Formalité liée aux algèbres enveloppantes et étude des algèbres Hom

154 Pages·2017·1.22 MB·French

by  Olivier Elchinger

Formalité liée aux algèbres enveloppantes et étude des
algèbres Hom-(co)Poisson
Olivier Elchinger
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Olivier Elchinger. Formalité liée aux algèbres enveloppantes et étude des algèbres Hom-(co)Poisson.
Mathématiques générales [math.GM]. Université de Haute Alsace - Mulhouse, 2012. Français. ￿NNT:
2012MULH4079￿. ￿tel-00857460￿
HAL Id: tel-00857460
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abroad, or from public or private research centers. publics ou privés.
Université de Haute Alsace
École Doctorale Jean-Henri Lambert
Laboratoire de Mathématiques,
Informatique et Applications
Thèse
pour obtenir le grade de
Docteur en Mathématiques
présentée par
Elchinger
Olivier
Formalité liée aux algèbres
enveloppantes et étude des algèbres
Hom-(co)Poisson
Thèse dirigée par Martin Bordemann et Abdenacer Makhlouf
soutenue le 12 novembre 2012 devant le jury composé de :
M. Benjamin Enriquez Université de Strasbourg (Rapporteur)
M. Joakim Arnlind University of Linköping (Rapporteur)
M. Camille Laurent-Gengoux Université de Metz (Rapporteur)
M. Martin Schlichenmaier Université de Luxembourg
M. Martin Bordemann Université de Haute Alsace (Directeur)
M. Abdenacer Makhlouf Université de Haute Alsace (Directeur)
M. Augustin Fruchard Université de Haute Alsace (Membre invité)

Remerciements
ff
Je voudrais remercier dans ces lignes les di érentes personnes
m’ayant soutenu et encouragé durant ces trois années de thèse.
Tout d’abord mes parents, qui m’ont suivi toute ma scolarité
jusque dans les études supérieures. Mon épouse, qui s’est inves-
tie pour moi dans diverses démarches administratives, trajets, et
au quotidien; et me signalait tous les progrès successifs faits par
notre fils. Fabien ensuite, qui m’a fait part de l’opportunité d’une
placeenthèsesurMulhouse.TakashietElodie,ainsiquePhilippe,
pour leur hospitalité lorsque j’avais besoin de retourner sur Stras-
bourg assister à des cours ou des conférences. Je remercie chaleu-
reusement Mme Wurth pour sa disponibilité et son accueil à mon
égard. Je tiens aussi à exprimer ma gratitude à Celui qui m’a pro-
tégé sur la route plusieurs fois plus longue que prévue.
Jesouhaiteégalementremercierlesmembresdulaboratoirede
m’avoir bien accueilli parmi eux, pour les discussions, énigmes
et réflexions menées lors des repas et poursuivies quelques fois
plus avancé dans l’après-midi. Merci à Abdennour pour les ré-
centséchanges,partagesetdécouvertes.JeremercievivementMme
Fricker, pour la gestion et résolution d’innombrables détails ad-
ministratifs, Mme Robert pour les échanges prompts avec l’école
doctorale, ainsi que les personnes des ressources humaines pour
leurs conseils.
Merci aussi à mes directeurs de thèse pour avoir cru en moi,
m’avoir introduit dans leurs recherches, expliqué et ré-expliqué
les points moins évidents, fait et refait des calculs gigantesques,
envoyé suivre des conférences et des écoles d’été en diverses re-
ff
traitesetconseilléduranttoutcestravaux.Mercidem’avoiro ert
à de nombreuses reprises le couvert et/ou le café.
Je tiens enfin à remercier les rapporteurs et membres du jury
d’avoiracceptédeprendreletempsderegardermontravail,etde
leurs remarques et critiques pour l’améliorer.
iii
iv
Table des matières
Remerciements
iii
Table des matières
v
Introduction générale
ix
I Formalité et structures
L∞ 1
1 Préliminaires
5
1.1 Structures graduées . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Espacesetalgèbresgradués . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Espacesdécalés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Bigèbretensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.4 Bigèbresymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.5 Algèbresenveloppantes . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2 Cohomologie et déformations . . . . . . . . . . . . 19
1.2.1 CohomologiedeHochschild . . . . . . . . . . . . 19
1.2.2 CohomologiedeChevalley-Eilenberg . . . . . . . 19
1.2.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.4 Lienaveclesdéformations . . . . . . . . . . . . 21
2 Formalité de Kontsevich
23
2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Cas des algèbres associatives . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1 AlgèbresdeLiegraduéesdifférentielles . . . . . . 26
2.2.2 Sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.3 Formalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.4 Applicationàladéformation . . . . . . . . . . . 32
2.3 Cas des algèbres de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.1 Champsdepolyvecteursetfonctionspolynômiales 33
2.3.2 StructuredePoissonlinéaire . . . . . . . . . . . 34
2.3.3 Formalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Algèbres enveloppantes . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5 Lemme de perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5.1 Cohomologieàdeuxdegrés . . . . . . . . . . . . 41
2.5.2 Résultatgénéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
v
3 Étude de la formalité pour les algèbres libres
47
3.1 Description des espaces . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1.2 Exemplesendimension0et1 . . . . . . . . . . . 49
3.1.3 Résultatsendimensionplusgrandeque2 . . . . 50
3.1.4 Casd’unespacededimensionfinie . . . . . . . . 57
3.2 Formalité perturbée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2.1 Calculspourlapartiecocycledanslecas1 . . . . 59
3.2.2 Calculspourlapartiecocycledanslecas2 . . . . 60
3.2.3 Calculspourlapartiecoborddanslecas1 . . . . 61
3.2.4 Calculspourlapartiecoborddanslecas2 . . . . 64
4 Étude de la formalité pour l’algèbre de Lie
so(3) 67
4.1 Description de l’algèbre de Lie so(3) . . . . . . . . . 68
4.2 Sous-algèbre du complexe de Chevalley-Eilenberg 69
4.3 Rétracte par déformation du complexe . . . . . . . 72
4.4 Calcul de la structure L∞ . . . . . . . . . . . . . . 73
II Structures Hom-algébriques
77
5 Déformation des Hom-(co)algèbres
81
5.1 Algèbres Hom-associatives et Hom-Lie . . . . . . . 82
5.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.1.3 Principedetwist . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.1.4 Constructiond’algèbresHom-Lie . . . . . . . . . 85
5.2 Hom-cogèbres, Hom-bigèbres et algèbres Hom-Hopf 89
5.2.1 Hom-cogèbresetdualité . . . . . . . . . . . . . 89
5.2.2 Hom-bigèbreetalgèbreHom-Hopf . . . . . . . . 93
5.3 Cogèbres et bigèbres Hom-Lie . . . . . . . . . . . . . 94
6 Structures Hom-(co)Poisson
99
6.1 Algèbre Hom-Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.1.1 Définitionsetexemples . . . . . . . . . . . . . . 100
6.1.2 Principedetwist . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.1.3 Applicationàl’algèbredeSklyanin . . . . . . . . 101
6.1.4 Constructiond’algèbresHom-Poissonàpartird’al-
gèbresHom-Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.2 Structures à une seule opération binaire . . . . . . 104
6.2.1 Hom-algèbresflexibles . . . . . . . . . . . . . . 104
6.2.2 LienaveclesalgèbresHom-Poisson . . . . . . . . 105
6.3 Algèbres Hom-coPoisson et dualité . . . . . . . . . 107
6.3.1 LienaveclesbigèbresHom-Lie . . . . . . . . . . 107
vi
6.3.2 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7 Déformation et quantification de Hom-algè-
bres
113
7.1 Hom-déformation formelle . . . . . . . . . . . . . . 114
7.1.1 Déformationformelled’algèbresHom-associatives 114
7.1.2 DéformationsdeHom-cogèbresetHom-bigèbres 116
7.2 Quantification et twists de (cid:63)-produits . . . . . . . 116
7.2.1 Twistsdu(cid:63)-produitdeMoyal-Weyl . . . . . . . . 118
7.2.2 TwistsducrochetdePoisson . . . . . . . . . . . 120
7.2.3 QuantificationdesautomorphismesdePoisson . . 122
A Calculs
Mathematica 129
A.1 Calcul des morphismes de sl(2) . . . . . . . . . . . . 130
A.2 StructuresHom-LieassociéesaucrochetdeJack-
son sl(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Bibliographie
137
vii
viii
Introduction générale
Le but de cette thèse est d’étudier quelques aspects de struc-
tures algébriques liées au problème de quantification par dé-
formation. On considère d’une part la formalité dans le cas des
algèbres libres et de l’algèbre de Lie so(3), et on s’intéresse d’autre
partàlaquantificationpardéformationpourdesstructuresHom-
algébriques.Cequisuitrelatel’historiquedecessujets,uneexpo-
sition plus détaillée des résultats est donnée au début de chaque
partie.
La théorie de déformation des structures est un moyen de for-
maliser la physique quantique. Si l’on dispose d’une description
quantiqued’unsystèmephysique,onobtientunedescriptionclas-
sique à l’échelle macroscopique en faisant «tendre la constante
(cid:126)
de Planck vers zéro». Le problème inverse, qui consiste à éta-
blir une description quantique à partir d’un cadre classique, est
appelé quantification. La structure considérée pour la mécanique
classiqueestl’algèbreassociativecommutativedesfonctionslisses
sur une variété symplectique, ou plus généralement de Poisson.
La quantification par déformation consiste à construire une mul-
tiplication associative non commutative (plus précisément un (cid:63)-
(cid:126) ffi
produit) sur les séries formelles en à coe cients dans cette al-
gèbre,quiencodelecrochetdePoissonaupremierordre.Lastruc-
turedePoissonestalorsappeléelimitequasi-classiqueetladéfor-
mation est le (cid:63)-produit. Ce point de vue initié dans [BFF+78] en
1978essayedeconsidérerlamécaniquequantiquecommeunedé-
formationdelamécaniqueclassique,legroupedePoincarécomme
une déformation du groupe de Galilée. Cet article fondateur sou-
lève la question de l’existence et de l’unicité d’une déformation
d’un crochet de Poisson sur une variété quelconque.
Lespremiersrésultatsontportésurlesvariétéssymplectiques.
Le cas général des variétés de Poisson a été résolu par Kontse-
vich en 1997 dans [Kon03]. Il l’a déduit en démontrant un résul-
ix