Formeln und Aufgaben zur Technischen Mechanik 1 Statik

230 Pages·2012·1.54 MB·German

Springer-Lehrbuch
Prof.Dr.-Ing.DietmarGross
studierteAngewandteMechanikundpromoviertean
derUniversitätRostock.ErhabilitierteanderUni-
versitätStuttgartundistseit1976ProfessorfürMe-
chanikanderTUDarmstadt.SeineArbeitsgebiete
sindunteranderendieFestkörper-undStrukturme-
chaniksowiedieBruchmechanik.Hierbeiisterauch
mitderModellierungmikromechanischerProzesse
befasst.EristMitherausgebermehrererinternatio-
nalerFachzeitschriftensowieAutorzahlreicherLehr-
undFachbücher.
Prof.Dr.-Ing.WolfgangEhlers
studierte Bauingenieurwesen an der Universität
Hannover,promovierteundhabilitierteanderUni-
versität Essen und war 1991 bis 1995 Professor für
MechanikanderTUDarmstadt.Seit1995isterPro-
fessorfürTechnischeMechanikanderUniversität
Stuttgart. Seine Arbeitsgebiete umfassen die Kon-
tinuumsmechanik,dieMaterialtheorie,dieExperi-
mentelleunddieNumerischeMechanik.Dabeiist
erinsbesondereanderModellierungmehrphasiger
MaterialenbeiAnwendungenimBereichderGeo-
mechanikundderBiomechanikinteressiert.
Prof.Dr.-Ing.PeterWriggers
studierte Bauingenieur- und Vermessungswesen,
promovierte1980anderUniversitätHannoverund
habilitierte1986imFachMechanik.ErwarGastpro-
fessoranderUCBerkeley,USA,ProfessorfürMecha-
nikanderTHDarmstadtundDirektordesDarm-
städter Zentrums für Wissenschaftliches Rechnen.
Seit1998isterProfessorfürBaumechanikundNu-
merischeMechaniksowieDirektordesZentrumsfür
ComputationalEngineeringSciencesanderUniver-
sitätHannover.EristMitherausgebervon11interna-
tionalenJournalsundEditor-in-ChiefderZeitschrift
ComputationalMechanics.
Dietmar Gross · Wolfgang Ehlers · Peter Wriggers
Formeln und Aufgaben
zur Technischen Mechanik 1
Statik
9.Auflage
Mit512Abbildungen
123
Prof.Dr.-Ing.DietmarGross Prof.Dr.-Ing.PeterWriggers
InstitutfürMechanik InstitutfürBaumechanik
TechnischeUniversitätDarmstadt undNumerischeMechanik
Hochschulstraße1 UniversitätHannover
64289Darmstadt Appelstraße9a
30167Hannover
Prof.Dr.-Ing.WolfgangEhlers
InstitutfürMechanik
(Bauwesen)
UniversitätStuttgart
Pfaffenwaldring7
70569Stuttgart
ISBN 978-3-540-68372-8 eISBN 978-3-540-68393-3
DOI 10.1007/978-3-540-68393-3
Springer-LehrbuchISSN0937-7433
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Umschlaggestaltung:WMXDesignGmbH,Heidelberg
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987654321
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Vorwort
Diese Aufgabensammlung soll dem Wunsch der Studenten nach Hilfs-
mitteln zur Erleichterung des Studiums und zur Vorbereitung auf die
Pru¨fung Rechnung tragen.
Entsprechend den meist u¨blichen dreisemestrigen Grundkursen in
Technischer Mechanik an Universit¨aten und Hochschulen besteht die
SammlungausdreiB¨anden.DerersteBand(Statik)umfasstdasStoff-
gebiet des ersten Semesters. Dabei haben wir bei allen Aufgaben das
FindendesL¨osungswegsunddieAufstellungderGrundgleichungender
numerischenAusrechnungu¨bergeordnet.AufgrafischeVerfahrenhaben
wirweitestgehendverzichtet.SiehabenimZeitaltermodernerCompu-
ter keine praktische Bedeutung mehr.
Erfahrungsgem¨aßbereitetdieTechnischeMechanikgeradedemAn-
f¨anger oft große Schwierigkeiten. In diesem Fach soll er exemplarisch
lernen, ein technisches Problem auf ein mathematisches Modell abzu-
bilden, dieses mit mathematischen Methoden zu analysieren und das
ErgebnisinHinblickaufdieingenieurwissenschaftlicheAnwendungaus-
zuwerten. Der Weg zu diesem Ziel kann erfahrungsgem¨aß nur u¨ber die
selbst¨andige Bearbeitung von Aufgaben fu¨hren. Wir warnen deshalb
dringend vor der Illusion, dass ein reines Nachlesen der L¨osungen zum
Verst¨andnis der Mechanik fu¨hrt. Sinnvoll wird diese Sammlung nur
dann genutzt, wenn der Studierende zun¨achst eine Aufgabe allein zu
l¨osen versucht und nur beim Scheitern auf den angegebenen L¨osungs-
weg schaut.
Selbstverst¨andlich kann diese Sammlung kein Lehrbuch ersetzen.
WemdieBegru¨ndungeinerFormelodereinesVerfahrensnichtgel¨aufig
ist, der muss auf sein Vorlesungsmanuskript oder auf die vielf¨altig an-
gebotene Literatur zuru¨ckgreifen. Eine kleine Auswahl ist auf Seite IX
angegeben.
DieAufgabensammlunggehtzueinembedeutendenAnteilaufunse-
renverstorbenenKollegenProf.Dr.Dr.h.c.WalterSchnellzuru¨ck,der
auch bis zur 5. Auflage Mitautor war. Seine didaktische Handschrift
ist an der nun vorliegenden 9. Auflage trotz der vollst¨andigen U¨ber-
arbeitung und der vielf¨altigen Erg¨anzungen immer noch deutlich zu
erkennen.
WirdankendemSpringer-Verlag,indemauchdieteilweisevonuns
mitverfassten Lehrbu¨cher zur Technischen Mechanik erschienen sind,
fu¨r die gute Zusammenarbeit und die ansprechende Ausstattung des
Buchs. Auch dieser Auflage wu¨nschen wir eine freundliche Aufnahme
bei der interessierten Leserschaft.
Darmstadt, Hannover und Stuttgart, im August 2008 D.Gross
W.Ehlers
P.Wriggers
Inhaltsverzeichnis
Literaturhinweise,Bezeichnungen............................... IX
1 Gleichgewicht......................................................... 1
2 Schwerpunkt.......................................................... 29
3 Lagerreaktionen...................................................... 43
4 Fachwerke.............................................................. 63
5 Balken,Rahmen,Bogen............................................ 95
6 Seile..................................................................... 155
7 DerArbeitsbegriffinderStatik................................... 167
8 HaftungundReibung ............................................... 191
9 Fl¨achentr¨agheitsmomente......................................... 215
IX
Literaturhinweise
Lehrbu¨cher
Gross, D., Hauger, W., Schr¨oder, J., Wall, W. Technische Mechanik,
Band 1: Statik, 10. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2008
Hagedorn, P., Technische Mechanik, Band 1: Statik, 4. Auflage. Harri
Deutsch, Frankfurt 2006
Balke, H., Einfu¨hrung in die Technische Mechanik, Statik, Springer-
Verlag, Berlin 2005
Bruhns, O. T., Lehmann, Th., Elemente der Mechanik I, Band 1: Ein-
fu¨hrung, Statik. Vieweg, Braunschweig 1993
Gummert P., Reckling, K.-A., Mechanik, 3. Auflage. Vieweg, Braun-
schweig 1994
Hibbeler, R.C., Technische Mechanik 1, Statik, Pearson Studium 2005
Magnus, K., Mu¨ller, H. H., Grundlagen der Technischen Mechanik,
7. Auflage. Teubner, Stuttgart 2005
Wriggers, P., Nackenhorst, U., et al., Technische Mechanik kompakt,
Teubner, Stuttgart 2005
Meriam,J.L.,Kraige,L.G.EngineeringMechanics,Volume1,Statics,
5th Edition. Wiley, Chichester 2001
Aufgabensammlungen
Bruhns, O. T., Aufgabensammlung Technische Mechanik I, Band 1:
Statik fu¨r Bauingenieure und Maschinenbauer. Vieweg, Braun-
schweig 1996
Hauger, W., Mannl, V., Wall, W. Aufgaben zu Technische Me-
chanik 1-3. Springer-Verlag, Berlin 2006
Hagedorn, P., Aufgabensammlung Technische Mechanik, 2. Auflage.
Teubner, Stuttgart 1992
Dankert, H, Dankert, J., Technische Mechanik, 4. Auflage. Teubner,
Stuttgart 2006
Bezeichnungen
Bei den L¨osungen der Aufgaben wurden folgende Symbole verwendet:
↑: Abku¨rzung fu¨r Summe aller Kr¨afte in Pfeilrichtung gleich Null.
(cid:2)
A: Abku¨rzung fu¨r Summe aller Momente um den Bezugspunkt A
(mit vorgegebener Drehrichtung) gleich Null.
(cid:2) Abku¨rzung fu¨r hieraus folgt.
1
Kapitel 1
Gleichgewicht
2 Gleichgewicht
Zentrale Kr¨aftegruppen in der Ebene
Eine zentrale Kr¨aftegruppe kann durch
die Resultierende
(cid:2)
R= Fi
Fi ersetzt werden. Es herrscht Gleichge-
wicht, wenn
(cid:2)
y Fi =0
F1 oder in Komponenten
x
(cid:2) (cid:2)
Fix =0, Fiy =0.
Darin sind
Fiy Fi
y αi Fi =Fixex+Fiyey,
Fix Fix =Ficosαi,
x
Fiy =Fisinαi,
(cid:3)
|Fi|=Fi = Fi2x+Fi2y.
Bei der grafischen L¨osung verlangt die Gleichgewichtsbedingung, dass
das Krafteck geschlossen“ist.
”
Lageplan Kr¨afteplan = Krafteck
fi
F
1
F
i
f1
Zentrale Kr¨aftegruppen im Raum
(cid:4)
Gleichgewicht h(cid:4)errscht, wenn die Resultierende R = Fi verschwin-
det, d.h. wenn Fi =0 oder in Komponenten
(cid:2) (cid:2) (cid:2)
Fix =0, Fiy =0, Fiz =0.
Gleichgewicht 3
Darin sind
Fi =Fixex+Fiyey+Fizez ,
z
Fix =Ficosαi ,
Fi Fiy =Ficosβi ,
Fiz
γi Fiz =Ficosγi ,
αi βi Fiy cos2αi+cos2βi+cos2γi =1,
(cid:3)
Fix y |Fi|=Fi = Fi2x+Fi2y+Fi2z .
x
Allgemeine Kr¨aftegruppen in der Ebene
Die Kr¨aftegruppe l¨asst sich ers(cid:4)etzen
durch die Resultierende R = Fi A
(A)
undeinresultierendesMomentM
R y
umeinenbeliebiggew¨ahltenBezugs- F
punkt A. Es herrscht Gleichgewicht, F1 i
wenn
x
(cid:2) (cid:2) (cid:2)
(A)
Fix =0, Fiy =0, Mi =0.
AnstellederbeidenKr¨aftegleichgewichtsbedingungenk¨onnenzweiwei-
tere Momentenbedingungen um andere Bezugspunkte (z.B. B und C)
verwendet werden. Dabei du¨rfen A, B und C nicht auf einer Geraden
liegen.
Grafischerh¨altmandieResultierendemitHilfedesSeilecksunddes
Kraftecks.
Seileck im Lageplan Krafteck
F
1 S1
r
f1 f4 F2 S2 Pol
s1 s2f2 s3f3s4 s5 F R SS34 Π
3 S5
F
4