Formeln und Aufgaben zur Technischen Mechanik 1

219 Pages·2006·26.27 MB·German

by  D Gross, W Ehlers, P Wriggers

Springer-Lehrbuch
Prof.Dr.-Ing.DietmarGross
studierteAngewandteMechanikundpromovierte
anderUniversita¨tRostock.Erhabilitierteander
Universita¨t Stuttgart und ist seit 1976 Professor
fu¨r Mechanik an der TU Darmstadt. Seine Ar-
beitsgebiete sind unter anderen die Festko¨rper-
undStrukturmechaniksowiedieBruchmechanik.
HierbeiisterauchmitderModellierungmikro-
mechanischerProzessebefasst.EristMitheraus-
geber mehrerer internationaler Fachzeitschriften
sowieAutorzahlreicherLehr-undFachbu¨cher.
Prof.Dr.-Ing.WolfgangEhlers
studierte Bauingenieurwesen an der Universita¨t
Hannover, promovierte und habilitierte an der
Universita¨tEssenundwar1991bis1995Profes-
sorfu¨rMechanikanderTUDarmstadt.Seit1995
isterProfessorfu¨rTechnischeMechanikander
Universita¨tStuttgart.SeineArbeitsgebieteumfas-
sendieKontinuumsmechanik,dieMaterialtheo-
rie,dieExperimentelleunddieNumerischeMe-
chanik.DabeiisterinsbesondereanderModellie-
rungmehrphasigerMaterialenbeiAnwendungen
imBereichderGeomechanikundderBiomecha-
nikinteressiert.
Prof.Dr.-Ing.PeterWriggers
studierteBauingenieur-undVermessungswesen,
promovierte 1980 an der Universita¨t Hannover
undhabilitierte1986imFachMechanik.Erwar
Professorfu¨rMechanikanderTUDarmstadtund
istseit1998Professorfu¨rBaumechanikundNu-
merischeMechaniksowieDirektordesZentrums
fu¨r Computational Engineering Sciences an der
Universita¨t Hannover. SeineArbeitsgebiete um-
fassen die Kontinuumsmechanik sowie die Nu-
merischeMechanik.EristMitherausgebervon11
internationalen Journals und Editor-in-Chief der
ZeitschriftComputationalMechanics.
Dietmar Gross · Wolfgang Ehlers · Peter Wriggers
Formeln und Aufgaben
zur Technischen Mechanik 1
Statik
8.Auflage
Mit457Abbildungen
123
Prof.Dr.-Ing.DietmarGross Prof.Dr.-Ing.WolfgangEhlers
TechnischeUniversitätDarmstadt UniversitätStuttgart
InstitutfürMechanik InstitutfürMechanik
Hochschulstraße1 (Bauwesen)
64289Darmstadt Pfaffenwaldring7
70569Stuttgart
Prof.Dr.-Ing.PeterWriggers
UniversitätHannover
InstitutfürBaumechanik
undNumerischeMechanik
Appelstraße9a
30167Hannover
UrsprünglicherschienenunterGross,D.;Schnell,W.;Ehlers,W.;Wriggers,P.
FormelnundAufgabenzurTechnischenMechanik1.
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Nationalbibliografie;detailliertebibliografischeDatensindimInternetüber
http://dnb.d-nb.deabrufbar.
ISBN-10 3-540-34051-3 8.Aufl.SpringerBerlinHeidelbergNewYork
ISBN-13 978-3-540-34051-5 8.Aufl.SpringerBerlinHeidelbergNewYork
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gegebenenfallsfürdieeigenenArbeitendievollständigenVorschriftenoderRichtlinieninder
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Vorwort zur 8. Auflage
Diese Aufgabensammlung soll dem Wunsch der Studenten nach Hilfsmitteln
zur Erleichterung des Studiums und zur Vorbereitung auf die Pru¨fung Rech-
nungtragen.
Entsprechend denmeistu¨blichendreisemestrigenGrundkurseninTechni-
scherMechanikanUniversit¨atenundHochschulenbestehtdieSammlungaus
dreiB¨anden.DerersteBand(Statik)umfasstdasStoffgebietdeserstenSeme-
sters. Dabei haben wir bei allen Aufgaben das Finden des L¨osungswegs und
die Aufstellung der Grundgleichungen der numerischen Ausrechnung u¨ber-
geordnet. Auf grafische Verfahren haben wir trotz ihres didaktischen Werts
weitestgehend verzichtet und ihren Anteil gegenu¨ber fru¨heren Auflagen noch
weiterreduziert.SiehabenimZeitaltermodernerComputerkeinepraktische
Bedeutung mehr.
Erfahrungsgem¨aßbereitet dieTechnische Mechanik geradedemAnf¨anger
oftgroßeSchwierigkeiten.IndiesemFachsollerexemplarischlernen,eintech-
nischesProblemaufeinmathematischesModellabzubilden,diesesmitmathe-
matischenMethodenzuanalysierenunddasErgebnisinHinblickaufdieinge-
nieurwissenschaftlicheAnwendungauszuwerten.DerWegzudiesemZielkann
erfahrungsgem¨aßnuru¨berdieselbst¨andigeBearbeitungvonAufgabenfu¨hren.
Wir warnen deshalb dringend vor der Illusion, dass ein reines Nachlesen der
L¨osungenzumVerst¨andnisderMechanikfu¨hrt.SinnvollwirddieseSammlung
nurdanngenutzt,wennderStudierendezun¨achsteineAufgabealleinzul¨osen
versucht undnurbeimScheiternaufdenangegebenenL¨osungsweg schaut.
Selbstverst¨andlichkanndieseSammlungkeinLehrbuchersetzen.Wemdie
Begru¨ndung einer Formel oder eines Verfahrens nicht gel¨aufig ist, der muss
auf sein Vorlesungsmanuskript oder auf die vielf¨altig angebotene Literatur
zuru¨ckgreifen. EinekleineAuswahl istaufSeite8angegeben.
Die Aufgabensammlung geht zu einem bedeutenden Anteil auf unseren
verstorbenen Kollegen Prof. Dr. Dr. h.c. Walter Schnell zuru¨ck, der auch bis
zur5.AuflageMitautorwar.SeinedidaktischeHandschriftistandernunvor-
liegenden8.AuflagetrotzderU¨berarbeitungunddervielf¨altigenErg¨anzungen
immer nochdeutlich zuerkennen.
Wir danken dem Springer-Verlag, in dem auch die teilweise von uns mit-
verfasstenLehrbu¨cherzurTechnischenMechanikerschienensind,fu¨rdiegute
Zusammenarbeit und die ansprechende Ausstattung des Buchs. Auch dieser
Auflagewu¨nschenwireinefreundlicheAufnahmebeiderinteressiertenLeser-
schaft.
Stuttgart,DarmstadtundHannover, imAugust2006
W. Ehlers D. Gross P. Wriggers
7
Inhaltsverzeichnis
Literaturhinweise -Bezeichnungen 8
1. Gleichgewicht 9
2. Schwerpunkt 35
3. Lagerreaktionen 47
4. Fachwerke 65
5. Balken, Rahmen,Bogen 95
6. Seile 153
7. DerArbeitsbegriff inderStatik 163
8. HaftungundReibung 185
9. Fl¨achentr¨agheitsmomente 207
8 Literatur-Bezeichnungen
Literaturhinweise
Lehrb¨ucher
Gross, D., Hauger, W., Schr¨oder, J., Wall, W. Technische Mechanik, Band
1:Statik,9.Auflage.Springer-Verlag,Berlin2006
Hagedorn,P.,TechnischeMechanik,Band1:Statik,3.Auflage.HarriDeutsch,
Frankfurt2003
Balke, H., Einfu¨hrung in die Technische Mechanik, Statik, Springer-Verlag,
Berlin2005
Bruhns, O. T., Lehmann, Th., Elemente der Mechanik I, Band 1: Einfu¨h-
rung,Statik.Vieweg, Braunschweig 1993
Gummert P., Reckling, K.-A., Mechanik, 3. Auflage. Vieweg, Braunschweig
1994
Hibbeler, R.C.,Technische Mechanik1,Statik,Pearson Studium2005
Magnus, K., Mu¨ller, H. H., Grundlagen der Technischen Mechanik, 7. Auf-
lage.Teubner, Stuttgart2005
Wriggers, P., Nackenhorst, U., et al., Technische Mechanik kompakt, Teub-
ner,Stuttgart2005
Meriam,J.L.,Kraige,L.G.EngineeringMechanics, Volume1,Statics,5th
Edition.Wiley, Chichester 2001
Aufgabensammlungen
Bruhns, O. T., Aufgabensammlung Technische Mechanik I, Band 1: Statik
fu¨rBauingenieureundMaschinenbauer. Vieweg, Braunschweig 1996
Hauger, W., Lippmann, H., Mannl, V., Aufgaben zu Technische Mechanik
1-3.Springer-Verlag,Berlin2005
Hagedorn, P., Aufgabensammlung Technische Mechanik, 2. Auflage. Teub-
ner,Stuttgart1992
Dankert,H,Dankert,J.,TechnischeMechanik,Computerunterstu¨tzt,2.Auf-
lage.Teubner, Stuttgart1995
Bezeichnungen
BeidenL¨osungenderAufgabenwurden folgendeSymboleverwendet:
↑: Abku¨rzung fu¨rSumme aller Kr¨afte in Pfeilrichtung gleich Null.
(cid:2)
A : Abku¨rzung fu¨rSumme aller Momente um den Bezugspunkt A
gleich Null.
(cid:2) Abku¨rzung fu¨rhieraus folgt.
1 Gleichgewicht
Zentrale Kr(cid:127)aftegruppen in der Ebene
Eine zentrale Kr(cid:127)aftegruppe kann durch
dieResultierendeR= Fiersetztwer-
den. Esherrscht Gleichgewicht,wenn
P
Fi
Fi=0
X
y
oderinKomponenten
F1
x Fix=0; Fiy =0 :
X X
Darinsind
Fi=Fixex+Fiyey ;
Fiy Fi
Fix=Ficos(cid:11)i;
y (cid:11)i
Fiy =Fisin(cid:11)i;
Fix
2 2
Fi =Fi= Fix+Fiy :
x j j q
Bei der gra(cid:12)schen L(cid:127)osung verlangt die Gleichgewichtsbedingung, da(cid:25) das
Krafteck geschlossen\ist.
"
Lageplan Kr(cid:127)afteplan=Krafteck
fi
F1
Fi
f1
Zentrale Kr(cid:127)aftegruppen im Raum
Gleichgewicht herrscht, wenn dieResultierende R= Fi verschwindet, d.h.
wenn Fi=0oderinKomponenten
P
P
Fix=0; Fiy =0; Fiz =0 :
X X X
10 Gleichgewicht
Darinsind
z
Fi=Fixex+Fiyey+Fizez ;
Fix=Ficos(cid:11)i;
Fi
Fiy =Ficos(cid:12)i;
Fiz
(cid:13)i Fiz =Ficos(cid:13)i;
2 2 2
(cid:11)i cos (cid:11)i+cos (cid:12)i+cos (cid:13)i=1;
(cid:12)i Fiy
2 2 2
Fix y jFij=Fi= Fix+Fiy+Fiz :
q
x
Allgemeine Kr(cid:127)aftegruppen in der Ebene
DieKr(cid:127)aftegruppel(cid:127)a(cid:25)tsichersetzendurch
die Resultierende R = Fi und ein re- A
(A)
sultierendesMomentMRPumeinenbelie-
y
biggew(cid:127)ahltenBezugspunktA.Esherrscht
Fi
Gleichgewicht,wenn F1
x
(A)
Fix=0; Fiy =0; Mi =0 :
X X X
AnstellederbeidenKr(cid:127)aftegleichgewichtsbedingungenk(cid:127)onnenzweiweitereMo-
mentenbedingungenumandereBezugspunkte(z.B.BundC)verwendetwer-
den. Dabeidu(cid:127)rfenA,B und C nicht aufeiner Geradenliegen.
Gra(cid:12)scherh(cid:127)altmandieResultierendemitHilfedesSeilecksunddesKraft-
ecks.
SeileckimLageplan Krafteck
F1
S1
r
f1 f4 F2 S2 Pol
f2 f3 S3
s1 s2 s3 s4 s5 (cid:5)
S4
F3 R
S5
F4
Gleichgewicht 11
DieSeilstrahlensi sindparallelzudenPolstrahlenSi imKrafteck.
(cid:15)
DieWirkungslinierderResultierendenR(Gr(cid:127)o(cid:25)eundRichtungfolgtaus
(cid:15)
dem Krafteck) verl(cid:127)auft im Seileck durch den Schnittpunkt der (cid:127)au(cid:25)eren
Seilstrahlens1 unds5.
Damit Gleichgewicht herrscht, mu(cid:127)ssen Seileck und Krafteck geschlos-
(cid:15) "
sen\ sein.
Allgemeine Kr(cid:127)aftegruppen im Raum
Es herrscht Gleichgewicht, wenn die Resultierende R = Fi und das re-
(A)
sultierende Moment MR = ri Fi um einen beliebigePn Bezugspunkt A
(cid:2)
verschwinden:
P
(A)
Fi=0 ; Mi =0
X X
oderinKomponenten
Fix=0; Fiy =0; Fiz =0;
X (A) X (A) X (A)
Mix =0; Miy =0; Miz =0
X X X
mit
(A) (A) (A)
Mix =yiFiz ziFiy ; Miy =ziFix xiFiz ; Miz =xiFiy yiFix:
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
Darinsindxi,yiundzidieKomponentendesOrtsvektorsrivomBezugspunkt
A zu einem beliebigen Punkt auf der Wirkungslinie der Kraft Fi (z.B. zum
Angri(cid:11)spunkt).
Anmerkung: WieimebenenFallk(cid:127)onnendieKr(cid:127)aftegleichgewichtsbedingun-
gendurchzus(cid:127)atzlicheMomentengleichgewichtsbedingungenumgeeigne-
teAchsen ersetztwerden.