From Non-Unitary Anyons to Unconventional Superfluidity

205 Pages·2015·6.6 MB·English

by  Jan Gukelberger

ETH Library
From non-unitary anyons to
unconventional superfluidity
Doctoral Thesis
Author(s):
Gukelberger, Jan
Publication date:
2015
Permanent link:
https://doi.org/10.3929/ethz-a-010451939
Rights / license:
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DISS. ETH NO. 22535
FROM NON-UNITARY ANYONS TO
UNCONVENTIONAL SUPERFLUIDITY
A thesis submitted to attain the degree of
DOCTOR OF SCIENCES of ETH ZURICH
(Dr. sc. ETH Zurich)
presented by
JAN GUKELBERGER
Dipl.-Phys., Universität Stuttgart
born on 21.05.1984
citizen of
Germany
accepted on the recommendation of
Prof. Dr. Matthias Troyer, examiner
Prof. Dr. Lode Pollet, co-examiner
2015
Jan Gukelberger
From Non-Unitary Anyons to Unconventional Superfluidity
Diss. ETH No. 22535
Digital Object Identifier DOI: 10.3929/ethz-a-010451939
E-mail [email protected]
Contents
Contents iii
Abstract vii
Zusammenfassung ix
1 Introduction 1
1.1 Lattice models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Numerical techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Outline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Non-unitary topological phases 7
2.1 Yang-Lee chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.1 The golden chain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2 Galois conjugation and non-unitary models . . . . . . . . . . 12
2.1.3 Numerical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.4 Topological symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Doubled Yang-Lee models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.1 The ladder Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2 The phase diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.3 Numerical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Levin-Wen model and its Galois conjugates . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Hermitian model from non-unitary theory . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.1 Constructing Hermitian models . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.2 Loss of the code property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.3 Absence of topological order . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Diagrammatic Monte Carlo 35
3.1 Diagrammatic perturbation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.1 Matsubara Green’s functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
iii
CONTENTS
3.1.2 Many body perturbation theory . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.3 Dyson’s equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.4 Bethe-Salpeter equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 DiagMC sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.1 Normalization and sign problem . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.2 Representation of diagrams in the simulation . . . . . . . . . 49
3.2.3 Topology-preserving updates . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.4 Topology-changing updates . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.5 Optional updates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2.6 Suppression of disconnected and tadpole diagrams . . . . . . 59
3.2.7 Optimized proposal distribution for vertex time . . . . . . . 63
3.2.8 Autocorrelations and order reweighting . . . . . . . . . . . . 65
3.3 Measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3.1 Reducibility tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3.2 Symmetry classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3.3 Vertex decomposition by spin and parity symmetry . . . . . 72
3.3.4 Symmetry-adapted momentum basis . . . . . . . . . . . . . 75
3.3.5 Buffered measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.4 Evaluations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.4.1 One-particle observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.4.2 Calculation of the Bethe-Salpeter kernel . . . . . . . . . . . 83
3.4.3 Treatment of high-frequency tails in Bethe-Salpeter equations 85
3.4.4 Non-uniform frequency grids . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.4.5 Momentum basis truncation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.4.6 Stochastic confidence intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.4.7 Diagram order truncation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.5 Benchmarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.5.1 One-particle observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.5.2 Phase transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4 Unconventional order by Fermi surface mismatch 113
4.1 Spin-dependent hopping anisotropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.1.1 Weak coupling analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.1.2 DiagMC results for finite interaction . . . . . . . . . . . . . 122
4.1.3 Pairing glue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.1.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.2 Spin imbalance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.2.1 Finite momentum pairing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.2.2 Superfluid instabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.2.3 Possibility of phase separation . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.2.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
iv
CONTENTS
5 On the virtues and dangers of partial diagrammatic summations145
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.2 Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.2.1 Dynamical mean-field theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.2.2 Weak-coupling approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.2.3 Diagrammatic Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.3 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.3.1 Local self-energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.3.2 Nonlocal self-energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.3.3 Combinations of DMFT with weak-coupling approximations 160
5.3.4 Relevant diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
List of publications 169
Bibliography 171
Acknowledgements 193
v
CONTENTS
vi
Abstract
Thisthesisreportsonthesimulationofcorrelatedmany-bodysystems. Thetopicis
approached from three different perspectives: First, models of non-unitary anyons
are studied by means of exact diagonalization. Second, a new approach to the
simulation of correlated fermions, the diagrammatic Monte Carlo technique, is
further developed and extended to the description of phase transitions. Finally,
this method is applied, on the one hand, to solve several questions regarding the
phasediagramofattractivelyinteractingfermionsand, ontheotherhand, toassess
the validity of different diagrammatic approximations.
More specifically, the first part of this work is devoted to the study of certain
generalizations of interacting non-abelian anyons, i.e. of quasiparticles obeying
fractional exchange statistics, which can emerge in two-dimensional systems like
fractional quantum Hall samples. We consider models of interacting non-abelian
anyons that are described by non-unitary topological field theories which arise
fromtheirunitarycounterpartsbyGaloisconjugation. TheresultingHamiltonians
are typically non-Hermitian, but have a completely real spectrum. We solve the
systems by iterative exact diagonalization techniques, report the models’ phase
diagrams, and connect our numeric results to analytic solutions at the critical
points between adjacent phases. Furthermore we contemplate the possibility of
constructingaHermitianHamiltoniandescribedbythesamefieldtheoryandhence
of realizing a non-unitary topological phase in a quantum mechanical system. The
failure of the latter attempt motivated the development of a mathematical proof
showing such a construction to actually be impossible.
In the second part we extend the diagrammatic Monte Carlo (DiagMC) tech-
nique to the calculation of irreducible two-particle Feynman diagrams. The Di-
agMC method is a rather new development, which can simulate systems of inter-
acting fermions directly in the thermodynamic limit and in principle at arbitrarily
low temperature. This is in stark contrast to more conventional quantum Monte
Carlo approaches, whose computational effort in general grows exponentially in
system volume and inverse temperature when applied to fermions. With the ex-
tensiontotwo-particlediagramsthemethodcanbeusedtodetectandcharacterize
phase transitions out of the Fermi liquid into an ordered state. We explain the
vii
technique, provide details on a generic and efficient implementation, and show
benchmark comparisons to other accurate simulation methods.
The third part of this work is finally devoted to the application of the DiagMC
method to several questions of current interest. One focus is on unconventional
superfluid phases, which could be realized in experiments with ultracold gases in
optical lattices. We study scenarios with spin-nematic Fermi surface deformations
and spin-imbalanced setups and find pairing instabilities with p-wave symmetry
andwithfinitepairmomentum,respectively. Thesecondfocusisontheassessment
ofvariouscommondiagrammaticapproximationstothemany-bodyproblem. Such
approximations,e.g.theGW andthefluctuationexchange(FLEX)approximation,
have a long history and are commonly used both in the context of model systems
and for ab initio calculations. Our systematic comparison for the moderately
correlated regime shows that the partial summation of specific diagram topologies
and neglect of other topologies often yields worse results than simple perturbation
theory to second order.
viii
Zusammenfassung
Gegenstand dieser Arbeit ist die Simulation korrelierter Vielteilchensysteme. Sie
nähert sich diesem Thema aus drei verschiedenen Richtungen: Zunächst werden
Modellsysteme für nicht unitäre Anyonen mit exakten Diagonalisierungsmethoden
untersucht. Der zweite Teil widmet sich dann der Weiterentwicklung eines neu-
en Ansatzes zur Simulation korrelierter Fermionen, der diagrammatischen Monte-
Carlo-Methode, die für die Beschreibung von Phasenübergängen erweitert wird.
Schließlich wird diese Methode angewandt, einerseits um einige Fragen zum Pha-
sendiagramm attraktiv wechselwirkender Fermionen zu beantworten, und anderer-
seits zur Beurteilung verbreiteter diagrammatischer Approximationen.
Um genauer zu werden: Der erste Teil befasst sich mit bestimmten Verallge-
meinerungen von wechselwirkenden nicht abelschen Anyonen, also von Quasiteil-
chenmitgebrochenzahligerAustauschstatistik,dieinzweidimensionalenSystemen
auftreten können, wie etwa dem Elektronengas beim fraktionalen Quanten-Hall-
Effekt. Wir betrachten Modelle wechselwirkender nicht abelscher Anyonen, die
von nicht unitären topologischen Feldtheorien beschrieben werden, welche aus ih-
ren unitären Gegenstücken durch Galois-Konjugation entstehen. Die entsprechen-
den Hamilton-Operatoren sind typischerweise nicht hermitesch, haben aber ein
vollständig reelles Spektrum. Wir lösen die Systeme mit iterativer exakter Dia-
gonalisierung, zeigen die Phasendiagramme der Modelle und verknüpfen unsere
Ergebnisse mit analytischen Lösungen an den kritischen Punkten zwischen an-
einander grenzenden Phasen. Außerdem wird die Möglichkeit betrachtet, einen
hermiteschen Hamilton-Operator zu konstruieren, der von der selben Feldtheorie
beschrieben wird – also ob sich eine nicht unitäre topologische Phase in quanten-
mechanischen System realisieren ließe. Das Scheitern dieses Versuchs bildete eine
Motivation für die Entwicklung eines mathematischen Beweises, der zeigt dass eine
solche Konstruktion tatsächlich unmöglich ist.
Im zweiten Teil der Arbeit wird dann die diagrammatische Monte-Carlo-Me-
thode (DiagMC) auf die Berechnung von irreduziblen Feynman-Diagrammen mit
jeweils zwei ein- und auslaufenden Teilchen erweitert. DiagMC is eine recht neue
Methode, die Systeme wechselwirkender Fermionen direkt im thermodynamischen
Limes und im Prinzip bei beliebig niedriger Temperatur beschreiben kann. Dies
ix