1f3}6o.
Solución . Presentemos el número z = -1 + í tf 3 en la forma
trigonométrica
-1+ q/3 = 2(cos ; 31: + i sen ~ n) .
Números compleios y operaciones con. ellos
15
la fórmula de la 'elevación a potencia citada arriba, obten-
(-1+q/3)6º=26º[cos (60. ~ :rt)+isen(60· ~ n)]=
= 2so (cos 40:n+ i sen 40l't) = 260 •
Ejemplo 8. Demostrar que el polinomio
f (x) = (cos a+ x sen a.)n -
cos na. -
x sen na
se divide en x2 + 1.
Solución. Tenemos xn + 1 = (x + i) (x -
i). De acuerdo con
la fórmula de Moivre
f (i) = (cosa+ i sen cz)n -
cos ~a -
i sen na=
= cos no:+ i sen na -
cos na -
i sen na=O.
Por analogía f (-i) = O. Es decir, f (x) se divide en x 3 + 1.
H. Demostrar que el polinomio
j (x) = xn sen a -
A,n-l x sen na+ ¡.n sen (n -
1) a
se divide en x 11 -
2A.x cosa + A.2 •
•
12. Calcular:
) ( 1-!-i-V3)"'º·
ª
1-i
'
b) (2~2i)7 ;
( 1- í )ª
d)
1+ i
' '
13. Demostrar que
( 1-!-itga )n
·
1-i tga
14. Demostrar que si
1-!-i tg na
1-i tg na •
(cos a + i s·en ar = 1, entonces (cos a -
i sen a)n ' 1.
15. Utilizando lá fórmula de Moivre, expresar mediante
· las potencias sen cp y cos qi las funciones siguientes de los
ángulos múltiples:
a) sen 3qi; h) cos 3qi; c) sen 4<p; d) cos 4qi; e) sen 5cp;
f) cos 5qi.
La wíz de la potencia n del número complejo z tiene n valores
diferentes que se hallan mediante la fórmula
ry-
nri lf'"='I (
cp + 2kn t i
cp + 2kn )
- y z = -y ¡ z 1 cos
n
-
sen .
n
,
k = O, 1, 2, . . . , n -
1,
<p = arg z .
. Los puntos que corresponden a los valores
~íZ , son los vértices
n-polígono regular inscrito en la circunferencia del radio R = Vrzl
con el centro en el origen de coordenadas.
16
Función de variable compleja.
. [Cap . .
La raíz de potencia n del numero real a también tiene n
d~stinto
valores; entre estos valores tenemos dos valores reales, uno o niugun·
depende de la paridad o impa"ridad de n y del signo del número a.
Ejemplo 9. Hallar todos los valores vr::::-¡.
Solución. Reducimos el número complejo 1 ,--- i a la forma tri
gonométrica
1- i= 1f2 [ cos (- ~ )+tsen (- :~)J.
Por consiguiente,
Suponiendo k = O, 1, 2, 3, hall.amos
(k=O)
fíi-t=V2 ( cos ~ -i sen ; 6 ),
~r- y-(
7
7
)
(k =1)
y 1-i= r 2 cos 16 n+i sin 16 n ,
En los problemas siguientes hallar todos los valores d~
raíz:
16. a) Y -1;
t7. a) iYI; b)
b) -Vi ; e) Yi ; d) y - i.
r - 1+ i; e) V 2- 2V 3i.
18. V Y2 ( cos ~ + i sen ~ ) .
Ejemplo JO. ¿Qué conjunto de puntos en el plano de la variable
compleja z se determina por la condición
Im z2 > 2?
Solución. Sea z = x + iy. Entonces
z2 = (x + iy)B = (x2 -
y2) + i2xy.
Por consiguiente, Im z2 = 2xy.
Según la condición 2xy > 2 o xy > 1. Esta desigualdad determi-
na el conjunto de puntos en el primer y tercer cuadrante sobre y debajo
de la hipérbola xy = 1.
·
;
§ 1]
Números complejos y operaciones con ellos
17
Ejemplo 11. ¿Que conjunto de puntos en el plano complejo se
determina por la conrlic.ión
1t
3
-2 ~ arg(z+1-i) ~ 4 n?
Solución. El número complejo
z + 1 -
i = z -
(-1 + i)
se representa por el vector, el origen del cual es el punto - 1 + t, y el
extremo del cual es .. el punto z. E~ ángulo entre este vector y el eje- OX
es arg (z + 1 -
i) y él se cambia en
los límites de -
] hasta~ n .
Por
-.
y
consiguiente, la desigualdad d¡¡da de-
termina el ángulo entre las rectas
que salen del punto -1 + t y que
forman con el eje OX los ángulos
de -
~y ~ n de radianes (fig. 2).
Ejemplo 12. ¿Qué dominio se de-
termina por la
condición
1 z 1 +
Re z < 1?
Solución. Sea
z = p (cos cp +
+ i sen <p). Entonces 1 z 1 = p, Re z=
= p cos <p. Según la condición p +
X
+P cos cp < 1, de donde
- 1
1
P< 1+cosq> ·
Esta condición la satisfacen todos los
puntos que se encuentran en el domi-
nio limitado por la curva
1
p= 1 -j-cos <p
(ecuación de parábola en coordenadas polares).
Fig.-j2 i
En los problemas siguientes hallar conjuntos de puntos
en el plano de la variable comp1eja z que se _determinan por
las condiciones dadas:
19. a) /zj ~ 2; b) R ~ 1, z=;60; e) 1+1~2, z*O.
20. a) lz-5i !=8; b) lz--1 -i !~4.
21. a) 1<1z+i1<2, ~ < arg z < ~
h) 2<1·z 1<3,
~ <argz< i re.
22. a) j :+~ j.~1; b) O~Imz~ 1.
2-0662
