formulações e algoritmos sequenciais e paralelos para o problema da árvore geradora de custo ...

135 Pages·2012·0.98 MB·Portuguese

FORMULAÇÕES E ALGORITMOS SEQUENCIAIS E
PARALELOS PARA O PROBLEMA DA ÁRVORE
GERADORA DE CUSTO MÍNIMO COM
RESTRIÇÃO DE GRAU MÍNIMO

LEONARDO CONEGUNDES MARTINEZ
FORMULAÇÕES E ALGORITMOS SEQUENCIAIS E
PARALELOS PARA O PROBLEMA DA ÁRVORE
GERADORA DE CUSTO MÍNIMO COM
RESTRIÇÃO DE GRAU MÍNIMO
Dissertação apresentada ao Programa
de Pós-Graduação em Ciência da Com-
putação do Instituto de Ciências Exatas
da Universidade Federal de Minas Gerais
como requisito parcial para a obtenção
do grau de Mestre em Ciência da Com-
putação.
ORIENTADOR: ALEXANDRE SALLES DA CUNHA
Belo Horizonte
Fevereiro de 2012
(cid:13)c 2012,LeonardoConegundesMartinez.
Todososdireitosreservados.
Martinez,LeonardoConegundes
M385f Formulaçõesealgoritmossequenciaiseparalelos
paraoproblemadaárvoregeradoradecustomínimo
com restriçãodegraumínimo/Leonardo
ConegundesMartinez. —BeloHorizonte,2012
xxii,113f.: il.;29cm
Dissertação(mestrado)—UniversidadeFederalde
MinasGerais
Orientador: AlexandreSallesdaCunha
1.Otimizaçãocombinatória-Teses.
2.Programação(Matemática)-Teses. 3.Programação
inteira-Teses. 4.Programaçãoparalela
(Computação)-Teses. I.Orientador. II.Título.
CDU519.6*61(043)

Agradecimentos
Aos meus pais e avós, sempre presentes nessa longa caminhada que já dura
exatos 25 anos! Obrigado por tudo o que fizeram e fazem por mim até hoje. Devo
muitodessaconquistaavocês.
Aosmeusirmãosetios(as),muitoobrigadopelaamizadeeapoiocontínuo.
À minha amada Débora (uma “exímia cientista da computação!!!”), por todos
osmomentosquevivemosjuntos.
A todo o time da S10I & SI2, especialmente ao Paulo Gomide, Mateus Lana e
GabrielLana,queantesdeseremsócios,sãoamigosparaavidainteira!
A todos os que estiveram envolvidos comigo nesses seis anos de Maratona
de Programação, em especial aos companheiros de aniMOUSEs e SUDO, Felipe
Machado,ItamarVianaeThiagoGoulart. Comvocêsresolverproblemasecompetir
semprefoiumadiversão!
A todos os amigos do LaPO, dos velhos e dos novos tempos, em especial ao
Fred Quintão, por ter me apontado o “caminho das pedras”, e ao Cristiano Arbex e
aoRafaelCoelho,quemuitomeajudaramapercorrê-lo.
A todos os professores do DCC com quem tive a oportunidade de trocar
experiências,discutirideiaseaprender. EmespecialaoProf. Robson,meuprimeiro
orientadordeIniciaçãoCientífica,quecontribuiubastanteparaaminhaformação.
AoProf. Alexandreosmeussincerosagradecimentos,portersidomuitomais
que um orientador nos últimos anos. Obrigado por tudo o que fizemos juntos, por
suaenormededicação,amizade,ensinamentoseapoioaomeu“estilomulti-thread”.
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Resumo
Dados um grafo G não direcionado valorado nas arestas e um inteiro positivo
d,oProblemadaÁrvoreGeradoradeCustoMínimocomRestriçãodeGrauMínimo(PAG-
MGM)consisteemencontrarumaárvoregeradoradecustomínimoT deG,talque
o grau de cada vértice em T seja igual a 1 ou maior ou igual a d. O PAGMGM foi
propostorecentementeepertenceàclasseNP-Difícilparad ≥ 3. Nestetrabalho,in-
troduzimos formulações de Programação Inteira e algoritmos de otimização para o
problema. Duasformulaçõesbaseadasemumnúmeroexponencialderestriçõesde
eliminaçãodesubcircuitos,umadirecionadaeoutranãodirecionada,sãoapresenta-
dasecomparadassobumaperspectivateóricaecomputacionalemrelaçãoaosseus
limites de Programação Linear. Dois métodos baseados na formulação direcionada
forampropostos,umalgoritmoBranch-and-cuteummétodoLocalBranching. Este
último emprega o algoritmo Branch-and-cut como resolvedor interno. Devido ao
fato de a formulação direcionada não ser simétrica em relação aos limites de Pro-
gramação Linear fornecidos, introduzimos uma reformulação compacta e simétrica
para o problema, obtida com a aplicação de uma técnica de reformulação por inter-
seção à formulação direcionada. Apesar da reformulação prover limites de Progra-
mação Linear muito mais fortes que aqueles fornecidos pelas demais formulações,
a avaliação direta desses limites através de resolvedores de Programação Linear é
muitocaracomputacionalmente. Porisso,introduzimosumalgoritmodeRelaxação
Lagrangeana para aproximá-los. Com o objetivo de acelerar o cálculo dos limites
duais Lagrangeanos, implementamos um Método de Subgradiente paralelo. Intro-
duzimostambémumaHeurísticaLagrangeanabaseadanoalgoritmoLocalBranch-
ing. Com os métodos propostos, vários novos certificados de otimalidade e melho-
reslimitesinferioresesuperioresparaoPAGMGMsãofornecidos.
Palavras-chave: OtimizaçãoCombinatória,ProblemadaÁrvoreGeradoradeCusto
Mínimo com Restrição de Grau Mínimo, Formulações de Programação Inteira,
Branch-and-cut,LocalBranching,RelaxaçãoLagrangeana,ProgramaçãoParalela.
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