Feynman-Graphen und Eichtheorien für Experimentalphysiker

244 Pages·1995·6.361 MB·German

by  Professor Dr. Peter Schmüser (auth.)

Feynman-Graphen
und Eichtheorien fur
Experimentalphysiker
Peter Schmuser
Feynrnan-Graphen
und Eichtheorien fur
Experirnent alp hysiker
Zweite, neubearbeitete Auflage
Mit 82 Abbildungen
Springer
Professor Dr. Peter Schmiiser
II. Institut fUr Ex:perimenta1physik. der Universităt Hamburg
NotkestraBe 85, 22607 Hamburg
Die 1. Auflage erschien 1988 in der Reihe
Lecture N otes in Physics VoI. 295
ISBN 978-3-540-58486-5 ISBN 978-3-642-57766-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-57766-6
Die Deutache Bibliothek - CIP-EiDheitaaufnahma
Sehmiiser, Peter: Feynman·Graphen und Eichtheorien filr Ezperimenta1phyaikar I P. Sehmtlser.
2. Aufl. - Berlin; Heidelberg; New York; London; Paria; Tok,yo: Springer, 1996 (Lectura notes in
physica; VoI. 295).ISBN 978-3-540-58486-5 NE:GT
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SPIN 10478776 55/3144 -5 43210 -Gedruckt auf Bliurefreiem Papier
Vorwort
Das vorliegende Lehrbuch ist aus einer zweisemestrigen Veranstaltungsreihe Elemen
tarteilchenphysik fur Fortgeschrittene entstanden, die an der Universitiit Hamburg seit
vielen Jahren fur Studenten hoherer Semester sowie fUr Diplomanden und Doktoran
den der experiment ellen Teilchenphysik angeboten wird und die jeweils zwei Wochen
stunden Vorlesung und Ubung umfaBt. Vorausgesetzt werden die in den theoretischen
Grundvorlesungen vermittelten Kenntnissc in analytischer Mechanik, Elektrodynamik
inklusive spezieller Relativitiitstheorie und nichtrelativistischer Quantenmechanik so
wie die Grundtatsachen der Teilchenphysik, wie man sie etwa in den Buchern von
Berger (1992), Bethge, SchrOder (1986), Lohrmann (1992), Perkins (1987), Povh et
al. (1993) oder in Bergmann-Schaefer Band 4 (Schmuser, Spitzer 1992) finden kann.
Das Ziel der erst en Vorlesung ist es, die Feynman-Graphen in einer fUr Experimen
talphysiker verstiindlichen Weise einzufUhren und die Teilnehmer in die Lage zu ver
setzen, Reaktionen der elektromagnetischen und schwachen Wechselwirkung yom Ma
trixelement bis zum Wirkungsquerschnitt vollstiindig berechnen zu konnen. Bei der
Einfuhrung der Feynman-Graphen folge ich weitgehend den Feynmanschen Original
arbeiten (Feynman 1949), die meiner Meinung nach immer noch die beste Darstellung
dieses fur viele Gebiete der Physik wichtigen Konzepts enthalten. Besonderer Wert wird
auf die Stiickelberg-Feynman-Interpretation der Wellenfunktionen negativer Energie
und ihre Umdeutung als Wellenfunktionen der Antiteilchen gelegt. Bei konsequcnter
Anwendung dieser Idee lassen sich Streuprozesse sowie Erzeugungs- und Vernichtungs
reaktionen mit ein und demselben Formalismus behandeln, ohne daB man auf das
feldtheoretische Konzept der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren zuruckgreifen
muE.
Die Nomenklatur folgt wcitgehend dem Buch von Bjorken und Drell (1964),
insbesondere bei der Definition der Vierervektoren und Gamma-Matrizen. Die elek
tromagnetischen GroBen werden nicht im SI-System, sondern in Heaviside-Lorentz
Einheiten angegeben, weil sich dieses Einheitensystem in den neueren Eichtheorien
generell durchgesetzt hat. Der Ubergang yom SI-System ist einfach: man muB nur co
und J.Lo durch ,,1" ersetzen. Selbstverstiindlich hat die Elementarladung e einen anderen
Zahlenwert und eine andere Einheit als im SI-System. Urn Schwierigkeiten bei nume
rischen Rechnungen zu umgehen, werden Wirkungsquerschnitte oder Zerfallsbreiten
stets durch systemunabhiingige Konstanten ausgedriickt. 1m Bereich der Quantenelek
trodynamik QED ist die wichtigste Konstante dieser Art die Feinstrukturkonstante
Q.
Sie lautet Q = e2/(47rcolic) im SI-System und Q = e2/(47rlic) im Heaviside-Lorentz
System, hat aber beidesmal denselben Wert Q ~ 1/137. (Wir werden in den Kapiteln
11, 12 sehen, daB Q in Wahrheit keine Konstante ist, sondern eine geringe Energie-
VI Vorwort
abhiingigkeit aufweist). Reaktionen der schwachen Wechselwirkung werden durch die
Fermi-Konstante beschrieben: GF = (Tic)3 ·1.166 .10-5 GeV-2. (Anmerkung zum Vor
zeichen von e: Bjorken und Drell (1964) unl:i einige andere Autoren bezeichnen die
Ladung des Elektrons mit e. In diesem Buch bedeutet e > 0 die Elementarladung, die
Ladung des Elektrons ist -e).
In der Teilchenphysik ist es bequem, die GraBen Ti und c durch 1 zu ersetzen, was
bedeutet, daB man Wirkungen in Vielfachen der Planck-Konstante und Geschwindig
keiten in Vielfachen der Lichtgeschwindigkeit miBt. In diesen vereinfachten Einheiten
gilt 0: = e2 /(47l") ~ 1/137, GF = 1.166.10-5 GeV-2. Die erforderlichen Potenzen von Ti
und classen sich aufgrund von Dimensionsiiberlegungen leicht und in eindeutiger Weise
ermitteln. Beispielsweise lautet der Wirkungsquerschnitt fur Myon-Paarerzeugung in
der vereinfachten Schreibweise 0" = 7l"0:2/(3E2) und hat die Dimension 1/Energie2.
Durch Heranmultiplizieren des Faktors (Tic)2 erhaiten wir die Dimension einer Fliiche,
so daB 0" im SI-System folgende Gestalt hat 0" = 7l"0:2(Tic)2/(3E2). Strikt vermieden
wird allerdings das altmodische CGS-System, da man fehlende Faktoren 47l" durch kei
nerlei Rezept wiedergewinnen kann.
Das Hauptziel der zweiten Vorlesung besteht darin, eine Einfiihrung in die Eich
theorien zu geben, mit denen es gelungen ist, die elektromagnetischen und schwachen
Wechselwirkungen auf eine gemeinsame theoretische Grundlage zu stellen und mit der
Quantenchromodynamik (QCD) eine in sich konsistente Theorie der Quark-Gluon
Wechselwirkungen zu schaffen .. Das Standard-Modell der elektroschwachen Wechsel
wirkung und die QCD sind renormierbare Feldtheorien: Prozesse haherer Ordnung sind
nur schwach (logarithmisch) divergent und kannen durch die "Renormierung" phy
sikalischer GraBen, z.B. der Elementarladung oder der Masse des Elektrons, end
lich gemacht werden. Auf die Feynman-Diagramme haherer Ordnung wird in diesem
einfuhrenden Buch aber nur kurz eingegangen, da sie erheblich schwerer zu berechnen
sind als die Diagramme niedrigster Ordnung.
Die Eichinvarianz spielt in den neueren Theorien eine fundamentale Rolle und
wird deshalb in aller Ausfiihrlichkeit behandelt. Siimtliche Kopplungen der Fermionen
- Neutrinos, geladene Leptonen und Quarks - an die Feldquanten der drei Wechsel
wirkungen - die Photonen, W±- und ZO-Bosonen und die Gluonen - ergeben sich in
eindeutiger Weise aus der eichtheoretischen Formulierung der elektroschwachen und
der starken Wechselwirkung. Ein grundsiitzliches Problem besteht nun darin, daB die
Eichinvarianz nur fur masselose Felder wie z.B. das elektromagnetische Viererpotentiai
giiltig ist. Masselosigkeit der Feldquanten bedeutet unendliche Reichweite der Wech
selwirkung. Die sehr kurze Reichweite der schwachen Wechselwirkung und die damit
gekoppelte, ext rem hohe Masse der Feldquanten W± und ZO lassen sich zur Zeit nur
iiber den Higgs-Mechanismus mit dem Prinzip der Eichinvarianz in Einklang bringen.
Es wird dabei die Annahme gemacht, daB die Feldquanten a priori masselos sind,
daB ihnen jedoch durch die Wechselwirkung mit einem Hintergrundfeld eine (effektive)
Masse verliehen wird. Ein Vorgang dieser Art ist aus der Festkarperphysik bekannt,
es ist die exponentielle Abschirmung magnetischer Felder in Supraieitern. Auch dort
gibt es einen Higgs-Mechanismus. Die Higgs-Teilchen der Supraleitung sind die wohlbe
kannten Cooper-Paare, dicjenigen der Elementarteilchenphysik miissen noch entdeckt
werden, sofern sie iiberhaupt existieren.
Die kurze Reichweite der Kernkriifte hat ganz andere Ursachen. In der QCD
wird postuliert, daB die Gluonen masselos bleiben, aber nur an die Quarks ankop-
Vorwort VII
peln. Die Hadronen werden als neutral hinsichtlich der starken Ladung angesehen. Die
experiment ell meBbaren Kernkrafte entsprechen den kurzreichweitigen van-der-Waals
Kriiften zwischen elektrisch neutralen Molekiilen. Das Higgs-Problem enWillt hier also.
Dafiir taucht ein neues Phanomen auf: Trotz der im Prinzip unendlich groBen Reich
weite der Quark-Gluon-Krafte ist es bisher nie gelungen, freie Quarks zu beobachten.
In der QCD erklart man dies mit der zusatzlichen Annahme des Quark-"Confinement",
fiir das es plausible Argumente sowie auch Hinweise aus der Gitter-Eichtheorie, aber
keinen strikten Beweis gibt.
In diesem Buch wird der Versuch unternommen, die teilweise recht abstrakten
Konzepte der Teilchenphysik nicht nur in formaler Weise einzufiihren, sondern - so
weit moglich - durch Beispiele aus anderen Gebieten der Physik zu verdeutlichen.
Dies betrifft vor allem den Higgs-Mechanismus, der in der Supraleitung physikalisch
wesentlich besser verstanden ist. Ein anderes wichtiges Beispiel sind die lokalen Pha
sentransformationen, die die Grundlage der Eichtheorien sind. Der damit in Zusam
menhang stehende Aharonov-Bohm-Effekt und seine experimentelle Verifikation mit
Elektronenstrahlen werden ausfiihrlich diskutiert. Bei der Diskussion der Eiehtheorien
und des Higgs-Meehanismus folge ich teilweise Aitchison und Hey (1982) und Quigg
(1980, 1983).
1m Vergleich zur ersten Aufiage, die als Vorlesungsmitschrift in den Lecture Notes
in Physics erschienen ist, wurde das Bueh inhaltlich und stilistisch iiberarbeitet und
erganzt. Aufbau und die im Titel umrissene Zielsetzung sind beibehalten worden. Es
wird natiirlieh auf die vielen neuen Daten eingegangen, die prazise Tests des Standard
Modells ermoglichen. Ich habe aber bewuBt vermieden, samtliche Daten diskutieren
zu wollen, da dies den Umfang des Buches zu stark vergroBern wiirde. Aus demselben
Grund und aueh urn den eigentlichen Themenkreis des Buches beizubehalten, werden
wichtige Gebiete der Teilchenphysik wie die CP-Verletzung oder Neutrino-Oszillationen
ausgelassen. Die groBe Vereinheitlichung, die Supersymmetrie und andere, noeh nicht
experiment ell abgesicherte, theoretisehe Ansatze werden nur angedeutet. Eine wichtige
Neuerung sind die Ubungsaufgaben, die vielfach mit Losungshinweisen versehen sind.
Fiir eine ganze Reihe der Aufgaben sowie fiir zahlreiche Rechnungen im Buch existie
ren MathCAD-Programme, die auf Wunsch beim Autor erhaltlich sind.
leh danke Frau Prof. B. Naroska und den Herren Profs. und Dres. D. Haidt,
E. Lohrmann und P.M. Zerwas sehr herzlich fiir kritische und konstruktive Anmer
kungen zum Manuskript sowie zahlreiche wert volle Hinweise und Gesprache. Bei Frau
A. Beuch und Herrn D. Kahnert mOchte ich mich fiir ihre engagierte Mitarbeit beim
Schreiben des Manuskripts bedanken, bei Frau E. Dinges und Frau L. Chen fiir ihre
Sorgfalt beim Anfertigen der Zeiehnungen.
Hamburg, im August 1994 P. Schmiiser
Inhalt
1 Relativistische Wcllcngleichungen . . . . . . . 1
1.1 Vorbemerkungen ............ . 1
1.2 Betrachtungen zur Schrodingergleichung 1
1.3 Die Klein-Gordon-Gleichung. . . . . . . 3
1.4 Die Dirac-Gleichung .......... . 5
1.5 Nichtrelativistischer Grenzfall der Dirac-Gleichung 7
1.6 Dirac-Gleichung flir ein Elektron im elektromagnetischen Feld 9
1.7 Ubungsallfgaben ............ . 10
2 Relativistische Kovarianz der Dirac-Glcichllng 11
2.1 Viercrvektorcn, Lorcntz-Transformation 11
2.1.1 Vierervcktoren . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Lorentz-Transformation . . . . . 12
2.1.3 Drehllng des Koordinatensystems . 13
2.2 Die -y-Matrizen ........ . 13
2.3 Ebene Wellen, Dirac-Spinoren . 15
2.4 Kovarianz der Dirac-Gleichung 17
2.4.1 Pro blemstell ung .... 17
2.4.2 Transformation der Losllngen relativistischer Wellengleichungen. 19
2.4.3 Rotation urn die z-Achse ........... 21
2.4.4 Lorentz-Transformation liings der z-Achse . . 22
2.4.5 Eigenschaftcn der Transformations-Matrizen 22
2.4.6 Raumspiegelung und Zeitumkehr 23
2.5 Spin des Elektrons . . . . . . . . . . . 23
2.6 Skalare und vektorielle Bilinearformen 24
2.6.1 Skalar ............. . 25
2.6.2 Viererstromdichte ...... . 25
2.6.3 Pscudoskalar und Axialvektor . 26
2.7 Ubungsaufgaben ........... . 26
3 Interpretation der Losllngen negativer Energic 29
3.1 Sttickelberg-Feynman-Bild der Antitei1chen 29
3.2 Die Wcllenfunktioncn des Positrons. 32
3.3 Ubungsallfgaben .. . . . . . . . . . . . . . 33
X Inhalt
4 Feynman-Graphen 35
4.1 Greensche Funktion . 35
4.2 Elektron-Propagator . 36
4.2.1 Berechnung der Greenschen Funktion 37
4.2.2 Propagator und zeitliche Entwicklung 39
4.3 Matrixelement fur Elektronenstreuung 40
4.3.1 Matrixelement 1. Ordnung ..... . 41
4.3.2 Matrixelement 2. Ordnung ..... . 42
4.3.3 Anwendungsbeispiel: Streuung an einem Atomkern 43
4.4 Photon-Propagator ............... . 44
4.5 Feynman-Regeln ................ . 45
4.5.1 Konventionen zu Feynman-Diagrammen 46
4.5.2 Strom-Strom-Kopplung 47
4.5.3 Elementarprozesse 48
4.6 Ubungsaufgaben ...... . 50
5 Anwendung der Feynman-Graphen 51
5.1 Streuung nichtrelativistischer Elektronen an Kernen 51
5.2 Streuung relativistischer Elektronen an Kernen 54
5.2.1 Spin-Summationen .............. . 54
5.2.2 Satze tiber Spuren . . . . . . . . . . .... . 56
5.2.3 Wirkungsquerschnitt fur Elektron-Kern-Streuung . 56
5.3 Elektron-Fermion-Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3.1 Differentieller Wirkungsquerschnitt fur Zweikorperreaktionen 58
5.3.2 Wirkungsquerschnitt fur unpolarisierte Teilchen . 60
5.4 Myon-Paarerzeugung.................. 62
5.5 Elektron-Elektron- und Elektron-Positron-Streuung . 64
5.5.1 Elektron-Elektron-Streuung 64
5.5.2 Elektron-Positron-Streuung.......... 65
5.6 Teilchen-Antiteilchen-Symmetrie . . . . . . . . . . . 66
5.7 Compton-Streuung und Elektron-Positron-Vernichtung in 'Y-Quanten. 68
5.7.1 Compton-Streuung........ 68
5.7.2 Annihilation in zwei 'Y-Quanten . 71
5.8 Ubungsaufgaben ... 74
6 Schwache Wechselwirkungen 77
6.1 Fermi-Theorie, intermediare Bosonen . 77
6.2 Paritatsverletzung, (V-A)-Theorie .. 79
6.2.1 Eigenparitaten der Leptonen und Quarks 80
6.2.2 Helizitat und Chiralitat 80
6.3 Pion-Zerfall .................... . 84
6.4 Neutrino-Lepton-Reaktionen............. 88
6.5 Schwache Wechselwirkungen von Hadronen, Cabibbo-Winkel 93
6.6 Schwache neutrale Strome .... 94
6.7 Schwacher Isospin, Charm-Quark 97
6.8 Ubungsaufgaben ..... .... . 101
Inhalt XI
7 Lepton-Quark-Wechselwirkungen, Parton-Modell 105
7.1 Einftihrung . . . . . . . . . . . . . . 105
7.2 Elektron-Kern-Streuung, Formfaktor . . . 105
7.3 Nukleon-Formfaktoren.......... . 107
7.4 Inelastische Elektron-Nukleon-Streuung . 110
7.4.1 Inelastische Streuung als Mittel der Struktur-Analyse . 110
7.4.2 Kinematik und Wirkungsquerschnitt fUr inclastische Elektron-
Nuklcon-Streuung ..... 111
7.5 Skaleninvarianz und Parton-Modell . . . . . . 112
7.6 Quark-Parton-Modell.............. 117
7.7 Tief inelastische Neutrino-Nuklcon-Streuung . 119
7.7.1 Strukturfunktionen der Neutrino-Streuung . 120
7.7.2 Antiquark-Inhalt der Nukleonen .. 121
7.8 Elektron-Positron-Vernichtung in Hadronen 123
7.9 Lepton-Paarerzeugung in Hadron-StoBen . 124
7.10 Ubungsaufgaben ............... 125
8 Divergenz-Probleme in der schwachen Wcchselwirkung 127
8.1 Uberschreiten der Unitaritatsgrenze bei der Punkt- Wechselwirkung 127
8.2 Divergenzen im W-Boson-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.3 Kompensation der Divergenz durch ein neutrales Feldquant 131
9 Eichinvarianz als dynamisches Prinzip ...... 133
9.1 Eichinvarianz und Maxwellsche Gleichungen 133
9.2 Eichinvarianz in der Quantenmechanik . . . 135
9.3 Globale und lokale Phasentransformationen 136
9.4 Das Eichprinzip .............. . 139
9.5 Eichinvarianz und Masse der Feldquanten . 140
9.6 Polarisationsvektoren fUr Photonen ..... 142
9.7 Bedeutung der Potentiale in der Quantentheorie 143
9.8 Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . 144
10 Eichinvarianz bei massiven Vektor-Feldern . 145
10.1 Die Erzeugung einer Photon-Masse im Supraleiter 145
10.2 Die Higgs-Teilchen als Verallgemeinerung der Cooper-Paare . 149
10.2.1 Das Higgs-Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.3 Der Higgs-Mechanismus im Lagrange-Forrnalismus . . . . . . 153
10.3.1 Wechselwirkung zwischen Higgs-Feld und elektromagnetischem
Feld . . . 154
10.4 Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
11 Das Standard-Modell der elektroschwachen Wechselwirkung 159
11.1 Phaseninvarianz in der SU(2)-Symmetrie. . . . . . . . . 159
11.2 Schwacher Isospin, schwache Hyperladung . . . . . . . . 161
11.3 Lokale SU(2hx U(l)-Transformationen, Kopplungen der Fermionen . 163
11.4 Feynman-Regeln der elektroschwachen Wechselwirkung . . 167
11.5 Die Massen der W- und Z-Bosonen. . . 169
11.6 Die Massen der geladenen Fermionen . . . . . . . . . . . . 172
XII Inhalt
11.7 Selbstwechselwirkung der Eichbosonen .174
11.8 Eigenschaften der W- und Z-Bosonen .176
11.8.1 Berechnung der Zerfallsraten . · 176
11.8.2 Erzeugung der ZO-Bosonen in der e-e+-Annihilation · 180
11.9 Experimentelle Verifikation des Standard9Modells . · 182
11.9.1 Zahl der Neutrino-Familien ...... . · 182
11.9.2 Lepton-Universalitiit, Mischungswinkcl . · 185
11.9.3 Eingrenzung der Top-Quark-Masse · 186
11.10 Ubungsaufgaben . . · 187
12 Quanten-Chromodynamik · 189
12.1 Historische Entwicklung der QCD . · 189
12.2 SU(3)-Symmetrie und Quarkmodell . · 190
12.2.1 Antiquarks ......... . · 192
12.2.2 Quark-Antiquark-Zustande: Mcsonen . · 193
12.2.3 Drei-Quark-Zustiinde: Baryonen .. . · 195
12.3 Farbladungen ................. . · 195
12.3.1 Die Farbe als innere Quantenzahl der Quarks · 195
12.3.2 Experimentelle Evidenz fUr die drei Farben · 197
12.3.3 Farbladungen der Gluonen ... . · 198
12.4 Lokale SU(3)c -Invarianz, Gluon-Felder ..... . · 199
12.4.1 Lokale SU(3)c -'I'ransformationen ..... . · 199
12.4.2 Kopplungen zwischen Quarks und Gluonen .202
12.4.3 Singulett-Gluon und Reichweite der starken Kriifte . .204
12.5 Stabilitat der qq- und qqq-Systeme . . . . .205
12.6 Asymptotische Freiheit und Confinement ......... . .209
12.6.1 EinfUhrung effektiver Ladungen .......... . .209
12.6.2 Renormierung und Q2-Abhiingigkeit der Kopplung .211
12.6.3 Confinement ................. . · 213
12.7 Experimentelle Ergebnisse zur QCD ........ . .214
12.7.1 Entdeckung und Eigenschaften der Gluonen . .214
12.7.2 Verletzung der Skaleninvarianz .216
12.7.3 Bestimmung von Os .217
12.8 Ausblick ..... .220
12.9 Ubungsaufgaben ..... . .222
A Lagrange-Funktion fUr ein Teilchen im elektromagnetischen Feld .223
B Lagrange-Formalismus in der Quantenfeldtheorie .227
C Polarisationsvektoren fur Spin-l-Teilchen .231
D Propagatoren der W- und Z-Bosonen .233
Literatur .235
Index .. .237