Finite Elemente und Differenzenverfahren: Spezialtagung über «Finite Elemente und Differenzenverfahren» vom 25. bis 27. September 1974 an der Technischen Universität Clausthal

179 Pages·1975·4.764 MB·German

by  J. Albrecht (auth.), J. Albrecht, L. Collatz (eds.)

ISNM
INTERNATIONAL SERIES OF NUMERICAL MATHEMATICS
INTERNATIONALE SCHRIFTENREIHE ZUR NUMERISCHEN MATHEMATIK
SERIE INTERNATIONALE D'ANALYSE NUMERIQUE
Editors:
eh. Blanc, Lausanne; A. Ghizzetti, Roma; P. Henrici, Zürich; A. Ostrowski, Montagnola;
J. Todd, Pasadena; A. van Wijngaarden, Amsterdam
VOL. 28
Finite Elemente
und
Differenzenverfahren
Spezialtagung über «Finite Elemente und Differenzenverfahrem>
vom 25. bis 27. September 1974
an der Technischen Universität Clausthal
Herausgegeben von J. ALBRECHT und L. COLLATZ
1975
SPRINGER BASEL AG
Nachdruck verboten
Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen und der Reproduktion
auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten.
© Springer Basel AG 1975
Ursprünglich erschienen bei Birkhäuser Verlag Basel, 1975
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1975
ISBN 978-3-0348-5862-5 ISBN 978-3-0348-5861-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-5861-8
Vorwort
Der vorliegende Band gibt hauptsächlich Vorträge wieder, die in der Zeit vom
25. bis 27. September 1974 auf einem an der Technischen Universität Claus
thai abgehaltenen, von den Unterzeichneten geleiteten Kolloquium über
«Finite Elemente und Differenzenverfahrem> gehalten wurden.
Diese beiden Methoden sind wohl die z. Z. am meisten verwendeten
numerischen Näherungsverfahren zur angenäherten Lösung von Anfangs
und Randwertaufgaben bei gewöhnlichen und partiellen, linearen und nichtli
nearen Differentialgleichungen. Die im Laufe der letzten 2 bis 2Y2 Jahrzehnte
entwickelte Methode der finiten Elemente hat wegen ihrer großen Flexibilität
und Anwendbarkeit auch bei sehr komplizierten Aufgaben besonders in den
Anwendungsgebieten großen Anklang gefunden, und es werden z. B. bei
Problemen der Kontinuumsmechanik auf Computern Probleme mit über
10 000 nichtlinearen Gleichungen numerisch bewältigt. Trotz der außeror
dentlichen praktischen Erfolge sind erst in neuerer Zeit von mathematischer
Seite aus Versuche unternommen worden, eine strenge Fehleranalyse durch
zuführen; exakte Fehlerschranken für die auf dem Computer berechneten
Näherungen lassen sich z. Z. nur für relativ einfache Probleme angeben.
Einige der Vorträge berichten über derartige Möglichkeiten, deren
weiterer Ausbau als wichtige Aufgabe für künftige mathematische Forschung
erscheint, andere Vorträge über Weiterentwicklungen numerischer Methoden,
über Konvergenzordnungen und über Vergleiche verschiedener Verfahren
miteinander.
Das Ziel der Tagung war, dazu beizutragen, die z. Z. auf dem Gebiete der
numerischen Behandlung von Differentialgleichungen bestehende Diskrepanz
zwischen Theorie und Praxis ein wenig zu verringern.
November 1974 J.ALBRECHT L.COLLATZ
Inhaltsverzeichnis
ALBRECHT, J., Zum Mehrstellenverfahren bei Systemen partieller
Differentialgleichungen 1. Ordnung ............................. 9
ARGYRIS, J. H., DUNNE, P. c., ANGELOPOULOS, T., Die Lösung
nichtlinearer Probleme nach der Methode der finiten Elemente ...... 15
KORNSTAEDT, H.-J., Ein allgemeiner Konvergenzsatz für ver-
schärfte Newton-Verfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
MITCHELL, A. R., Curved Boundaries in the Finite Element
Method..................................................... 71
MITTELMANN, A. D., Numerische Behandlung des Minimalflä-
chenproblems mit finiten Elementen ............................ 91
NATTERER, F., Berechenbare Fehlerschranken für die Methode
der finiten Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
RICHERT, W.R., Intermediateprobleme bei Matrizeneigenwert-
aufgaben ................................................... 123
SCHWARZ, H. R., Finite Elemente bei einfachen Eigenwertaufga-
ben. Feststellungen und Kuriositäten ........................... 133
WETTERLING, W., KOTHMANN, P., Randmaximumsätze bei Ge-
bietszerlegungen .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
WHITEMAN, J. R., Conforming Finite Element Methods for the
Clamped Plate Problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
ZLAMAL, M., Finite Element Multistep Methods for Parabolic
Equations .................................................. 177
ISNM 28 Birkhäuser Verlag, Basel und Stuttgart 1975 9
l
ZUM MEHRSTELLENVERFAHREN BEI SYSTEMEN PARTIELLER DIFFERENTIAL
GLEICHUNGEN 1. ORDNUNG
von J. Albrecht in Clausthal-Zellerfeld
[1] ,
Das Mehrstellenverfahren das bei verschiedenen
Typen gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen
mit gutem Erfolg angewendet worden ist, soll in dieser
Mitteilung von Systemen partieller Differentialglei
chungen
ut+ux=f(t,x,u)
bzw.
v t -vx =g (t , x , v) )
auf Systeme
ut+ux+f(u,v)=O
vt-vx-f(u,v)=O
und [2]
ut+ux+f(u,v)=O
vt+vy-f(u,V)=O
übertragen werden.
1. Es bedeute
U(t,X)]
1
[
, f(t,x;u)=
~~~~:~~
u(t,x)=
Un(t,x)
10 ALBRECHT
und es liege das System partieller Differentialgleichungen
1. Ordnung
Lu=f(t,XiU(t,X»
vor. Dann gilt
Lru=f [rJ (t,xiU (t,x» (r=1,2, ••• ) ,
wobei
f [lJ ;=f
[r+l] fj)f er] ruf [rj ~ 'df [rl
f ;= 'O~ + ~ + L- fnfi)Um (r=1,2, ••• )
m=l
ist. Mit der (für beide unabhängige Veränderliche gleichen)
Schrittweite h, den Gitterpunkten
und den Näherungen
ujk ~u (tj ,xk)
~ »
(L qu) jk;=f[q] (tj ,xk iUjk) f[q1 (tj ,xk iU (tj ,xk (q=l, 2, ••• ,r)
geht dann aus der auf Funktionen von zwei unabhängigen
Variablen übertragenen (s.[l] ) Hermite-Formel die
Mehrstellenformel
1
~~
LQu (rEN fest)
j ,k-1
hervor.
Analog ergibt sich für das System
Mv=g(t,XiV(t,X» ,
ALBRECHT 11
wobei
MV=Vt-Vx '
die Mehrstellenformel
h~
MqV} (rEN fest) •
q.
j ,k+l
2. Diese beiden Mehrstellenformeln sind - allerdings nur
für r=l (Sehnentrapezregel) - auch auf das systeml)
ut+ux+f(u,v)=O
vt-vx-f(u,v)=O
anwendbar:
(u+thf(U,V)) (u-thf(U,v))
j+l ,k j,k-l
1
(v-thf (u,v)) (v+2"hf (u,v))
j+l ,k j,k+l
Es wird also
1 1
(u+v) j+l,k = (u-2"hf (u,v) ) j ,k-l + (v+2"hf(u,v)) j,k+l'
so daß bei Anfangsrandwertaufgaben mit Randbedingungen der
Periodizität {U(t,x+P)EaU(t,X) \ mit P=n·h
v (t ,x+P)::::;:v (t ,x) ~
12 ALBRECHT
und (unter der Voraussetzung f(u,v)=O für u=v) der
J
u (t,a)=v(t,a)
Reflexion { mit b-a=n·h
u(t,b)=v(t,b)
das Erhaltungsgesetz
n-l
+L
!(u+v) (u+v) + ! (u+v)
2
j+l ,0 j+l ,k j+l,n
k=l
n-l
='12 (u+v) +L (u+v) + ! (u+v)
2
j,O j,k j,n
k=l
als finites Analogon (im Sinne der Sehnentrapezregel) zu
S b
(u(t,x)+v(t,x» dx=~onst. bzw. S(U(t,X)+V(t,X»dx=const.
P a
gilt.
Bemerkung: uj+1,k und vj+1,k müssen im allgemeinen iterativ
berechnet werden, z. Bsp. gemäß
(p+l) . -T1 t (p)
uj+l ,k (U-!hf (u, v) ) j,k-l f (uj+l ,k' V(jp+)l ,k) }
(P=0,1 ,2, ••• ) ;
(P+l) 1 (p) (p)
Vj+1,k (V+!hf(U,v» j ,k+l +'2hf(uj+l,k' Vj+l,k)
im Spezialfall f(u,v)=u2-v2 ergibt sich mit Hilfe von
(u+V) j+l ,k direkt