Finite Elemente: Theorie, schnelle Löser und Anwendungen in der Elastizitätstheorie

358 Pages·2003·9 MB·German

by  Prof. Dr. Dietrich Braess (auth.)

Braess
Finite Elemente
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Dietrich Braess
Finite Elemente
Theorie, schnelle Loser und Anwendungen
in der Elastizitatstheorie
Dritte, korrigierte und erganzte Auflage
Mit 57 Abbildungen
, Springer
Prof. Dr. Dietrich Braess
Ruhr-UniversWit Bochum
Institut fur Mathematik
UniversiHitsstraBe 150
44780 Bochum, Deutschland
e-mail: [email protected]
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ISBN 978-3-540-00122-5 ISBN 978-3-662-07232-5 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-07232-5
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Vorwort
Fiir die zweite und die dritte Auftage wurde das Lehrbuch iiber Finite Elemente kraftig
iiberarbeitet. Neben vielen kleinen Anderungen zur Abrundung der Theorie finden sich
groBere Anderungen vor allem in drei Bereichen.
Die groBten Anderungen hat es im Kapitel iiber Finite Elemente in der Struktur
mechanik gegeben. Durch die Entwicklung in den letzten lahren ist die Plattentheorie
vollstandiger und iibersichtlicher geworden, so daB auch in diesem Buch eine bessere
Basis geliefert werden konnte. In der Strukturmechanik ergab sich eine Synthese zwi
schen den Ergebnissen der Ingenieurwissenschaften und den mathematischen Metho
den insbesondere, wei! bei einigen einfachen und natiirlich erscheinenden Elementen der
Locking-Effekt auftritt. Deshalb wird eine mathematisch priizise Formulierung fiir den
Locking-Effekt eingebracht und am Beispiel des Timoschenko-Balkens mit Elementen
niedriger Ordnung und fiir fast inkompressibles Material verdeutlicht.
Wegen der starkeren Bedeutung von adaptiven Methoden werden a posteriori Feh
lerabschatzungen am Beispiel der residualen Schatzer behandelt. Dies hatte auch Auswir
kungen auf andere Teile. So wurde der ApproximationsprozeB von Clement einbezogen,
urn auch weniger gleichmiiBige Finite-Element-Netze zu erfassen.
Zu den Mehrgitterverfahren ist die Analyse iiber die Teilraumzerlegungsmethoden
hinzugekommen. Sie hat in letzter Zeit an Aktualitat gewonnen, wei I weniger Regu
laritatsvoraussetzungen erforderlich sind und lokale Verfeinerungen einfach einbezogen
werden konnen. Andererseits kann diese Theorie nicht die iibliche ersetzen, weil die sonst
so iibersichtliche Aufspaltung in Glattungs- und Approximationseigenschaften entfallt.
Die Aufgaben am Ende der Abschnitte sind von unterschiedlichem Schwierigkeits
grad. Losungen zu den schwierigen Aufgaben findet der Leser im Internet
(http://homepage.rub.delDietrich.Braess). Dort sollen zu gegebener Zeit auch wieder Hin
weise auf ausgewahlte aktuelle Literatur und eine Liste storender Fehler bereitgestellt
werden.
Natiirlich sind in dieser Auftage all die kleinen Fehler beseitigt worden, die dem
Autor von vie len Lesern mitgeteilt wurden. Allen, die dazu beigetragen haben, mochte
ich an dieser Stelle herzlich danken. Mein Dank gilt auch dem Springer-Verlag, der das
Buch mit den Anderungen jetzt wieder neu aufJegt.
Bochum, im November 2002
Dietrich Braess
Vorwort zur ersten Auflage
Bei der numerischen Behandlung von elliptischen und parabolischen Differentialglei
chungen wird heute sehr viel die Methode der Finiten Elemente eingesetzt. Die Methode
erlaubt wegen ihrer Flexibilitat auch die Behandlung schwieriger Probleme, wei I sie -
anders als Differenzenverfahren oder Rechnungen mit Finiten Volumen - auf die Va
riationsformulierung der Differentialgleichung zugeschnitten ist. Die Entwicklung von
Finiten Elementen verlief lange bei Mathematikem und Ingenieuren parallel, ohne daB
dies zunachst wahrgenommen wurde. Ende der 60er und Anfang der 70er Jahre erfolgte
die Entwicklung des Begriffsapparats mit einer Standardisierung, die es dann ermoglichte,
den Stoff auch den Studenten vorzustellen. Aus einer Reihe von Vorlesungen ist dieses
Buch auch hervorgegangen.
1m Gegensatz zu der Situation bei gewohnlichen Differentialgleichungen gibt es bei
elliptischen partie lIen Differentialgleichungen nicht immer klassische Losungen und oft
nur sogenannte schwache Losungen. Das hat nicht nur Auswirkungen auf die Theorie,
sondem auch auf die numerische Behandlung. Zwar existieren klassische Losungen un
ter Regularitatsvoraussetzungen, wegen der mit numerischen Rechnungen verbundenen
Approximation konnen wir uns jedoch nicht auf einen Rahmen festlegen, in dem nur
klassische Losungen vorkommen.
Fur die Behandlung elliptischer Randwertaufgaben durch Finite Elemente liefert die
Variationsrechnung einen passenden Rahmen. Es ist das Ziel von Kapitel II, hier einen
moglichst einfachen Einstieg zu geben. In den Paragraphen 1-3 wird die Existenz von
schwachen Losungen in Sobolev-Raumen hergeleitet und dargestellt, wie in der Varia
tionsrechnung die Randbedingungen erfaBt werden. Urn dem Leser ein Gefuhl fur den
Umgang mit der Theorie zu vermitteln, werden einige Eigenschaften der Sobolev-Raume
hergeleitet oder wenigstens illustriert. Die Paragraphen 4-8 sind dann den eigentlichen
Grundlagen der Finiten Elemente gewidmet. Den schwierigsten Teil machen die Appro
ximationssatze in §6 aus. Deshalb wird dort vorab der Spezialfall regelmaBiger Gitter
behandelt; auf diesen Fall moge sich der Leser beim ersten Lesen beschranken.
In Kapitel III kommen wir zu dem Teil der Theorie der Finiten Elemente, der tiefer
liegende Methoden der Funktionalanalysis benotigt. Letztere werden in §3 bereitgestellt.
Der Leser lemt die beriihmte Ladyshenskaja-Babuska-Brezzi-Bedingung kennen, die fur
die sachgemiiBe Behandlung von Problemen der Stromungsmechanik und der gemisch
ten Methoden in der Strukturmechanik wichtig ist. Wenn man sich ohne diese Kenntnisse
auf den gesunden Menschenverstand verliiBt, wird man in der Stromungsmechanik leider
dazu verleitet, Elemente mit instabilem Verhalten zu benutzen.
Es war unser Bestreben, moglichst wenig an Kenntnissen in der reellen Analysis
und der Funktionalanalysis vorauszusetzen. Andererseits ist ein gewisses Hintergrund-
Vorwort zur ersten Auflage vii
wissen niitzlich. Darum wird in Kapitel I der Unterschied zwischen den verschiedenen
Typen von partiellen Differentialgleichungen kurz erlautert. Wer zum ersten Male mit der
numerischen Lasung elliptischer Differentialgleichungen konfrontiert ist, empfindet den
Zugang iiber die Differenzenverfahren meistens als leichter. Die Grenzen sieht man erst
spater. Eine solche erste Begegnung ist mit Kapitel I beabsichtigt, und aufVollstandigkeit
der Theorie wird so bewuBt verzichtet.
Die Finite-Element-Methode fUhrt bei feiner werdender Diskretisierung auf groBe
Gleichungssysteme. Bei der Lasung mit direkten Verfahren steigt der Aufwand wie n2 an.
In den letzten zwei Iahrzehnten wurden nun mit der Methode der konjugierten Gradienten
und mit den Mehrgitterverfahren sehr effiziente Laser entwickelt, die in den Kapiteln IV
und V ausgiebig vorgestellt werden.
Ein wichtiger Anwendungsbereich fiir Finite Elemente ist die Strukturmechanik.
Weil hier Systeme von Differentialgleichungen zu lasen sind, kommt man oft nicht mit
den elementaren Methoden aus Kap. II aus und muB von der Freiheit Gebrauch machen,
die einem die tieferliegenden Ergebnisse aus Kap. III ermaglichen. Es waren die ver
schiedensten Bausteine zusammenzubringen, urn eine mathematisch tragfahige Theorie
fiir die Behandlung der Probleme in der linearen Elastizitatstheorie mit Finiten Elementen
zu erhalten.
Fast jeder Paragraph endet mit einigen Aufgaben, die nun nicht nur Ubungen im
strengen Sinne sind. Manche Aufgabe besteht darin, eine Formel oder ein Resultat aus
einem anderen Blickwinkel zu betrachten oder liefert einen Hinweis, der im Text seIber
den fluB gestart hatte. Bekanntlich kann man bei der Behandlung partieller Differenti
algleichungen iiber manche Fallen stolpem, wenn man - sei es auch nur unbewuBt -
klassische Lasungen vor Augen hat. Den Blick fiir solche Fallen zu scharfen, ist das Ziel
mancher Aufgabe.
Das Buch baut auf Vorlesungen auf, die den Studenten im 5.-8. Semester an der
Ruhr-Universitat in regelmaBigen Abstanden angeboten werden. Die Vor1esungen behan
delten die Kapitel I und II sowie Teile der Kapitel III und V, wahrend die Methode der
konjugierten Gradienten in andere Vorlesungen eingegliedert ist. Das Kapitel VI entstand
aufgrund von Verbindungen, die an der Ruhr-Universitat zwischen Mathematikem und
Ingenieuren bestehen.
Ein solcher Text kann nur dank der Mithilfe vieler zustande kommen, und an die
ser Stelle machte ich insbesondere F.-I. Barthold, C. Blamer, H. Blum, H. Cramer, W.
Hackbusch, A. Kirmse, U. Langer, P. Peisker, E. Stein, R. Verfiirt, G. Wittum und B.
Worat fiir ihre Korrekturen und Verbesserungsvorschlage danken. Frau L. Mischke, die
den Text in TeX gesetzt hat, danke ich fiir ihre unermiidliche Arbeit und Herrn Schwarz
fiir seine Hilfe bei der Bewaltigung von TeX-Problemen. SchlieBlich gilt mein Dank dem
Springer-Verlag fiir die Publikation des Buches und die stets angenehme Zusammenarbeit.
Bochum, im Herbst 1991 Dietrich Braess
Inhaltsverzeichnis
Vorwort v
Vorwort zur ersten Auftage vi
Bezeichnungen Xlll
Kapitel I
Einfiihrung
§ 1. Beispiele und Typeneinteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Beispiele 2 - Typeneinteilung 7 - SachgemaB gestellte Probleme 8
§ 2. Maximumprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Beispieie 12 - Folgerungen 13
§ 3. Differenzenverfahren 15
Diskretisierung 15 - Diskretes Maximumprinzip 18
§ 4. Eine Konvergenztheorie fur Differenzenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Konsistenz 21 - Lokaler und globaler Fehler 21 - Grenzen der Konvergenz
theorie 24
Kapitel II
Konforme Finite Elemente 26
§ 1. Sobolev-Raume 27
Einfiihrung der Sobolev-Raume 27 - Die Friedrichssche Ungleichung 29 -
Singularitaten von HI-Funktionen 30 - Kompakte Einbettungen 31
§ 2. Variationsformulierung elliptischer Randwertaufgaben 2. Ordnung ......... 33
Variationsformulierung 34 - Reduktion auf homogene Randbedingungen 35
- Existenz von Losungen 37 - Inhomogene Randbedingungen 40
§ 3. Die Neumannsche Randwertaufgabe. Ein Spursatz . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 42
Elliptizitat in HI 42 - Randwertaufgaben mit naturlichen Randbedingungen
43 - Neumannsche Randbedingungen 44 - Gemischte Randbedingungen
45 - Beweis des Spursatzes 45 - Praktische Konsequenzen aus dem Spur-
satz 48
§ 4. Ritz-Galerkin-Verfahren und einfache Finite Elemente 51
Modellproblem 54
§ 5. Einige gebrauchliche Finite Elemente 57
Forderungen an die Triangulierung 58 - Bedeutung der Differenzierbarkeits
eigenschaften 59 - Dreieckelemente mit vollstandigen Polynomen 61 -
x Inhaltsverzeichnis
Bemerkung zu Cl-Elementen 62 - Bilineare Elemente 64 - Quadratische
Viereckelemente 66 - Affine Familien 67 - Zur Auswahl von Elementen 70
§ 6. Approximationssatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Der Fragenkreis urn das Bramble-Hilbert-Lemma 73 - Dreieckelemente
mit vollstandigen Polynomen 74 - Bilineare Viereckelemente 78 - Inverse
Abschatzungen 79 - Clements Operator 80 - Anhang: Zur Optimalitat der
Abschatzungen 82
§ 7. Fehlerabschatzungen fur elliptische Probleme zweiter Ordnung 85
Bemerkungen zu Regularitatssatzen 85 - Fehlerabschatzungen in der Ener
gienorm 86 - L2-Abschatzungen 87 - Eine einfache Loo-Abschatzung 89
- Der L2-Projektor 90
§ 8. Rechentechnische Betrachtungen 92
Das Aufstellen der Steifigkeitsmatrix 92 - Innere Kondensation 94 - Auf
wand fur das Aufstellen der Matrix 95 - Ruckwirkung auf die Wahl des
Netzes 95 - Teilweise Netzverfeinerungen 95
Kapitel III
Nichtkonjonne und andere Methoden 99
§ 1. Abstrakte Hilfssatze und eine einfache Randapproximation 100
Die Lemmas von Strang 100 - Dualitatstechnik 102 - Das Crouzeix
Raviart-Element 103 - Eine einfache Approximation krummliniger Rander
106 - Modifikationen beim Dualitatsargument 108
§ 2. Isoparametrische Elemente 111
Isoparametrische Dreiecke1emente 111 - Isoparametrische Viereckelemente
113
§ 3. Weitere funktionalanalytische Hilfsmittel 116
Negative Normen 116 -Adjungierte Operatoren 118 - Ein abstrakter Exis
tenzsatz 118 - Ein abstrakter Konvergenzsatz 120 - Beweis von Satz 3.4
121
§ 4. Sattelpunktprobleme .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . 123
Sattelpunkte und Minima 123 - Die inf-sup-Bedingung 124 - Gemischte
Finite-Element-Methoden 128 - Fortin-Interpolation 129 - Sattelpunktpro
bleme mit Strafterm 131
§ 5. Gemischte Methoden fur die Poisson-Gleichung ........................ 136
Die Poisson-Gleichung als gemischtes Problem 136 - Das Raviart-Thomas
Element 139 - Interpolation mit Raviart-Thomas-Elementen 140 - Imple
mentierung und nachtragliche Verbesserung 142 - Gitterabhangige Normen
fur das Raviart-Thomas-Element 143 - Der Aufweichungs-Effekt gemisch-
ter Methoden 144
§ 6. Die Stokessche Gleichung 148
Inhaltsverzeichnis xi
Variationsformulierung 148 - Die inf-sup-Bedingung 150 - Bemerkungen
zur Brezzi-Bedingung 151 - Fast inkompressible Stromungen 152
§ 7. Finite Elemente fiir das Stokes-Problem 153
Ein instabiles Element 153 - Das Taylor-Hood-Element 158 - Das MINI
Element 159 - Das divergenzfreie nichtkonforme PI-Element 160
§ 8. A posteriori Abschatzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Residuale Schatzer 165 - Vntere Abschatzungen 167 - Andere Schatzer
169 - Lokale Gitterverfeinerungen 170
KapitelN
Die Methode der konjugierten Gradienten 171
§ 1. Klassische Iterationsverfahren zur LOsung linearer Gleichungssysteme 172
Stationlire lineare Prozesse 172 - Gesamt-und Einzelschrittverfahren 174-
Das Modellproblem 177 - Overrelaxation 177
§ 2. Gradientenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Das allgemeine Gradientenverfahren 181 - Gradientenverfahren und qua
dratische Funktionen 182 - Konvergenzverhalten bei Matrizen mit gro6er
Kondition 184
§ 3. Verfahren mit konjugierten Gradienten und konjugierten Residuen ........ 186
Der Algorithmus 188 - Analyse des cg-Verfahrens als optimales Verfahren
190 - Verfahren der konjugierten Residuen 192 - Indefinite und unsymrne
trische Matrizen 193
§ 4. Vorkonditionierung . . . . . . .. .. .. . . . . .. .. .. .. .. . . . . . . . . .. .. .. . . . . . .. .. . 195
Vorkonditionierung durch SSOR 198 - Vorkonditionierung durch ILV 199
- Bemerkungen zur Parallelisierung 201 - Nichtlineare Probleme 202
§ 5. Sattelpunktprobleme 206
Der Vzawa-Algorithmus und seine Varianten 206 - Eine Alternative 208
Kapitel V
Mehrgitterverfahren 210
§ 1. Mehrgitterverfahren fiir Variationsaufgaben 211
Glattungseigenschaften klassischer Iterationsverfahren 211 - Die Mehrgitter
Idee 212 - Der Algorithmus 213 - Der Ubergang zwischen den Gittern 216
§ 2. Konvergenz von Mehrgitterverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Diskrete Norrnen 222 - Verkniipfung mit den Sobolev-Normen 224 - Appro
ximationseigenschaft 226 - Konvergenzbeweis fiir das Zweigitterver
fahren 227 - Andere Konzepte 228
§ 3. Konvergenz bei mehreren Ebenen 231