Formelsammlung Analytische Geometrie

25 Pages·2017·0.17 MB·German

by  Klemens Fersch

Formelsammlung Analytische Geometrie
http://www.fersch.de
©Klemens Fersch
1. Juli 2020
Inhaltsverzeichnis
6 Analytische Geometrie 2
6.1 Vektorrechung in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
6.1.1 Vektor - Abstand - Steigung - Mittelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
6.1.2 Skalarprodukt - Fläche - Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
6.1.3 Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
6.2 Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6.2.1 Vektor - Abstand - Mittelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6.2.2 Winkel - Skalarprodukt - Vektorprodukt - Abhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
6.2.3 Spatprodukt - lineare Abhängigkeit - Basisvektoren - Komplanarität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.3 Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6.3.1 Gerade aus 2 Punkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6.4 Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.4.1 Parameterform - Normalenform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.4.2 Ebenengleichung aufstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.4.3 Parameterform - Koordinatenform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6.4.4 Koordinatenform - Parameterform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6.4.5 Koordinatenform - Hessesche Normalenform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6.5 Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6.5.1 Kugelgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6.6 Lagebeziehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6.6.1 Punkt - Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6.6.2 Gerade - Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6.6.3 Punkt - Ebene (Koordinatenform) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.6.4 Gerade - Ebene (Koordinatenform) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6.6.5 Ebene - Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1
Analytische Geometrie
6 Analytische Geometrie
6.1 Vektorrechung in der Ebene
6.1.1 Vektor - Abstand - Steigung - Mittelpunkt
5
5
v⃗
5
-2
4
v⃗
4
3
A(-1/3b )
v⃗
3
2
b
M
v⃗
1
1
bB(4/1)
v⃗
2
−1 1 2 3 4 5 6
Vektor - Ortsvektor
• Ve ktor⃗v!- Menge aller parallelgleicher Pfeile Ve(cid:18)ktoren:(cid:19)A⃗B =v⃗3 =v⃗4 =v⃗5
x 5
⃗v = = (cid:0)2
y (cid:18) (cid:19)
• Ortsvektor ⃗v - Vektor zwischen einem Punkt und dem Ortsvektor: A⃗ =v⃗ = (cid:0)1
1 3
(cid:18) (cid:19)
Koordinatenursprung
4
Ortsvektor: B⃗ =v⃗ =
A(xa/ya) ! 2 (cid:18) 1 (cid:19)
x (cid:0)5
A⃗ =O⃗A= a Gegenvektor zu v⃗5 = 2
y
a
• Gegenvektor ⃗v - gleiche Länge und Richtung aber entge-
geng esetzte!Orientierung
−x
⃗v =
−y
Vektor zwischen 2 Punkten
2 Punkt e: A(xa/ya)! B( xb/yb)!
x −x x Punkte: A((cid:0)1/3) B(4/1)
A⃗B = yb−ya = yc Vektor(cid:18)zwischen(cid:19)zwei(cid:18)Punkt(cid:19)en
b a c 4+1 5
A⃗B = =
1(cid:0)3 (cid:0)2
Länge des Vektors - Betrag des Vektors - Abstand zwischen zwei Punkten
(cid:12) (cid:12) p (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) q
(cid:12)(cid:12)A⃗B(cid:12)(cid:12)= x2+y2 (cid:12)(cid:12)A⃗B(cid:12)(cid:12)=(cid:12)(cid:12)A⃗B(cid:12)(cid:12)= 52+((cid:0)2)2
(cid:12)(cid:12)−−→(cid:12)(cid:12) p c c (cid:12)(cid:12) (cid:12)(cid:12) p
(cid:12)AB(cid:12)= (x −x )2+(y −y )2) (cid:12)A⃗B(cid:12)= 29
b a b a (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)A⃗B(cid:12)=5,39
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Analytische Geometrie Vektorrechung in der Ebene
Steigung der Graden AB
!
x Steigng der Geraden AB
A⃗B = (cid:0)2
y m=
5
Steigung der Graden AB
y
m=
x
Winkel des Vektors mit der x-Achse
tanα=m
Mittelpunkt der Strecke AB
(cid:16) (cid:17)
M⃗ = 1 A⃗+B⃗ Mittelp(cid:16)unkt de(cid:17)r Strecke AB
2 ! !! M⃗ = 1 A⃗+B⃗
x x 2(cid:18)(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)(cid:19)
M⃗ = 1 a + b (cid:0)1 4
2 y y M⃗ = 1 +
a b (cid:18)2 (cid:19)3 1
M(xa+2xb/ya+2yb) M⃗ = 112
2
M(11/2)
2
Vektorkette
(cid:18) (cid:19)
Punkt: A(xa/ ya) ! A((cid:0)1/3) ⃗v= 5
x (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)(cid:0)2(cid:18) (cid:19)
Vektor :⃗v = x (cid:0)1 5
y B = +
(cid:18) yB (cid:19) (cid:18) 3(cid:19) (cid:0)2
O ⃗B =O!⃗A+ ⃗v !B⃗ = A⃗+⃗v! xB = 4
y 1
x x x B
B A
= + B(4/1)
y y y
B A
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6.1.2 Skalarprodukt - Fläche - Winkel
4
⃗b
3
2
⃗a
1
1 2 3 4 5
! ! (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
⃗a= xa ⃗b= xb ⃗a= (cid:0)31 ⃗b= 12
y y
a b
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Analytische Geometrie Vektorrechung in der Ebene
Steigung der Vektoren
y y
m = a m = b Steigung
a x a x y (cid:0)1
a b m = a = =(cid:0)1
m =m ⇒Vektoren sind parallel s x 3 3
a b ya 2
m = b = =2
b x 1
b
Skalarprodukt
! ! (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
⃗a◦⃗b= xa ◦ xb =xa·xb+ya·yb ⃗a(cid:14)⃗b== (cid:0)31 (cid:14) 12 =3(cid:1)1+(cid:0)1(cid:1)2=1
y y
a b
Senkrechte Vektoren:
⃗a◦⃗b=0⇒⃗a⊥⃗b
Fläche aus 2 Vektoren
Fläch(cid:12)e des Par(cid:12)allelogramms aus⃗a,⃗b Fläch(cid:12)e des Par(cid:12)allelogramms aus⃗a,⃗b
A=(cid:12)(cid:12)(cid:12) xa xb (cid:12)(cid:12)(cid:12)=x ·y −y ·x A=(cid:12)(cid:12)(cid:12) (cid:0)31 12 (cid:12)(cid:12)(cid:12)=3(cid:1)2(cid:0)(cid:0)1(cid:1)1=7
(cid:12) (cid:12) a b a b
ya yb Fläche(cid:12)des Dreie(cid:12)cks aus⃗a,⃗b
Fläche(cid:12)(cid:12)des Dreie(cid:12)(cid:12)cks aus⃗a,⃗b A= 21(cid:12)(cid:12)(cid:12) (cid:0)31 12 (cid:12)(cid:12)(cid:12)= 21(3(cid:1)2(cid:0)((cid:0)1)(cid:1)1)=312
(cid:12) x x (cid:12)
A= 1(cid:12) a b (cid:12)= 1(x ·y −y ·x )
2(cid:12) y y (cid:12) 2 a b a b
a b
Winkel zwischen Vektoren
⃗a◦⃗b Schnittwinkel:
(cid:12) (cid:12)
cosα= (cid:12) (cid:12) ⃗a(cid:14)⃗b
|⃗a|·(cid:12)⃗b(cid:12) cosα= (cid:12)(cid:12) (cid:12)(cid:12)
x ·x +y ·y j⃗aj(cid:1)(cid:12)⃗b(cid:12)
cosα= p a b pa b 3(cid:1)1+(cid:0)1(cid:1)2
x2 +y2· x2+y2 cosα= q p
a a b b (cid:12) 32+((cid:0)1)(cid:12)2(cid:1) 12+22
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) 1 (cid:12)
cosα=(cid:12)3,16(cid:1)2,24(cid:12)
cosα=j0,141j
α=81,9
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Analytische Geometrie Vektorrechung in der Ebene
6.1.3 Abbildungen
Lineare Abbildung in Matrixform - Koordinatenform
(cid:18) (cid:19) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
Matrixform x′ 1 2 5 1(cid:1)5+2(cid:1)4
! ! ! ! (cid:18) y′ (cid:19)=(cid:20) 3 (cid:21)4 (cid:1) 4 = 3(cid:1)5+4(cid:1)4
x′ = a b K x + e xy′′ = 1331
y′ c d y f
Koordinatenform
! ! !
x′ a·x+b·y e
= +
y′ c·x+d·y f
! !
x′ a·x+b·y+e
=
y′ c·x+d·y+f
x′ =a·x+b·y+e y′ =c·x+d·y+f
Verschiebung
Punkt: P(xp/ yp) ! 6
x
v
Vektor :⃗v =
y 3
! v ! ! !
xP′ 1 0 J xp xv
= + *
yP′ ! 0 1! y!p yv (cid:18) (cid:19) 2
6
⃗v= P’(3/2)
xP′ xp xv 3
= + 1
yP′ yp yv
O⃗P′ =O ⃗P +⃗v! ! -
-4 -3 -2 -1 1 2 3
x x
O⃗P′ = P +
y y
P -1
P(-3/-1)
-2
(cid:18) (cid:19)
6
P((cid:0)3/(cid:0)1) ⃗v=
3
O⃗P′ =O(cid:18)⃗P +⃗v(cid:19) (cid:18) (cid:19)
(cid:0)3 6
O⃗P′ = +
(cid:18) (cid:0)1(cid:19) 3
3
O⃗P′ =
2
P′(3/2)
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Analytische Geometrie Vektorrechung in der Ebene
Spiegelung an den Koordinatenachsen
Spiegelung an der x–Achse 6
! ! ! !
x′ 1 0 K x x 3
y′ = 0 −1 y = −y P(3/2)
P”(-3/2)
x′ =x y′ =−y 2
1
Spiegelung an der y–Achse
-
! ! ! ! -4 -3 -2 -1 1 2 3
x′ −1 0 K x −x
= =
y′ 0 1 y y -1
x′ =−x y′ =y
-2
P”’(-3/-2) P’(3/-2)
Spiegelung am Ursprung -3
! ! ! !
x′ −1 0 K x −x -4
= = Spiegelung an der x-Achse
y′ 0 −1 y −y P(3/2)7(cid:0)!P′(3/(cid:0)2)
Spiegelung an der y-Achse
x′ =−x y′ =−y P(3/2)7(cid:0)!P′′((cid:0)3/2)
Spiegelung am Ursprung
P(3/2)7(cid:0)!P′′′((cid:0)3/(cid:0)2)
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Analytische Geometrie Vektorrechung in der Ebene
Spiegelung an der Urspungsgerade
6
y =m·x tanα=m
P(2/3)
! ! !
x′ cos2α sin2α K x 3
=
y′ sin2α −cos2α y
! ! 2
x′ x·cos2α+y·sin2α
= P’(3/2)
y′ x·sin2α−y·cos2α 1
x′ =x·cos2α+y·sin2α y′ =x·sin2α−y·cos2α -
-4 -3 -2 -1 0 0 1 2 3
-1
-2
-3
-4
y=x m=1 P(2/3)
tanα=1 α=45°
x′ =x(cid:1)cos2α+y(cid:1)sin2α
x′ =2(cid:1)cos2(cid:1)45°+3(cid:1)sin2(cid:1)45°
x′ =3
y′ =x(cid:1)sin2α(cid:0)y(cid:1)cos2α
y′ =2(cid:1)sin2(cid:1)45°(cid:0)3(cid:1)cos2(cid:1)45°
y′ =2
P(2/3)7(cid:0)!P′(3/2)
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Analytische Geometrie Vektorrechung in der Ebene
Zentrische Streckung
Streckzentrum: Z(0/0) P(2/3)7(cid:0)!P((cid:0)3/2)
6
Streckungsfaktor :k
Urpunkt: P(x /y )
P P
3
Bildpun!kt: P ′(xP′/yP!′) ! !
xP′ k 0 J xp 0 YP’(-3/2)
= + 2
yP′ ! 0 k! yp 0
xP′ = k·x 1 P(0/0.5)
yP′ k·y Y
-
Streckzentrum: Z(x /y ) -4 -3 -2 -1 1 2 3
z z
Streckungsfaktor:k
-1
Urpunkt: P(xP/yP) Z(3/-1)
Bildpunkt: P′(xP′/yP′)
-2
Vektorform
Streckzentrum: Z(3/(cid:0)1)
Z ⃗P′ =k·Z⃗P! ! Streckungsfaktor:2
xyPP′′ −−xyZZ =k· xyPP −−xyZZ UBirlpdupnukntk:tP: P(0′/(x0,P5′)/yP′)
O ⃗P′ =k!·Z⃗P + O⃗Z ! ! O(cid:18)⃗P′ =k(cid:19)(cid:1)Z⃗P +(cid:18)O⃗Z (cid:19) (cid:18) (cid:19)
xyPP′′ =k· xyPP −−xyZZ + xyZZ (cid:18) xxyPPP′′′ (cid:19)==22(cid:1)(cid:1)(cid:18) 0(cid:0),350(cid:0)(cid:0)(cid:19)(+3(cid:0)1(cid:18)) 3+(cid:19) (cid:0)31
(cid:18) yP′ (cid:19) (cid:18) 1,(cid:19)5 (cid:18) (cid:0)(cid:19)1
xP′ = (cid:0)6 + 3
(cid:18) yP′ (cid:19) (cid:18) 3 (cid:19) (cid:0)1
xP′ = (cid:0)3
yP′ 2
P′((cid:0)3/2)
Drehung um den Ursprung
! ! !
x′ cosα −sinα K x
=
y′ sinα cosα y
! !
x′ x′ =x·cosα−y·sinα
=
y′ y′ =x·sinα+y·cosα
x·cosα−y·sinα x·sinα+y·cosα
Orthogonale Affinität mit der x-Achse als Affinitätsachse
! ! ! !
x′ 1 0 K x x
= =
y′ 0 k y k·y
x′ =x y′ =k·y
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Analytische Geometrie Vektor
6.2 Vektor
6.2.1 Vektor - Abstand - Mittelpunkt
x
3
v⃗
B(2/-1/5) 5
v⃗
4
v⃗
3
v⃗
2 A(-2/2/1)
5 v⃗
1
1
-2 2
x
2
2
-1
x
1
Vektor - Ortsvektor
• Ve0ktor⃗v1- Menge aller parallelgleicher Pfeile Ve0ktoren:1A⃗B =v⃗3 =v⃗4
x 4
B 1 C =@ (cid:0)3 A
⃗v =@ x A
2 4
0 1
x3 (cid:0)2
• Ortsvektor ⃗v - Vektor zwischen einem Punkt und dem Ortsvektor: A⃗ =v⃗ =@ 2 A
1
Koordinatenursprung 0 2 1
2
A(xa/ya) 0 1 Ortsvektor: B⃗ =v⃗ =@ (cid:0)1 A
2
B a1 C 0 5 1
A⃗ =O⃗A=@ a A (cid:0)4
2
@ A
Gegenvektor zu v⃗ = 3
a 5
3 (cid:0)4
• Gegenvektor ⃗v - gleiche Länge und Richtung aber entge-
gengesetzte Orientierung
0 1
−x
1
B C
⃗v =@ −x A
2
−x
3
Vektor zwischen 2 Punkten
2 Punkte: A(a /a /a ) B(b /b /b )
0 1 213 0 112 3
b −a c Punkte: A((cid:0)2/2/1) B(2/(cid:0)1/5)
1 1 1
A⃗B =B@ b −a CA=B@ c CA Vektor0zwischen zw1ei P0unkten1
2 2 2 2+2 4
b3−a3 c3 A⃗B =@ (cid:0)1(cid:0)2 A=@ (cid:0)3 A
5(cid:0)1 4
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Analytische Geometrie Vektor
Länge des Vektors - Betrag des Vektors - Abstand zwischen zwei Punkten
(cid:12)(cid:12) (cid:12)(cid:12) p (cid:12)(cid:12) (cid:12)(cid:12) p
(cid:12)A⃗B(cid:12)= c2+c2+c2 (cid:12)A⃗B(cid:12)= c2+c2+c2
(cid:12)(cid:12)−−→(cid:12)(cid:12) p 1 2 3 (cid:12)(cid:12) (cid:12)(cid:12) q 1 2 3
(cid:12)AB(cid:12)= (b −a )2+(b −a )2+(b −a )2 (cid:12)A⃗B(cid:12)= 42+((cid:0)3)2+42
1 1 2 2 3 3 (cid:12)(cid:12) (cid:12)(cid:12) p
(cid:12)A⃗B(cid:12)= 41
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)A⃗B(cid:12)=6,4
Mittelpunkt der Strecke AB
(cid:16) (cid:17)
M⃗ = 1 A⃗+B⃗ Mittelp(cid:16)unkt de(cid:17)r Strecke AB
200 1 0 11 M⃗ = 1 A⃗+B⃗
a b 200 1 0 11
BB 1 C B 1 CC (cid:0)2 2
M⃗ = 12@@ a2 A+@ b2 AA M⃗ = 1@@ 2 A+@ (cid:0)1 AA
2
a3 b3 0 11 5
0
M(a1+2b1/a2+2b2/a3+2b3) M⃗ =@ 1 A
2
3
M(0/1/3)
2
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6.2.2 Winkel - Skalarprodukt - Vektorprodukt - Abhängigkeit
6
⃗a×⃗b
-
* * * *
⃗b
A
⃗b ⃗a
α -
⃗a
0 1 0 1 0 1 0 1
a b 2 (cid:0)2
⃗a=B@ a1 CA ⃗b=B@ b1 CA ⃗a=@ 1 A ⃗b=@ 1 A
2 2 2 (cid:0)2
a b
3 3
Länge der Vektoren
p
|(cid:12)(cid:12)(cid:12)⃗⃗ab(cid:12)(cid:12)(cid:12)|==pab221++ba222++ba223 Lj⃗aäjn=geppdae21r+Veak22to+rean32:
1 2 3 j⃗aj= 22+12+22
j(cid:12)(cid:12)⃗a(cid:12)(cid:12)j=3p
(cid:12)⃗b(cid:12)= b2+b2+b2
(cid:12) (cid:12) q 1 2 3
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)⃗b(cid:12)= ((cid:0)2)2+12+((cid:0)2)2
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)⃗b(cid:12)=3
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