Funç˜oes de Estimaç˜ao em Modelos de Regress˜ao

147 Pages·2014·0.57 MB·Portuguese

Fun(cid:24)co~es de Estima(cid:24)c~ao em Modelos de
Regress~ao
Rinaldo Artes
Insper Instituto de Ensino e Pesquisa
Denise Aparecida Botter
IME - USP
2
.
3
Apresentac¸˜ao
Este texto foi desenvolvido a partir do programa da disciplina Func¸˜oes
de Estima¸ca˜o Aplicadas a Modelos de Regress˜ao, ministrada, pelos autores,
em cursos de p´os-gradua¸c˜ao do Departamento de Estat´ıstica da USP. Trˆes
turmas de alunos tomaram contato com parte deste texto; a elas deixamos
nossos agradecimentos. Agradecemos tamb´em `a professora Cl´elia Maria de
Castro Toloi, pela leitura de parte do manuscrito e pelas oportunas sugest˜oes
e corre¸c˜oes. Os erros remanescentes s˜ao de responsabilidade dos autores.
Encaramos a presente monografia como um texto em constru¸c˜ao. Pre-
tendemos, nos pr´oximos anos, adicionar cap´ıtulos e exemplos que, por uma
limita¸ca˜o de tempo, n˜ao puderam ser inclu´ıdos nesta versa˜o. Manteremos no
site www.rinaldoa.ibmec.br as atualiza¸co˜es do texto e as inevit´aveis erratas.
Agradecemos `a Comiss˜ao Organizadora da 9a Escola de Modelos de Re-
gress˜ao pela oportunidade de ministrar esse minicurso.
Denise Aparecida Botter ([email protected])
Rinaldo Artes ([email protected])
S˜ao Pedro, fevereiro de 2005
4
Sum´ario
1 Fun¸co˜es de estima¸c˜ao 11
1.1 Fun¸c˜oes de estima¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Fun¸c˜ao Escore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 Fun¸c˜ao de estima¸c˜ao ´otima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Fun¸c˜ao de estima¸c˜ao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5 Equa¸co˜es normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.1 M´ınimos Quadrados Generalizados . . . . . . . . . . . 26
2 Quase-verossimilhan¸ca 29
2.1 Modelos lineares generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.1 Fam´ılia exponencial de distribui¸co˜es . . . . . . . . . . . 29
2.1.2 Modelos lineares generalizados . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Quase-verossimilhan¸ca - Caso univariado . . . . . . . . . . . . 38
2.2.1 Modelo de regress˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.2 Fun¸c˜ao quase-desvio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.3 Sobre-dispers˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3 Quase-verossimilhan¸ca estendida . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.1 Paraˆmetro de dispers˜ao varia´vel . . . . . . . . . . . . . 46
2.4 Caso multivariado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Equa¸c˜oes de Estima¸c˜ao Generalizadas 49
3.1 Modelagem da m´edia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.1 Equa¸co˜es de estima¸ca˜o de independˆencia . . . . . . . . 50
3.1.2 Γ(u ) = Corr(u ) conhecida . . . . . . . . . . . . . . . 52
i i
3.1.3 Γ(u ) desconhecida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
i
3.1.4 Estima¸ca˜o de ϕ−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.1.5 Estima¸ca˜o de α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1.6 Teste de hip´oteses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5
6
3.1.7 Algoritmos de estima¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 EEG-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3 Estudos de simula¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4 Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5 T´ecnicas de diagn´ostico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.5.1 Pontos alavanca, influentes e aberrantes . . . . . . . . 62
3.5.2 Envelope simulado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4 Equa¸co˜es de Estima¸c˜ao para S´eries Temporais 67
4.1 Nota¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2 Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.1 Modelos ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.2 Modelos ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3 Modelos tipo ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3.1 Dados de contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3.2 Estima¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4 Modelo de Zeger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.5 Equa¸co˜es de estima¸ca˜o para modelos ARCH . . . . . . . . . . 79
5 Equa¸co˜es de estima¸c˜ao para dados circulares longitudinais 81
5.1 Representa¸ca˜o gr´afica e conceitos b´asicos . . . . . . . . . . . . 82
5.2 Modelos probabil´ısticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.2.1 Distribui¸ca˜o uniforme circular . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2.2 Distribui¸ca˜o von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2.3 Distribui¸ca˜o normal arqueada . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2.4 Rela¸co˜es entre as distribui¸co˜es uniforme circular, von
Mises e normal arqueada . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2.5 Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3 Modelos de regress˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.4 Equa¸co˜es de estima¸ca˜o para dados circulares . . . . . . . . . . 93
5.4.1 Modelagem da m´edia circular . . . . . . . . . . . . . . 94
5.4.2 Modelo para a m´edia circular e para o parˆametro de
concentra¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.5 Aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.5.1 Constru¸ca˜o do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.5.2 An´alise dos dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7
A Alguns resultados assint´oticos 107
A.1 Complemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
A.2 Aplica¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
A.3 Demonstra¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.3.1 Prova do Teorema 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
B Demonstra¸c˜oes - EEG 121
C Fun¸co˜es de Bessel 125
C.1 Derivadas de I , I e A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
0 1 1
C.2 C´alculo das fun¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
C.2.1 F´ormulas de recorrˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
C.2.2 Avalia¸ca˜o de I e I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
0 1
C.2.3 Avalia¸ca˜o da fun¸ca˜o inversa de A . . . . . . . . . . . . 127
1
D Resultados adicionais relativos a dados circulares 129
D.1 Intervalos de confian¸ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
D.2 Outros resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
D.3 Dependˆencia entre varia´veis circulares . . . . . . . . . . . . . . 130
E Complemento da aplica¸c˜ao do Capitulo 5 135
8
.
9
Pref´acio
H´a na literatura Estat´ıstica uma grande variedade de t´ecnicas para o tra-
tamentodedadoslongitudinaiscomvari´avelrespostagaussiana. Aexistˆencia
de uma vers˜ao multivariada da distribui¸c˜ao normal com boas propriedades
inferenciais, facilitaoestudodessecaso. Abandonando-seasuposi¸c˜aodenor-
malidade da vari´avel resposta, uma s´erie de dificuldades pode surgir devido
`a escassez de distribui¸co˜es multivariadas alternativas com tais propriedades1.
Dentre as v´arias alternativas de tratamentos para dados longitudinais,
duas assumem um papel de destaque. A primeira prevˆe a modelagem pro-
babil´ıstica, estipulando, a priori, uma distribui¸c˜ao multivariada de probabi-
lidade, adequada `a modelagem dos dados; baseado nessa distribui¸ca˜o, faz-se
a inferˆencia sobre os parˆametros do modelo (por exemplo, atrav´es do m´etodo
de m´axima verossimilhan¸ca). As dificuldades dessa abordagem est˜ao ligadas
`a defini¸ca˜o do modelo probabil´ıstico, ou seja, na gera¸ca˜o de um modelo mul-
tivariado que se ajusta aos dados e com parˆametros facilmente estim´aveis e
interpreta´veis. A segunda possibilidade baseia-se no uso de fun¸c˜oes de es-
tima¸ca˜o 2 para a obten¸c˜ao das estimativas dos parˆametros de interesse de um
modelo multivariado que n˜ao ´e, necessariamente, completamente conhecido.
Uma fun¸ca˜o de estima¸ca˜o ´e uma fun¸ca˜o mensur´avel dos dados e dos
parˆametros de interesse. Neste texto estamos interessados nas fun¸co˜es de
estima¸ca˜o que, quando vistas como fun¸c˜oes dos parˆametros, tˆem ra´ızes que
s˜ao estimadores dos parˆametros de interesse do modelo. Um ponto impor-
tante no estudo dessas fun¸co˜es ´e estabelecer condi¸co˜es que garantam que os
estimadores obtidos possuam boas propriedades. Em geral, deseja-se a cons-
tru¸ca˜o de estimadores consistentes e com distribui¸c˜ao assint´otica conhecida.
O foco deste texto ´e a constru¸c˜ao de fun¸co˜es de estima¸c˜ao para a an´alise
1Em Joe (1997) encontra-se uma s(cid:19)erie de t(cid:19)ecnicas para gera(cid:24)c~ao de distribui(cid:24)c~oes multi-
variadas
2ver Godambe (1991) por exemplo
10
de diferentes problemas. O Cap´ıtulo 1 apresenta a teoria geral de fun¸c˜oes de
estima¸c˜ao e discute aspectos ligados `a otimalidade e constru¸ca˜o de fun¸c˜oes
de estima¸c˜ao. O Cap´ıtulo 2 desenvolve a teoria de quase-verossimilhan¸ca
a partir do contexto de fun¸c˜oes de estima¸ca˜o. No Cap´ıtulo 3, s˜ao apresen-
tadas as equa¸co˜es de estima¸c˜ao generalizadas e, no 4, t´ecnicas baseadas na
teoria das fun¸co˜es de estima¸c˜ao para a estima¸ca˜o de parˆametros de modelos
para s´eries temporais. Por fim, no Cap´ıtulo 5 s˜ao desenvolvidas fun¸co˜es de
estima¸c˜ao para a an´alise de dados circulares longitudinais.