Finanzmathematik: Die Bewertung von Derivaten

301 Pages·2003·14.795 MB·German

by  Prof. Dr. rer. nat. Albrecht Irle (auth.)

Teubner Studienbücher Mathematik
Albrecht Irle
Finanzmathematik
Die Bewertung von Derivaten
2., überarbeitete und erweiterte Auflage
Teubner Studienbücher Mathematik
Albrecht lrle
Finanzmathematik
Albrecht Irle
Finanzmathematik
Die Bewertung von Derivaten
2., überarbeitete und erweiterte Auflage
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Natior.albibliographie;
detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.ddb.de> abrufbar.
Prof. Dr. rer. nat. Albrecht lrle
Geboren 1949 in Hannover. Studium der Mathematik und Physik mit Promotion 1974 und Habilitation
1979 an der Universität Münster in Mathematik. Nach Professuren in Bayreuth und Münster
seit 1984 Professor für Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik am Mathematischen Seminar der
Universität Kiel.
1 . Auflage 1998
2., überarbeitete und erweiterte Auflage Oktober 2003
Alle Rechte vorbehalten
© Springer Fachmedien Wiesbaden 2003
Ursprünglich erschienen bei B.G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2003
www.teubner.de
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung
außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Ver
lags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzun
gen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen
Systemen.
Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk
berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne
der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von
jedermann benutzt werden dürften.
Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
ISBN 978-3-519-12640-9 ISBN 978-3-663-10069-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-10069-0
Vorwort
Der Einzug von modernen stochastischen Methoden in die Untersuchung von fi
nanzwirtschaftlichen Problemen hat zu einem äußerst fruchtbaren Zusammenwir
ken von Mathematik und Wirtschaftswissenschaften geführt. Die bahnbrechenden
und 1997 durch die Verleihung des Nobelpreises gewürdigten Arbeiten von Black
und Schales (1973) und Merton (1973) zur Preisfestsetzung und Absicherung von
Finanzderivaten haben Theorie und Praxis der Finanzmärkte entscheidend ge
prägt. In der Folge wurde das große Potential der Martingaltheorie und der sto
chastischen Integration für die Untersuchung solcher Märkte erkannt, und dies
führte dazu, daß Methoden der stochastischen Analysis erfolgreich und in stetig
wachsendem Umfang in der Finanzmathematik angewandt werden.
Der vorliegende Text gibt eine Einführung in dieses anspruchsvolle und praxisnahe
Gebiet, das als Mathematical Finance bekannt ist.
Der Leser sollte Kenntnisse in Wahrscheinlichkeitstheorie besitzen, wie sie übli
cherweise in einer einsemestrigen Vorlesung vermittelt werden. Er benötigt jedoch
keine Vorkenntnisse auf den Gebieten der stochastischen Prozesse, der Martin
galtheorie und der stochastischen Integration. Diese Gebiete werden im Text, an
gelehnt an Modeliierungen und Problemstellungen im Bereich der Finanzderivate,
ausführlich behandelt, in einer, wie der Verfasser hofft, auch dem Selbststudium
zugänglichen Darstellungsweise. Die Art der Darstellung orientiert sich an den
Bedürfnissen des M athematical Finance, verzichtet aber nicht auf mathematische
Strenge. Kapitel 2 und 6 geben dabei eine Einführung in diskrete und konti
nuierliche Martingaltheorie. In den Kapiteln 9, 10 und 11 wird die stochastische
Integrationstheorie behandelt. Der den gebräuchlichen Modeliierungen zugrunde
liegende Wienerprozeß wird in Kapitel 7 mit seinen wesentlichen mathematischen
Eigenschaften vorgestellt. Kapitel 13 führt in stochastische Differentialgleichun
gen ein.
Die finanzmathematischen Problemstellungen werden jeweils behandelt, wenn die
nötigen stochastischen Kenntnisse im Text entwickelt worden sind: Kapitel 1 gibt
eine Einführung in die Theorie der Finanzderivate und der Preisfestsetzung. Dis
krete Finanzmarktmodelle werden in den Kapiteln 3 und 4 betrachtet, wobei die
Untersuchung von Derivaten des amerikanischen Typs auf die Theorie des opti
malen Stoppens führt. Eine erste Behandlung des Black-Scholes-Modell geschieht
in Kapitel 8, die vertiefte Untersuchung mit Methoden der stochastischen Ana
lysis in Kapitel 12. Verallgemeinerungen des Black-Scholes-Modells werden im
Anschluß an die Darstellung stochastischer Differentialgleichungen in Kapitel13
betrachtet. Eine Sonderstellung hat Kapitel 5. Dort findet der mathematisch be
sonders interessierte Leser einen Beweis des Fundamentalsatzes der Preistheorie.
6
Der Text ist aus einer Zweisemestrigen Vorlesung des Verfassers entstanden, die
er für Studierende der Mathematik sowie der Informatik und Physik im Anschluß
an eine einsemestrige Ausbildung in Wahrscheinlichkeitstheorie gehalten hat. Er
hat das Ziel, dem Leser eine Basis an Kenntnissen in stochastischer Analysis
und Mathematical Finance zu vermitteln, von der aus er die Behandlung spe
ziellerer Probleme angehen kann und sich auch weiterführende Lehrbücher, wie
die inzwischen erschienenen Monographien von Karatzas (1997) und Musiela und
Rutkowski (1997), erarbeiten kann.
Meinen Mitarbeitern M. Holst, V. Paulsen und C. Schmidt danke ich für Durch
sicht, Anregungen und Rat.
Kiel, im Februar 1998 A. Irle
Vorwort zur 2. Auflage
Gegenüber der ersten Auflage haben sich einige Änderungen und Ergänzungen
ergeben. Jedes Kapitel ist nun mit Übungsaufgaben versehen. In Kapitel 5 ist ei
ne verbesserte Darstellung des Beweises des Fundamentalsatzes der Preistheorie
angestrebt worden. Die Technik des Numerairewechsels wird neu in Kapitel 13
vorgestellt. Das zusätzliche Kapitel14 gibt eine Einführung in die mathematische
Theorie der Anleihenmärkte. Für die vielen konstruktiven und kritischen Anre
gungen, die ich bei der Erstellung dieser zweiten Auflage berücksichtigen durfte,
danke ich den Lesern herzlich.
Kiel, im September 2003 A. Irle
Inhaltsverzeichnis
1 Einiührung in die Preistheorie 9
2 Stochastische Grundlagen diskreter Märkte 39
3 Preistheorie im n-Perioden-Modell 61
4 Amerikanische Claims und optimales Stoppen 88
5 Der Fundamentalsatz der Preistheorie 114
6 Stochastische Grundlagen kontinuierlicher Märkte 126
7 Der Wienerprozeß 138
8 Das Black-Scholes-Modell 161
9 Das stochastische Integral 180
10 Stochastische Integration und Lokalisation 194
11 Quadratische Variation und die Ito-Formel 208
12 Das Black-Scholes-Modell und stochastische Integration 233
13 Märkte und stochastische Differentialgleichungen 252
14 Anleihenmärkte und Zinsstrukturen 279
Literaturverzeichnis 299
Sachverzeichnis 301
Kapitell
Einführung in die Preistheorie
1.1 Finanzmärkte
Finanzmärkte haben entscheidenden Einfluß auf die globalisierte Weltwirtschaft
und damit auf die Entwicklung unseres Planeten gewonnen. Seit den bahnbrechen
den, 1997 durch die Verleihung des Nobelpreises gewürdigten Arbeiten von Black
und Scholes (1973) und Merton (1973) haben die stochastischen Modellierungen
von Finanzmärkten und die daraus abgeleiteten mathematischen Verfahren zur
Preisfestsetzung von auf diesen Märkten gehandelten Finanzgütern die Theorie
und Praxis der Finanzmärkte wesentlich geprägt. Von den verschiedenen Typen
von Finanzmärkten seien hier angesprochen:
- Aktienmärkte, die Bilder vom Börsenparkett in Frankfurt oder New York sind
vertraute Illustrationen der Fernsehnachrichten,
- Rentenmärkte, die den Handel mit festverzinslichen Wertpapieren regeln,
- Währungsmärkte, die den Kauf und Verkauf von Währungen regulieren und
damit die Wechselkurse bestimmen,
- Warenmärkte, zum Handel mit Waren wie Öl und Gold.
Die auf diesen Märkten gehandelten Güter wollen wir Basisgüter nennen.
Seit der Gründung der Chicago Board Option Exchange am 26.4.1973 hat der
Handel mit in die Zukunft reichenden Kontrakten über Basisgüter und sich daraus
entwickelnd über Finanzgüter jeder erdenklichen Art enorme Bedeutung gewon
nen. Solche Kontrakte, von denen als wichtige Typen hier Optionen und Futures
genannt seien, werden als derivative Finanzgüter bezeichnet. Der Handel mit sol
chen Kontrakten wird auf
- Futuresmärkten und Optionenmärkten
10 1. Einführung in die Preistheorie
durchgeführt. Unser Ziel wird eine Darstellung der stochastischen Behandlung
von derivativen Finanzgütern sein. Dazu beginnen wir mit der Beschreibung von
Futures und Optionen. Als zusammenfassende Bezeichnung sowohl für Basisgüter
als auch für derivative Güter jeglicher Art werden wir den Begriff des Finanzguts
benutzen.
1.2 Forward und Future
Forwards und Futures sind Kontrakte, ein Finanzgut zu einem zukünftigen Erfül
lungszeitpunkt T bzw. innerhalb eines zukünftigen Zeitraums [T, T'] zu einem ver
einbarten Erfüllungspreis F zu verkaufen bzw. zu kaufen. Wir sprechen dabei von
einer long position bei Eingehen eines Kaufkontrakts und einer short position bei
Eingehen eines Verkaufskontraktes. Futures werden, wie schon erwähnt, auf den
zugehörigen Finanzmärkten gehandelt, was eine Absicherung zu ihrer Erfüllung
beinhaltet. Ein entsprechender Kontrakt zwischen zwei Parteien, der auf indivi
duellen Absprachen ohne Markteinschaltung beruht, wird als Forward bezeichnet.
Es stellt sich sofort die Frage nach der Vereinbarung des Erfüllungspreises F bei
einem Forward bzw. einem Future.
1.3 Option
Eine Option gibt dem Käufer das Recht, ein bestimmtes Finanzgut bis zu einem
zukünftigen Zeitpunkt T zu einem vereinbarten Preis K, dem Ausübungspreis,
zu kaufen oder zu verkaufen. Der Optionskontrakt beinhaltet im Unterschied
zum Forward oder Future jedoch nicht die Pflicht zu seiner Ausübung. Beim
Kaufrecht wird die Option als Call, beim Verkaufsrecht als Put bezeichnet. Ist
die Ausübung der Option nur zum Verfallszeitpunkt T möglich, so sprechen wir
von einer europäischen Option. Kann die Option jederzeit bis zum Zeitpunkt T
ausgeübt werden, bezeichnen wir sie als amerikanische Option.
Dies beschreibt die vier grundlegenden Optionstypen, den europäischen Call und
Put sowie den amerikanischen Call und Put.
Beim Käufer einer Option liegt in der Sprache der Finanzmärkte eine long po
sition vor, beim Verkäufer eine short position. Selbstverständlich verlangt der
Verkäufer einer Option vom Käufer einer solchen einen gewissen Preis für das im
Optionskontrakt verbriefte Recht. Entscheidend ist nun die Frage nach der Fest
setzung dieses Preises. Die schon angeführten Arbeiten von Black und Schales
und Merton haben eine rationale Theorie dieser Preistindung ins Leben gerufen
und damit die Praxis des Handeins mit Optionen entscheidend geprägt.
Ein mathematisch gut formalisierbarer Zugang zur Preistheorie für derivative
Finanzprodukte wird durch den Begriff der Arbitrage gegeben.
11
1.4 Arbitrage
Wir bezeichnen als Arbitrage einen risikolosen Profit beim Handel mit Finanzgütern,
z.B. beim Handel mit Aktien. Als Arbitragemöglichkeit verstehen wir die Möglich
keit risikolosen Profits, und als Arbitrageur wird ein Marktteilnehmer auf der
Suche nach risikolosem Profit bezeichnet. Wir betrachten dazu ein sehr einfaches
Beispiel:
Eine Aktie werde in New York und Frankfurt gehandelt. Es sei der Kurs in New
York 100 Dollar, der Kurs in Frankfurt 93 Euro, der Wechselkurs 0,94 Euro pro
Dollar.
Als Arbitragemöglichkeit liegt vor:
- Kaufe 1000 Aktien in Frankfurt.
-Verkaufe diese Aktien in New York.
- Wechsle Dollar in Euro.
Ohne Berücksichtigung von Transaktionskosten ist der risikolose Profit
1000 · (100 · 0,94 - 93) Euro = 1000 Euro.
Die Transparenz des Marktgeschehens führt dazu, daß eine solche Arbitrage nur
für sehr kurze Zeit bestehen kann. Das Erkennen dieser Arbitragemöglichkeit
führt zu gesteigerter Aktiennachfrage in Frankfurt mit Anhebung des Frankfurter
Kurses und erhöhter Aktienabgabe in New York, was den dortigen Kurs senkt,
so daß die Arbitragemöglichkeit verschwindet.
Auch wenn konkrete Finanzmärkte in gewissem Umfang Arbitrage ermöglichen
sollten- was natürlich in etlichen Studien kontrovers diskutiert wird, so gehen wir
bei einem idealisierten Finanzmarkt davon aus, daß durch Transparenz und Ef
fizienz keine Arbitragemöglichkeiten existieren. Führen wir nun in einem solchen
idealen Finanzmarkt ein derivatives Finanzgut ein, ist die Preisfestsetzung so
durchzuführen, daß im durch den Handel mit dem Derivat vergrößerten Finanz
markt keine Arbitrage entsteht. Überlegungen dieser Art sind grundlegend für die
Preistheorie für Finanzmärkte, und wir wollen dies für das folgende festhalten als
1.5 Leitmotiv der auf Arbitrage-Überlegungen basierenden Preistheo
rie
Preisfestlegungen für Finanzgüter sind so durchzuführen, daß keine Arbitrage
auftritt. Wir werden dies als No-Arbitrage-Prinzip bezeichnen.