Field space parametrization in quantum gravity and the identification of a unitary conformal field theory at the heart of 2D Asymptotic Safety

5.4 MB·

by  Andreas Nink

Field space parametrization
in quantum gravity and the identification
of a unitary conformal field theory
at the heart of 2D Asymptotic Safety
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9 Dissertation
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zur Erlangung des Grades
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„Doktor der Naturwissenschaften“
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1 am Fachbereich Physik, Mathematik und Informatik
:
v der Johannes Gutenberg-Universität in Mainz
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Andreas Nink
geboren in Dernbach
Mainz, 12. September 2016
Andreas Nink
Institut für Physik – THEP
Staudingerweg 7
55128 Mainz (Germany)
D77 / Dissertation der Johannes Gutenberg-Universität Mainz
Datum der mündlichen Prüfung: 19. Januar 2017
iii
Abstract
Although only little is known about the precise quantum nature of the gravi-
tational interaction, we can impose several essential requirements a consistent
theoryofquantumgravitymustmeetbyallmeans: Itmustbe renormalizablein
orderto remainwelldefined in the highenergylimit, it mustbe unitaryin order
to admit a probabilistic interpretation, and it must be background independent
asthespacetimegeometryshouldbeanoutcomeofthetheoryratherthanapre-
scribed input. Being nonrenormalizable from the traditional, perturbative point
ofview,forausualquantumversionofgeneralrelativityalreadythefirstofthese
conditions seems to be ruled out. In the Asymptotic Safety program, however,
a more general, nonperturbative notion of renormalizability is proposed, on the
basis of which quantum gravity could be defined within the framework of con-
ventionalquantumfieldtheory. Thekeyingredienttothisapproachisgivenbya
nontrivial renormalization group fixed point governing the high energy behavior
in such a way that the infinite cutoff limit is well defined. While there is mount-
ing evidence for the existence of a suitable fixed point by now, investigations of
background independence are still in their infancy, and the issue of unitarity is
even more obscure.
In this thesis we extend the existing Asymptotic Safety studies by examining all
three of the above conditions and their compatibility. We demonstrate that the
renormalizationgroupflowanditsfixedpointsaresensitivetochangesinthemet-
ric parametrization, where different qualified parametrizations, in turn, are seen
tocorrespondtodifferentfieldspaceconnections. Anovelconnectionisproposed,
and the renormalization group flow resulting from the associated parametriza-
tion and a particular ansatz for the effective average action is shown to possess
thedecisivenontrivialfixedpointrequiredfornonperturbativerenormalizability.
For two special parametrizations we argue that background independence can
be achieved in the infrared limit where all quantum fluctuations are completely
integrated out. In order to study the question of unitarity in an asymptotically
safe theory we resort to a setting in two spacetime dimensions. We provide a
detailedanalysisofanintriguingconnectionbetweentheEinstein–Hilbertaction
in d > 2 dimensions and Polyakov’s induced gravity action in two dimensions.
By establishing the 2D limit of an Einstein–Hilbert-type effective averageaction
at the nontrivial fixed point we reveal that the resulting fixed point theory is a
conformal field theory, where the associated central charge, shown to be c =25,
guarantees unitarity. Further properties of this theory and its implications for
the Asymptotic Safety program are discussed. In the last part of this work we
present a strategy for conveniently reconstructing the bare theory pertaining to
a given effective average action. For the Einstein–Hilbert case we prove the ex-
istence of a nontrivial fixed point in the bare sector and exploit the dependence
of the bare action on the underlying functional measure to simplify the maps
between bare and effective couplings. Applying this approach to 2D asymptoti-
callysafegravitycoupledtoconformalmatterweuncoveranumberofsurprising
consequences,forinstanceforthe gravitationaldressingofmatterfieldoperators
and the KPZ scaling relations.

v
Kurzfassung
Auch wenn über den genauen Quantencharakter der gravitativen Wechselwir-
kung bislang nur wenig bekannt ist, können wir einige Forderungen aufstellen,
die eine konsistente Theorie der Quantengravitationzwingend erfüllen muss: Sie
muss renormierbar sein, um auch im Hochenergielimes wohldefiniert zu bleiben,
sie muss unitär sein, um eine Wahrscheinlichkeitsinterpretation zuzulassen, und
sie muss hintergrundunabhängig sein, da die Raumzeitgeometrie keine Vorga-
be, sondern ein Ergebnis der Theorie sein sollte. Da eine gewöhnliche Quan-
tenversion der allgemeinen Relativitätstheorie aus störungstheoretischer Sicht
nicht-renormierbar ist, scheint bereits die erste dieser Bedingungen ausgeschlos-
sen.DasAsymptotic-Safety-Programmschlägtjedocheinenallgemeineren,nicht-
störungstheoretischen Begriff von Renormierbarkeit vor, anhand dessen Quan-
tengravitation im Rahmen konventioneller Quantenfeldtheorie definiert werden
könnte. Die Grundidee basiert auf einem nicht-trivialen Renormierungsgruppen-
fixpunkt,andemderLimesdesunendlichenCutoffsgebildetwerdenkann,sodass
dasHochenergieverhaltenin diesemZugangwohldefiniertbleibt. Währendes in-
zwischen vermehrt Hinweise für die Existenz eines geeigneten Fixpunktes gibt,
haben die Untersuchungen zur Hintergrundabhängigkeit gerade erst begonnen,
und das Unitaritätsproblem ist derzeit noch unklarer.
In der vorliegenden Arbeit werden die bisherigen Studien zu Asymptotic Safe-
ty erweitert, indem alle drei der obigen Bedingungen sowie deren Kompatibi-
lität untersucht werden. Wir zeigen, dass der Renormierungsgruppenfluss und
dessen Fixpunkte von der Parametrisierung der Metrik abhängen, wobei unter-
schiedliche Parametrisierungen wiederum auf unterschiedliche Zusammenhänge
im Feldraum zurückgeführt werden können. Im Hinblick darauf schlagen wir
einen neuen, eigens konstruierten Zusammenhang vor und weisen nach, dass
der Renormierungsgruppenfluss, der sich aus der zugehörigen Parametrisierung
und einem speziellen Ansatz für die effektive Mittelwertwirkung ergibt, einen
für dienicht-störungstheoretischeRenormierbarkeiterforderlichenFixpunktauf-
weist. Für zwei bestimmte Parametrisierungen legen wir dar, dass im Infrarot-
limes, in dem alle Quantenfluktuationen vollständig ausintegriert sind, Hinter-
grundunabhängigkeit tatsächlich erreicht werden kann. Um die Frage nach Uni-
taritätineinerasymptotischsicherenTheoriezuerörtern,bedienenwirunseines
Szenarios in einer 2-dimensionalen Raumzeit. Hierbei decken wir einen verblüf-
fenden Zusammenhang zwischen der Einstein–Hilbert-Wirkung in d>2 Dimen-
sionen und Polyakovsinduzierter Gravitationswirkung in zwei Dimensionen auf.
Indemwirden2D-LimeseinereffektivenMittelwertwirkungdesEinstein–Hilbert-
Typsamnicht-trivialenFixpunktbilden,könnenwirzeigen,dassdieresultierende
Fixpunkttheorie eine konforme Feldtheorie ist, und dass die entsprechende zen-
trale Ladung, die wir zu c = 25 berechnen, Unitarität gewährleistet. Darüber
hinaus diskutieren wir weitere Eigenschaften dieser Theorie sowie die Implika-
tionen für das Asymptotic-Safety-Programm. Im letzten Teil der Arbeit stellen
wireine Strategievor,mittels dererdienackte(mikroskopische)Theoriezueiner
gegebenen effektiven Mittelwertwirkung zweckmäßig rekonstruiert werden kann.
FürdenEinstein–Hilbert-FallbeweisenwirdieExistenzeinesnicht-trivialenFix-
punktes auf nackter Ebene und nutzen die Abhängigkeit der nackten Wirkung
von dem zugrundeliegenden Funktionalmaß aus, um die Abbildungen zwischen
den nackten und den effektiven Kopplungen zu vereinfachen. Durch Anwenden
dieser Methode auf 2D asymptotisch sichere Gravitation, die an konforme Ma-
terie gekoppelt ist, enthüllen wir eine Reihe überraschender Konsequenzen, die
sich beispielsweise für den gravitativenEffekt auf Materiefeldoperatorenund für
die KPZ-Relationen ergeben.

Contents
Abstract iii
Kurzfassung v
Contents vii
List of abbreviations xi
1 Introduction 1
2 Theoretical foundations 9
2.1 The functional renormalization group . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 General concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2 The effective average action and its FRGE . . . . . . . . . . . 10
2.1.3 How to extract β-functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.4 The background field formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.5 The FRGE for quantum gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Asymptotic Safety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Conformal field theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 The space of metrics and the role of different parametrizations 29
3.1 Motivation and preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Determining connections by reverse engineering . . . . . . . . . . . . 32
3.3 A note on reparametrization invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4 The canonical connection and its geodesics . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4.1 General description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4.2 Euclidean vs. Lorentzian signatures . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5 Comparison of connections on field space . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.6 Covariant Taylor expansions and Ward identities . . . . . . . . . . . 60
3.7 Summarizing remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4 Parametrization dependence in asymptotically safe gravity 69
4.1 An introductory example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2 Effective average action and gauge fixing . . . . . . . . . . . . . . . . 72
viii Contents
4.3 RG analysis for a single-metric truncation . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3.1 The linear parametrization in d= 4 dimensions . . . . . . . . 77
4.3.2 The linear parametrization in d= 2+ε dimensions . . . . . . 78
4.3.3 The exponential parametrization in general dimensions . . . . 80
4.3.4 The exponential parametrization in d = 4 dimensions . . . . . 82
4.3.5 The exponential parametrization in d = 2+ε dimensions . . 85
4.3.6 Remark about recent results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.4 The birth of exponentials in 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.5 RG analysis for a bimetric truncation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.5.1 Results for the linear parametrization . . . . . . . . . . . . . 98
4.5.2 Results for the exponential parametrization . . . . . . . . . . 103
4.6 Summarizing remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5 The 2D limit of the Einstein–Hilbert action 111
5.1 The 2D limit at the level of the gravitational stress-energy tensor . . 113
5.1.1 The effective Einstein equation re-interpreted . . . . . . . . . 113
5.1.2 The stress-energy tensor of the h -fluctuations . . . . . . . . 115
µν
5.1.3 The intrinsic description in exactly 2 dimensions . . . . . . . 116
5.2 The emergence of the induced gravity action . . . . . . . . . . . . . . 117
5.2.1 Lessons from the conformal gauge . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.2.2 General properties of the limit . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.2.3 Establishing the 2D limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.3 The full Einstein–Hilbert action in the 2D limit . . . . . . . . . . . . 126
5.4 Aside: Is there a generalization to 4D? . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6 The non-Gaussian fixed point as a conformal field theory 129
6.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.2 The unitary fixed point theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.3 Summarizing remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7 The reconstructed bare action 145
7.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.2 The one-loop reconstruction formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.2.1 Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.2.2 Exactness beyond one-loop in the large cutoff limit? . . . . . 151
7.3 Bare action for the Einstein–Hilbert truncation . . . . . . . . . . . . 153
7.3.1 Mapping between bare and effective couplings . . . . . . . . . 153
7.3.2 Existence of the bare NGFP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.3.3 Critical exponents of the bare NGFP . . . . . . . . . . . . . . 161
7.3.4 A strategy to adjust bare couplings . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.3.5 The bare couplings in 2+ε dimensions. . . . . . . . . . . . . 164
Contents ix
8 The reconstructed path integral in 2D Asymptotic Safety 169
8.1 Remark on the reconstruction process . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8.2 A functional integral for 2D asymptotically safe gravity . . . . . . . 171
8.3 Comparison with Monte Carlo results . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8.4 Summarizing remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
9 The bare action in Liouville theory 179
9.1 Liouville ansatz for the bare action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
9.2 Power series ansatz for the bare potential . . . . . . . . . . . . . . . 185
9.3 The bare potential as a series of exponentials . . . . . . . . . . . . . 188
9.3.1 Results for the linear parametrization . . . . . . . . . . . . . 190
9.3.2 Results for the exponential parametrization . . . . . . . . . . 193
9.4 Bare action with a general potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
9.5 Summarizing remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
9.6 Ward identity with respect to Weyl split-symmetry . . . . . . . . . . 201
9.6.1 Derivation of the Ward identity . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
9.6.2 The Ward identity for the optimized cutoff . . . . . . . . . . 208
9.6.3 A note on central charges and the bare potential . . . . . . . 209
10 Summary, conclusions and outlook 213
A Variations of geometric quantities 219
B Matrix representation of operators in curved spacetime 221
C Heat kernel expansion 223
D Cutoff shape functions and threshold functions 225
D.1 Threshold functions and their properties . . . . . . . . . . . . . . . . 226
E The exponential parametrization and the space of metrics 227
F Split-Ward identities for the geometric effective average action 235
G The β-functions for the exponential parametrization 239
G.1 Transformation behavior of h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
G.2 Hessians and β-functions in the single-metric case . . . . . . . . . . . 243
G.3 Hessians and β-functions in the bimetric case . . . . . . . . . . . . . 246
H Weyl transformations, zero modes and induced gravity action 251
H.1 The induced gravity action in the absence of zero modes . . . . . . . 252
H.2 The treatment of zero modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
I Reconstructing the bare action from the effective average action 259
I.1 Definition of the functional measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
x Contents
I.2 The reconstruction formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
I.2.1 Derivation of the one-loop reconstruction formula . . . . . . . 264
I.2.2 Exactness beyond one-loop in the large cutoff limit . . . . . . 267
J On the convergence of higher order Liouville couplings 271
J.1 Proof of the combinatorial identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
J.2 Proof of the inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
J.3 Numerical check of initial conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
K Weyl transformation of the functional measure and the cutoff 281
K.1 Weyl transformation of the functional measure . . . . . . . . . . . . 281
K.2 Simplification of the cutoff contribution . . . . . . . . . . . . . . . . 283
K.3 The Ward identity for the optimized cutoff. . . . . . . . . . . . . . . 284
Acknowledgments 289
Bibliography 291