Table Of ContentFinanzmarktokonometrie
Wirtschaftswissenschaftliche Beitrage
Infonnationen fiber die Bande 1-110
sendetThnen aufAnfrage gerne der Verlag.
Band Ill:G. Georgi.JobShop Band 126:R. Eisenberger,Ein Kapital
SchedulinginderProduktion. 1995. marktrnodellunterAmbiguitat, 1996,
ISBN3-7908-0833-4 ISBN3-7908-0937-3
Band 1I2:V. Kaltefleiter, DieEntwicldungs
Band 127: M.J.Theurillat,DerSchweizer
hilfederEuropiiischen Union. 1995.
ISBN3-7908-0838-5 Aktienmarkl, 1996,
ISBN3-7908-0941-1
Band 113:B.Wieland. Telekornrnunikation
und vertikaleIntegration, 1995, Band 128:T. Lauer, DieDynamikvon
ISBN3-7908-0849-0 Konsumgiiterrnarkten, 1996,
ISBN3-7908-0948-9
Band 1I4: D. Lucke. MonetiireStrategien
zurStabilisierungderWeltwirtschaft, 1995,
ISBN3-7908-0856-3 Band 129:M. Wendel,Spieleroder
Spekulanten. 1996, ISBN3-7908-0950-0
Band 1I5: F. Merz, DAX-Future-Arbitrage,
1995,ISBN3-7908-0859-8
Band 130: R. Olliges,Abbildungvon
Band 1I6:T. Kopke. DieOptionsbewertung Diffusionsprozessen, 1996,
anderDeutschenTerrninborse, 1995,ISBN ISBN3-7908-0954-3
3-7908-0870-9
Band 1I7: F. Heinemann, Rationalisierbare Band 131: B.Wilmes,Deutschlandund
Erwartungen, 1995, Japan imglobalenWettbewerb, 1996.
ISBN3-7908-0888-1 ISBN3-7908-0961-6
Band 1I8:J. Windsperger,Transaktions Band 132: A. Sell,Finanzwirtschaftliche
kostenansatzderEntstehungderUnter AspektederInflation, 1997,
nehmensorganisation, 1996, ISBN3-7908-0973-X
ISBN3-7908-0891-1
Band 1I9: M. Carlberg, DeutscheVereini Band133:M.Streich,IntemationaleWerbe
gung, Kapitalbildung undBeschiiftigung. planung, 1997,ISBN-3-7908-0980-2
1996,ISBN3-7908-0896-2
Band 120: U. Rolf, Fiskalpolitikinder Band 134: K. Edel, K.-A. Schaffer,W. Stier
EuropiiischenWiihrungsunion, 1996, (Hrsg.) AnalysesaisonalerZeitreihen, 1997.
ISBN3-7908-0898-9 ISBN3-7908-0981-0
Band 121:M. Pfafferrnayr,Direktinvesti Band135: B. Heer, Umwelt,Bevolkerungs
tionenimAusland, 1996, 'druck undWirtschaftswachstuminden
ISBN 3-7908-0908-X Entwicklungslandem, 1997,
ISBN3-7908-0987-X
Band 122:A. Lindner,Ausbildungsinvesti
tionen ineinfachengesamtwirtschaftlichen
Modellen, 1996, Band 136:Th.Christiaans,Learningby
ISBN3-7908-0912-8 Doinginoffenen Volkswirtschaften, 1997,
ISBN3-7908-0990-X
Band 123: H. Behrendt,Wirkungsanalyse
vonTechnologie- undGriinderzentrenin
Westdeutschland. 1996, Band 137: A. Wagener, Intemationaler
ISBN3-7908-0918-7 SteuerwettbewerbmitKapitalsteuem, 1997,
ISBN3-7908-0993-4
Band 124:R. Neck(Hrsg.)Wirtschaftswis
senschaftlicheForschungfUrdieneunziger Band 138: P. Zweifeleta!., Elektrizitiits
Jahre, 1996, tarife undStromverbrauchim Haushalt,
ISBN 3-7908-0919-5 1997, ISBN3-7908-0994-2
Band 125:G. Bol,G. Nakhaeizadehl
K.-H. Vollmer(Hrsg.) Finanzmarktanalyse Band 139: M. Wildi,Schatzung, Diagnose
und-prognosemitinnovativenquantitativen undPrognosenicht-linearer
Verfahren, 1996, SETAR-Modelle, 1997,
ISBN 3-7908-0925-X ISBN3-7908-1006-1
FortsetzungaufSeite340
Hennann Singer
Finanzmarktäkonometrie
Zeitstetige Systeme
und ihre Anwendung in Ökonometrie
und empirischer Kapitalmarktforschung
Mit 159 Abbildungen
und 42 Tabellen
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Reihenherausgeber
Wemer A. Müller
Autor
Dr. habil. Hermann Singer
Wirtschafts wissenschaftliche Fakultät
Universität Regensburg
Universitätsstr. 31
D-93040 Regensburg
Als Habilitationsschrift auf Empfehlung der wirtschaftswissenschaftlichen
Fakultät der Universität Regensburg gedruckt mit Unterstützung der Deut
schen Forschungsgemeinschaft
ISBN 978-3-7908-1204-6
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Singer, Hermann: Finanzmarktökonometrie: Zeitstetige Systeme und ihre Anwendung in
Ökonometrie und empirischer Kapitalmarktforschung / Hermann Singer. - Berlin; Heidel
berg: Physica-Verl., 1999
(Wirtschaftswissenschaftliche Beiträge; Bd. 171)
ISBN 978-3-7908-1204-6 ISBN 978-3-642-58659-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-58659-0
Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere
die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Ta
bellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfä1tigung auf anderen Wegen
und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Ver
wertung, vorbehalten. Eine Vervielf'ältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist
auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsge
setzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fas
sung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den
Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes.
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1999
Ursprünglich erschienen bei Physica-Verlag Heidelberg 1999
Die \Viedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem
Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Na
men im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wä
ren und daher von jedermann benutzt werden dürften.
Umschlaggestaltung: Erich Kirchner, Heidelberg
SPIN 10720775 88/2202-5 4 3 2 1 0 - Gedruckt auf säurefreiem und alterungsbe
ständigem Papier
Vorwort
Differentialgleichungen dienen in der Physik als grundlegende Modelle der
zeitlichen Veranderung von Systemen. Dabei wird der Meinung Rechnung
getragen, daB die Zeit ein kontinuierliches Phanomen ist. In ahnlicher Weise
sind theoretische Modelle der Volkswirtschaftslehre und der Soziologie oft in
stetiger Zeitformuliert. Andererseits sindMeBdatenauspraktischen Grunden
meistens nur als Zeitreihen oder Paneldaten mit MeBabstanden von Tagen,
Monaten, Quartalen etc. erhaltlich. Dies fUhrte in der empirischen For
schung zu einer starken Dominanz zeitdiskreter Modelle, wobei der genaue
Zusammenhang zwischen stetiger Theorie und diskreter Empirie ungeklart
bleibt. Seit den fUnfziger Jahren sind im Rahmen der Okonometrie und
SoziologieimmerwiederAnstrengungenzu verzeichnen,ausdentheoretischen
GleichungenexakteDiskretisierungen abzuleitenunddieseempirischzuuber
prufen. Dieser Tradition ist die vorliegende Arbeit verpflichtet.
Meinbesonderer DankrichtetsichanHerrn Prof. Dr. AlfredHamerleyom
Lehrstuhl fUr Statistik der Universitat Regensburg fUr seine Unterstiitzung
dieses Forschungsansatzes. Ohne sein stetiges Interesse und groBzugiges lang
jahriges Engagement ware diese Arbeit nicht entstanden.
Herrn Prof. Dr. Walter Oberhofer yom Lehrstuhl fUr Okonometriedanke
ich fUr die Bereitschaft, sich als Gutachter zur VerfUgung zu stellen. Seine
sorgfaltigeLekture des Manuskriptsund wertvolleHinweiseermoglichtenmir
eine klarere Darstellung vieler Sachverhalte.
Meinherzlicher DankgiltHerrn akad.Oberrat Dr.WilliNagl (Universitat
Konstanz), demich unzahligehilfreicheHinweiseund Diskussionenverdanke.
Dasvon ihmund Prof. Hamerleinitiierteund geleitete DFG-Projekt Zeitste
tige Panelmodelle (1989 - 1993) bildete die Grundlage dieser Arbeit.
Ichdanke dem LehrstuhlfUr Statistik, in konkreter AusformungMarietta
Dostert, Dr. Ulrich Hornsteiner, Michael Knapp, Birgit Ott, Renate Meier
Reusch, Dr. Daniel Rosch, Wolfgang Schneeberger, Rita Spatz und Dr.
Martin SpieB, fUr die freundliche Unterstutzung.
Mein Dank gilt auch Frau Dr. Martina Bihn und dem Physica-Verlag
fur die Bereitschaft, das Manuskript, welches in leicht modifizierter Form
als Habilitationsschrift an der wirtschaftswissenschaftlichen Fakultat der
Universitat Regensburg angenommen wurde, in ihr Verlagsprogramm auf-
vi Vorwort
zunehmen. Das kamerafertige Manuskript wurde vom Autor mit Hilfe von
IJ.TEX als Postscript-Datei erstellt und mit einem 1200 dpi-Laserdrucker
ausgegeben.
DieDeutsche ForschungsgemeinschafthatdieDrucklegungmiteinergroB
ziigigen Druckbeihilfe unterstiitzt. DafUr danke ich besonders.
Zum AbschluB der Arbeit mochte ich meiner Frau Sabine fUr Ihre Unter
stiitzung, Geduld und Ihren guten Zuspruch danken, die mir iiber manches
Tiefhinweghalfen. Ihr verdanke ich mehr, als ich sagen kann.
Regensburg, im November 1998 Hermann Singer
Inhaltsverzeichnis
Vorwort v
1. Zeitstetige Modellierung .................................. 1
Teil I. Zeitstetige Dynamische Systeme
2. Deterministische Differentialgleichungen .................. 9
2.1 Nichtlineare Systeme 1. Ordnung ......................... 10
2.2 Lineare Systeme 1. Ordnung ............................. 14
2.2.1 Inhomogene Gleichungen .......................... 15
2.2.2 Nichtautonomeinhomogene Gleichungen .... 16
2.3 Beispiele.............................................. 17
3. Stochastische Differentialgleichungen ... 21
3.1 Differentialgleichungenmit zufalligen Parametern. .. ........ 21
3.2 Wiener-ProzeB und weiBes Rauschen ...................... 22
3.3 Stochastische Integrale und Ito-Differentialgleichungen ..... , 27
3.4 Ita-Kalkiil............................................. 30
3.4.1 Totales Differential bei deterministischen Funktionen.. 30
3.4.2 Ita-Formelund 1t00Taylor-Entwicklung.. .... ........ 31
3.4.3 Beispiele........................................ 33
3.5 Stratonovich-Integrale................................... 36
3.6 Ito oder Stratonovich ?.................................. 40
3.7 Lineare stochastische Differentialgleichungen ............... 41
3.8 Vorwarts- und Riickwartsgleichung .... ................... 48
3.8.1 Kramers-Moyal-Entwicklung....................... 48
3.8.2 Fokker-Planck-Gleichung.......................... 50
3.8.3 Beispiele........................................ 51
3.8.4 Kolmogoroff- und Feynman-Kac-Formel ............. 53
3.9 SDE, Markoff- und Diffusionsprozesse ..................... 55
3.10 GleichungenfUr die Momente ............................ 57
Inhaltsverzeichnis
Vlll
4. Simulation von Differentialgleichungen.. .................. 61
4.1 Deterministische Differentialgleichungen ................... 61
4.2 Stochastische Differentialgleichungen ...................... 62
4.3 Starke und schwacheKonvergenz ......................... 65
4.4 Beispiele.............................................. 66
4.4.1 Wiener-ProzeB und weiBes Rauschen ................ 66
4.4.2 Geometrische Brownsche Bewegung................. 67
5. Zustandsraum-Modelle und Zustandsschatzung ........... 75
5.1 Definition............................................. 75
5.2 Modelle mit farbigen Rauschtermen und Personeneffekten 77
5.3 CAR-, CARMA- und CARMAX-Modelle 79
5.4 OptimaleSchatzung von Zustanden. ...................... 81
5.5 Kalman-Filter (diskreter Fall) .. .......................... 84
5.6 Kalman-Filter (kontinuierlich-diskreter Fall) 86
5.7 Kalman-Bucy-Filter (kontinuierlicher Fall) .. ... ............ 89
5.8 Kalman-Glatter........................................ 91
5.9 Erweiterter Kalman-Filter (kontinuierlich-diskreter Fall) ..... 92
5.10 Nichtlinearerkontinuierlich-diskreter Filter 94
5.11 GauBscher Kerndichte-Filter (kontinuierlich-diskreter Fall) 96
5.12 Diskretisiertes kontinuierliches Sampling (DKS) 100
5.13 Funktional-Integral-Filter (FIF) 101
5.14 Zusammenfassung der nichtlinearen Filteralgorithmen 103
5.15 Beispiele 104
6. Parameterschatzung: Lineare Systeme 113
6.1 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten 113
6.1.1 Identifikationder System-Matrizen 114
6.1.2 Exakte ML-Schatzung 119
6.1.3 Systeme ohne MeBmodell 122
6.1.4 ApproximativeML-Schatzung 123
6.1.5 Beispiel: Das Phillips-Modell 125
6.1.6 Beispiel: Einstellung zu Gastarbeitern 134
6.2 UnregelmaBige Zeitabstande und fehlende Werte 140
6.2.1 AR-Modell mit exogenen Variablen (Sprung-Funktio-
nen, Polygonzuge und Spline-Funktionen) 143
6.2.2 Gemischte Stock- und Flow-Daten 147
6.3 Lineare Systeme mit zeitabhangigen Koeffizienten 148
6.3.1 Beispiel: variable Wachstumsmodelle 150
6.3.2 Beispiel: Brownsche Brucke 154
6.4 Parameterschatzung mit zeitstetigen Daten 156
Inhaltsverzeichnis
IX
7. Parameterschatzung: Nichtlineare Systeme 161
7.1 Diskretisiertes kontinuierliches Sampling 162
7.2 Erweiterter Kalman-Filter mitfehlenden Werten 167
7.3 EKF und Erweiterung des Systemzustands 169
7.4 Vorhersage-Fehler-Methoden 174
7.4.1 Zusammenhangmit der ML- und KQ-Methode 174
7.4.2 Rekursive Identifikation 176
7.5 Beispiel: Grenzzyklus-Modell 177
7.6 Exakte Likelihood mit Hilfe der Fokker-Planck-Gleichung 184
7.7 Beispiel: Diffusion im bimodalen Potential 186
7.8 Kerndichte-Filter, DKS und Funktional-Integral-Filter 188
7.8.1 ML-Methode 188
7.8.2 Bayes-Methode 197
Teil II. Statistische Bewertung von Optionen
8. Zeitstetigefinanzwirtschaftliche Prozesse 205
8.1 Wiener-ProzeB und geometrische Brownsche Bewegung 205
8.2 CEV-Diffusionsprozesse 210
8.3 Modelle mit stochastischen Volatilitaten/GARCH-Limes 211
8.4 Verallgemeinerte Ito-Prozesse 218
9. Black-Scholes-Differentialgleichung 219
9.1 Optionen 219
9.2 Riickwartsgleichung mit Inhomogenitat 222
9.3 Martingal-MaB und der Satz von Girsanov 224
9.4 Feynman-Kac-Formelund Greensche Funktionen 231
9.5 Spezialfalle 238
9.5.1 Black-Scholes-Formel 238
9.5.2 Cox-Ross-Optionspreis-Formel (CEV-Modell) 242
9.6 Numerische Losungsmethoden 246
9.6.1 Monte Carlo-Simulationder Feynman-Kac-Formel 248
9.6.2 Endliche Differenzen-Methoden 255
10. Parameterschatzung 267
10.1 ML-Schatzung von Diffusionskoeffizienten 267
10.2 GBB: Maximum-Likelihood-Methode 270
10.2.1 stetige Datensatze 270
10.2.2 diskrete Datensatze 271
10.3 CEV-Modell 275
10.3.1 Kleinste-Quadrate-Methoden 275
10.3.2 Approximative und exakte ML-Schatzung 279
10.3.3 Zusammenfassung 280
10.4 Schatzmethoden fUr allgemeine ItO-Prozesse 280
x Inhaltsverzeichnis
10.5 Multivariate Ansatze und State Space-Modelle 283
Stochastische Volatilitaten 284
11. Ausgewahlte Aktien und Optionsscheine 291
11.1 Allianz 296
11.2 Munchner Ruck 301
11.3 Bayer 87/97 305
11.4 Bayer 85/95 309
11.5 Simulierter CEV-Optionsschein 313
11.6 Zusammenfassung 315
Abkiirzungen und Bezeichnungen 319
Literaturverzeichnis 323
Index · 335
