Fraktale Wolken, virtuelle Flammen: Computer-Emulation und Visualisierung turbulenter Gasbewegung

242 Pages·1993·0.48 MB·German

by  Georgios Sakas (auth.)

4.3 Zeitvariante Fraktale im Ortsbereich 89
Abb.4.17. Turbulente Wolkenanimation ohne translative Windverschiebung. Die
Wirbelgro13e betriigt fUr die erste und zweite Reihe 100%, fUr die dritte und
vierte Reihe 10%. Man kann deutlich sehen, dal3 mit abnehmender Wirbelgro13e die
Grobstruktur des Bildes sich langsamer iindert bzw. unveriindert bleibt
parameter, die das Aussehen der statischen Wolke definieren, sind hier fUnf.
Zusiitzlich zu denen, die bei der spektralen Synthese benutzt wurden, niimlich
fraktale Dimension, Granularitiit und lnitialnummer, kann man jetzt auch die
Lakunaritiit r und die Anisotropie p. frei wiihlen:
• Hurst Exponent H bzw. fraktale Dimension D
• Lakunaritiit r
• Granularitiit M
• Anisotropie entlang der Ortsachsen /1-." /1-y, /1-z
• lnitialnummer S.
Die Wirkung dieser Parameter auf die optische Erscheinung einer Wolke
wurde bereits im Abs. 3.3.3 diskutiert.
Die vier Animationsparameter, die das Aussehen der turbulent en Bewegung
bestimmen, sind:
• Windvektor w
• Grofie der grofiten Wirbel L bzw. ke
• Geschwindigkeit der grofiten Wirbel UL bzw. f:l.t
• Anisotropie entlang der Zeitachse /1-t bzw. Exponent des Kolmogorov Spek
trums
K.
90 4. Animationsmethoden zeitvarianter Texturen
Die VisuaJisierung der wie oben beschrieben generierten Werte edordert be
sondere Au°fm erksamkeit. Die vorgestellte Funktion generiert reelle Werte mit
Mittelwert und einer zunachst unbekannten Varianz, die u.a. von der Anzahl
der Summationsstufen abhangt. Um diese reellen Werte zu visuaJisieren, miissen
sie auf einen neuen Bereich transformiert werden, iiblicherweise den normier
ten Bereich [0,1] oder auch die ganzen Zahlen im Bereich [0,255]. Eine erste
Ubedegung ware, den minimalen Wert auf 0, den maximalen Wert eines Bildes
auf 255 und alle sonstigen Werte durch lineare Interpolation auf die dazwischen
liegenden Zahlen abzubilden. Dieser Ansatz kann mit statischen Bildern gele
gentlich zufriedenstellend arbeiten, aber im animierten Fall haben wit es mit
einer Funktion zu tun, die stochastische Werte liefert. Demzufolge werden ma
ximaler und minimaler Wert von Bild zu Bild variieren, was ein auffalliges und
unangenehmes Flimmern der mittleren Bildhelligkeit hervorrufen wird. Ein bes
serer Ansatz ist, konstante Werte fiir diese Abbildung zu benutzen. Zu diesem
Zweck betrachten wir das Fraktal als das Ergebnis der skalierten Akkumulation
von N(O,l) verteilten GauB'schen Zahlen. Unter dieser Annahme konnen wir
kalkulieren, daB 95% der generierten Werte innerhalb des folgenden Intervalls
liegen werden (95% Quantil):
Lkl 1 Lkl 1
(-1.65 rkH' 1.65 rkH) (4.24)
k=ko k=ko
Daher konnen wir dem oberen und dem unteren Schwellwert der Gleichung
4.24 konstante Farbwerte zuordnen. Werte des Fraktals aufierhalb des soeben
definierten Bereiches werden an den Schwellwerten geklippt, so daB "Inseln"
maximaler und minimaler Helligkeit entstehen. Unsere Annahme ist streng
genommen nicht korrekt, da die Akkumulierung auf aus GauB'schen Zahlen
interpolierte Werte anstatt auf echte GauB'schen Zahlen durchgefiihrt wird.
Dennoch hat diese Methode in der Vergangenheit gute Resultate geliefert. Man
soil dabei beachten, daB die Wahl der Abbildungsgrenzen eine wichtige Rolle
fiir das Aussehen der resultierenden Struktur hat.
4.4 Ergebnisse und Diskussion
4.4.1 Vor- und Nachteile der spektralen Synthese
Die turbulente Animation mit Hilfe der spektralen Synthese war das erste com
putergraphische Modell, das diese Aufgabe im Rahmen und fiir die Ziele der
rechnergenerierten Animation zufriedenstellend gelost hat. Der erste Vorteil der
Methode liegt in der Verwandtschaft und engen Ankopplung an die spektrale
Theorie der Turbulenz. Diese Theorie bildet die Ausgangsbasis £iir die Aufsiel-
lung des Turbulenzmodells, welc;hes im Abs. 4.2 vorgestellt wurde. Die spektrale
Synthese ermoglicht eine unmittelbare und fast unveranderte Ubernahme der
Theorie in eine computergraphische Implementierung. Die enge Anlehnung an
die physikalischen Phiinomene ermoglicht eine reaJistisch aussehende Animation
4.4 Ergebnisse und Diskussion 91
der Wolken. Da die verwendete Fourier-Transformation problemlos in 2D oder
3D gleichermaBen angewendet werden kann, wird die Generierung von zweidi
mensionalen Wolkentexturen oder aber dreidimensionalen Volumentexturen mit
dem gleichen Werkzeug ermoglicht. Dariiber hinaus sind die Parameter in bei
den Fallen identisch, so dafi die optische Erscheinung der Turbulenz im 3D Fall
bereits aus dem 2D Fall erraten werden kannj alle Parameter konnen deshalb
fiir den 2D Fall eingestellt und fiir den 3D Fall iibernommen werden.
Die mit Hilfe der spektralen Synthese generierte Animation sieht "glatt"
aus: Spriinge oder Bewegungsdiskontinuitaten werden vermieden, und Struk
turen aller Gro13en bewegen sich stetig und andern ihre Form allmahlich und
kontinuierlich. Ferner hat man durch die zur Verfiigung stehenden Parame
ter eine gute Kontrolle iiber die optische Erscheinung der generierten Wolken:
Struktur-, Bewegungs- und Visualisierungsparameter konnen einzeln eingestellt
werden. Mit Hilfe qer Strukturparameter la13t sich das Aussehen der Startwolke,
ihre Rauheit und ihre Granularitat variieren. Mit Hilfe der Animationsparame
ter konnen Windrichtung und -starke, Gro13e und Geschwindigkeit der turbulen
ten Strukturen sowie die "Turbulenzitat" des Phanomens problemlos eingestellt
werden. Die Visualisierungsparameter ermoglichen eine Variation der mittleren
Wolkendichte sowie des Kontrastes.
Fiir alle o.g. Parameter existieren sinnvolle Voreinstellungen (defaults), die
entweder den physikalischen Gegebenheiten entsprechen oder aus Erfahrungs
wert en resultieren, Dennoch ist der Benutzer des Systems in der Lage, alle Pa
rameter unabhangig voneinander zu manipulieren, um das von ihm gewiinschte
�E�r�g�~�b�n�i�s� zu erzielen. Eine solche Manipulation, die wahrend der Laufzeit jeder
zeit moglich ist, erhOht die Flexibilitat wesentlich. Dariiber hinaus entsprechen
die verwendeten Parameter intuitiven, alltaglichen Begriffen, wie Windrichtung
oder Wolkendichte, so da13 ihre Wirkung schnell und einfach verstanden wird.
Die Erfahrung hat gezeigt, daB gerade Benutzer' aus kreativen Berufen (Anima
toren, Designer, Architekten etc.) mit dem vorgestellten Parametersatz schnell
und problemlos vertraut werden.
Ein weiterer wichtiger Vorteil der spektralen Methode ist ihre Rechenge
schwindigkeit. Bei der schnellen Fourier-Transformation reeller Felder, die be
reits in vielen anderen Disziplinen breite Anwendung findet, handelt es sich
um einen gut verstandlichen und hoch optimierten Algorithmus, der von vielen
kommerziellen Rechnerpaketen angeboten wird. Wie im Abs. 4.4.3 gezeigt wird,
besitzt die FFT Methode gegeniiber der Rescale-and-Add eine weitaus giinsti
gere Komplexitat, was in einer geringeren Rechenzeit resultiert. 1m 6. Kapitel
wird gezeigt, daB die FFT recht einfach parallelisiert werden kann, was eine
noch giinstigere Laufzeit bei der Implementierung auf Mehrprozessor-Systemen
bedeutet.
Trotz der o.g. wichtigen Vorteile besitzt die spektrale Synthese auch einige
N achteile. Der erste davon resultiert aus der Anwendung der schnellen Fourier
Transformation, die fordert, daB die Bildaufiosung eine Potenz von Zwei sein
mu13. Foiglich sind nur Bilder moglich, die diese Aufiosung besitzen, auch in den
Fii.llen, wo andere Aufiosungen erforderlich sind. Diese Kantenlange bewirkt
92 4. Animationsmethoden zeitvarianter Texturen
auch, dafi alle Sinus- und Cosinuswellen eine ganzzahlige Anzahl von Perioden
innerhalb des Bildes vorweisen, so dafi die resultierenden Bilder periodisch und
stufenlos aneinander anreihbar sind. Obwohl das letztere ein wichtiger Vorteil
sein kann, da es die liicken- und kantenfreie Abdeckung eines grofien Raumes
durch die Reihung eines Elementes ermoglicht, betreten die Wolkenteile und
Strukturen, die wiihrend einer Animation den Bildausschnitt z.B. am linken
Rand verlassen, durch den rechten Rand wieder das Bild. Obwohl dies in der
Regel unbemerkt bleibt, kann es in manchen Fii.11en die Aufmerksamkeit des
Beobachters anziehen und somit den Realitiitseindruck reduzieren.
Weitaus schwerwiegender ist die rechnerische und strukturelle Globalitiit,
die die spektrale Synthese aufweist. Rechnerische Globalitiit bedeutet dabei,
dafi das gesamte Feld immer wieder berechnet werden mufi, auch wenn nur
ein Teil davon benotigt wird. So mufi die Textur auch £iir Teile eines Objek
tes, die wiihrend des Renderingprozesses verdeckt und unsichtbar sind, mitge
neriert werden, was unter Umstiinden eine Verlangsamung der Visualisierung
bedeutet1•
Zwei weitere wichtigere N achteile der rechnerischen Globalitii t sind die
Schwierigkeiten bei Ausschnittsvergrofierungen und der damit verbundene Spei
cherplatzbedarf. Bei einer Vergrofierung eines Teilbereiches des Originalbildes,
wie z.B. einer Anniiherung (zoom-in), miissen neue, bislang aufgrund der be
grenzten Au:O.osung nicht gesehene, hochfrequente Details sichtbar werden. Das
bedeutet, dafi das Originalspektrum mit neuen hochfrequenten Koeffizienten
gemiifi Abb. 3.12 ergiinzt werden mufi. Da die Spektrumau:O.osung gleich der
Bildau:O.osung ist, und da das Bild nur quadratisch mit einer Kantenliinge,
die eine- Potenz von Zwei ist, generiert werden kann, hat das einen wesent
lich hOheren Rechenaufwand zur Folge. Schlimmer noch, der grofite Teil des
neuen hochaufgelosten Bildes wird nicht sichtbar sein, da man nur einen Aus
schnitt vergrofiert. Der damit verbundene Speicherbedarf wiichst fiir 2D Bilder
quadratisch, fiir 3D Bilder kubisch mit der Bildau:O.osung. Nachteil bei der rech
nerischen Globalitiit ist, dafi das gesamte Spektrum immer vollstiindig vorliegen
mufi. Bei der verwendeten Gleitpunktarithmetik werden fiir ein 2D Durch
schnittsbild der Au:O.osung 5122 zwei MBytes, fiir ein 3D Bild der Au:O.osung
1283 sogar 16 MBytes benotigt.
Die schnelle Fourier-Transformation ist eine diskrete Methode, d.h. sie ope
riert auf diskreten Spektren und erzeugt ebenfalls ein diskretes Bild. Bedingt
durch die rechnerische Globalitiit ist die Au:O.osung dieses Bildes fest vorgegeben
und identisch an allen Stellen des Feldes. Wird eine so definierte und rasteri
sierte Textur in einer Szene eingesetzt, die mit der Bildabtastfrequenz abge
tastet werden soIl, konnen hiiufig Abtastprobleme auftauchen, die unter dem
Begriff aliasing gefiihrt werden. Zum Beispiel wird bei einer starken perspek
tivischen Verzerrung der Textur die fiir eine korrekte Abtastung edorderliche
Rate entlang der Tiefenrichtung stark variieren. So kann die Texturau:O.osung
1 An sich ist die Berechnung des Wolkenfeldes - verglichen mit anderen Teilen der Bilder
zeugung - so schnell, daB solche Verluste oder "nichtbenotigter Aufwand" nur in Extremflillen
bemerkt werden.
4.4 Ergebnisse und Diskussion 93
fiir Objektteile, die nahe bei dem Beobachter liegen, viel zu grob seinj dagegen
konnen bei weit entfernten Teilen viele Texturwerte innerhalb eines Bildpunktes
fallen, was eine viel zu hohe Texturauflosung bedeutet. In beiden Fiillen konnen
Filterungsverfahren die Artefakte reduzieren. Dieses Problem, das unter dem
Begriff anti-aliasing gefiihrt wird, tritt immer auf, wenn rasterisierte Texturen
verwendet werden, im 2D sowie im 3D Fall. Eine genauere Diskussion fiir den
3D Fall findet man im Abs. 5.5.
Strukture11e Globalitat bedeutet, daJ3 das Aussehen der Textur iiberall das
gleiche ist. Jedoch ist bei vielen natiirlichen Phanomenen eine ortliche Varia
tion der Parameter der Wolkentextur erforderlich. Ais Beispiel dazu solI der
aus einer Zigarette oder einem Schornstein aufsteigende Rauch dienen. Direkt
am Schornstein zeigt sich der Rauch als eher dicht, schnell und sein Aussehen
entspricht einer eher fadenformigen Stromung, die eine relativ hohe fraktale
Dimension aufweist. Weiter weg von dem Schornstein entfernt expandiert der
Rauch, so dafi er kiihler und langsamer wird. Aufgrund der Expansion nimmt
seine mittlere Dichte ab, sein Aussehen ahnelt jetzt mehr dem einer klumpenhaf
ten Wolke. Zwischen dies en beiden Extremen existiert ein glatter, sprungloser
Ubergang, was die Struktur angeht. Solche ortsabhangigen, stetigen, sprunglo
sen Variationen der Parameter, und folglich des Aussehens der Wolke, konnen
mit Hilfe der spektralen Synthese nicht generiert werden, sondern miissen aus
verschiedenen Teilbildern zusammengesetzt (editiert) werden.
Um diese letzte Beobachtung zu verallgemeinern, kann man genere11 fest
ste11en, dafi die Formgebung bei der Texturierung ein schwieriges - und oftmals
ungelostes - Problem darste11t, sowohl in dem 2D als auch in dem 3D Fall. Un
ter Formgebung verstehen wir die Assoziation einer Textur mit einem Korper,
der texturiert werden solI. So ist es nicht moglich, eine Wolkentextur zu ge
nerieren, die bei der Definition bereits eine bestimmte Form hat. Ais Beispiel
kann man den Fall erwahnen, wo der aus einem Schornstein aufsteigende Rauch
entlang eines gebogenen und gekriimmten "Kegels" sich bewegen mufi. Solche
Formgebungen werden iiber die die Textur umgebende geometrische Hiille des
Volumenobjektes erzwungen. Leider sieht eine solche Zuordnung nicht immer
realistisch aus: um beim obigen Beispiel zu bleiben, die Rander oder Konturen
des Kegels, der bei der Rauchfahne als Hiille dient, konnen scharf und klar sicht
bar vor dem Hintergrund erscheinen. In der N atur dagegen hat die Rauchfahne
nur ungefahr die Form eines Kegels, vielmehr sind die Randzonen unscharf und
verschwommen, machen einen zufalligen oder gar chaotischen Eindruck und lau
fen allmahlich aus, ohne eine klare Kontur zu definieren. Eine Diskussion solcher
Probleme sowie manche mogliche Losungen fUr den 3D Fall findet man im Abs.
5.4.
Die strukture11e Globalitat betrifft nicht nur die Form, sondern auch die
turbulenten Bewegungseigenschaften der Textur. So kann fiir das gesamte Feld
nur eine glob ale Windstarke und -richtung angegeben werden. Lokal variierende,
bOige WindverhaItnisse sind dadurch nicht moglich. Gleiches gilt auch fiir Grofie
und Geschwindigkeit der turbulent en Wirbel, die ebenfalls global fiir das ge
samte Bild gelten: Ein Himmelbild, das aus einzelnen Wolken besteht, welche
94 4. Animationsmethoden zeitvarianter Texturen
unterschiedliche Bewegungscharakteristiken aufweisen, liifit sich mit Hilfe der
spektralen Methode nicht direkt generieren und mufi aus einzelnen Komponen
ten modelliert (editiert) werden.
An dieser Stelle sollen auch drei Eigenarten, Mangel oder Einschriinkungen
der spektralen Turbulenztheorie erwiihnt werden, die der Theorie inhiirent sind
und deshalb zwangslaufig auch in das implementierte Modell iibernommen wur
den. Die erste davon handelt von der Definition und Handhabung eines Wirbels,
die zweite von der Interaktion solcher Wirbel mit der Umgebung und die dritte
von der Definition der :fI.uktuierenden Geschwindigkeit u'.
Wie im letzten Tell des Abs. 4.1 erkliirt wurde, ist ein Wirbel eigentlich
eine lokale Inhomogenitiit des turbulenten Feldes, welche eine charakteristische
Grofie und Geschwindigkeit besitzt. Also ist ein Wirbel etwas, das innerhalb
des turbulenten Feldes ortlich lokalisiert ist, auch dann, wenn seine Position
nicht bestimmbar oder auch uninteressant sein sollte. Bei der spektralen Turbu
lenztheorie dagegen werden Wirbel einem Fourier-Koeffizienten entsprechender
Grofie gleichgesetzt. Allerdings repriisentiert ein solcher Koeffizient den Mittel
wert aller Beitriige aller Wirbel gleicher oder benachbarter Grofie, ganz egal,
wo sie sich innerhalb des turbulenten Feldes befinden. Mit anderen Worten
gesagt, ein Fourier-Koeffizient stellt keine Repriisentation des Ortes im Eu
klidischen Raum dar. Somit lassen sich bei dieser Methode keine ortlichen
Inhomogenitiiten modellieren, wie etwa mehrere einzelne, isolierte, rotierende
Wirbel, wie sie aus der Alltagserfahrung bekannt sind, sondern nur homogene
und lokalisotrope turbulente Felder, die keine solchen lokalen Inhomogenitiiten
allfweisen.
Der zweite Mangel hiingt mit dem statistischen Charakter der spektralen
Turbulenztheorie zusammen. Durch die globale Betrachtung homogener turbu
lenter Gebiete ist eine Interaktion mit der Umgebung nicht mehr moglich, oder
wenigstens nicht mehr einfach und natiirlich moglich. Als Beispiel hierzu denke
man an ein solides Hindernis (z.B. eine Hand oder einen Deckel), das in dem
Pfad des aus einem kochenden Gefiifi aufsteigenden Dampfes plaziert wird. Aus
der Alltagserfahrung (sowie in anderen iihnlichen Fiillen aus genauer Stromungs
simulation) erwartet man, daB der Dampf um das Hindernis herum stromt, so
daB das homogene Stromungsmuster durch das Hindernis lokal geiindert wird.
In unserem Fall dagegen wird der generierte Dampf dieses Hindernis iiberhaupt
nicht wahrnehmen, so daB die Stromung sich durch das Hindernis hindurch,
statt um es herum, zu bewegen scheint. Eine solche Interaktion zwischen Tex
tur und Objekt ist in diesem Fall auch nicht moglich, da zum Zeitpunkt der
Dampfgenerierung das Hindernis nicht bekannt ist, oder auch in der spektralen
Synthese nicht beriicksichtigt werden kann.
Der dritte Mangel hangt mit der zufiilligen Geschwindigkeit u' zusammen.
Die Stromung wird bekannterweise als die Uberlagerung einer translativen und
einer :fI.uktuierenden Geschwindigkeit angesehen: u = ii + u'. Die zufiillige Kom
ponente wiederum setzt sich zusammen aus der Uberlagerung aller einzelnen
Wirbel mit Grofie ), und Geschwindigkeit u.\. Die spektrale Turbulenztheorie
macht zwar genaue Angaben iiber die Vertellung der Betriige der Qeschwindig-
4.4 Ergebnisse und Diskussion 95
keiten u.x, jedoch nicht iiber ihre Richtungen. Leider ist eine vektorielle Gr6fie
wie die Geschwindigkeit nur durch Angabe des Betrages nicht vollstandig defi
niert. In unserer Implementierung wird bei der Definition des turbulent en Feldes
jedem Vektor U.x eine zufillige Richtung aus [0, 27r) zugeordnet, welche wahrend
der gesamten Animation konstant bleibt, was wahrscheinlich physikalisch nicht
korrekt ist. Eine zweite M6glichkeit ware, mit jedem neuen Bild eine neue
zufillige Richtung auszuwahlen, was aber ebenfalls nicht richtig erscheint, da
Wirbel eine gewisse Lebensdauer, Ausdehnung und 'rragheit besitzen. Vielmehr
wird hier eine Angabe gebraucht, nach welcher Gesetzmafiigkeit oder welchem
Anderungsmuster die Richtungen der Geschwindigkeiten U.x zeitlich variieren.
Eine solche Angabe seitens der spektralen Turbulenztheorie ist dem Autor nicht
bekannt.
4.4.2 Vor- und Nachteile der funktionalen Methode (RAA)
Die Rescale-and-Add Methode (RAA) besitzt samtliche Struktur- und Visua
lisierungsparameter der spektralen Methode und dariiber hinaus Lakunaritat
und Anisotropie. D.h., es sind die gleichen Struktureinstellungen m6glich, die
mit Hilfe der spektralen Synthese auch moglich sind. Somit kann man die Rau
heit, die Granularitat, die Grundstruktur, die mittlere Dichte oder den Kontrast
einer Wolke nach Belieben einstellen. Nach der im Abs. 4.3 vorgestellten Erwei
terung der Originalfunktion wurde eine Anpassung an das Turbulenzmodell aus
Abs. 4.2.1 erreicht. Somit konnen alle Bewegungseffekte, die mit Hilfe der spek
tralen Synthese realisierbar sind, im Prinzip auch mit der Rescale-and-Add Me
thode generiert werden: Windstarke und -richtung sowie Grofie, Geschwindigkeit
und Turbulenzitat der Wirbel konnen nach Belieben variiert werden. Durch die
Anpassung an das Kolmogorov Spektrum wurde ferner ermoglicht, zwei un
terschiedliche Spektren fUr die ortliche Struktur und die zeitliche Variation des
Feldes zuzulassen, was eine grundlegende Erweiterung der Originalmethode dar
stellt. AIle o.g. Parameter konnen auch wahrend der Animation kontinuierlich
variiert werden, so dafi eine interaktive Einstellung auch hier im Prinzip ge
geben ist. Dariiber hinaus ist die Rescale-and-Add Methode problemlos in 2D
oder in 3D anwendbar. Der Parametersatz und die durch eine bestimmte Pa
rametereinstellung hervorgerufenen Effekte bleiben dabei identisch, so dafi hier
ebenfalls eine Parametereinstellung in 2D und Ubernahme in 3D moglich ist.
Wichtige Vorteile der Rescale-and-Add Methode gegeniiber der spektralen
Methode liegen einerseits in ihrer kontinu:ierlichen Reprasentation, andererseits
in ihrer lokalen Auswertbarkeit. Durch die auf die Eintrage des Zufallsgitters
angewendete glattende Interpolation ist die Rauschen-Funktion stetig und dif
ferenzierbar iiberall innerhalb des Definitionsbereiches. Das bedeutet, dafi alle
Summationsglieder der Gleichung· 4.22 stetige Funktionen sind, so dafi ihre
Uberlagerung ebenfalls eine stetige Funktion liefert. Ferner k6nnen die Sum
mationsgrenzen ko und kl gemafi Gleichungen 3.15 und 3.14 der ortlichen Bild
auflosung angepafit werden. Dadurch kann sowohl die Ausdehnung als auch die
96 4. Animationsmethoden zeitvarianter Texturen
Position des Mittelpunktes einer Abtastung vollkommen frei und stetig gewiihlt
werden2• Somit werden Bildabtastprobleme wirksam vermieden.
Ahnliches bnn auch fiir die Skalierungseigenschaften der Funktion gesagt
werden. Die Vergrofierung eines Ausschnittes um einen beliebigen Faktor ist
problemlos moglich und erfordert nur eine Anpassung der Schwelle k Der
1•
Vergrofierungsfaktor kann ebenfalls eine beliebige reelle Zahl sein. Wahrend
einer Vergrofierung bleiben die auf dem Bild bereits existierenden Strukturen
orts- und formstabil, sie andern ihre Grofie stetig und kontinuierlich, neue hoch
frequente Details werden rechtzeitig generiert und "stetig" oder "weich" einge
blendet. Auch im Falle einer Animation bewegen sich die Strukturen stetig,
kontinuierlich und ohne storende "Spriinge" des Bewegungsablaufes. Die Be
wegungskontinuitat gilt gleichermafien fiir die Teile, die nur translativ bewegt
werden, wie auch fiir diejenigen, die turbulent animiert werden.
Bei einer Skalierung des Definitionsbereiches der Funktion wird auf neue
Bereiche des Zufallsgitters zugegriffen. Dadurch werden neue Strukturen in dem
Bild generiert, eine Periodizitat, wie im Falle der spektralen Synthese mit Hilfe
der FFT, kommt nicht vor. Ebenso kann die Aufiosung des Bildes beliebig sein,
eine Einschrankung auf quadratische Felder mit einer Kantenlange, die nur eine
Zweierpotenz sein darf, ist nicht gegeben.
Die allerwichtigsten Vorteile der Rescale-and-Add Funktion werden durch
ihre rechnerische und strukturelle Lokalitat hervorgerufen. Obwohl jeder Punkt
des Fraktals mit allen anderen korreliert, wird dieser Zusammenhang iiber das
Zufallsgitter und die darauf aufbauende Zufallsfunktion realisiert. Somit wer
den die Endwerte der Nachbarpunkte fiir die Konstruktion einer Stelle nicht
explizit benotigt, sondern nur die verhilltnismafiig wenigen Zufallsgitterpunkte.
Als Ergebnis kann jeder Punkt unabhangig von allen anderen Punkten gene
riert werden. Das ermoglicht sowohl eine beliebige Generierungsreihenfolge, als
auch die Generierung auf unterschiedlichen Prozessoren, die nur das Zufallsgit
ter als gemeinsame Datenbasis teilen miissen. Ferner miissen verdeckte oder
unsicht bare Teile des Fraktals nicht generiert werden, man konzentriert die
Rechenleistung dort, wo sie auch gebraucht wird. Der Speicherplatzbedarf ist
ebenfalls minimal: in [West91] wird gezeigt, dafi eine Tabelle mit 512 Zufalls
punkten bereits hochqualitative Ergebnisse liefert. Fiir die Speicherung einer
solchen Tabelle werden maximal 4 KBytes benotigt, was eine vernachlassigbare
Speicherbelastung bedeutet.
Strukturelle Lokalitat bedeutet, dafi samtliche Parameter der Funktion lokal
variiert werden konnen. Das gilt insbesondere £iir den Hurst Exponenten H, fiir
die Windgeschwindigkeit und Richtung, wie auch fiir die Grofie der einzelnen
Wirbe!' Dadurch kann man jetzt Himmelbilder bei bOigem, lokal variierendem
Wind generieren. U m auf das Beispiel des aus dem Schornstein aufsteigenden
Rauchs zuriickzukehren, ist es jetzt moglich, eine fraktale Dimension, Dichte
2Natiirlich ist die Anzahl der �S�u�m�~�a�t�i�o�n�s�g�l�i�e�d�e�r� k eine ganze Zahl, so daB die Ausdehnung
der Abtastung nicht stetig wlihlbar ist. Jedoch wird im Abs. 5.5.6 gezeigt, daB eine stetige
Abtastung durch Interpolation zwischen dem hoheren und dem unteren Summanden erreicht
werden kann.
4.4 Ergebnisse und Diskussion 97
und Geschwindigkeit an der Austrittstelle des Schornsteins Zl1 definieren, die
sich entlang des Bewegungspfades kontinuierlich andert. Somit ist eine stetige
ortliche Anpassung aller Parameter des Fraktals an die gewiinschten Gro:Ben
moglich. Das wichtigste dabei ist, da:B das gesamte Phanomen mit einem ein
zigen Fraktal generiert wird, eine Editierung aus unterschiedlichen Teilen wie
im Fall der spektralen Synthese ist nicht mehr notig. Das hat ferner den Vor
teil, da:B die Grundstrukturen des Fraktals stetig und kontinuierlich ineinander
iibergehen, so wie es in der N atur ebenfalls der Fall ist.
Der einzige Nachteil der Rescale-and-Add Methode liegt in ihrer Rechen
zeit. Obwohl es sich immer noch um eine recht schnelle Methode im Vergleich zu
anderen Verfahren handelt, liegt ihre Geschwindigkeit mindestens eine Gro:Ben
ordnung unter der durch FFT erreichten. Das ist fiir Animationszwecke kein
nennenswerter N achteil, da bei solchen Anwendungen die Bildgenerierung we
sentlich liinger als die Fraktalgenerierung dauern wird, kann aber fiir interaktive
oder gar Echtzeitapplikationen zu einem Problem werden. Das liegt einerseits
an den zeitaufwendigen Exponentialfunktionen, die bei der Summation benotigt
werden, andererseits an der sehr aufwendigen bikubischen Interpolation. Jedoch
lassen sich beide Probleme losen: Da die Exponentialfaktoren nur an fest vor
gegebenen, ganzzahligen Wert en von k zwischen ko und kl benotigt werden,
konnen sie im voraus berechnet und in eine Tabelle gespeichert werden. An
dererseits konnte die bikubische Interpolation durch geeignete Hardware iiber
nommen werden. In einem solchen Fall wiirde der Aufwand der Rescale-and-Add
pro Bildpunkt auf O(ld(N)jld(r)) sinken, was dem der spektralen Methode ent
spricht.
Es wurde bereits gezeigt, da:B die Parameter der Rescale-and-Add Funktion
aquivalent zu denen der spektralen Synthese sind, oder anders ausgedriickt,
beide Methoden umspannen die gleiche Palette von Phiinomenen. Jedoch mu:B
bemerkt werden, da:B die Parameter der spektralen Synthese miihelos und
natiirlich denen des Turbulenzmodells und der Theorie zugeordnet werden konn
ten, wobei diese Zuordnung fiir die Rescale-and-Add zwar ebenso liickenlos, aber
nicht intuitiv ist. Dies kann der Grund dafiir sein, da:B die Benutzer beider Me
thoden die spektrale Methode intuitiver und leichter verstiindlich finden. Ein
zweiter wichtiger Grund dafiir ist, da:B die spektrale Methode aufgrund ihrer
Schnelligkeit ein interaktives Arbeiten ermoglicht, wie es im Abs. 6.4.1 gezeigt
wird.
Die Mangel, die der statistischen Theorie der Turbulenz inhiirent sind und
die in die spektrale Methode iibernommen wurden, kommen zwar auch genauso
bei der funktionalen Methode vor, sind jedoch weniger fatal. Ein Wirbel ist
in diesem Fall keine sinusformige Welle gegebener Amplitude und Wellenlange,
sondern eine (glatte) stochastische Kurve, die Variationen der Gro:Benordnung
der Wirbel aufweist. Ein solcher Wirbel ist einerseits unperfekt aufgrund seiner
stochastischen Natur, andererseitsortlich lokalisierbar, was besser dem Begriff
der stochastischen Inhomogenitat bestimmter Gro:Be entspricht. Durch Anwen
dung bestimmter Techniken, deren Potential z.Z. nur angerissen wurde ohne
ausgeschOpft zu werden (siehe dazu [Reic92] sowie Abs. 7.2), konnen Efekte wie
98 4. Animationsmethoden zeitvarianter Texturen
z.B. einzelne rotierende Wirbel, anisotrope Turbulenzbewegung, ortlich variie
render Wind, boiger Wind, Umstromung von Gegenstiinden etc. bereits jetzt
teilweise im Prinzip, teilweise vollstandig realisiert werden. Diese Techniken
nutzen die rechnerische und strukturelle Lokalitat der RAA Funktion aus, d.h.
die Tatsache, daB jeder Punkt allein und unabhangig von allen seinen Nach
baren berechnet werden kann, und zwar mit lokal variierenden Parametern.
Somit kann man z.B. die Richtung und Starke des Windes lokal andern, was
zu Boen oder Wirbeln fiihrt. Eine andere Moglichkeit besteht in der Verzer
rung des Koordinatensystems, in dem die Wolke definiert wurde, so daB es die
Form der Umrandungslinie eines bestimmten Gegenstandes einnimmt, was zu
umstromungsahnlichen Gasbewegungen fiihrt. Somit kann die 1nteraktion der
Turbulenz mit der Umgebung gegeniiber der spektralen Methode wesentlich ge
steigert werden. Die Schwierigkeiten bei der Formgebung des turbulenten Feldes
sind ahnlich zu denen der spektralen Methode.
Ein N achteil �b�~�i� der funktionalen Methode stellt die relativ geringe Anzahl
der iiberlagerten Primitive im Verhiiltnis zu den bei der FFT eingesetzten Wel
len dar. Dem kann man durch Verringerung der Lakunaritat entgegenwirken,
was aber hoheren Rechenaufwand bedeutet.
4.4.3 Komplexitiit und Rechenaufwand
Bei der Beurteilung des Berechnungsaufwandes wird zwischen statischen Bildern
und animierten Sequenzen unterschieden. Dabei interessiert die Animation be
deutend mehr als der statische Fall, da statische Bilder im Fall der spektralen
Synthese nur einmal wMrend der 1nitialisierung generiert werden. 1m folgenden
werden die Komplexitaten, theoretisch auszufiihrende Gleitkommaoperationen
(FLOPS) und die sich bei der praktischen Berechnung ergebenden CPU-Zeiten
miteinander verglichen.
Die Komplexitat der spektralen Synthese eines statischen Bildes ist sowohl
fiir ein 2D als auch fiir ein 3D Fraktal O(ld(N)) pro Bildpunkt, wobei N die
Bildaufiosung ist. 1nteressant ist dabei zu merken, daB die tatsachliche Anzahl
der durchzufiihrenden arithmetischen Operationen (FLOPS) von der Dimension
der Transformation abhangt: Fiir den eindimensionalen Fall werden K ld(N)
Operationen pro Bildpunkt benotigt, fiir den 2D Fall 2K Id(N), fiir den 3D
Fall 6K ld(N). Dabei ist K die genaue Anzahl von durchzufiihrenden FLOPS
in dem eindimensionalen Fall. Sie hangt von der aktuellen 1mplementierung ab
und kann somit recht stark variieren. Bei der verwendeten 1mplementierung
benotigen eine komplexe Multiplikation und die Transformation der Polarko
ordinaten insgesamt 5 Id(N) FLOPS pro Bildpunkt. Da wir es hier aber nur
mit reellen Feldern zu tun haben, kann die Berechnung auf nur der Hiilite des
Spektrums durchgefiihrt werden (siehe dazu [Nied84] fiir den entsprechenden
Algorithmus sowie fiir ein FORTRAN Programm), wodurch der Aufwand auf
ca. 2.5 Id(N) FLOPS pro Bildpunkt halbiert wird.
Eine ungefahre Aufwandsabschatzung fiir den statischen Fall ergibt sich
hierbei fiir die Rescale-and-Add nach Gleichung 4.22 aus der Bestimmung der