Festschrift David Hilbert zu Seinem Sechzigsten Geburtstag am 23. Januar 1922

566 Pages·1922·19.91 MB·German

by  O. Blumenthal

O. Blumenthal · R. Courant · G. Hamel
E. Hecke · A. Schoenfl ies
Festschrift David
Hilbert zu seinem
sechzigsten
Geburtstag
FESTSCHRIFT
D AVI D
HILBERT
ZU SEINEM SECHZIGSTEN GEBURTSTAG
AM 23. JANUAR 1922
GEWIDMET
VON
SCHÜLERN UND FREUNDEN
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
1922
ISBN 978-3-642-52551-3 ISBN 978-3-642-52605-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-52605-3
UNSEREM LIEBEN UND VEREHRTEN
DAVID HILBERT
bringen wir Schüler und Freunde unsere innigsten Glückwünsche zum
Eechzigsten Geburtstag. In allen Teilen der Welt erkennen die Jünger der
exakten Wissenschaften in Ihnen einen der Meister, auf die die Mathe
matik, auf die die Wissenschaft stolz ist. Wir, die als Studenten uns an
Ihren Vorlesungen begeistert, die als Dozenten der gleichen Universität
Ihren belebenden Einfluß gespürt, die als Mitstrebende auf gleichen Straßen
der Wissenschaft Ihren sicheren und unermüdeten Schritt bewundert haben,
wir vereinigen uns heute, um Ihnen unsere Achtung, unsere Liebe und unsere
Dankbarkeit zu bezeugen. Wir kommen aus allen Teilen der Welt und
sprechen die gleiche Sprache. Im Gefühl der Verehrung vor der wissenschaft
lichen Größe einen sich die Nationalitäten. Es ist kein Ehrentribut, den wir
dem Alter zollen. Sie sind jung gleich den jüngsten von uns, und die Wissen
schaft fordert noch viel von Ihnen. Wir wollen an Ihrem Lebensweg eine
Aussichtsbank aufstellen, von der umschauend Sie erkennen mögen, wie die
Fluren sich regen, die Sie urbar gemacht, und wie die Bebauer IhrWerk loben.
Nehmen Sie als Zeichen unserer Anhänglichkeit die Andenken, die wir Ihnen
zum heutigen Tage überreichen, nehmen Sie sie als sinnliches Bild all des
Outen, das wir Ihnen in Leben und Arbeit für die Zukunft wünschen.
IM NAMEN D EH :-4 <.~ H TTL ER UND FREUNDE
( l. HL UMENTHA L R. COURANT G. HAMEL
E. HECKE A. SCHOENFLIES
Inhaltsverzeichnis.
Widmung Seite
Hensel, K., über die Normenreste und Nichtreste in den allgemeinsten relativ
Ahelsehen Zahlkörpern • . . • . . . . . . . • . . . • . . . . • • .
Fueter, R., Kummers Kriterium zum letzten Theorem von Fermat. • • . . . 11
Fujiwara, M., Zahlengeometrische Untersuchung über die extremen Formen für
die indefiniten quadratischen Formen . . . . . . . . • • . • . . . • • 21
Noether, E., Ein algebraischeR Kriterium für absolute Irreduzibilität. . . . . 26
FurtwängleF, Ph., Über Kritl'rien für irreduzible und für primitive Gleichungen
und über die Aufstellung affektfreier Gleichungen . . . . • . . 34
F ej er, L., über die Lage der Nullstellen von Po'ynomen, die 1tus Minimum-
forderungen gewisser Art entspringen . . • . . • • . . . • . . . . . . 41
K em p ne r, A. J., Über die Separation komplexer Wurzeln algebraischer Gleichungen 49
Schoenflies, A., Bemerkung zur Axiomatik der Größen und Mengen • . . • 60
Sommer, J., Über die Bezeichnung "Grad einer Differentialgleichung" und Be-
merkungen zu der Randwertaufgabe einer gewöhnlichen Differentialgleichung
zweiter Ordnung . • . • . . • . . . . • . . . . . • . . . . 65
Hedrick, E. R., und Westfall, W. D. A., The Existence Domain of Implicit
Functions . . . • . . . . . • . . . . . • . . • • • • . . . . . • . 74
Caratheodory, C., über die kanonischen Veränderlichen in der Variations-
rechnung der mehrfachen Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . 78
H i I b, E., Zur Theorie der linearen Differenzengleichungen • . . . . . . • 89
Szasz, 0., Über Singularitäten von Potenzreihen und Dirichletschen Reihen am
Rande des Konvergenzbereiches . . • . . . . • . . . • . . • 99
Ne der, L., Über einen Lückensatz für Dirichletsche Reihen . . . . . 111
Bohr, H., über eine quasi-periodische Eigenschaft Dirichletscher Reihen mit An-
wendung auf die Dirichletschen L-Funktionen . . . . . . . 115
Siegel, 0., Neuer Beweis für die Funktionalgleichung der Dedekindschen Z~ta-
funktion . . . • . . . . . . . . . . . • • . . • . . • , . • . . • ./ . 123
Hamburger, H., über einige Beziehungen, die mit der Funktionalgleichung der
Riemannschen C-Funktion äquivalent sind . . . • . . . . . . • . . . . 129
Bieberbach, L., Über die Verteilung der Null- und Einsstellen analytischer
Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . • • . . . . . . . . • . 141
Neumann, E. R., über die geometrische Veranschaulichung einer Riemannschen
Formel aus dem Gebiete der elliptischen Funktionen . • . . . . • . . . 149
Bernstein, F., Ein Kriterium für den positiv definiten Charakter von Fourier-
integralen und die Darstellung solcher als Summe von Quadraten 155
Blumenthal, 0., Über rationale Polynome mit einer Minimumseigenschaft 160
Liebmann, H., Die Bewegungen der hyperbolischen Ebene • . . . . . . 172
Mohrmann, H., Hilbartsehe und Beltramische Liniensysteme. Ein Beitrag zur
Nicht-Desarguesschen Geometrie . . . . . • . . • • . . . . • . . 177
Inhaltsverzeichnis.
Seite
Dehn, M., über die Grundlagen der projektiven Geometrie und allgemeine Zahl-
systeme . • . . . . . . • . . • . . . . . . . • . . . 184
Enriq ues, F., 11 principio di degenerazione e la geometria sopra le curve alge-
briche ..· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Schilling, F., Eine ucue kinematische Ebenenführung ............ 200
Wilczynski, E. J., Charakteristische Eigenschaften der isutherm·konjugierten
Kurvennetze . . . . . . . . . . . . . • . • . . . . . . . 208
F u b ini, G., Geometria proiettivo-differenziale di una superficie V~ ne!lo spazio
8 a quattro dimensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
4
Runge, C., über d,e Gravitation ruhender Massen ...........• 222
Kasner, E., The solar gravitational field completely determined by its light rays 227
Be rn s tc in, S., Sur le theoreme limite du calcul des probabilites . . • . . . 237
Bernays, P., Zur mathematischen Grundlegung der kinetischen Gastheorie .. 242
Levi-Civit a, T., Risoluzione dell' equazione funzionale ehe caratterizza le onde
periodiche in un canale molto profondo . . • . • • . . . 256
Courant, R., Über die Lösungen der Differeutialgleichungen der Physik.
I. Mitteilung. • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . 280
Hamel, G., über erzwung• ne Schwingungen bei endlichen Amplituden 326
Kellogg, 0. D., On the existence and closure of sets of characteristic functions. 339
Hellinger, E., Zur Stieltjesschen Kettenbruchtheorie ...........• 343
Moore, E. H., On Power Series in General Analysis . . . . . . . . . . . . . 355
:ij:ardy, G. H., and Littlewood, J. E., Sameproblems of 'Partitio Numerorum':
IV. The singular series in Waring's Problem and the value of the
number G (k) • . • . . . . • • • • • • • • . • • . . • • . . . • • . 365
·roeplitz, 0., über das Wachstum der Potenzreihen in ihrem K01wergenzkreise. I. 393
Lichtenstein, L., Untersuchungen über die Gestalt der Himmelskörper. Zweite
Abhandlung. Eine aus zwei getrennten Massen bestehende Gleichgewichts
figur rotierender Flüssigkeit • • • . . . . . . . • . . . . . . . . . • 405
Landau, E., Zum Waringschen Problem ..•.....•....•.••• 423
K oe be, P., Fundamentalabbildung und Potentialbestimmung gegebener Riemann-
scher Flächen . . . . . . • . . . . • . . . . . . . . . . . 452
Herglotz, G., über einen Dirichletschen Satz • • • • • . . . . • • . 459
Blaschke, W., über affine Geometrie. XXXIII: Affinminimalflächen. 466
Hecke, E., über die Integralgleichung der kinetischen Gastheorie 4 78
Schur, 1., Ein Beitrag znr Hilbertschen Theorie der vollstetigen quadratischen
l<'ormen . • • . . . . . . . • • . . • . • . • • • • • . . • • . . • 491
Weyl, H., Zur Infinitesimalgeometrie: pdimensionale Fläche im ndimensionalen
Raum .•...••......•......••.•..•..•. 502
Schm idt, E., Über die Darstellung der Lehre vom Inhalt in der Integralrechnung 509
Ostrowski, A., Notiz über einen Satz der Galois~chen Theorie • • 528
Born, M., Über elektrostatiscll.e Gitterpotentiale . . . . . • . . . 534
Sommerfeld, A., Quantentheoretische Umdeutung der Voigtschen Theorie des
anomalen Zeeman-Effektes vom D-Linien-Typus • . . . . . 551
Über die Normenreste und Nichtreste in den allgemeinsten
relativ-Ahelsehen Zahlkörpern.
Von
Kurt Hensel in MaTburg.
Eine wichtige Frage der höheren Zahlentheorie ist die nach den
Normenresten und Nichtresten eines Relativkörpers K ( x) zu einem be
liebig gegebenen algebraischen Körper K.
In seinem Zahlberichte hat Hilbert diesen Begriff nur in den beiden
einfachsten Fällen aufgestellt, daß der Relativkörper entweder ein qua
dratischer oder der sogenannte Kummersehe Zahlkörper ist. Im ersten
Falle hat er dort die Frage nach den Normenresten und Nichtresten voll
ständig, im zweiten nach ihrem wesentlichen Teile entschieden, aber auch diese
ganz speziellen Aufgaben erforderten dort zu ihrer Lösung mit den Hilfs
mitteln der Dedekindschen Idealtheorie recht schwierige und tiefliegende
Untersuchungen.
In dieser und einer späteren sich an diese anschließenden Arbeit
will ich den Begriff der Normenreste und Nichtreste in dem ganz allge
meinen Falle definieren, daß der Relativkörper K ( x) irgendein Abelscher
Körper über einem ganz beliebigen algebraischen Körper K ist, und die
Frage nach diesen Resten und Nichtresten in vollem Umfange lösen.
§ 1.
Das Normenrestproblem.
Gegeben sei ein beliebiger algebraischer Körper K und in ihm irgend
eine reine Gleichung vom Primzahlgrade l :
( 1) x1= A,
deren rechte Seite nur keine l-te Potenz ist. Ist x eine Wurzel derselben,
so wird durch sie ein auflösbarer Körper K ( x) über K definiert. Der
selbe ist dann und nur dann relativ-Abelsch in bezug auf K, wenn K
die l-ten Einheitswurzeln enthält. Diese Voraussetzung werde im folgenden
1
2 K. Hensel.
als er:füllt angenommen. Alle relativ-Ahelsehen Körper über K können
auf eine Kette solcher einfachen Erweiterungskörper zurückgeführt werden.
Deshalb können und sollen nur diese im folgenden untersucht werden.
Es sei nun ~ ein Primteiler des gegebenen Körpers K, welcher zu
der reellen Primzahl ~ gehöre, e und f seien Ordnung und Grad von ~,
und n sei irgendeine Primzahl für den Bereich von ~1, d. h. eine genau
durch ~ teilbare Zahl von K. K ist ein Teilkörper des algebraischen
Körpers K ( ~) aller n-adischen Zahlen, dessen Elemente nach ganzen
Potenzen von :n; fortschreiten. Jede Zahl von K gehört auch zu K (~ ),
und umgekehrt ist jede Zahl von K ( ~) der Grenzwert einer Reihe von
Zahlen aus K.
Ferner sei ~ einer der Primteiler von ~ im Relativkörper K ( x); e0
und { mögen Relativordnung und Relativgrad von l,ß in bezug auf K
0
bedeuten, und n sei irgendeine Primzahl für den Bereich von ~- End
0
lich sei K ( ~' x) der algebraische Körper aller n0-adischen Zahlen, zu dem
K ( x) in derselben Beziehung steht, wie K zu K ( ~).
Eine Zahl B von K oder K ( ~) soll dann eine Normzahl oder
em Normenrest nach ~ des Körpers K ( x) heißen, wenn
(2) B=n(B0) (~)
gleich der Relativnorm einer Zahl B des Körpers K ( 1,ß, x) ist. Ist
0
diese Gleichung nicht erfüllt, so ist B keine Normzahl oder em
Normennichtrest nach ~ jenes Relativkörpers.
Diese von mir neu eingeführte Definition der Normenreste und Nicht
reste stimmt im Falle des quadratischen und des Kummersehen Zahl
körpers vollständig mit der von Hilbert gegebenen überein.
Es soll nun entschieden werden, welche Zahlen des Grundkörpers
K (~) Normenreste, welche Nichtreste sind. Zunächst ist klar, daß jede
l-te Potenz a1 = n ( a) einer beliebigen n-adischen Zahl des Bereiches K (~)
eine Normzahl ist. Ferner ist das· Produkt und der Quotient zweier
Normzahlen wieder eine solche, da ja aus B = n (B0), 0 = n ( 00) sofort
g
(go)
B 0 = n ( B0 0 0), = n folgt. Ebenso leicht ergibt sich, daß das
0
Produkt oder der Quotient einer Normzahl und einer Nichtnormzahl
stets eine Nichtnormzahl ist.
Für die Zerlegung eines beliebigen Primteilers lJ von K im Relativ
körper K ( x) bestehen nun allein folgende drei Möglichkeiten 1):
1) Vgl. meine Abhandlung "Die Zerlegung der Primteiler eines beliebigen Zahl
körpers in einem auflösbaren Oberkörper", Crelles Journal 151, S. 200~209. Ich werde
diese Arbeit durch Cr. 151 zitieren.
Normenreste im relativ-Ahelsehen Körper. 3
1. Ist A = A~ ( ,\J) l-ter Potenzrest in K, so zerfällt ,\J =, \,ß1 \,ß2 ••. \,ß1
in l voneinander verschiedene Primfaktoren in K ( x), deren Relativ
ordnungen e und Relativgrade ( alle gleich 1 sind. Die Relativdiskriminante
0 0
D von K ( x) in bezug auf K ist nicht durch ,\J teilbar.
2. Ist die Relativdiskriminante D durch ,p t~ilbar, so ist ,p = ~l die
l-te Potenz eines Primteilers, für welchen e0 = l, {0 = 1 ist.
:3. Ist weder A l-ter Potenzrest noch tJ ein Teiler der Relativdiskri
minante, so bleibt ,\J ~-c l,ß in K ( x) unzerlegbar, und hier ist e0 = 1, {0 = l.
Man kann nun im ersten Falle lJ ,= l_ß1 \ß2 .•• \,ß1 sofort zeigen, daß
jede Zahl B von K Normzahl ist. Ist nämlich \ß irgendeiner jener
l Primfaktoren von ,p, so lehrt die allgemeine Theorie, daß man für den
Bereich von \ß stets eine Zahl B so bestimmen kann, daß ihre l Kon
0
jugierten völlig beliebige Werte annehmen. Wählt man also B so, daß
0
ihre l Konjugierten der Reihe nach B, 1, ... , 1 sind, so ist in der Tat
B = n (B0), und unsere Behauptung ist bewiesen.
Im zweiten und dritten Falle, welche hiernach nur noch allein zu
betrachten sind, läßt sich das jetzt abzuleitende einfache und schöne Re
sultat auf die multiplikative eindeutige Darstellung gründen, welche, wie
ich bewiesen habe 2), für alle Zahlen eines beliebigen algebraischen Zahl
körpers gilt. Für die Körper K (l J) und K (l_ß, x) kann jene eindeutige
Darsteilbarkeit in dem folgenden Satze ausgesprochen werden:
Jede Zahl B des n-adischen Körpers K(,\J) läßt sich eindeutig
in der folgenden Form darstellen:
(3) ( ,\J).
Hier bedeutet (~1' ~2, ••• , ~,.) ein sogenanntes Fundamental
system von endlieh vielen Elementen von K ( ~), welches auf mannig-
A) fache Art ausgewählt werden kann, und die Exponenten e e e,.
1, 2, ••• ,
sind gewisse ganze rationale oder ganze p-adische Zahlen, welche
jedesmal durch die darzustellende Zahl B eindeutig bestimmt sind.
Ganz ebenso gilt für jede Zahl B des n -adischen Körpers
0 0
K (\ß, x) eme eindeutige multiplikative Darstellung
10)
e ej O) e (O)
( 3a) B o-- ~.1_ (Q\.<t ; "2( 0) • • • ~r(00 ) ro (\ß) '
wo die Elemente ~io) und die Exponenten e~o) genau die entsprechende
Bedeutung haben.
2) K. Hensel, Die multiplikative Darstellung der algebraischen Zahlen für den
Bereich eines beliebigen Primteilers, Cre'les Journal H6, S. 189-215. Ich werde
diese Abhandlung durch "Cr. 146" zitieren.
1*
4 K. Hensel.
Man kann nun, wie ich im folgenden zeigen werde, das System
( ~1, ••• , ~r-t, ~r) von vornherein so ausgewählt voraussetzen, daß alle und
nur die Normzahlen B = n ( B0) von K ( 1J) in der Form:
B- = n ( B 0 ) = '>1: 1< 1 ~·-~C o ••• '1>: er-r1- 1 a l
enthalten sind, wenn die ei dieselbe Bedeutung haben, wie die ei, und l/
eine beliebige l-te Potenz in K (1:1) bedeutet. Ist dieser Satz einmal be
wiesen, so folgt aus ihm unmittelbar das Fundamentaltheorem:
Eine Zahl B = ~;1 ••• ;::..-;• ~:,. ist dann und nur dann eine Norm
zahl, wenn ihr letzter Exponent er= li!r ein Multiplum von l ist.
Ist dies nämlich der Fall, so ist ja
B -(.1:"' ~:er-_')(·c<r)l
- "'1 • • • <>r-J· Sr
nach dem obigen Satze eine · N ormzahl.
Soll umgekehrt B = n(B0) sein, so muß nach demselben Satz:
B - 1:'1 1:er-1 cer_ 1:e1 ~:<r-t z
- '>1 • • • <>r-1 '>r.- '>1 · • • '>r-1 Cl '
also
eine l-te Potenz sein, und dies ist wegen der eindeutigen Darstellbarkeit
von al durch das Fundamentalsystem (~1' ... , ~1_1, ~r) nur dann der Fall,
wenn jeder der r Exponenten links, wenn also speziell der letzte Expo
nent er= l er ein Vielfaches von l ist.·
·Hiernach ist also nur der obige Satz allgemein zu beweisen. Ich
kann und werde ihn durch das folgende Theorem ersetzen, welches nur
ein anderer Ausdruck desselben ist:
Die beiden Fundamentalsysteme ( ~P ••• , ~,._1, ~r) und (~1(0\ . ; • , ~~?))
für die Körper K(1J) und K(\.l3,x) können stets so gewählt werden,
daß:
(B) 1. die r - 1 ersten Elemente ~1 ... ~,._ 1 sämtlich Normzahlen sind,
2. daß die Norm eines jeden Elementes ~j0J des zweiten Systems in
c,
der Form ~;1 ~;:...;' 1 enthalten ist.
•••
In der Tat folgt ja aus der ersten Tatsache, daß alle Produkte
~{1 ;;:_~· u Normzahlen sind, und aus der zweiten, daß umgekehrt die
•••
Norm eines jeden Elementes von K (l.lS, x) in dieser Form enthalten ist.
Im folgenden ist also nur noch der Satz ( B) über die Beziehung
von zwei geeignet ausgewählten Fundamentalsystemen ( $1, ••• , $,.) und
( 'c>(1o ) , .• , '>~:ro<0 1·) zu b ewe1· sen.