Table Of ContentESPACE ANALYTIQUE REDUIT DES CYCLES ANALYTIQUES COMPLEXES COMPACTS
D'UN ESPACE ANALYTIQUE COMPLEXE DE DIMENSION FINIE '')~t
par
Daniel BARLET
INTRODUCTION
L'objet des chapitres O, I, II et III est de munir l'ensemble des cycles analy-
tiques compacts de dimension n d'un espace analytique complexe Z donn@ de dimension
finie, d'une structure d'espace analytique complexe r@duit de dimension finie. Une
part importante de la difficult@ est de poser le probl~me, ce que nous faisons au
chapitre I w o~ nous d@finissons le foncteur F n z qui ~ un espace analytique complexe
r@duit de dimension finie S associe l'ensemble F~(S) des familles analytiques de cy-
cles compacts de dimension n de Z parametrees par S. La deflnltlon de ce foncteur
n'@tant pas @vidente, nous avons donn@ au chapitre I w une description des familles
analytiques de cycles compacts qui est complete aux points normaux de l'espace de
param~tre, et qui montre (tout au moins je l'esp~re) que le probl~me pos@ est satis-
fai sant.
Le contre-exemple du chapitre I w montre que pour qu'une famille de cycles com-
pacts (Xs) s e S solt analytique au voisinage de s o g S, il ne suffit pas de v@rifier
les conditions impos@es dans la d@finition "fonda~entale" sur un recouvrement de
IX s i par des @cailles adapt@es ~ X s
O t,
Nous sommes ainsi amen@s, au chapitre II, ~ introduire la notion de morphisme
isotrope qui permet de d@montrer le th@or~me de changement de projection (th@or~me 4).
Nous pouvons alors nous contenter de v@rifier des conditions plus fortes (isotropie)
sur un recouvrement de I Xsl par des @cailles de Z adapt@es ~ X
-- S
Nous montrons, au chapitre III w que les espaces classifiant les morphismes
isotropes sont naturellement munis de structure d'ensemble analyt~que banachique ;
la construction de la solution r@sulte alors d'id@es classiques depuis le th~se de
(D).
de Dou~y
(~) Ce travail d@veloppe les expos@s du 4 Novembre 1971, du 7 F@vrier et des 12 et 19
D@cembre 1974. Ses quatre premiers chapitres constituent la Th~se de Doctorat d'Etat
soutenue le 15 Janvier 1975 ~ I'U.E.R. de Math@matiques de l'Universit@ Paris VII.
Au chapitre IV w nous d@finissons la notion de famille analytique (locale) de
cycles (non n@cessairement compacts) ; nous montrons au w que cette notion est inva-
riante par plongement et stable par image directe (quand cela aun sens). Le w fait
le raccord avec la vari~t@ de Chow dans le cas d'une vari@t@ alg~brique projective, ce
ce qui permet en particulier de montrer que celle-ci est ind@pendante du prolongement
projectif choisi pour la construire.
Au chapitre V nous montrons qu'il existe une application "naturelle" entre l'es-
pace de Douady (r~duit) et l'espace des cycles d'un espace analytique donn@, et que
cette application est analytique.
Le chapitre VI est consacr@ ~ la construction d'une th@orie de l'intersection
avec param~tre ; on y montre essentiellement que l'intersection de deux familles ana-
lytiques est analytique d~s qu'elle est raisonnablement d~finie. On obtient @galement
une caract@risation simple des familles analytiques de cycles en termes d'intersec-
tions.
Au chapitre VII on @tudie les fonctions sur l'espace des cycles d@finies par in-
tegration de classes de cohomologie. On obtient ainsi (proposition 2) une nouvelle ca-
ract~risation des families analytlques de cycles. Cel!e-ci r@sout localement la ques-
tion de!l'analyticit~ de ces fonctions. La globalisation est effectu~e ici darts le
cas alg~brique projectif.
Je remercie vivement le Professeur A. Douady pour son aide (en particulier dans
l'@laboration du th~or~me 8) et ses critiques.
Je tiens @galement ~ exprimer toute ma gratitude au Professeur F. Norguet qul
m'a consid@rablement aid~ darts la r@alisation de ces travaux et qui m'a permis de les
regrouper darts ce tome de son s~minaire.
D. Barlet
ELBAT SED I~TIERES
C HAPITRE 0 IPr~liminairesl
w Ensembles analytiques banachiques
D6finitions - Lemme de finitude p. 9-11
Applications analytiques dans H(~,C) p. 12-13
Prolongement analytique p. 14-15
w symk(c p )
Plongement canonique p. 15-17
Fonctions de Newton - Application N p. 17-23
Fonctions de Newton pond~r@es - Application NP p. 23-25
w Rev~tements ramifies
D@finitions - Classification p. 25-30
Banachisation p. 30-31
D~composition locale p. 31-34
CHAPITRE I IOn pose le probl~me I
w Familles analytiques de cycles
Cycles - Ecailles - On pose le probl~me p. 35-36
Changement de projection p. 37-40
w Cas d'un espace de param~tre normal
Description d'une famille analytique de
cycles compacts - Cas d'un espace de param~tre
normal p. 4O-44
w Chan~ement de projection p. 44-47
w Contre-exemple p. 47-50
CHAPITRE II llsotropiel
w Crit~re pour le changement de projection
D@finition et analyticitg des Ti(f) pour une
m
application analytique f : U --~symk(B) .p 51-59
Un crit~re de changement de projection .p 59-65
w Un exemple .p 65-67
w Th@or~me de chan~ement de projection
Morphismes isotropes - Isotropie des familles
analytlques de cycles compacts dans une @caille
adapt@e .p 67-69
Th@or~me de changement de projection pour un
morphisme isotrope .p 69-78
CHAPITRE llI IConstruction de l'espace des cycles I
w ~spaces classifiants pour les morphismes isotropes
Analyticit@ de ~U,U' .p 79-85
w Un exemple (suite) p..86-88
w Enveloppe isotrope .p 88-91
w Construction de la solution
Ecailles doubles - Carapaces .p 91-94
Recollements .p 94-97
Existence - Finitude - Globalisation .p 97-101
CHAPITRE IV IImages directes - Chow ~ C~cles I
w Familles analytiques de cycles (non n@cessairement compacts)
Terminologie "locale" et raccord .p 102-104
Traductions des th@or~mes ,2 3 et 4 .p IO4-IO5
Un crit~re d'analyticit@ "local" .p 106
w Images directes
Invariance par plongements .p I06-108
Stabilit@ des families analytiques de cycles par
images directes .p 108-112
w Vari@t@ de Chow et espace des cycles .p 112-118
C HAPITRE V Morphisme Douady ~ cycles I
w Cycle associ@ ~ un ~-espace analytique de
dimension finie .p 119-124
w Le morphisme Douady ---~Cycles est analytique .p 124-127
w Compl~ments
Le cas des diviseurs d'une vari@t~ .p 127-130
Un cas d'isomorphisme local - Contre-Exe~ple .p 130-132
C HAPITRE VI I Th@orie de l'intersection avec paramStre I
w Intersection de morphismes isotropes
Produit de families analytiques p. 133-136
R$duction ~ la diagonale et changement de
projection .p 136-138
w Intersection de cycles
Ecailles bissectrices .p 138-139
Transversalit@ - "Moving lemma" p. 140-142
Th@or~mes d'intersection .p 143-146
w Images r@ciproques p. 146-148
Equivalence analytique .p 148-149
CHAPITRE Vll L_~t~g:-ation de classes de cchouo!ogiel
DEfinition de l'int@grale d'une classe de
cohomologie sur nut cycle p. 15o-154
Analyticlt@ par rapport au cycle .p 154-16o
Bibliographie .p 161
P,~Ic ERTI o
SERIANIMILERP
w - ENSEMBLES ANALYTIQUES BANACHIqUES.
A. D~finition I
Soient E un espace de Banach, U un ouvert de E et X un ferm6 de U ; on dira
que X est un sous-ensemble anal~tique banachique de U, si pour tout point x e X il
existe un voisinage ouvert U de x dans U, un espace de Banach F et une applica-
x x
tion fx : Ux--~Fx v6rifiant
)o(1~f =u xn x
D~finltion 2
Soient E et F deux espaces de Banach, et soient U et V des ouverts de E et F
respectivement. Si X et Y sont des sous-ensembles analytlques banachiques de U et V
respectivement, on appellera application analytique de X dans Y la donn~e d'une ap-
plication continue h : X --~ Y qui v6rlfie la condition suivante :
Pour tout x (cid:12)9 X il existe un voisinage ouvert U de x strad U et une applica-
x
tion analytique h : U --~ F, telle que
x x
hxlUxN X = hlU x(cid:127) X
Remarquons que dans les conditions ci-dessus, l'application analytique h est
coml~l~tement d~termin6e par l'application ensembliste sous-jacente.
Si X C U est un sous-ensemble analytique banachique de l'ouvert de Banach U,
et si W est un ouvert de l'espace de Banach G, notons par ~x(W) le faisceau (sur
X) des germes d'applications analytiques de X dans W. si h : W--~W' est une appli-
cation analytique entre ouverts de Banach, on en d6duit par composition un morphls-
me de faisceaux sur X
ESPACE ANALYTIQUE REDUIT DES CYCLES ANALYTIQUES COMPLEXES COMPACTS
D'UN ESPACE ANALYTIQUE COMPLEXE DE DIMENSION FINIE '')~t
par
Daniel BARLET
INTRODUCTION
L'objet des chapitres O, I, II et III est de munir l'ensemble des cycles analy-
tiques compacts de dimension n d'un espace analytique complexe Z donn@ de dimension
finie, d'une structure d'espace analytique complexe r@duit de dimension finie. Une
part importante de la difficult@ est de poser le probl~me, ce que nous faisons au
chapitre I w o~ nous d@finissons le foncteur z F n qui ~ un espace analytique complexe
r@duit de dimension finie S associe l'ensemble F~(S) des familles analytiques de cy-
cles compacts de dimension n de Z parametrees par S. La deflnltlon de ce foncteur
n'@tant pas @vidente, nous avons donn@ au chapitre I w une description des familles
analytiques de cycles compacts qui est complete aux points normaux de l'espace de
param~tre, et qui montre (tout au moins je l'esp~re) que le probl~me pos@ est satis-
fai sant.
Le contre-exemple du chapitre I w montre que pour qu'une famille de cycles com-
pacts S e s (Xs) solt analytique au voisinage de g o s S, il ne suffit pas de v@rifier
les conditions impos@es dans la d@finition "fonda~entale" sur un recouvrement de
IX s i par des @cailles adapt@es s ~ X
O t,
Nous sommes ainsi amen@s, au chapitre II, ~ introduire la notion de morphisme
isotrope qui permet de d@montrer le th@or~me de changement de projection (th@or~me 4).
Nous pouvons alors nous contenter de v@rifier des conditions plus fortes (isotropie)
sur un recouvrement de I Xsl par des @cailles de Z adapt@es ~ X
-- S
Nous montrons, au chapitre III w que les espaces classifiant les morphismes
isotropes sont naturellement munis de structure d'ensemble analyt~que banachique ;
la construction de la solution r@sulte alors d'id@es classiques depuis le th~se de
([D]).
de Dou~y
(~) Ce travail d@veloppe les expos@s du 4 Novembre 1971, du 7 F@vrier et des 12 et 19
D@cembre 1974. Ses quatre premiers chapitres constituent la Th~se de Doctorat d'Etat
soutenue le 15 Janvier 1975 ~ I'U.E.R. de Math@matiques de l'Universit@ Paris VII.
D@monstration :
Montrons que le produit de deux sous-ensembles analytiques X et Y d'ouverts
de Banach U et V existe ; le sous-ensemble X ~ Y de U x V ~tant un sous-ensemble
analytique banachique de l'ouvert de Banach U K V, il est muni d'une structure natu-
relle d'ensemble analytique banachique pour laquelle les projections sur X et Y
sont analytiques. Si S est un ensemble analytique banachlque, et "f et g des appli-
cations analytiques de S dans X et Y respectivement, l'application f X g est ana-
lytique de S dans U ~ V, et son image est contenue dans X ~ Y ; elle d@finit done
une application analytique de S dans X ~ Y qui eompos@e avec les projections donne
f et g, ce qui v@rifie la propri@t@ universelle du produit. L'existence du produit
de deux ensembles analytiques banachiques s'obtient localement par le casque nous
venons de traiter ; on globalise ensuite par fonctorialit@.
L'existence des noyaux de doubles fl~ches est imm@diate.
D~finitlon 4
Soit X un ensemble analytique banachique et soit x un point de X ; on dira
que X est de dimension finie en x, s'il existe un volsinage ouvert U de x dans X
x
qui pour la structure induite est isomorphe ~ un sous-ensemble analytique d'un ou-
vert d'un espace de Banach de dimension finie.
Remarquons qu'il y a une ~quivalence de categories entre la cat~gorie des es-
paces analytiques r6duits de dimension finie (et applications analytlques) et la
cat~gorie des ensembles analytiques banachiques qui sont de dimension finie en cha-
cun de leurs points (et applications analytiques).
Lemme de finltude
Soient U ~ E et Vc F des ouverts des espaces de Banach E et F, et soient X
et Y des sous-ensembles analytiques banachiques de U et V respectivement ; soit x
un point de X.
S'il existe une application analytique h de E dans F qui induit un isomorphis-
me de X sur Yet dont la diff@rentielle en x est eompacte, X est de dimension fi-
hie en x.
D@monstration.:
Le probl~me @rant local sur X, on peut supposer, quitte ~ restreindre U et V,
qu'il existe une application analytique f : V--~E telle que f o hlX = i~, et que
h(U) G V. L'application analytlque id E - f (cid:12)9 h de U dans E admet pour diff@rentiel-
le en x ~ X un op~rateur ~ indite. Alors il existe un projecteur p continu de E
sur l'image de cette diff&rentielle. L'application analytique p @ (id E - f ~ h) est
alors une submersion ~irecte en x et sa fibre ~ l'origine est une sous-vari~t~
(lisse) de dimension finie de E au voisinage de x ; comme celle-ci contient X au
voisinage de x, ceci montre que X est de dimension finie en x.
B. Si S est un ensemble analytique banachique et f une application analytique :
f : S--*H(~,C) o~ U est un polydisque de C n, l'application -f : S ~ U --@C qui est
d~finie par ~(s,x) = f(s)(x) est analytlque ; en effet ~ est la compos~e de
f ~ id U et de l'application naturelle ~ : H(~,~) ~ U--~C qui est analytique ear
diffgrentiable au sens complexe (sa diff~rentielle en (~ )x, ~tant d~finle par :
(d~,~x) --, D~(x )(dx) + d~(x)(*)).
Nous allons ~tablir une r~ciproque de ce r~sultat (cf. Douady th~se, ch. 5
w
Proposition .I
Soient Sun ensemble analytlque banachique, U un polydisque de C net
f : S ~ U--~C une application analytique. Pour tout polydisque V6a U, l'applica-
tion S --~H(V,C) qui ~ s associe la restriction ~ de l'application analytique f
s
d@finie par fs(X) = f(s,x) , est analytique.
D~monstration :
Comme la question est locale sur S, on peut supposer que S est un sous-en-
semble analytique ferm~ d'un ouvert W d'un Banach. Alors S ~ U est r~alis~ comme
sous-ensemble analytique ferm~ de W ~ U, et par d~finition d'une application ana-
lytique, f est localement induite sur S ~ U par des applications analytiques sur
l'espace de Banach ambiant. Le coeur du probl~me est de montrer que, quitte ~ res-
treindre Set donc W, on peut trouver une application analytique F d~finie au voi-
sinage de W ~ 7, et induisant f sur nut voislnage de S ~ ~.
Ceci se famine au probl~me ~l~mentaire suivant : soit (K,K' ,K") la situation
type du lemme de Caftan, et soient F' et F" des fonctions analytiques dans des voi-
sinages de W ~ 'K et W ~ K" respectivement ; on suppose que F' (resp. F") induit f
sur S ~ 'K (resp. S ~ K"). On cherche alors F analytique sur : W m 'K( )~ K") (con-
tinue au bord) et induisant f sur S ~ 'K( )% K"). Le lemme addltif de Cartan (avec
param~tre dans un ouvert de Banach) appliqu~ ~ F' - F" sur W x K fournit des
)e~( d~ (resp. d_x) ~tant nut veeteur tangent ~ H(~,~) en ~t (resp. ~ U en x) et
D~(x) d@signant la diff@rentielle de l'application ~ au point x.
10
fonctions analytiques (continues au bord) G' et G" sur W x 'K et W x K", v6rifiant
G' - G" = F' - F" sur W ~ K, et G' (resp. G") 6tant nulle sur S x 'K (resp. Sx K")
puisque F' - F" est nulle sur S ~ K par hypoth~se (*). Comme F' + G' = F" + G" sur
W ~ K, on dgfinit ainsi une application analytique F (continue au bord) sur
W ~ (K' ~ K") qui induit f sur S x 'K( U K").
La compacit6 de ~. permet alors de trouver F analytique sur un voisinage de
W x~ et induisant f sur un voisinage de 8 x V. Nous sommes' alors ramener ~ traiter
le cas o~ S est un ouvert de Banach ; l'application s --~fs est analytique dans ce
cas car diff6rentiable au sens complexe (sa diff6rentielle en s associe ~ ds 1'616-
merit de H(~,{) d6fini par x --~Dsf(S,x)(ds) oG D s d6signe la d6riv6e partielle par
rapport ~ s).
C.Q.F.D.
Corollaire. (principe de localisation)
Soit Sun ensemble analytique banachique, et soit (Ui)ig I un recouvrement par
des polydisques ouverts et relativement compacts dans C n, du polydisque compact
de C n ; supposons donnge pour chaque i g I une application analytique fi de S strad
H(~i,C) , l'espace de Banach des fonctions continues de ~i dans C qui sont analyti-
ques sur U i ; supposons en outre que pour chaque (i,j) g 12 le diagramme :
~'-'-'--~~" U(H i n )c,jU
s / f
fi'~H(Ui,C )
soit commutatif. I1 existe a&ors une unique application analytique f : S --~H(~,C)
rendant commutatifs tousles diagram~es :
S / - ~ H(~ A UI~C) pour i g .I
D6monstration :
D'apr~s ce qui pr@c~de, les applications analytiques fi d6finissent des ap-
plications ana.ly~ ~. : S x U. ---~C et la condition de co~mutativit~ des dia-
l 1
grammes implique l'6galit~ fi = ~" sur S x (U i ~ Uj) pour (i,j) s 12 ; les .~ se
S i
(W) Le param~tre w E W 6tant fix@, G' et G" sont des fonctions lin@aires de (F'-F") w.
w
