Formes bilinéaires invariantes sur les algèbres de Leibniz et les systèmes triples de Lie

115 Pages·2017·1.4 MB·French

by  Samiha Hidri

Formes bilinéaires invariantes sur les algèbres de Leibniz
et les systèmes triples de Lie (resp. Jordan)
Samiha Hidri
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Samiha Hidri. Formes bilinéaires invariantes sur les algèbres de Leibniz et les systèmes triples de Lie
(resp. Jordan). Algèbre commutative [math.AC]. Université de Lorraine, 2016. Français. ￿NNT:
2016LORR0237￿. ￿tel-01497125￿
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Université de Lorraine, Institut Elie Cartan de
Lorraine.
Ecole Doctorale IAEM Lorraine, D.F.D. Mathématiques.
Université de Sfax, Tunisie.
École Doctorale de Sfax.
Thèse
Présentée pour l'obtention du titre de
Docteur en Mathématiques
De l'Université de Sfax
Par

Samiha HIDRI

Formes bilinéaires invariantes sur les algèbres de
Leibniz et les systèmes triples de Lie (resp. Jordan)

Soutenue le 14 Novembre 2016 devant le jury composé de

Saïd Benayadi Université de Lorraine Directeur de thèse

Ali Baklouti Université de Sfax Co-directeur de thèse

Camille Laurent-Gengoux Université de Lorraine Examinateur

Abdenacer Makhlouf Université de Haute Alsace-Mulhouse Rapporteur

Khaled Tounsi Université de Sfax Examinateur

Friedrich Wagemann Université de Nantes Rapporteur

Université de Lorraine, Institut Elie Cartan de Lorraine Ecole Doctorale IAEM Lorraine,
D.F.D. Mathématiques.
Remerciements

C’est avec un grand plaisir que je réserve ces deux pages en signe de
reconnaissance à tous ceux qui m’ont aidé à la réalisation de ce travail.
Je tiens à remercier vivement mes directeurs de thèses :
Professeur Ali Baklouti pour la confiance qu’il m’a témoignée en acceptant la
direction de mes travaux de recherche dès mon départ en mastère de
Mathématiques. Je lui suis reconnaissante de m’avoir fait bénéficier tout au
long de ces années de sa compétence, de son dynamisme et de son efficacité
que je n’oublierais jamais.
Ce travail n’aurais pas vu le jour sans le soutient aussi bien scientifique que
moral que m’a apporté mon directeur de thèse à Metz, professeur Saïd
Benayadi. Je le remercie de m’avoir guidé jusqu’au bout pour la réalisation de
ce manuscrit. Je lui adresse toute ma gratitude pour la patience et la
compréhension qu’il a montrée envers ma situation qui nous a obligés de
travailler à distance. Professeur Benayadi a toujours cru en mes capacités et
m’a poussé à arriver au bout de cette thèse. Qu’il trouve ici le modeste
témoignage de ma sincère gratitude et de mon profond respect.
Je n’oublie pas de mentionner Professeur Amir Baklouti qui a diriger mes
premier travaux de recherche en mastère et au début de cette thèse. Je lui dois
mon éveil à la recherche scientifique dans la théorie des algèbres de Lie. Soyez
assurer de ma reconnaissance et gratitude.
Il m’est très agréable de remercier l’ensemble des membres du jury de ma
thèse : Professeur A. Makhlouf, Professeur C. Laurent-Gengoux et Professeur F.
Wagemann pour avoir accepter de juger ce travail malgré les pénibles
déplacements qu’ils doivent faire. J’apprécie beaucoup les remarques et
suggestions de Professeur Wagemann qui m’ont aidé à améliorer mon mémoire
de thèse. Mes remerciements vont aussi à Professeur K. Tounsi qui m’a fait
l’honneur en acceptant d’être membre de mon jury.
Mes sincères remerciements vont à Stéphane Lebreton, du bureau de la vie
doctorale de l’université de Lorraine qui m’a facilité toutes les taches
administratives à Metz. Je remercie également les adorables personnes que j’ai
rencontrées durant mes stages à Metz. Je pense en particulier à Hedi et Yahya.
Au sein du laboratoire LAMHA, j’ai trouvé une agréable ambiance de travail
avec mes chers collègues que je remercie tous sans exception. Mais je tiens à
siter Nasreddine et notre formidable secrétaire Mariem.
Durant ce long parcours des études doctorales, j’ai été accompagnée par des
amis adorables : Warda, Monya et Abdelkader m’ont toujours soutenu dans les
moments durs. Ma meilleur amie Mariem m’encourage toujours. Je lui souhaite
tout le bonheur du monde.
Enfin, les mots les plus simples étant les plus forts. J’adresse toute mon
affection à ma famille. Merci pour tout ce que vous m’avez donné. Et en
particulier à ma maman. Merci d’avoir fait de moi ce que je suis aujourd’hui. Je
tiens à remercier mes beaux parents et mes beaux frères et sœurs. Je garderais
dans mon cœur votre compréhension et votre efficacité. Je ne saurais terminer
sans remercier la personne à qui je dois tout, mon mari Ahmed. Que dieu te
protège.
Je dédie ce travail à tous ceux que ma réussite leur tient.
Table des mati`eres
0 Introduction III
1 Pr´eliminaires 1
1.1 Les alg`ebres de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 G´en´eralit´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Les alg`ebres de Leibniz r´esoluble, nilpotentes . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Les alg`ebres de Leibniz simples et semi-simples . . . . . . . . . . . 5
1.2 Les syst`emes triples de Lie et de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 G´en´eralit´ees sur les syst`emes triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Les syst`emes triples de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Les syst`emes triples de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
I Les alg`ebres de Leibniz 17
2 Alg`ebres de Leibniz quadratiques 19
2.1 D´efinitions et r´esultats pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Alg`ebres de Leibniz quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Alg`ebres de Leibniz r´esolubles et T∗-extension . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 Extensions des alg`ebres de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.1 Extension centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.2 Produit semi-direct g´en´eralis´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.3 Double extension des alg`ebres de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5 Description inductive des alg`ebres de Leibniz quadratique . . . . . . . . . . 42
3 Formes bilin´eaires invariantes sur les alg`ebres de Leibniz 45
3.1 Structure d’alg`ebre de Leibniz gauche avec une forme bilin´eaire invariante
a` gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1
3.2 Description de la structure de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3 Description de la structure de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4 Les alg`ebres de Leibniz gauches munies d’une forme bilin´eaire invariante `a
droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
II Les alg`ebres de Lie et de Jordan 61
4 Les syst`emes triples de Lie quadratiques 63
4.1 Structure des syst`emes triples de Lie quadratiques . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 Les syst`emes triples de Lie quadratiques nilpotents . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.1 Double extension par la dimension un . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.2 Description inductive des syst`emes triples de Lie nilpotents . . . . 71
4.3 Description des syst`emes triples de Lie Quadratiques . . . . . . . . . . . . 73
4.3.1 Produit semi-direct des syst`emes triples de Lie . . . . . . . . . . . 73
4.3.2 Double extension des syst`emes triples de Lie . . . . . . . . . . . . . 76
4.3.3 Description inductive des syst`emes triples de Lie quadratiques . . . 78
5 Les syst`emes triples de Jordan pseudo-euclidiens 81
5.1 T∗−extension des syst`emes triples de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2 Caract´erisation des syst`emes triples de Jordan semi-simples au moyen de
l’op´erateur de Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.3 Caract´erisation des syst`emes triples de Jordan semi-simples au moyen de
l’indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Bibliographie 92
Index des notations 97
R´esum´e 98
`
II TABLE DES MATIERES
Chapitre 0
Introduction
Il existe trois types d’alg`ebres classiques fortement li´ees : Les alg`ebres associatives, les
alg`ebres de Lie et les alg`ebres de Jordan. En fait, toute alg`ebre associative (A,.) munie
de l’anti-commutateur x • y := 1(x.y + y.x) est une alg`ebre de Jordan. D’autre part, si
2
on muni A du commutateur [x,y] := x.y −y.x, alors (A,[, ]) devient une alg`ebre de Lie.
De plus, d’apr`es les travaux de J. Tits, M. Koecher et I. Kantor, on peut `a partir de
toute alg`ebre de Jordan costruire une alg`ebre de Lie. C’est la costruction KKT. Il est
bien connu que l’alg`ebre enveloppante universelle d’une alg`ebre de Lie a la strucure d’une
alg`ebre associative.
R´ecemment, Plusieurs g´en´eralisations de ces alg`ebres classiques ont apparues.
En1993,J.L.Lodayaintroduitlanotiond’alg`ebredeLeibniz([56]).C’estuneg´en´eralisation
non anti-commutative des alg`ebres de Lie. Loday a aussi introduit la notion de di-alg`ebre
comme g´en´eralisation des alg`ebres associatives avec deux op´erateurs ([55]). Ensuite, il a
g´en´eralis´e la relation entre les alg`ebres de Lie et les alg`ebres associatives en une relation
analogue entre les alg`ebres de Leibniz et les di-alg`ebres ([55]). La construction KKT a
´et´e aussi g´en´eralis´ee au cas des alg`ebres de Leibniz, mais en partant d’une alg`ebre quasi-
Jordan (g´en´eralisation des alg`ebres de Jordan) ([65]).
Une g´en´eralisation r´esultant des probl`emes de la physique th´eorique est celle des alg`ebres
n-aires. Une alg`ebre n-aire est un espace vectoriel muni d’un produit n-lin´eaire (n ∈ N).
Il est clair que pour n = 2, une alg`ebre binaire est une alg`ebre au sens usuel. Pour n = 3,
une 3−alg`ebre est dite parfois un syst`eme triple.
Dans cette th`ese, on s’interesse aux alg`ebres n-aires de Lie, de Jordan et de Leibniz avec
n = 2 et n = 3. En particulier, on ´etudie la structure de ces alg`ebres lorsque elles sont
munie d’une forme bilin´eaire sym´etrique, non d´eg´en´er´ee et associative. On rappelle que
si (A,.) est une alg`ebre non- associative quelconque et B est une forme bilin´eaire sur A,
III
IV CHAPITRE 0. INTRODUCTION
alors on dit que B est associative si B(x.y,z) = B(y,x.z),∀x,y,z ∈ A.
Dupointdevueg´eom´etrique,l’existanced’unetelleformebilin´eairesurunealg`ebredeLie
g (dite quadratique) donne naissance a` une structure pseudo-reimannienne bi-invariante
sur tout groupe de Lie connexe qui a g pour alg`ebre de Lie. R´eciproquement, si G est un
groupe de Lie muni d’une structure pseudo-reimannienne bi-invariante, alors son alg`ebre
de Lie est quadratique.
Plusieurs travaux de recherches ont ´et´e consacr´e a` l’´etude de quelques types d’alg`ebres
ayant cette structure ([6], [4], [8]). Tout ces travaux utilisent la notion de la double ex-
tension introduite par A. Medina et Ph. Revoy dans [58] dans le cas des alg`ebres de Lie
quadratiques, pour donner une description inductive de ces structures. N’oublions pas
de mentionner le processus de le T∗-extension introduite par M. Bordmann dans le cas
g´en´eral des alg`ebres non-associatives ([17]).
Tout ces faits forment la motivation des sujets trait´es dans cette th`ese. Qui sont : Les
alg`ebres de Leibniz, les syst`emes triples de Lie et les syst`emes triples de Jordan munis
d’une forme bilin´eaire sym´etrique, non-d´eg´en´er´ee et associative (ou invariante). On note
que les espaces vectoriel consid´er´es sont de dimensions finies sur des corps de caracteris-
tique z´ero.
Le premier chapitre de cette th`ese contient des d´efinitions et des r´esultats pr´eliminaires
dont on a besoin le long de ce document. Apr`es ce chapitre, le m´emoire se d´ecompose en
deux parties.
Premi`ere partie
Les alg`ebres de Leibniz
Lanotiond’alg`ebredeLeibniza´et´eintroduiteparJ.LLoday.C’estuneg´en´eralisation
non-anti commutative des alg`ebres de Lie qui joue une rˆole important dans la cohomo-
logie de Hochschild [56]. Il r´esulte alors deux types d’alg`ebres de Leibniz : Les alg`ebres
de Leibniz gauches et les alg`ebres de Leibniz droite. Une alg`ebre de Leibniz gauche (resp.
droite) est un espace vectoriel L muni d’un produit [, ] : L × L −→ L tel que pour
tout x,y ∈ L, [x,[y,z]] = [[x,y],z] + [y,[x,z]] (resp. [x,[y,z]] = [[x,y],z] − [[x,z],y]).
Si L est `a la fois une alg`ebres de Leibniz gauche et droite, alors on dit que L est une
alg`ebre de Leibniz sym´etrique ([39]). Ces derni`eres alg`ebres apparaissent dans l’´etude des
connections bi-invariante des groupes de Lie ([13]). Dans les derni`eres ann´ees, la th´eorie
des alg`ebres de Leibniz a ´et´e extensivement ´etudi´ee. Plusieurs r´esultat des alg`ebres de
Lie ont ´et´e g´en´eralis´ees au cas des alg`ebres de Leibniz ( [24], [31], [32], [37], [63], [39],