Table Of ContentHorst Werkle
Finite Elemente
in der Baustatik
Aus dem Programm ____________
~
Bauwesen
Geotechnik
von K. Kuntsche
Formeln und Tabellen Stahlbau
von E. Piechatzek und E.-M. Kaufmann
Baubetriebslehre - Projektmanagement
von P. Greiner, P. Mayer und K. Stark
Baubetriebslehre - Kosten-und Lelstungsrechnung -
Bauverfahren
von W. Brecheier, J. Friedrich, A. Hilmer und R. WeiB
Finite Elemente in der Baustatik
von H. Werkle
Massivbau
von P. Bindseil
Stahlbau
von R. Fritsch und H. Pasternak
Hochbaukonstruktion
von H. Schmitt und A. Heene
Springer Fachmedien Wiesbaden
GmbH-~
Horst Werkle
Finite Elemente
in der Baustatik
Statik und Dynamik der
Stab- und FHichentragwerke
Mit 208 Abbildungen, 36 Tabellen
und zahlreichen Beispielen
2., iiberarbeitete und erweiterte Auflage
~
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Ein Titeldatensatz rur diese Publikation ist bei
Der Deutschen Bibliothek erhiiltIich.
Kontakt zum Autor:
www.Finite-Elemente-in-der-Baustatik.de
1. Auflage August 1995
2., iiberarbeitete und erweiterte Auflage Juli 2001
Alle Rechte vorbehalten
© Springer Fachmedien Wiesbaden 2001
Urspriinglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft
mbH, BraunschweigjWiesbaden, 2001
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Gedruckt auf siiurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier
Konzeption und Layout des Umschlags: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de
ISBN 978-3-528-18882-5 ISBN 978-3-322-94306-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-94306-4
v
Man kann gewiss nicht alles simpel sagen,
aber man kann es einfach sagen.
Und tut man es nicht,
so ist das ein Zeichen,
dass die Denkarbeit noch nicht beendet war.
Tucholsky
Vorwort
Computerorientierte Berechnungsverfahren der Baustatik unterscheiden sich grundlegend von
klassischen Berechnungsverfahren, die fUr die Handrechnung oder fUr die zeichnerische
Losung einer statischen Aufgabe entwickelt wurden. Zwar sind die mechanischen Grundlagen
und deren mathematische Formulierung in der Regel bei beiden Verfahren gleich, jedoch ist
die Losung der mathematischen Aufgabe nach sehr unterschiedlichen Gesichtspunkten
optimiert. Bei den klassischen Verfahren werden die zu losenden Gleichungen so auibereitet,
dass ein Minimum an Rechenaufwand entsteht und ein groBtmogliches MaB an Anschau
lichkeit in den einzelnen LOsungsschritten gegeben ist. Damit sollen die Bearbeitungszeit fUr
die Durchfiihrung der Berechnung so kurz wie moglich gehalten und die Richtigkeit der Re
chenergebnisse sichergestellt werden. Demgegeniiber ist der Rechenaufwand bei den com
puterorientierten Berechnungsverfahren nahezu bedeutungslos. Erst bei Gleichungen mit
mehreren tausend Unbekannten wird er bier von Interesse. Computerorientierte Berechnungs
verfahren sind in Hinblick auf eine moglichst schematische Durchfiihrung der Rechenaufgabe
formuliert. Das gesamte Tragwerk wird bierzu in eine Vielzahl von Abschnitten zerlegt, deren
statisches Verhalten verbaltnismaJ3ig einfach und leicht iiberschaubar ist. Erst durch das
Zusammenfiigen aller Abschnitte entsteht das gesamte Tragwerk mit seinem komplizierten
statischen Tragverhalten. Durch diese Vorgehensweise sind die Verfahren sehr iibersichtlich
und verhiiltnismiiBig leicht zu programmieren. Sie erlauben die Berechnung von komplizierten
Tragwerken mit nahezu dem gleichen Aufwand wie bei einfachen statischen Systemen.
Dariiber binaus ermoglichen es computerorientierte Verfahren auch, komplizierte Fliichentrag
werke in sehr guter Niiherung statisch zu berechnen, wiihrend die klassischen statischen Ver
fahren sich in der Regel auf Stabtragwerke beschriinken miissen.
Computerorientierte Berechnungsverfahren wurden mit einer eher abstrakten, analysierenden
Denkweise entwickelt, wiihrend die klassischen Verfahren einer eher ganzheitlichen Betrach
tung des statischen Systems entsprechen. Dies bedeutet jedoch nicht, dass die computer
orientierten Berechnungsverfahren keiner ganzheitlichen Betrachtung bediirfen. Nach jeder
Computerberechnung sind die Ergebnisse - wie im "Obrigen auch bei der Handrechnung - auf
ihre Richtigkeit, zumindest aber auf ihre Plausibilitiit hin zu iiberpriifen. Dies erfordert das
'ganze' statische Wissen und die Erfahrung des konstruktiven Ingenieurs.
Fiir Computerberechnungen in der Baustatik hat sich heute die Finite-Element-Methode in der
Praxis durchgesetzt. Fiir topologisch eindimensionale Systeme wie Durchlauftriiger ist noch
das "Obertragungsmatrizenverfahren von Bedeutung. Eine gewisse Sonderstellung nimmt auch
die Randelementmethode fUr Fliichentragwerke und Kontinua ein. In der vorliegenden Arbeit
wird ausschlie131ich die Finite-Element-Methode behandelt.
VI Vorwort
Eine statische Berechnung ist nur dann transparent, wenn das zugrunde liegende Verfahren ein
sichtig und verstandlich ist. Dies gilt auch fUr die Finite-Element-Methode. Daher ist das
Verstiindnis der Grundlagen der Finite-Element-Methode auch fUr den Anwender baustatischer
Berechnungsprogramme unabdingbar. Hierzu werden zuniichst als mathematisches Hilfsmittel
die Grundziige der Matrizenrechnung und weiterhin die Grundgleichungen des Stabes, der
Scheibe und der Platte behandelt. Daran schlieBt sich eine Einfiihrung in die Finite-Element
Methode fiirr Stabwerke an. Danach werden die theoretischen Grundlagen der Finite-Element
Berechnung von Scheiben- und Plattentragwerken, fUr die die Finite-Element-Methode heute
zum Standardwerkzeug geworden ist, behandelt. Die Eigenschaften von gangigen, in kommer
zielle Finite-Element-Software implementierten Elementtypen werden in einem Uberblick
dargestellt. AbschlieBend werden die in der Praxis wichtigen Fragen der Modellbildung und
der Qualitatssicherung von Finite-Element-Berechnungen erortert.
Das Buch richtet sich an praktisch tatige Ingenieure sowie an Studierende der Fach
hochschulen und - soweit die Anwendung der Finite-Element-Methode im Vordergrund steht
auch der Technischen Hochschulen und Universitaten. Es hat zum Ziel, zu einem vertieften
Verstiindnis der Finite-Element-Methode und der qualiftzierten Interpretation der mit ihr
erhaltenen Ergebnisse beizutragen.
Die Arbeit entstand im Zusammenhang mit meiner Lehrtiitigkeit an der Fachhochschule
Konstanz. Mein Dank fUr die unermfidliche UnterstUtzung hierbei gilt vor allem Frau Outi
Teirikangas-Lerssi sowie Herrn Petri Aitta. Dem Vieweg-Verlag danke ich fUr die hilfreiche
Zusammenarbeit.
Konstanz, im August 1995 Horst Werkle
Vorwort zur zweiten Auflage
Seit dem Erscheinen der ersten Auflage vor sechs Jahre hat das Bewusstsein fUr die Bedeutung
der Modellbildung bei Finite-Element-Berechnungen zugenommen. Dies kommt in neueren
Buchveroffentlichungen und Fachbeitriigen zum Ausdruck. Fragen der Modellbildung zu ver
mitteln, war neben der Darstellung der grundlegenden Zusammenhange der Finite-Element
Methode ein wesentliches und damals neues Anliegen der ersten Auflage.
In der vorliegenden zweiten Auflage wurden die Abschnitte fiber die Modellbildung und die
Softwaretechnologie aktualisiert und durch ein neues Kapitel zur Dynamik der Tragwerke, die
fUr spezielle Untersuchungen heute auch in der Praxis von Bedeutung ist, ergiinzt.
Erstmalig ist zum Buch eine CD erhiiltlich, mit der sich viele Berechnungsbeispiele des Buchs
interaktiv auf der Grundlage von Mathcad nachvollziehen und andem lassen. Informationen
hierzu ftnden sich auf der Homepage zum Buch www.Finite-Elemente-in-der-Baustatik.de.
FUr die sorgfliltige Durchfiihrung der Zeichenarbeiten danke ich Frau Angelika Appelt. Mein
Dank gilt auch wieder dem Vieweg Verlag und hier insbesondere Frau Julia Ehl fUr die gute,
verstiindnisvolle Zusammenarbeit.
Konstanz, im Juni 2001 Horst Werkle
VII
Inhaltsverzeichnis
1 Matrizenrechnung .................................................................................................... .
1.1 Matrizen und Vektoren ....................................................................................... 1
1.2 Matrizenalgebra ...... ... ...... ....... ......... ...... .... .............................. ....... .................... 3
1.2.1 Addition und Subtraktion .......................................................................... 3
1.2.2 Multiplikation ............. ....... .............................................................. ......... 3
1.2.3 Matrizeninversion ... ........... ..................................................... .................. 5
1.3 Gleichungssysteme ................. ..... .................................... .......................... ......... 7
1.3.1 Inhomogene und homogene Gleichungssysteme ...................................... 7
1.3.2 Existenz von Losungen ............................................................................. 7
1.3.3 Losungsverfahren ...................................................................................... 9
1.3.4 Normen und Konditionszahl ..................................................................... 18
1.4 Eigenwertprobleme ......................... ..... ..................... .................. ............ ............ 19
1.4.1 Allgemeines Eigenwertproblem ................................................................ 19
1.4.2 Numerische Losungsverfahren fliT Eigenwertprobleme 24
2 Die Grundlagen der Elastizitiitstheorie ................................................................... 37
2.1 Tragwerkstypen und Grundgleichungen . ......................... .......................... ...... ... 37
2.2 Grundgleichungen von Fachwerkstab und Scheibe ............................................ 38
2.3 Grundgleichungen von Biegebalken und Platte 48
3 Finite-Element-Methode fUr Stabwerke ................................................................. 57
3.1 Uberblick ............................................................................................................ 57
3.1.1 Die Finite-Element-Methode als statisches Berechnungsverfahren .......... 57
3.1.2 Knotenpunkte, Freiheitsgrade und Finite Elemente ..................... ............. 57
3.1.3 Berechnungsverfahren .............................................................................. 59
3.2 Einfiihrungsbeispiel: Ebene Fachwerke .............................................................. 61
3.2.1 Statisches System ...................................................................................... 61
3.2.2 Elementsteifigkeitsmatrix des Fachwerkstabs ........................................... 62
3.2.3 Koordinatentransformation ....................................................................... 64
3.2.4 Systemsteifigkeitsmatrix ........................................................................... 69
3.2.5 Auflagerbedingungen ................................................................................ 77
3.2.6 Losung des Gleichungssystems ................................................................. 79
3.2.7 Auflagerkrafie und Elementspannungen ................................................... 80
3.3 Fedem ................................................................................................................. 81
VIII Inhaltsverzeichnis
3.4 Biegebalken ........................................................................................................ 82
3.4.1 Elementsteifigkeitsmatrix und Spannungsmatrix ...................................... 82
3.4.2 Elementlasten ............................................................................................ 84
3.4.3 Erweiterung der Steifigkeitsmatrix fUr Normalkriifte und zur
Beriicksichtigung der Schubsteifigkeit .................... ................................. 89
3.4.4 Koordinatentransformation ....................................................................... 90
3.4.5 Gelenke ..................................................................................................... 92
3.5 Zusammengesetzte Stabwerke ............................................................................ 96
3.6 Riiumliche Stabwerke ......................................................................................... 98
3.7 Modellbildung bei Stabwerken ........................................................................... 100
3.7.1 Auflager .................................................................................................... 100
3.7.2 Fedem ....................................................................................................... 101
3.7.3 Biegebalken .............................................................................................. 104
3.7.4 Symmetrische Systeme ............................................................................. 107
3.8 QualiUitssicherung und Dokumentation von Stabwerksberechnungen ................ 109
3.8.1 Fehlermoglichkeiten bei Stabwerksberechnungen .................................... 109
3.8.2 Kontrollen von Stabwerksberechnungen ................................................... 114
4 Finite-Element-Methode f'lir Flllchentragwerke ..................................................... 119
4.1 Historische Entwicklung ................................................................. .......... .......... 119
4.2 Uberblick ............................................................................................. ............... 119
4.3 Niiherungscharakter der Finite Element Methode ............................................... 121
4.3.1 Eindimensionales Erlauterungsbeispiel ..................................................... 121
4.3.2 Analytische LOsung ................................................................................... 122
4.3.3 FEM-Niiherungslosung mit linearem Verschiebungsansatz ...................... 125
4.3.4 FEM-Niiherungslosung mit quadratischem Verschiebungsansatz ............. 132
4.3.5 Eigenschaften der FEM-Niiherungslosung ................................................ 140
4.4 Rechteckelement fUr Scheiben ............................................................................ 141
4.4.1 Ansatzfunktionen ....................................................................................... 141
4.4.2 Verzerrungen und Spannungen ................................................................. 145
4.4.3 Steifigkeitsmatrix ...................................................................................... 146
4.4.4 Elementlasten ............................................................................................ 150
4.4.5 Beispiele ................................................................................................... 152
4.5 Finite Elemente fUr Scheiben .............................................................................. 159
4.5.1 Eigenschaften von Finiten Elementen ....................................................... 159
4.5.2 Elemente mit stetigen Verschiebungsansatzen .......................................... 165
4.5.3 Nichtkonforme Elemente .......................................................................... 173
4.5.4 Hybride Elemente ..................................................................................... 174
Inhaltsverzeichnis IX
4.6 Rechteckelement fUr Platten ............................................................................... 181
4.6.1 Elementtyp ................................................................................................ 181
4.6.2 Ansatzfunktionen ...................................................................................... 182
4.6.3 VerzerrungsgroBen und SchnittgroBen ..................................................... 183
4.6.4 Steifigkeitsmatrix ...................................................................................... 185
4.6.5 Elementlasten ............................................................................................ 187
4.7 Finite Elemente flir Platten ................................................................................. 189
4.7.1 Schubweiche Plattenelemente mit Verschiebungsansatz .......................... 189
4.7.2 Schubstarre Plattenelemente mit Verschiebungsansatz ............................. 191
4.7.3 Hybride Plattenelemente ........................................................................... 193
4.7.4 Beispiel ..................................................................................................... 194
4.8 Finite Elemente fUr Schalen ................................................................................ 197
4.8.1 Ebene Schalenelemente ............................................................................ 197
4.8.2 Gekriimmte Schalenelemente als spezielle Volumenelemente ................. 200
4.8.3 Rotationssymmetrische Schalenelemente ................................................. 200
4.9 Ubergangselemente ............................................................................................. 203
4.9.1 Ubergang zwischen verschiedenen Elementarten ..................................... 203
4.9.2 Koppelfederelement fUr Stiitzen von Scheibentragwerken ....................... 205
4.9.3 Koppelfederelement flir Stiitzen bei Plattentragwerken ............................ 219
4.9.4 Weitere Elementiibergange ....................................................................... 230
4.10 Modellbildung von Bauteilen ............................................................................. 231
4.10.1 Tragwerksmodelle .................................................................................. 231
4.10.2 Singularitaten von ZustandsgroBen ......................................................... 233
4.10.3 Elementwahl und Netzbildung ................................................................ 235
4.10.4 Modellbildung bei Scheiben ................................................................... 244
4.10.5 Modellbildung bei Platten ....................................................................... 253
4.10.6 Modellbildung bei Faltwerken und Schalen ........................................... 274
4.10.7 Ergebnisinterpretation ............................................................................. 278
4.11 Qualitatssicherung und Dokumentation von Finite-Element Berechnungen ....... 282
4.11.1 Fehlerabschatzung und adaptive Netzverdichtung .................................. 282
4.11.2 Kontrollen bei Flachentragwerken .......................................................... 285
4.11.3 Dokumentation der Finite-Element-Berechnung 287
5 Dynamik der Stab-ood Fliicheotragwerke ... ............................ ....... ......... ........... ... 289
5.1 Einleitung ............................................................................................................ 289
5.2 Grundbegriffe der Dynamik ................................................................................ 289
5.2.1 Kinematik ................................................................................................. 289
5.2.2 Massenkrafte ............................................................................................. 290
x Inhaltsverzeichnis
5.2.3 Dampfungskrafte ....................................................................................... 297
5.3 Bewegungsgleichungen ....................................................................................... 299
5.4 Freie Schwingungen ............................................................................................ 303
5.4.1 Ungedampfte Schwingungen .................................................................... 303
5.4.2 Gedampfte Schwingungen ........................................................................ 310
5.5 Schwingungen infolge harmonischer Erregung ................................................... 313
5.6 Schwingungen infolge beliebiger Erregung ........................................................ 319
5.6.1 Direkte numerische Integration ................................................................. 319
5.6.2 Modalanalyse ............................................................................................ 324
5.6.3 Fourier-Transformation ............................................................................. 334
5.7 Erdbebenberechnung .......................................................................................... 343
5.7.1 Allgemeines .............................................................................................. 343
5.7.2 Zeitverlaufsberechnungen ......................................................................... 344
5.7.3 Antwortspektrenverfahren ......................................................................... 350
5.8 Modellbildung ..................................................................................................... 365
5.8.1 Tragwerks-und Finite-Element-Modell ..................................................... 365
5.8.2 Modellbildung von Gebiiuden und Boden-Bauwerk-Wechselwirkung ..... 370
5.8.3 Modellierung der Dampfung ..................................................................... 378
5.8.4 Modellierung der Massen ......................................................................... 383
5.8.5 Diskretisierung im Zeit-und Frequenzbereich .......................................... 384
5.8.6 Dynamisches Modell und physikalische Wirklichkeit .............................. 389
6 Softwaretechnische Aspekte von Finite-Element-Programmen ........................... 395
6.1 Programmaufbau und Benutzeroberflachen ........................................................ 395
6.2 Netzgenerierung .................................................................................................. 400
6.3 Rechnerinteme Behandlung von Gleichungssystemen .............................. .......... 405
6.4 Integration in die computerunterstiitzte Tragwerksplanung 411
Literatur .......................................................................................................................... 413
Internet-Adressen ........................................................................................................... 428
Finite-Element-Software ................................................................................................ 429
Sachwortverzeichnis ....................................................................................................... 431
