Table Of ContentFinite Systemtheorie
Von Dr.-Ing. W. Klein
o. Professor an der Technischen Hochschule Darmstadt
1976. Mit 56 Bildern
ä3
B. G. Teubner Stuttgart
Prof. Dr.-Ing. Wilhelm Klein
Geboren 1910 in Bant (jetzt Wilhelmshaven),
1928 - 1933 Studium der Elektrotechnik an
der Technischen Hochschule Berlin, Dipl.-Ing.,
1933 - 1935 wiss. Mitarbeiter am Versuchsfeld
für Werkzeugmaschinen der gleichen Hochschule,
1937 Promotion, 1935 - 1945 Postreferendar,
Bauassessor, Postassessor, Postrat bei der
Deutschen Reichspost, 1946 - 1958 wiss. Mit
arbeiter im Heinrich-Hertz-Institut Berlin,
1952 Habilitation, 1960 außerplanmäßiger Profes
sor, 1958 - 1964 Postrat, Oberpostrat bei der
Deutschen Bundespost, 1964 o. Professor an der
Technischen Hochschule Darmstadt.
Arbeitsgebiet: Allgemeine Nachrichtentechnik
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Klein , Wi1he1m
Finite Systemtheorie. - 1. Auf1. - Stuttgart
Teubner, 1976.
(Teubner-Studienbücher : Elektrotechnik)
ISBN 978-3-519-06106-9 ISBN 978-3-322-94748-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-94748-2
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zu vereinbaren ist.
C B. G. Teubner, Stuttgart 1976
Softcover reprint of the hardcover 1 st edition 1 9 7 6
Umschlaggestaltung: W. Koch, Sinde1fingen
VORWORT
Die zeitdiskreten Systeme, die in der Nachrichtentechnik und in der
Regelungstechnik eine ständig wachsende Bedeutung bekommen, werden
heute gewöhnlich durch die (infinite) Z-Transformation beschrieben.
Gegenstand dieses Buches ist im Gegensatz dazu eine finite Beschrei
bung dieser Systeme (ohne die Begriffe "kontinuierlich", "unendlich" und
"konvergent"), die unmittelbar auf dem Digitalrechner implementierbar
ist. Das wird dadurch möglich, daß man die Zeitfunktionen als per i 0-
disehe Impulsfolgen annimmt.
Das Buch ist das erweiterte Skriptum einer Vorlesung, die ich seit 1972
an der Technischen Hochschule Darmstadt halte. Abgesehen von § 1,
der einen kurzen Überblick über die konventionelle infinite Systemtheorie
gibt, ist an mathematischen Vorkenntnissen lediglich die Matrizenalgebra
erforder lieh.
Ich danke den Herren Dr.-Ing. Hermann Kremer und Dipl.-Ing.
Raimund L ü c k e r für fruchtbare Diskussionen und für die kritische
Durchsicht des Manuskripts.
Darmstadt, im Sommer 1976
Wilhelm Klein
"Man kann die Ingenieure bedauern, die es so lange aufge
schoben haben, sich mit der Laplace-Transformation zu
befreunden, bis sie ins Museum verwiesen wurde. Aber
so etwas ist schon öfter geschehen. Wir Mathematiker
werden auch für unsere Fahrlässigkeit bestraft: Unsere
Strafe ist die Aufgabe, ihnen die Laplace-Transformation
nun wieder auszutreiben."
Der Mathematiker Hans Freudenthai im Jahre 1958 [9.S].
INHALT Seite
§ 1. überblick über die infinite Systemtheorie 1
1. 1. Der Begriff des Systems 1
1.2. Infinite und finite Systemtheorie 2
1.3. DerZeitbereich 6
1.3. 1. Impuls und Impulsantwort 6
1.3.2. Das Faltungsintegral 6
1.4. Der Frequenzbereich 9
1.4.1. Die Fouriertransformation 9
1.4.2. Die Laplacetransformation 11
1. 5. Der Z-Bereich 14
§ 2. Der finite Zeitbereich 17
2.1. Zeitdiskrete Systeme 17
2.2. Die Pulsantwort und die zyklische Faltung 17
2.3. Zusammenhang mit der klassischen Systemtheorie 19
2.4. Die Z-Koeffizienten 20
2.5. Ermittlung der Ausgangsfunktion yaus der Eingangs-
funktion x und den Z-Koeffizienten 22
2.6. System identifikation bei überlappten Perioden 23
2. 7 • Dreiecksfaltung 26
2.8. Das überlappen der Impulsantworten 31
2.9. Systemidentifikation bei nichtüberlappten Perioden 32
2.10. System identifikation bei fehlerhaften Meßwerten und
unbekanntem System grad 33
2.11. Realisierungen 36
2.11.1. Die verwendeten Schaltelemente 36
2.11.2. Zusammenschaltungsregeln für zeitdiskrete
Systeme 39
2.11.3. Realisierung der übertragungsmatrix im
Zeitbereich 41
§ 3. l}er finite Z-Bereich
3.1. Die finite Z-Systemfunktion in der Quotientenform 43
3.2. Z-Systemfunktion und Impulsantwort 45
3.3. Zahlenbeispiel 47
3.4. Finite Z-Transformation mit komplexen Frequenzen 49
3.5. Die finite Laplacesystemfunktion in Produktform 56
3.6. Die Stabilität des Systems 57
§ 4. Anwendungen der finiten Fouriertransformation
4.1. Die Schnelle Fouriertransformation 60
4.2. Die reelle finite Fouriertransformation 60
4.2.1. Die reelle Fouriermatrix 60
4.2.2. Realisierung der reellen Fouriermatrix 65
4.3. Die Hauptachsentransformation von Toeplitzmatrizen 67
4.3.1. Die Toeplitzmatrix 67
4.3.2. Die Leitungsbildung beim Sternvierer 68
4.4. Schaltungen mit linearer Phase 72
-VI-
Seite
§ 5. Interpolation und Abtastung 74
5.1. Bezeichnungen 74
5.2. Der ideale Abtaster 75
5. 3. Das finite Abtasttheorem 77
5.4. Die frequenzbegrenzte Interpolationsfunktion 79
5.5. Zahlenbeispiel 82
5.6. Zeitkontinuierliche Interpolation 84
5.7. Abtastung einer zeitkontinuierlichen Funktion 86
§ 6. Analyse und Synthese zeitdiskreter Systeme 89
6.1. Das Analyseverfahren 89
6.1.1. Die Signalflußgleichungen 90
6.1.2. Die Strukturregel der Signalflußmatrix 93
6. 1. 3. Die Knotenreduktion 94
6.1.4. Die schrittweise Knotenreduktion 96
6. 1. 5. Beispiel einer Knotenreduktion 97
6.2. Das transponierte System 98
§ 7. Der Tangensfrequenzbereich 102
7.1. Die zyklischen Differenzenmatrizen 102
7.2. Die Systemfunktion im Tangensfrequenzbereich 104
7.3. Der Zusammenhang zwischen der Z-Systemfunktion
und der Systemfunktion im Tangensfrequenzbereich 107
7.4. Angenäherte Berechnung der Impulsantwort eines
zeitkontinuierlichen Systems 109
7.5. Entwurf eines zeitdiskreten Systems aus einem ge
gebenen Toleranzschema 111
§ 8. Streifen-Dreiecksmatrizen 116
8.1. Die Dreiecks-Differenzenmatrizen 116
8.2. Die Differenzenform der Differenzengleichung 117
8.3. Die Lösung der Differenzengleichung 120
8.4. Der Austausch der Anfangswerte 120
8.5. Beispiel: Die Differenzengleichung der
Fibonaccischen Zahlen 121
8.5.1. Definition und konventionelles Lösungsver
fahren 121
8.5.2. Die Summenschreibweise der Differenzen
gleichung 122
8.5.3. Die Differenzenform der Differenzenglei
chung 124
§ 9. Die Operatorenr~chnung
9.1. Die He a vi s i desehe Operatorenrechnung und ihre
exakten Begründungen 128
9.2. Lösung der Differentialgleichung (2) mit der finiten
Systemtheorie 130
9.3. Die finite Operatorenrechnung 131
-VII-
Seite
§ 10. Die Hilberttransformation 133
10. 1. Der zeitdiskrete zeitinvariante H ilberttransformator 133
10.2. Die Hilbertmatrix für ungerade N 137
10.3. Die Hilbertmatrix für gerade N 138
10.4. Zahlenbeispiel 138
10.5. Der zeitdiskrete zeitvariante Hilberttransformator 142
10.6. Die infinite Hilberttransformation 145
Anhang 1: Definitionen und Rechenregeln der finiten Systemtheorie
I. Vektoren und Matrizen mit zyklischen Indexen Al
1. Vektoren mit zyklischem Index Al
2. Die zyklische Matrix A4
3. Die Hauptachsentransformätion der zyklischen Matrix A5
4. Die Z-Transformationsmatrix (Laplacematrix) A8
5. Die Fouriermatrix A9
6. Die Diskrete Fouriertransformation A10
7. Zusammenhang zwischen finiter und infiniter Systemtheorie A 12
7.1. Die endliche Fourierreihe AB
7.2. Die unendliche Fourierreihe A 15
7.3. Das Fourierintegral und das Laplaceintegral A15
7.4. Die finite und die infinite Z-Transformation A 16
8. Die Schnelle Fouriertransformation A 18
9. Rechenregeln für zyklische Matrizen A20
10. Die zyklische Faltung A21
11. Die zyklische Entfaltung A21
12. Die zyklischen Differenzenm?trizen A22
13. Polynomentwicklung einer zyklischen Matrix A22
14. Faktorisierung einer zyklischen Matrix A23
15. Partialbruchzerlegung der Inversen einer zyklischen Matrix A23
16. Die Inverse einer zyklischen Matrix A23
H. Streifen-Dreiecksmatrizen A24
17. Die Dreiecksmatrix mit Streifenstruktur A24
18. Rechenregeln für Streifendreiecksmatrizen A24
19. Dreiecksfaltung A25
20. Dreiecksentfaltung A25
21. Polynomentwicklung einer Streifen-Dreiecksmatrix A26
22. Faktorisierung einer Streifen-Dreiecks matrix A26
23. Partialbruchentwicklung der Inversen einer Streifen-Drei
ecks matrix A27
.24. Die Inverse einer Streifen-Dreiecksmatrix A27
25. Die Dreiecks-Differenzenmatrizen A27
26. Faktorisierung eines Differenzenpolynoms A28
27. Partialbruchzerlegung der Inversen eines Differenzpolynoms A28
28. Die Inverse eines Differenzenpolynoms A28
29 •.S ummierung einer Potenzfolge A29
VIII
Anhang 2: Beweise Seite
1. Beweis der Formeln (A112) und (A113) A31
2. Beweis der Formel (A118) A32
3. Beweis der Strukturregel der
Pascalmatrix Gl. (7.20) A32
Literatur A36
Sachverzeichnis A39
-1-
§ 1. Überblick über die infinite Systemtheorie
1.1. Der Begriff des Systems
Ein elektrisches Netzwerk kann zur Übertragung von Energie oder von Signa
len verwendet werden. Dementsprechend unterscheidet man E n er g i eü b er
t rag u n g s s y s t e m e und S i g n a 1 übe r t rag u n g s s y s t e m e • Die Ein
gänge und Ausgänge dieser Systeme heißen E n erg i e tor e bzw. Si g na 1-
tor e • An einem Energietor sind die Energie bzw. die Leistung stationär
durch die Spannung und den Strom festgelegt; bei einem Signaltor ist das
Signal durch eine Zeitfunktion gegeben, die meist durch eine Spannung reali
siert wird. Die Signale werden nur in einer Richtung übertragen, die Signal
tore sind also entweder nur Eingangstore oder nur Ausgangstore. Wir werden
uns hier ausschließlich mit Signalübertragungssystemen befassen und die Be
zeichnung "Systemtheorie" nur in diesem Sinne gebrauchen.
Die Aufgabe der Systemtheorie besteht darin, Verfahren zur Ermittlung der
Signale an den Ausgangstoren bereitzustellen, wenn die Signale als Zeitfunk
tionen an den Eingangstoren gegeben sind und das System durch gewisse System
funktionen gekennzeichnet ist. Die Ermittlung dieser Systemfunktionen ist je
doch nicht Aufgabe der Systemtheorie. In vielen Fällen ist eine exakte Ermitt
lung der Systemfunktionen durch Systemanalyse ohnehin praktisch undurchführ
bar. Man muß dann das System durch ein mehr oder weniger stark idealisier
tes Modell ersetzen, dessen Systemfunktionen genügend einfach sind, so daß
man die Rechnung durchführen kann.
Diese Konzeption und die Bezeichnung "Systemtheorie" stammt von Kü p f müll er
J.
~us dem Jahre 1949 [1.1 Für die linearen Systeme der elektrischen Nachrich
tentechnik war mit den damaligen Rechenhilfsmitteln eine Systemanalyse im
allgemeinen nicht durchführbar. Küpfmüller betrachtete daher stark idealisierte
System funktionen (zum Beispiel die Übertragungsfunktion des idealen Tiefpasses),
und zwar zunächst ohne Rücksicht darauf, daß sich solche Funktionen nicht durch
Schaltungen realisieren lassen. Diese idealen Systemfunktionen wurden dann
schrittweise durch Berücksichtigung der Dämpfungsverzerrungen oder/und
Phasenverzerrungen an realisierbare Funktionen angenähert.
Dieser Gedanke, das System durch idealisierte Systemfunktionen zu kennzeich
nen, hat sich in der Folgezeit als außerordentlich fruchtbar erwiesen, und es
hat sich auf verschiedenen Gebieten eine Systemforschung entwickelt,. wie zum
Beispiel im sozio-ökonomischen Bereich. Auf dem Gebiet der linearen Systeme
der Nachrichtentechnik und der Regelungstechnik hat sich inzwischen
gegenüber dem Küpfmüllerschen Buch eine etwas abgewandelte Konzeption
ergeben. Denn es ist heute wegen des Vorhandenseins der Digitalrechner
nicht mehr erforderlich, daß die Systemfunktionen so einfach sind, daß die
Ergebnisse sich als geschlossene Lösungen darstellen lassen. Man beschreibt
daher jetzt diese Systeme entweder durch ihr äußeres Verhalten unter
Berücksichtigung der inneren Zustände mit Hilfe der Zustandsmatrizen
-2-
oder allein durch ihr äußeres Verhalten mit Hilfe von AntwoFtfunktionen,
die an den Ausgängen beim Anlegen bestimmter Prüffunktionen an die Ein
gangstore entstehen. Wir werden uns hier auf diese zweite Beschreibungs
art des Systems durch Antwortfunktionen beschränken.
Die Antwortfunktionen kann man grundsätzlich entweder meßtechnisch ge
winnen oder man kann sie aus der Schaltung mit Hilfe des Digitalrechners
numerisch ermitteln. Diese rechnerische Analyse ist Aufgabe der Ne t z
werktheorie (circuit theory), während die System theorie (system
theory) den Zusammenhang zwischen den Systemfunktionen und den Zeit
funktionen an den Toren behandelt.
Die hier behandelten Systeme sollen linear sein, so daß für die Signale
das Oberlagerungsprinzip gilt. Weiter wollen wir in der Hauptsache z e i t
i n v a r i a nt e Systeme behandeln, bei denen also die Schaltelemente zeit
lich unverändert sind. Schließlich sollen die Systeme frei von inneren un
abhängigen Quellen sein, so daß beim Verschwinden der Eingangssignale
auch die Ausgangssignale verschwinden. Dagegen können gesteuerte Quellen
vorhanden sein.
1.2. Infinite und finite Systemtheorie
Ein wesentliches Unterscheidungsmerkmal ,der Systeme besteht darin, daß
die Argumente der in der Theorie verwendeten Funktionen, also die Zeit und
die Frequenz einerseits k 0 n tin u i e r 1 ich oder dis kr e t sein können
und andererseits periodisch (zyklisch) oder unperiodisch.
Aus diesem Grunde unterscheiden wir eine in f i n i t e und eine f i ni t e
Systemtheorie. In der üblicherweise verwendeten infiniten Systemtheorie,
deren zugehörige Mathematik die Infinitesimalrechnung ist, spielen die
Begriffe "unendlich", "stetig" und "konvergent" eine Rolle, die in der finiten
Systemtheorie fehlen. In dieser si.nd die Argumente der Funktionen diskret
und zyklisch, die zugehörige Mathematik ist die Matrizenrechnung und die
Differenzengleichungen. Wie die Amplituden beschrieben werden, ist zu
nächst unwesentlich. Erst beim Realisierungsproblem muß man unterschei
den, ob die Amplituden wertkontinuierlich sind (Abtastsysteme,
Pulsamplitudenmodulation f1.9]) oder wertdiskret (digitale Systeme,
Pulscodemodulation [1.8]).
In der infiniten Theorie und in der finiten Theorie verwendet man je drei Prüf
funktionen: Den Impuls bzw. den Puls, die Schwingung und die Exponential
schwingung. Bild 1.1 zeigt diese 6 Prüffunktionen, die später eingehend be
handelt werden:
a) Der Impuls 6(t) zur Zeit t = 0 mit der Impulsfläche 1.
b) Die Sc h w i n gun 9 der Kreisfrequenz w von t = -00 bis t = +CO:
