Fourieranalysis, Distributionen und Anwendungen: Ein Einstieg für Ingenieure, Naturwissenschaftler und Mathematiker

287 Pages·1997·8.99 MB·German

by  Rolf Brigola

RolfBrigola
Fourieranalysis, Distributionen
undAnwendungen
ADS dem Programm ........
Mathematik
Otto Forster
Analysis 1-3
RUdiger Braun und Reinhold Meise
Analysis mit Maple
Elkedagmar Heinrich, Hans-Dieter Janetzko
Das MathematicaArbeitsbuch
Das Maple Arbeitsbuch
Gerhard Opfer
Numerische Mathematik fiirAnfanger
Walter A. Strauss
Partielle Differentialgleichungen
Achim Janser, Wolfram Luther und Werner Otten
Computergraphik mit einer Einfiihrung in
die Bildverarbeitung
Hans-Joachim Bungartz, Michael Griebel und
Christoph Zenger
Einfiihrung in die Computergraphik
Mladen Victor Wickerhauser
Adaptive Wavelet-Analysis
Vieweg --"
Rolf Brigola
Fonrieranalysis,
Distributionen
nnd Anwendungen
Ein Einstieg fur Ingenieure, Naturwissenschaftler
und Mathematiker
Mit zahlreichen Abbildungen und Ubungsaufgaben
Springer Fachmedien WiesbadenGmbH
Prof. Dr. Rolf Brigola
Georg-Simon-Ohm Fachhochschule
FB Allgemeinwissenschaften uno Inforrnatik
Kel3lerplatz 12
l)()4R9 Ntirnberg
Aile Rcchtevorbchaltcn
(0 Springer FachmedienWiesbaden 1997
OriginallypublishedbyFriedr.Vieweg& SohnVerlagsgesellschaftin1997.
DasWcrk undseineTcilesind urhcbcrrechtlich geschutzt.Jcde Vcrwcrtung
autlerhnlb dcr engen Grenzen des Urheberrcchtsgcsctzcs ist ohne Zu
stimmung des Vcrlages unzulassig und strafbar. lJas gilt insbesondere Iiir
Vervielfulugungcn.Ubcrsctzungcn,Mikroverfilmungcn und die Einspciche
rungund Vcrarbcitung inclcktronischcn Systcmcn.
Urnschlaggestaltung:Klaus Birk, Wiesbadcn
GcdrucktaufsaurefreicmPapier
ISBN 978-3-528-06619-2 ISBN 978-3-322-89915-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-89915- 6
v
Vorwort
Fourieranalysis und Distributionstheorie sind fundamentale mathematische Werkzeuge
bei der Beschreibung vieler technisch-naturwissenschaftlicher Probleme, zum Beispiel in
der Mechanik, in der Elektrotechnik, in der Signaltheorie, Nachrichten- und Regetungs
technik. Der vorliegende Text wendet sich an angehende Ingenieure, Naturwissenschaft
ler und Mathematiker, die grundlegende mathematische Modellbildungen und Methoden
der Fourieranalysis kennenlernen und in Anwendungsproblemen umsetzen wollen. Er ist
entstanden aus Vorlesungen fur Studenten der Nachrichtentechnik ab dem vierten Seme
ster an der Fachhochschule Nurnberg. AIs Vorkenntnis wird ein ublicher Grundkurs tiber
Differential- und Integralrechnung vorausgesetzt.
Das Buch ist gegliedert in Kapitel mit mathematischen Grundlagen tiber Fourierrei
hen, Distributionen und Fouriertransformationen, denen jeweils eine Auswahl typischcr
Anwendungsbeispiele folgt. Die heute auch in den Ingenieur-Disziplinen gebrauchlichen
GrundlagenderDistributionstheorievereinfachenvieleBetrachtungenund Rechnungenbei
physikalisch-technischen Fragestellungen und machen sic zu einem guten Teil ubcrhaupt
erstrnoglich.Fourierreihen und Anwendungen aufelektrischeNetzwerkebilden hierzudas
erste anschauliche Beispielmaterial.
Die Abschnitte tiber Anwendungsbeispiele konnen je nach Interessenlage weitgehend
unabhangigvoneinandergelesenwerden.Nebeneinem Einstieg indie Grundtypcn linearer
partieller Differentialgleichungen und inPrinzipienderlinearenSystemtheorieund Signal
verarbeitung wird ein Einblick in numerische Aspekte fur die praktische Anwendung der
erlernten Methoden eroffnet, DiesemZiel dienendie Abschnitte tiber diediskrete Fourier
und Wavelettransformation und tiber die Grundidee der Finiten Elemente. lch hoffe, Stu
dierende damit indie Lage zu versetzenund anzuregen, die erarbeiteten Kenntnisse indie
Praxis umzusetzen und nach Bedarfmit weiterfuhrenderLiteratur zu vertiefen.
Eine AuswahlderverwendetenQuellen und Hinweise aufweiterfuhrende Wcrke findet
man im Literaturverzeichnis. Fur anregende Diskussionen beider Entstehung des Buches
gilt mein besonderer Dank meinem akademischen Lehrer Professor D. Kolzow sowie
meinen Freunden und Kollegen S. Bolz, H.-U. Hel3,H. Leinfelder, E. Novak, R. Schwarz
und E. Wermuth. Die Beispiele zur Bilddatenkompression im letzten Teil des Buches
verdanke ieh der freundliehen Unterstiitzung der Herren M. Lang und P. Singer, MeVis
GmbH, Universitat Bremen. Herrn W. Schwarz vom Vieweg-Verlag danke ich fur die
vertrauensvolle Zusammenarbeit, Herrn H. Heinze fur den Buchsatz mit I9TEX und die
Bearbeitung derBilder. Gleichfalls danke ich meinen Studenten,die mit hoherMotivation
und konstruktiverKritikinden Vorlesungenund Seminaren,diedemBuehzugrundeliegen,
mitgearbeitet haben.
Hinweise zu den Losungen der Ubungsaufgaben sind aufder Home Page des Autors
(http://www.ai.fh-nuernberg.de) zu finden. Kritik und Anregungen von Lesern sind an die
email-Adresse r .brigol a@ai .fh-nuernberg.de wiIlkommen.
Nurnberg, im November 1996 RolfBrigola
VII
Inhaltsverzeichnis
1 Einfiihrung 1
1.1 Geschichtliches . I
1.2 Das Problemder schwingendenSaite 2
2 Trigonometrische Polynome, Fourierkoeffizienten 7
2.1 DarstellungentrigonometrischerPolynome . . 7
2.2 Die FourierkoeffiziententrigonometrischerPolynorne 8
2.3 Dirichlet-Kerne . II
2.4 Zusammenfassung uber trigonometrische Polynome 13
3 Fourierreihen 14
3.1 Die erste Fourierreihe . 14
3.2 Grundlegende SatzeuberFourierreihen 21
3.3 Das SpektrumperiodischerFunktionen 25
3.4 Obungsaufgaben . 28
4 Rechnen mit Fourierreihen 30
4.1 Symmetrie-Eigenschaften, Linearitat, Ahnlichkeit 30
4.2 Translationen im Zeit- und im Frequenzbereich 33
4.3 Die Ableirung von Fourierreihen . . . . . . . . . 35
4.4 Integrationvon Fourierreihen . 36
4.5 Asymptotisches Verhaltender Fourierkoeffizienten 38
4.6 Spektrumund Leistung, Parseval-Gleichung 42
4.7 Obungsaufgaben . . . . .. . . . .. 43
5 Anwendungsbeispielefiir Fourierreihen 45
5.1 BesteApproximation imquadratischen Mittel 45
5.2 PeriodischeFaltung,AnwendungauflineareSysteme 48
5.3 Die PotentialgleichungaufeinerKreisscheibe . . 52
5.4 Losung fur das Problemder schwingenden Saite . 56
5.5 Der Approximationssatzvon Weierstraf . . . . . 59
5.6 Einfuhrung in die diskrete Fouriertransformation 60
5.7 Obungsaufgaben . 73
6 Zur Konvergenz von Fourierreihen 76
6.1 DerSatzvon Dirichlet . . . . . . . . . . . . . 76
6.2 DerSatzvon Fejer, Konvergenzvon Glattungen 78
6.3 Die Parseval-Gleichung . . . . . . . . . . . . 84
6.4 Fourierreihenfur FunktionenmehrererVariablen 85
6.5 Grunde fur den Ubergangzu Distributionen 89
6.6 Obungsaufgaben ... . . . .. .. . .. . ... 92
VIII Inhaltsverzeichnis
7 Grundziige der Distributionstheorie 93
7.1 Beschreibungvon Funktionendurch Mittelwerte . 93
7.2 Testfunktionen 96
7.3 Der 8-lmpuls . . . . . . . . 97
704 Distributionen . . . . . . . 103
7.5 Rechnen mit Distributionen 107
7.6 Testfunktionen und Distributionen mit mehreren Variablen 115
7.7 Tensorprodukt und Faltungvon Distributionen . 118
7.8 Obungsaufgaben . . . .. . . . . . . . . .. . 125
8 Anwendungsbeispielefiir Distributionen 127
8.1 Periodische Distributionen, Fourierreihen . . . . . . . . . . 127
8.2 Lineare Ditferentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 131
8.3 Anwendungauflineareelektrische Netzwerke 136
804 Raumliche Potentialprobleme . . . . . . . . . 138
8.5 Die Grundideeder Finiten Elemente . . . . . . 147
8.6 Distributionslosungder Schwingungsgleichung 161
8.7 Zusammenfassung 163
8.8 Obungsaufgaben. . . .. .. . . . . . . . . . 165
9 Die Fouriertransformation 167
9.1 Darstellungvon Funktionendurch harmonische Schwingungen 167
9.2 Fouriertransformation reellwertigerFunktionen 170
9.3 Gibbs-Phanornen und Glattung . 173
904 Rechnen mit Fouriertransformationen . 174
9.5 Die Fouriertransformation furtemperierteDistributionen 181
9.6 Fouriertransformationquadratisch integrierbarerFunktionen . 191
9.7 Die Fouriertransformation fur Funktionen mehrererVariablen 193
9.8 Obungsaufgaben . 198
10 Anwendungsbeispiele filr die Fouriertransformation 200
10.1 Zeitinvariante lineare Systeme, FrequenzganglinearerFilter . 200
10.2 Der Abtastsatz von Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
10.3 Die HeisenbergscheUnscharferelation . . . . . . . . . . . . 216
lOA Zeit-Frequenz-Analyse,gefensterteFouriertransformationen . 221
10.5 Zeitfensterbei der diskreten Fouriertransformation . . .. . 229
10.6 Anfangswertproblemefur Wellen- und Warmeleirungsgleichung 233
10.7 Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
II Ausblicke aufweiterfuhrendeKonzepte 240
11.1 Hilbertraume,speziellevollstandigeOrthonormalsysteme 240
11.2 Wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
A Hilfsmittel aus der Integrationstheorie 265
Literaturverzeichnis 275
Sachwortverzeichnis 279
1 Einfiihrung
1.1 Geschichtliches
Trigonometrische ReihenderForm
L00
(ancos(nwt)+o«sin(nwt)),
n=O
spater Fourierreihen genannt, wurden historisch erstmals benutzt zur Beschreibung peri
odischer Vorgangeinder Astronomieundzur Behandlung der Bewegungsgleichungeiner
schwingenden Saite. Schon D. Bernoulli (1700-1782) vertrat die AutTassung,daf sich
.jede" Schwingungsform einer Saite als Uberlagerung einer Grundschwingung mit einer
Kreisfrequenz wundOberschwingungen mitden Frequenz-Vielfachennw,n = 2,3,4,...
darstellen lasse. Der franzosische Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier (1768
1830) benutzte 1807 solche trigonometrischen Reihen zur Darstellung von Losungen der
Warmeleitungsgleichung. Fiireinen Stab der Lange l mit der Temperaturleitfahigkeit k,
dessen Enden aufder Temperatur Null gehalten werden, wird die Temperatur u(x,t) in
x E [0,l] zur Zeit t > 0 durch folgende homogene, partielle Differentialgleichung be
schrieben:
fJu fFu
=
&(x,t) k fJx (x,t) (keine Energiezufuhr vonauBen)
2
11(X,0) = f(x) (Anfangstemperaturverteilung f)
u(O,t) =u(l,t) =0 (die EndendesStabes sindeisgekuhlt) .
Die Fouriersche Reihenlosunglautete
L (nJr)
u(x,t) = 00 b.,e- k(ntrjl)2tsin -l-x ,
n=l
Jl
b ~ (nlJrY)
= f(y) sin dy.
n
o
DaFouriernochsehranschaulichargumentierte,stiefseineTheoriederWarmeausbreitung
zunachstaufVorbehalteundBedenken,dieerstnachjahrzehntelanger,dochletztlichiiuBerst
fruchtbarer Diskussion ausgeraumt werden konnten. Die exakte Klarung der mathemati
schen GrundbegritTe fur die Aussagen Fouriers geht wesentlich zuriick aufArbeiten des
Mathematikers P.Lejeune Dirichlet (1805-1859).Nach AblauffasteinesJahrhunderts war
dann klar, daB Fouriers Arbeit wichtige Impulse fur viele Teilbereiche der Mathematik
gegeben hatte. Fragestellungen der Fourieranalysis, d.h.,der Darstellung von Funktionen
2 I Einfuhrung
durchharrnonischeSchwingungen,fuhrten DirichletzummodernenFunktionsbegriff,stan
den am Beginn derMengenlehreG.Cantors (1845-1918), und waren Ausgangspunkteder
Integrationstheorie von B. Riemann (1826-1866) und H. Lebesgue (1875-1941). Funktio
nalanalysis und moderne numerische Mathematik erhalten bis heute starke Anregungen
aus der Theorieder Fourierreihen fur ihre abstrakten Begriffeund die dadurchbegriindeten
MethodenzurLosungkonkreterAnwendungsprobleme.Schonmit der DiskussionderFou
rierschen Ideen begann auch ihr Triumphzug in den Ingenieur- und Naturwissenschaften,
wo sie bis heute zu den wirkungsvollsten mathematischenHilfsmittelnzahlen,
Zur Erklarung der Grundgedanken von Bernoulli und Fourier behandeln wir zunachst
das ProblemderschwingendenSaite.Die Saitenschwingungkannals elementaresBeispiel
einesakustischen Signals aufgefal3t werden,aus demschonwesentlicheGrundbegriffe fur
viele Anwendungsgebieteder Fourieranalysisentwickeltwerden konnen.
1.2 Das Problem der schwingenden Saite
Hierzu betrachten wir die kraftefreie Bewegung einer an zwei Enden eingespannten, ho
mogenen Saite derLangel.Wie wirdsich die Saitebewegen,wenn sie aus ihrerRuhelage
ausgelenkt und dann losgelassen wird? Urndie Frage rechnerisch behandeln zu konnen,
fuhren wir ein Koordinatensystem ein und bezeichnen die transversale Auslenkung der
Saite an derStellex zurZeit t mit u(x,t).
=
u(x,O) J(x)
01---="'=-----------~:::------7"
x
JRt,
Gesuchtwirdeinezweimalstetigdifferenzierbare Funktionu(x,t) auf[0,l] x welche
die Randbedingungen
u(O,t) = u(l,t) = 0 fur t:::: 0,
und die Anfangsbedingungen
u(x,O)= f(x) fur 0 :::; x :::; l , f(O) = f(l) = 0 ,
~u
lim (x,t) = g(x) fur 0 :::; x :::; l , g(O) = g(l) = 0
t-O+ ut
erfullt. .Loslassen"bedeutetim Beispiel,daB9= 0 ist auf[0,l] .
Urnu(x,t) auch fur Zeiten t > 0bestimmenzu konnen, entnehmenwiraus derPhysik,
daBu(x,t)beikraftefreierBewegungfurkleinetransversaleAuslenkungennaherungsweise
dereindimensionalen Wellengleichung genugt:
82u 82u
- = c2_ (0 < X < l , t > 0),
8t2 8x2
mit den vorgenannten Rand- und Anfangsbedingungen.
1.2 Das Problemder schwingenden Saite 3
Die Konstante c2 ist dabei der Quotient aus der Gewichtskraft P, die an den Be
festigungsstellen derSaitezieht,und der Massendichte Qder Saite:c2 = P/e.
Nimmt man nun zusatzlichan,daBu(x,t) von der Form
u(x,t) = v(x).w(t) (Trennungder Variablen)
ist, so folgt durch Einsetzen indie Wellengleichung
2 2
Dabet.benutzenwi.rdi·eNotati.onw. = -ddw undvI = -d,v.w. = -ddW2 undvII = -dd2v·
t dx t x
Divisiondurch c2vw (unterder Voraussetzungc2vw =!= 0)ergibtdann
v"
v
Weil die linke Seite eine Funktion nur von t ist und nicht von x abhangt, kann auch die
rechte Seitenichtvon x abhangen,muBmithin konstantsein.Gibt man der Konstantenden
Namen A,so erhaltman zwei gewohnliche, lineare DitTerentialgleichungen
v" - AV= 0
ill - AC2W = 0
und Nebenbedingungen
v(O) = v(l) = 0 (1.1)
v(x)w(O) = f(x) (0 ~ x ~ l) (1.2)
v(x) lim w(t) = g(x) (0 ~ x ~ l) . (1.3)
t-O+
ZurErinnerungangewohnlichelineareDitTerentialgleichungenbestimmenwir die Losun
=
gen von v" - AV 0:
= Sx Sx 2 = Sx
DerAnsatz v(x) e fuhrt aufdie Gleichung e (8 - A) O. Da immere =!= 0 ist,
erhalt man Losungen durch Bestimmung der Nullstellen des charakteristischen Polynoms
P(8) = 82 - A.DieNullstellen des charakteristischenPolynoms P(8) = 82 - Asind
±v':\ A>O
o
falls A= 0
±jN A< O.
Dabeibezeichnetj diekomplexe Einheit: j2= -1.(FUrLeser, die statt j die Bezeichnung
i, i2 = -1,gewohntsind,sei bemerkt,daBj2 = -1 die inder Literaturzur Elektrotechnik
und SignalverarbeitungweitverbreiteteNotationist.)
1. Fall A > 0: Nehmen wiran, eine der Losungen v(x) = c\ev'X·x+C2e-v'X·x erfullt
die Randbedingungen. Danngilt fur die entsprechendenc\ und C2
+
c\ev'X·0 C2e-v'X·0= C\ +C2 = 0 ,
C\ ev'X·1 +C2e-v'X·1= 0 .