Finite Elemente für Ingenieure 1: Grundlagen, Matrixmethoden, Elastisches Kontinuum

411 Pages·2003·5.17 MB·German

by  Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil. Josef Betten (auth.)

Finite Elemente für Ingenieure 1
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
ONLINE LlBRARY
Engineering
http://www.springer.de/engi ne-dei
Josef Betten
Finite Elemente
für Ingenieure 1
Grundlagen, Matrixmethoden,
Elastisches Kontinuum
Zweite, neu bearbeitete und erweiterte Auflage
Springer
Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil. josef Betten
Mathematische Modelle in der Werkstoffkunde
Technische Hochschule Aachen
Augustinerbach 4- 22
52064 Aachen
e-mail: [email protected]
Additional maleriallo Ihis book can be downloadcd (rom hllp:lfcxtras.springer.com
ISBN978-3-642-62443-8 ISBN 978-3-642-55536-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-55536-7
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C Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003
Originally published by Springer-Verlag ßt,.lin Heidclbcrg New York in 2003
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Einbandgestaltung: design & production, Heidelberg
07f3020/M -5 4 3 2 1 0
Vorwort zur zweiten Auflage
Die Neuauflage stellt eine wesentliche Erweiterung der ursprünglichen Fassung
dar, die sichaufebeneProblemebeschränkte.
In der vorliegenden Auflage werden zusätzlich Tetraederelemente (Ziffer4.9),
Hexaederelemente (Ziffer 4.10) und Pentaederelemente (Ziffer 4.11) ausführlich
behandelt. Darüber hinaus wird das isoparametrische Konzept (Ziffer 4.7) zur
Erzeugung dreidimensionaler Elemente, die beliebig krummflächig berandet sein
können, in Ziffer 4.12 verallgemeinert. Die Güte isoparametrischerAbbildungen
wirdanBeispielenmitHilfe der L2-Fehlernorm diskutiert.
Alle bisherigenKapitel wurdenübernommen, allerdings mit teilweise umfang
reichenErgänzungen. Das giltauchfür dieLösungenderbisherigenundneuhinzu
gekommenen Übungsaufgaben. Hierbei wurde wieder großer Wert auf die Deu
tung der Ergebnisse gelegt, damit Studierende lernen, ihre Lösungen kritisch zu
betrachten,washäufiginderPraxisnichtgenuggepflegtwird.
Meine Lehrveranstaltungen werden nicht nur von "ordentlich" eingeschriebe
nen Studierenden der RWTH Aachen besucht, sondern auch von ERASMUS
Stipendiat(lnn)en (seit 1995) und seit WS 2000/2001 von Studierenden des Mas
terstudienganges Simulation Techniques in Mechanical Engineering. Für diese
Studierenden sind Kontinuumsmechanik und FEM Pflichtprüfungsfächer. Auf
grund des umfangreichen Stoffangebotes in der vorliegenden Neuauflage werden
denStudierendenPrüfungsschwerpunktebekanntgegeben.
DurchdieNeuauflage werdennichtnurHörer(innen) meinerLehrveranstaltun
gen an der RWTH Aachen angesprochen, sondern auch Teilnehmer von Schu
lungsseminaren, z.B. in ANSYS oder ABAQUS, oder von Weiterbildungsmaß
nahmenund Gastvorlesungen (~Vorwort zur erstenAuflage), für die das vorlie
gendeBuchgrundlegendist.
Ergänzend zu den Vorlesungen und Übungen in FEM biete ich ein Praktikum
zur Einführung in FEM-Programme (ANSYS) für Studierende und Doktoranden
an, das mein Mitarbeiter, Herr Dipl.-Ing. U. NAVRATH, im CIP-Pool des Instituts
für Werkstoffkunde der RWTH Aachen durchführt. Jedem Teilnehmer steht ein
PC zurVerfügung, so dass einintensives EinarbeiteninFEM-Programmemöglich
ist (~Vorwort zur Erstauflage). Aufgrund der großen Nachfrage muss dieses
Praktikummehrmalswöchentlichdurchgeführtwerden.
Zur Lösung einiger Übungsaufgaben und zur Herleitung einiger Formeln wird
die SoftwareMAPLE V inihrerneuestenVersion, Release 8, verwendet. MAPLE
ist ein "mathematisches Formelmanipulations-Programm", mit dem interaktiv
gearbeitetwerdenkann(~VorwortzurerstenAuflage).
VI VorwortzurzweitenAuflage
Die im Textteil und in den Übungen entwickelten Computerprogramme sind
auf einer beigefügten CD-ROM als MAPLE Worksheet und als MAPLE Text
gespeichert, die der Anwender für seine Belange mit entsprechendenÄnderungen
undspeziellenDateneinsetzenkann.
Programme, die nicht eindeutig über eine Übungsnummer zu identifizieren
sind, wurden mit einem Hinweis auf den Dateinamen, z.B. I 0 4.12-3.mwsl
versehen.
Die neueste MAPLE-Version, Release 8, ist lauffähig unter Windows, UNIX
undLinux.
Weitere Informationen zum MAPLE Programm sowie eine Demoversion sind
im Internet unter http://www.maplesoft.com oder http://www.scientific.de zu fin
den.
Allen Lesern und Rezensenten, die meine Erstauflage kritisch durchforstet ha
ben,möchteichfür einigeAnregungenundVerbesserungsvorschlägedanken.
Gedankt sei meinem langjährigen Mitarbeiter, Herrn Dipl.-Ing. U. NAVRATH,
der mit unermüdlicher Sorgfalt und großem Geschick die reproduktionsreife Vor
lage erstellte. In seinen Händen lag auch die gesamte redaktionelle Koordination,
eine Aufgabe, die er wie schon bei der Erstellung meiner früheren Bücher über
Finite-Elemente-Methoden, Kontinuumsmechanik und Creep Mechanics mit
höchstem Einsatz übernahm. Seine Kompetenz war für mich unverzichtbar. Ihm
giltmeinbesondererDank.
Dem Springer-Verlag, insbesondere Frau E. HESTERMANN-BEYERLE, Frau M.
LEMPE, Herrn Dr. D. MERKLE und Herrn Dr. H. RIEDESEL, sei gedankt für die
Aufnahme meines Manuskriptes und die verständnisvolle und vorbildliche Zu
sammenarbeit, die ich auch bei der Drucklegung der ersten Auflage und meiner
bishervomSpringer-VerlagherausgegebenenBücheralsangenehmempfand.
Aachen, imFrühjahr2003 IosefBetten
Vorwort zur ersten Auflage
SeiteinigenJahrenhalteichanderRWTHAachenimWinter-und Sommersemes
ter Vorlesungen und Übungen zurFinite-Elemente-Methode (FEM)für Ingenieu
re. Der Umfang dieser Lehrveranstaltungen ist mit V21Ü2 pro Semester durch
Studienplänefestgelegt.
Vorlesungsinhalte und vollständige Lösungen der Übungsaufgaben für beide
Semester wurden bisher als "Umdruck" herausgegeben. Nachdem nun eine vierte
korrigierteAuflagevergriffenist, habeichmichentschlossen, dieVorlesungenmit
den vollständig gelösten Übungsaufgaben in zwei Bändenzu veröffentlichen. Das
jetzt vorliegende Buch (Band 1) bezieht sich aufdas Wintersemester. Die Lehr
veranstaltungdes SommersemesterssollimBand2erscheinen.
Meine Lehrveranstaltung "Finite-Elemente-Methode für Ingenieure 1,11" soll
Studierenden ingenieurswissenschaftlicher Fachrichtungen (ab 5. Semester) einen
leichtenZugangzurFEMverschaffenundkannsomitauchals intensiveVorberei
tung auf Studien- und Diplomarbeiten dienen, in denen sehr häufig die FEM als
unverzichtbares Hilfsmittel eingesetzt werden muß. Damit entfallen für viele Stu
dien-undDiplomarbeiter(innen)langeEinarbeitungszeiten.
Neben dem Zweck eines Vorlesungsmanuskriptes soll das vorliegende Buch
und der folgende zweite Band auch Doktorandenund bereits in der Praxis tätigen
Ingenieuren, die zur Behandlung von Problemen der Strukturmechanik und der
Kontinuumsmechanik(solids undfluids) aufNäherungsverfahrenangewiesensind,
einenEinstiegindieFEMverschaffen.
Nach meinen Erfahrungen bevorzugen Studierende ingenieurswissenschaftli
cher Fachrichtungen die induktive Methode. Aus diesem Grund behandele ich
Variationsrechnung, Energiemethoden, modifiziertes RITZ-Verfahren, Residuen
verfahrenundNichtlinearitäten erstimzweitenBand.
Der vorliegende erste Band beginnt mit sehr einfachen finiten Elementen. In
Kapitel 3 wird mit Hilfe der Matrix-Steifigkeitsmethode bereits eine Fülle von
Aufgaben der Strukturmechanik gelöst, die sich mit dem mechanischen Verhalten
diskreter Systeme befaßt. Dazu zählt auch die Berechnung von Eigenjrequenzen
undEigenjormen diskreterSysteme(----:;Strukturdynamik).
Die Anwendung der FEM auf kontinuierliche Systeme (----:;Kontinuums
mechanik) ist wesentlich anspruchsvoller. In Kapitel 4 wird als Möglichkeit, das
Gleichgewicht eines Körpers (Kontinuums) auszudrücken, dasPrinzip der virtuel
len Verschiebungen benutzt und die Steifigkeitsmatrix für linearelastische finite
Elementeermittelt.
VIII VorwortzurerstenAuflage
Neben Dreieckselementen höherer Ordnung werden auch Viereckselemente
der LAGRANGE- und SERENDIPITY-Klasse und Übergangselemente ausführlich
diskutiert. Darüber hinaus wird die konforme Abbildung zur Erzeugung krummli
nigerElemente eingesetzt.
Die meisten Übungsaufgaben können "von Hand" ohne Hilfsmittel, d.h. unter
Klausurbedingungen, gelöst werden. Einige Aufgaben sind bewußt sehr einfach
gestellt (und als Klausuraufgaben schonzuleicht), damit der "Neuling" dieprinzi
pielle Vorgehensweise schnell durchblicken kann und nicht hinter einer "black
box" steht und aufErgebnisse wartet, denen er nur mißtrauisch gegenüberstehen
kann.
Einige Übungsaufgaben enthalten im Anschluß an die "zu Fuß-Rechnung" ei
nen Computerausdruck. Hierbei wurde die Software "MAPLEV, Release 4" ver
wendet. MAPLE ist ein "mathematisches Formelmanipulations-Programm", mit
dem interaktiv gearbeitet werden kann. Mit Hilfe solcher "Formelmanipulations
Systeme" (FMS) ist es möglich, Berechnungen mit unausgewerteten Ausdrücken
(Symbolen) durchzuführen.
Diesogenannte Computer-Algebra istindenletztenJahrenverstärktentwickelt
worden - MAPLE etwa seit Anfang der 80-er Jahre. Weitere Programme sind
MATHCAD (basierend aufMAPLE),MATHEMATICA, MACSYMA, REDUCE
und AXIOM, die ebenfalls sehr leistungsstark und anwenderfreundlich sind. Je
nachEinsatzgebietbietetdas eineoderandere SystemmehroderwenigerVorteile.
Die zusammengestelltenÜbungsaufgaben sollen denVorlesungsstoffergänzen
und vertiefen. Es werden auchÜbungen aus Aufgabengebieten angeboten, die aus
Zeitgründen in den Vorlesungen nicht behandelt werden können. Aus Platzgrün
denkonntennichtzujederZifferÜbungsaufgabenabgedrucktwerden, so daß eine
Vielzahl vonbereits ausgearbeitetenAufgabennoch in der Schublade liegenmüs
sen.
Ergänzend zu den Vorlesungen und Übungen in FEM biete ich ein Praktikum
"Praktische Einführung in FEM-Programme" für Studierende an, das mein Mitar
beiter, Herr Dipl.-Ing. U. NAVRATH, am Rechenzentrum der RWTH Aachen
durchführt. Jedem Teilnehmer steht ein PC zur Verfügung, so daß ein intensives
Einarbeiten in FEM-Programme möglich ist. Dem Rechenzentrum der RWTH
Aachen sei an dieser Stelle für die Bereitstellung von Schulungsräumen und PCs
gedankt. Ohne diese Unterstützung wäre die Durchführung eines solchen Prakti
kumsnichtmöglich.
Allen, die mit bestimmten FEM-Programmen in ihrer Berufspraxis arbeiten
müssen, wie beispielsweise mit ABAQUS / ADINA / ANSYS / COSMOS /
MARC / NASTRAN etc., etc. werden Spezialkurse empfohlen, die man aber erst
dann effektiv besuchen kann, wenn man bereits die Grundlagen der FEM be
herrscht.
Beispielsweise bietet die Firma CAD-FEM GmbH in Grafing bei München
jährlich Schulungsseminare zum FEM-Programm ANSYS an. Als Referenten
stehen Mitarbeiter der Firma CAD-FEM, Anwender aus der Industrie und Hoch
schullehrer zur Verfügung. So führe ich seit einigen Jahren ein Seminar über
viskoelastisches und viskoplastisches Verhalten (Inelastizität) verschiedener
VorwortzurerstenAuflage IX
Werkstoffe zusammen mit einem Mitarbeiter der Firma CAD-FEM und einem
Anwender aus der Glasindustrie durch. Die Erfahrungen, die ich hierbei sammle,
kommenauchmeinenLehrveranstaltungenzugute. Aus diesemGrundebinichder
Firma CAD-FEM dankbar, daß sie mich als Referenten eingeladenhat. Die meis
ten Kursteilnehmer(innen) sind Anwender(innen) aus der Industrie. Es sind aber
auch Studierendeund Doktorandeneingeladen, die nur eine geringe Teilnahmege
bührentrichtenmüssen.
Viele Anwender erwarten von FEM-Programmen Lösungen, die man kritiklos
übernehmen kann. Eine Erhöhung der Anzahl der Elemente (h-Methode) erhöht
denRechenaufwandundmuß nichtimmerzu einergewünschtenVerbesserungder
Ergebnisse führen, wie ausführlich in Übungsaufgaben (insbesondere des zweiten
Bandes) diskutiert wird. Vielfach ist die Erhöhung des Polynomgrades der shape
functions (p-Methode) erfolgreicher, wie an vielen Beispielen gezeigt wird.
Schließlichist auch die r-Methode (repositioning) einwirksames Mittel zur Erhö
hung der Genauigkeit von FEM-Lösungen. Hierbei bleibt die Anzahl der Elemen
te, derKnotenund auchderFreiheitsgradeproKnotenerhalten, währenddieKno
tenpunkte "optimal" gegeneinander verschoben werden. Durch derartige Ver
schiebungenkanneineNetzverfeinerung an StellenhoherSpannungskonzentration
(Kerben, scharfe Übergänge etc.) erzeugt werden, während in weniger kritischen
BereichendasNetzaufgeweitetwird.
Bevor man ein aufwendiges F-E-Programm selbst entwickelt, weil kein geeig
netes kommerzielles Programm zur Verfügung steht, sollte man gründlich überle
gen, ob nicht andere Verfahren mit geringerem Aufwand zum Ziel führen, insbe
sonderebei einfachenRandkonturen. DaherwerdenimTextteilundinÜbungsauf
gaben die Finite-DifJerenzen-Methode (FDM) und die Methode der Übertra
gungsmatrizen mitderFEMverglichen.
Aufgrund des reichhaltigen Angebotes von kommerziellen F-E-Programmen
halten viele Anwender grundlegende Kenntnisse in Mechanik, in Tensorrechnung
und in numerischer Mathematik für weniger wichtig. Was nützt jedoch ein auf
wendiges Rechenprogramm, wenn das mathematische Modell des Problems frag
lichist?
Leistungsfähige Programme, wie z.B. ABAQUS etc., berücksichtigen neben
physikalischen Nichtlinearitäten auch geometrische Nichtlinearitäten. Somit muß
derAnwendersolcherFEM-Programmeu.a. mit der Theorie endlicher Verzerrun
gen vertrautseinund als mathematischesHilfsmittel die Tensorrechnungeinsetzen
können.
Im vorliegenden Buch habe ich jedoch weitgehend die Tensornotation nicht
verwendet, da Studierende im 5. Semester aufgrund ihres Studienplanes mit der
Tensorrechnung noch nicht vertraut sind. An einigen Stellenim Textteil und auch
in einigen Übungen habe ich mich jedoch der eleganten und bequemen Tensor
rechnungbedient.
Allen Studierenden, die insbesondere zur Prüfungsvorbereitung meine Vorle
sungs- und Übungsskripte kritisch durchgearbeitet haben, möchte ich danken. Sie
haben durch ihre Kritikund einige Anregungen dazubeigetragen, daß der Band 1
diejetztvorliegendeFormbesitzt.
X VorwortzurerstenAuflage
GedanktseiandieserStelleHerrnDipl.-Ing. U. NAVRATH undHerrncand.ing.
M. WIEHN, die mit unermüdlicher Sorgfalt und großem Geschick die reprodukti
onsreife Vorlage aufeinemPC-486 erstellt haben. Die vielen Skizzenhat Herr T.
HÖFS, Auszubildender zum Technischen Zeichner, mit den Programmen Auto
CAD und CorelDraw 5.0 angefertigt. Für seine Unterstützung möchte ich mich
bedanken.
Die gesamte redaktionelle Koordination lag in den Händen von Herrn Dipl.
Ing. U. NAVRATH.
Dem Springer-Verlag, insbesondere Herrn Dr. D. MERKLE und Herrn Dr. H.
RIEDESEL, sei gedankt für die Aufnahme meinerManuskripteund die verständnis
volle und vorbildliche Zusammenarbeit, die ich auchbei der Drucklegung meines
Buches"Kontinuumsmechanik"imJahre 1993 alsangenehmempfand.
Aachen, imApril 1997 JosefBetten