Formeln und Aufgaben zur Technischen Mechanik. / 2, Elastostatik, Hydrostatik

203 Pages·2007·2.579 MB·German

by  D Gross, Wolfgang Ehlers, P Wriggers

Springer-Lehrbuch
Prof.Dr.-Ing.DietmarGross
studierteAngewandteMechanikundpromoviertean
derUniversitätRostock.ErhabilitierteanderUni-
versitätStuttgartundistseit1976ProfessorfürMe-
chanikanderTUDarmstadt.SeineArbeitsgebiete
sindunteranderendieFestkörper-undStrukturme-
chaniksowiedieBruchmechanik.Hierbeiisterauch
mitderModellierungmikromechanischerProzesse
befasst.EristMitherausgebermehrererinternatio-
nalerFachzeitschriftensowieAutorzahlreicherLehr-
undFachbücher.
Prof.Dr.-Ing.WolfgangEhlers
studierte Bauingenieurwesen an der Universität
Hannover,promovierteundhabilitierteanderUni-
versität Essen und war 1991 bis 1995 Professor für
MechanikanderTUDarmstadt.Seit1995isterPro-
fessorfürTechnischeMechanikanderUniversität
Stuttgart. Seine Arbeitsgebiete umfassen die Kon-
tinuumsmechanik,dieMaterialtheorie,dieExperi-
mentelleunddieNumerischeMechanik.Dabeiist
erinsbesondereanderModellierungmehrphasiger
MaterialenbeiAnwendungenimBereichderGeo-
mechanikundderBiomechanikinteressiert.
Prof.Dr.-Ing.PeterWriggers
studierte Bauingenieur- und Vermessungswesen,
promovierte1980anderUniversitätHannoverund
habilitierte1986imFachMechanik.ErwarGastpro-
fessoranderUCBerkeley,USA,ProfessorfürMecha-
nikanderTHDarmstadtundDirektordesDarm-
städter Zentrums für Wissenschaftliches Rechnen.
Seit1998isterProfessorfürBaumechanikundNu-
merischeMechaniksowieDirektordesZentrumsfür
ComputationalEngineeringSciencesanderUniver-
sitätHannover.EristMitherausgebervon11interna-
tionalenJournalsundEditor-in-ChiefderZeitschrift
ComputationalMechanics.
Dietmar Gross · Wolfgang Ehlers
Peter Wriggers
Formeln und Aufgaben
zur Technischen
Mechanik 2
Elastostatik,Hydrostatik
8.,vollständigneubearbeiteteAuflage
Mit322Abbildungen
123
Prof.Dr.-Ing.DietmarGross Prof.Dr.-Ing.PeterWriggers
InstitutfürMechanik InstitutfürBaumechanik
TechnischeUniversitätDarmstadt undNumerischeMechanik
Hochschulstraße1 UniversitätHannover
64289Darmstadt Appelstraße9a
30167Hannover
Prof.Dr.-Ing.WolfgangEhlers
InstitutfürMechanik
(Bauwesen)
UniversitätStuttgart
Pfaffenwaldring7
70569Stuttgart
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ISBN 978-3-540-70767-7 8.Aufl.SpringerBerlinHeidelbergNewYork
ISBN 978-3-540-22960-5 7.Aufl.SpringerBerlinHeidelbergNewYork
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Vorwort
Diese Aufgabensammlung soll dem Wunsch der Studenten nach Hilfs-
mitteln zur Erleichterung des Studiums und zur Vorbereitung auf die
Pru¨fungRechnungtragen.MitdemvorliegendenzweitenBand(Elasto-
und Hydrostatik) stellen wir den Studenten weiteres Studienmaterial
zur Verfu¨gung.
Das Stoffgebiet der Elastostatik umfasst im wesentlichen das zwei-
te Studiensemester eines Mechanik-Grundkurses an Universit¨aten und
Hochschulen.InderElastostatikwerdensolchestatischenProblemebe-
handelt,dieinderRegelnurmitHilfederGleichgewichtsbedingungen,
eines Materialgesetzes sowie kinematischer Beziehungen gel¨ost werden
k¨onnen. Da es uns auf das Erfassen der Grundgedanken und der Ar-
beitsmethoden ankommt, haben wir uns bewusst auf linear-elastische
K¨orperunterkleinenDeformationenbeschr¨ankt.Damitwirdeingroßer
TeilderElastostatikabgedeckt.InsbesonderewerdenBauteilewieStab
und Balken sowie einfache ebene Probleme behandelt. Auf die Idea-
lisierung realer Strukturen auf berechenbare Systeme wird hier nicht
eingegangen.
Ebenso wie in Band 1 dieser Aufgabensammlung sei auch an dieser
StellevorderIllusiongewarnt,dasseinreinesNachlesenderL¨osungen
zumVerst¨andnisderMechanikfu¨hrt.SinnvollwirddieseSammlungnur
dann genutzt, wenn der Studierende zun¨achst eine Aufgabe allein zu
l¨osenversuchtundnurbeimScheiternaufdenangegebenenL¨osungsweg
schaut.
Selbstverst¨andlich kann diese Sammlung kein Lehrbuch ersetzen.
WemdieBegru¨ndungeinerFormelodereinesVerfahrensnichtgel¨aufig
ist, der muss auf sein Vorlesungsmanuskript oder auf die vielf¨altig an-
gebotene Literatur zuru¨ckgreifen. Eine kleine Auswahl ist auf Seite IX
angegeben.
Die Aufgabensammlung geht zu einem guten Teil auf unseren ver-
storbenen Kollegen Prof. Dr. Dr. h.c. Walter Schnell zuru¨ck, der auch
bis zur 5. Auflage Mitautor war. Seine didaktische Handschrift ist an
dervorliegenden8.Auflagetrotzdervollst¨andigenU¨berarbeitungund
der Erweiterung um viele Aufgaben immer noch deutlich zu erkennen.
Wir danken dem Springer-Verlag, in dem auch die von uns mitver-
fassten Lehrbu¨cher zur Technischen Mechanik erschienen sind, fu¨r die
gute Zusammenarbeit und die ansprechende Ausstattung des Buches.
Auch dieser Auflage wu¨nschen wir eine freundliche Aufnahme bei der
interessierten Leserschaft.
Darmstadt, Hannover und Stuttgart, im Januar 2007 D.Gross
P.Wriggers
W.Ehlers
Inhaltsverzeichnis
Literaturhinweise,Bezeichnungen................................. IX
1 Spannung,Verzerrung,Elastizit¨atsgesetz...................... 1
2 ZugundDruck........................................................ 25
3 Biegung................................................................. 53
4 Torsion.................................................................. 107
5 DerArbeitsbegriffinderElastostatik ........................... 137
6 Stabilit¨at............................................................... 171
7 Hydrostatik............................................................ 185
IX
Literaturhinweise
Lehrbu¨cher
Gross, D., Hauger, W., Schr¨oder, J., Wall, W., Technische Mechanik,
Band 2: Elastostatik, 9. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007
Hagedorn, P., Technische Mechanik, Band 2: Festigkeitslehre, 2. Auf-
lage. Harri Deutsch, Frankfurt 2006
Bruhns,O.T.,ElementederMechanikII:Elastostatik,ShakerVerlag,
Aachen 2002
Brommund, E., Sachs, G., Sachau, D., Technische Mechanik, 4. Aufla-
ge. Oldenbourg, Mu¨nchen 2006
Hibbeler, R.C., Technische Mechanik 2: Festigkeitslehre, 5. Auflage.
Pearson-Studium 2006
Magnus, K., Mu¨ller, H. H., Grundlagen der Technischen Mechanik,
7. Auflage. Teubner, Stuttgart 2005
Wittenburg,J.,Pestel,E.,Festigkeitslehre,3.Auflage.Springer-Verlag,
Berlin 2001
Gere,J.M.,Timoshenko,S.,MechanicsofMaterials,4thEdition.PWS
Publishing Company, Boston 2000
Aufgabensammlungen
Bruhns, O. T., Aufgabensammlung Technische Mechanik 2, Vieweg,
Braunschweig 2000
Hauger, W., Lippmann, H., Mannl, V., Aufgaben zu Technische Me-
chanik 1-3. Springer-Verlag, Berlin 2001
Hagedorn, P., Aufgabensammlung Technische Mechanik, 2. Auflage.
Teubner, Stuttgart 1992
Zimmermann,K.,TechnischeMechanik-multimedial,2.Auflage.Fach-
buch Verlag, Leipzig 2003
Dankert, H, Dankert, J., Technische Mechanik, 4. Auflage. Teubner,
Stuttgart 2006
Bezeichnungen
Bei den L¨osungen der Aufgaben wurden folgende Symbole verwendet:
↑: Abku¨rzung fu¨r Summe aller Kr¨afte in Pfeilrichtung ist gleich
Null.
(cid:1)
A: Abku¨rzung fu¨r Summe aller Momente um den Bezugspunkt A
ist gleich Null.
(cid:1) Abku¨rzung fu¨r hieraus folgt.
1
Kapitel 1
Spannung, Verzerrung,
Elastizit¨atsgesetz
2 Spannung
1.1 1.1 Spannung,Gleichgewichtsbedingung
SpannungennenntmandieaufdieFl¨achen-
einheit eines Schnittes bezogenen Kr¨afte. Der
Spannungsvektor t ist definiert als
dF
dF dA
t= ,
dA
n
wobei dF die Kraft auf das Fl¨achenelement
dA darstellt (Einheit: 1 Pa = 1 N/m2).
Beachte:DerSpannungsvektorundseineKomponentenh¨angenvonder
Schnittrichtung (Fl¨achennormale n) ab.
Komponenten des Spannungsvektors:
t
σ – Normalspannung (senkrecht zur Fl¨ache) τ
τ – Schubspannung (in der Fl¨ache) σ n
Vorzeichenfestlegung: Positive Spannungskomponente zeigt am
positiven (negativen) Schnittufer in positive (negative) Richtung.
R¨aumlicher Spannungszustand: ist
eindeutig bestimmt durch die Kompo-
nenten der Spannungsvektoren fu¨r drei
senkrecht aufeinander stehende Schnitte.
Die Spannungskomponenten sind Kompo- z
nenten des Spannungstensors
τzxσz τzy
⎛ ⎞
⎜σx τxy τxz⎟ τxz τσyzy
σ =⎝τyx σy τyz⎠ σx τxy τyx
τzx τzy σz
x y
Es gilt (Momentengleichgewicht)
τxy =τyx , τxz =τzx , τyz =τzy .
DerSpannungstensoristeinsymmetrischer Tensor 2. Stufe:τij =τji.
EbenerSpannungszustand 3
Ebener Spannungszustand: isteindeu-
tig bestimmt durch die Spannungskompo-
nenten fu¨r zwei senkrecht aufeinander ste- σy
hende Schnitte. Die Spannungskomponen- τyx
ten in die 3. Richtung (hier z-Richtung)
verschwinden (σz =τyz =τxz =0) σx τxy
(cid:7) (cid:8) τxy σx
σ = σx τxy . y
τxy σy τyx
σy
x
Transformationsbeziehungen τxy=τyx
y
σξ=σx+σy + σx−σy cos2ϕ+τxysin2ϕ, τζη σζ
2 2 σx ζ
ση=σx+2 σy − σx−2 σy cos2ϕ−τxysin2ϕ, τxy ϕ
τξη=−σx−σy sin2ϕ+τxycos2ϕ. η ϕ
2
τyx x
Hauptspannungen σy
(cid:9)
σ1,2 = σx+2 σy ± (cid:10)σx−2 σy(cid:11)2+τx2y σ2 σ1
tan2ϕ∗ = 2τxy
σx−σy σ2
Beachte:• Die Schubspannungen sind in y ϕ∗1 ϕ∗2
σ2
diesen Schnitten Null!
• Die Hauptspannungsrichtungen x
stehen senkrecht aufeinander:
ϕ∗2 =ϕ∗1±π/2. σ0 τmax σ0
Maximale Schubspannung
(cid:9)
(cid:10) (cid:11)
τmax = σx−σy 2+τx2y, ϕ∗∗ =ϕ∗±π . y σ0 σ0
2 4 τmax
ϕ∗∗
DieNormalspannungenhabenindiesen x
Schnitten die Gr¨oße σ0 =(σx+σy)/2.
Invarianten
Iσ=σx+σy =σξ+ση =σ1+σ2 ,
IIσ=σxσy−τx2y =σξση−τξ2η =σ1σ2 .