Table Of ContentFESTKORPERPROBLEME
BAND IV
FestkOrperprobleme
BAND IV
zugleich Halbleiterprobleme Band X
in Referaten des Halbleiterausschusses
des Verbandes Deutscher Physikalischer Gesellschaften
Miinchen 1964
Herausgegeben yon
Prof. Dr. Fritz Sauter, K01n
Mit 156 Abbildungen
F R I E D R . V I E W E G & SOHN • B R A U N S C H W E I G 1965
AHeRcchtevorbehaltgn
~.~ 1965 by Friedr. Vieweg & Sohn,Braunschweig
Satz und Druck: D. R. P., Warszawa, Polnischer Verla8 derWi~senschaften
Vorwort
Der vorliegende Band der yon Herrn Schottky begriindeten Reihe ,,Halb-
leiterprobleme", dieyore VII.Band an unter demTitel ,,Festk6rperprobleme"
weitergef~ihrt wird, enth/ilt die zusammenfassenden Vortr/ige, welche auf
einer gemeinsamen Tagung des Regionalverbandes Bayern der Deutschen
Physikalischen Gesellschaft, ihres Fachausschusses Halbleiter und ihrer
Arbeitsgemeinschaft Metallphysik im April 1964 in Mtinchen gehalten
wurden. Dartiber hinausgettend wurdein diesenBand eine zusammenfassende
Darstellung yon Herrn H. J. Vink tiber die Rolle der Chemie bei der
Untersuchung yon Festk/Srpern aufgenommen.
Auch diesmal wurde bei der Auswahl der zusammenfassenden Vortr/ige
ftir die Mtinchener Tagung besonders darauf geachtet, dab nicht nur zu-
sammenfassende Referate aus dem eigentlichen Problem der Halbleiterphysik
gehalten wurden. Vielmehr wurde besonderer Wert daraufgelegt, dab auch
andere Probleme der Festk/Srperphysik, die auch fiir die speziellen
Halbleiter-Physiker irgendwie yon Interessesein k/Snnten,zur Sprache kamen.
Dies gilt im besonderen yon den Vortr/igen tiber die Glasstruktur, tiber
die Laser-Physik, fiber Ferroelektrizit~it und tiber Strahlertsch/iden in Fest-
k/Srpern. Es erscheint dem Herausgeber bei dem tteutigen Stand der For-
schung eben unerl/iBlich, dab jeder, der sich intensiv mit einem speziellen
Problemkreis der Festk/Srperphysik bescMiftigt, auch tiber die Probleme
auf Nachbargebieten einigermaBen orientiert ist und dadurcb_ in die Lage
versetzt wird, gegebenenfalls auch yon diesen Nachbargebieten her Anre-
gungen Ftir die eigenen Forschungsarbeiten zu gewinnen.
KNn, im M/irz 1965
F. Sauter
Inhaltsverzeichnis
Seite
tI. Haken, Der heutige Stand der Theorie des Halbleiterlasers .... 1
W. Heywang und G. Winstel, Injektionslaser, Aufbau und physikali-
sehe Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
N. Riehl, Organisehe und protonisehe Halbleiter . . . . . . . . . . . . . 45
H.C. Wolf, Lumineszenz und Energieleitung in organischen MolekiJl-
kristaIlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
W. Ruppel, Photospannungen in Isolatoren . . . . . . . . . . . . . . . 85
W.J. Merz, Ferroelektrizit~it: 1]berblick und neuere Entwicklungen . 101
E. Deeg, Zusammenhang zwischen Glasstruktur und physikalischen
Glaseigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
K. Hiibner, ,,Transmitted Phonon-Drag" . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
A. Seeger, Strahlensch~idigung yon Metallen und Halbleitern . . . . . 183
A. Scharmann, Strahlenbeeinflussungyon Leuchtstoffen . . . . . . . . . 187
tt. J. Vink, Die Rolle der Chemie bei tier Untersuchung yon Fest-
kOrpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
InhaltsiJbersicht Halbleiterprobleme Band Ibis VI und Festk~rper-
probleme Band I his III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
H, HAKEN*)
Der heutige Stand der Theorie des Halbleiterlasers
Mit 7 Abbildungen
Summary
Thefirstpartofthepresentreportdealswithgeneral aspects oflasertheory.Afteradiscussion
of the laser conditionthe modes in a Perot-Fabry-Etalon arediscussedbriefly.We then
giveanaccount ofrateequationsandoftheexactequationsofmotionwithashortdiscussion
of possiblefrequencyshifts.We touch the question ofcoherence in space and time and
that oflasernoise.Ashort descriptionofthe Q-switch closesthischapter.
In thesecondpart ofthisreport we dealwiththe specifictopic ofa semiconductor laser
whereespeciallybandtobandaswellas bandtoimpuritytransitionsareconsidered.Onthe
basis ofrateequationswediscussthelaserconditionandthetemperatureshiftofthesponta-
neousemission,the inducedemission, and thethresholdcurrent.
Finally itis indicatedhowonecan treatlaseractioninasemiconductoralsobyapplication
of the equations of motion of the fieldamplitude.
1. Einleitung
Ende 1962 konnte das Laserprinzip, das 1958 yon Schawlowund Townes [1]
entwickelt worden ist und 1960 erstmals am Rubin [2] demonstriert wurde,
auch am Halbleiter [3] verwirklicht werden. Bei dem Laser handelt es sich
urn die Verstarkung oder vor aUem urn die Erzeugung yon Licht dutch in-
duzierteEmission. Dieses so erzeugte Licht hat u.a. die Eigenschaften einer
sehr starken ra,lmtichen und zeitlichen Koh~irenz, einer engen Biindelung
and einer hohen Intensit~it.
In dem vorliegenden Artikelsollen im ersten Teil die allgemeinen Prinzipien
des Lasersundzumindest teilweise diedazunotwendigen theoretisch-physikali-
schen Methodener6rtert werden. Dies geschieht zum einen als Vorbereitung
flit den dann folgenden speziellen Teil tiber den Halbleiterlaser, dana aber
auch, weil wit glauben, dab tier Laser besonders fiir Anwendtmgen in der
Festk6rperphysik geeignet ist und deshalb in der vorliegenden Buchserie ein
derartiger Artikel yon Nu~en sein k6nnte. Bei der Niederlegung des zweiten
Kapitels war mir eine Manuskript-Ausarbeitung yon Herrn Dr. Petit eine
groBe HiRe, dem hierfiir an dieser Stetle gedankt sei.
I. Allgemeine Betrachtungen zum Laser
2. ~bersicht
Da das Laserpfinzip (Laser = ,,Light Amplification by Stimulated Emission
of Radiation") aus dem Maserprinzip [4] (Maser=- ,,MicrowaveAmplifica-
*)Institut f'tirTheorefische und Angewandte Physik,TechnischeHochschule, Stuttgart.
2 H. Haken
tion by Stimulated Emission of Radiation") entstanden ist, betrachten wir
zunfichst die Verh/iltnisse beim Maser. Dieser besteht im wesentlichen aus
einem Hohlraumresonator, in dem sich stehende elektromagnetische Wellen
(,,modes") ausbilden kSnnen und dem sogenannten aktiven Material. Dieses
ist aus Atomen oder Molekiilen zusammengesetzt, zwischen deren Energie-
niveaus optische lJberggnge stattfinden k/Snnen.Fiirunsere Zwecke geniigt es,
zun~tchst nut zwei optisch aktive Niveaus anzunehmen. Sind im Anfangs-
zustand alle oberen Niveaus mit Elektronen besetzt,so werden die Elektronen
zunachst spontan, spater dann auch induziert in den Grundzustand iiber-
gehen.Es kommt dann zu einer standigen und zwarkohS.renten Ausstrahlung,
wenn
I. die urspriinglich vorhandene ~berbesetzung des angeregten Niveaus durch
einen PumpprozeB immer wieder hergestellt wird und
2. die Zahl der pro Sekunde erzeugten Lichtquanten gr/513er ist als die Zahl
der pro Sekunde etwa durch Abstrahlung verlorengehenden Lichtquanten.
Dies fiihrt bei der quantitativen Fassung zur Maserbedingung, die wir weiter
unten gleich fiir den Laser diskutieren wollen. Will man nun dieses Maser-
prinzip, das z.B. beim Ammoniakmaser [4] verifiziert wurde, auf kleinere
Wellenl/ingen iibertragen, so entsteht hier die charakteristische Schwierigkeit,
dab die LichtweUenl/ingen viel kleiner als die Dimensionen des Hohlraum-
resonators sind. Dies hat zur Folge, dab die m6glichen Eigenschwingungen
in ihren Frequenzen sehr dicht beieinander liegen, so dab innerhalb der
Emissionslinienbreite bei den oben betrachteten optischen l~berg~ingen sehr
viele Eigenschwingungen liegen kSnnen. Dies steht ganz im Gegensatz zum
Maser, beidem innerhalb einersolchen Linienbreite nur eine oder sehrwenige
Eigenschwingungen liegen und deshalb auch nur diese angeregt werden
k~Snnen. Man muB daher noch zus~ttzlich Mal3nahmen treffen, um diese
Eigenschwingungen weiter zu selektieren. Dies kann nach Schawlow und
Townes [1] dadurch geschehen, dab von dem Hohlraumresonator nur zwei
sieh parallel gegentiberliegende W/inde beibehalten und die anderen Seiten-
wande weggenommen werden. Dadurch wird zweierlei bewirkt:
1. nur noch diejenigen Lichtwellen, die in a~aler Richtung, d.h. senkrecht
zu den Platten verlaufen, bleiben gentigend lange im ,,Hohlraumresonator",
um verst~irkt werden zu k6nnen;
2. es interferieren sich alle Wellen weg mit Ausnahme derjenigen, bei denen
ein ganzzahliges Vielfaches der halben Wellenl/inge mit dem Spiegelabstand
iibereinstimmt.
Damit erhalten wit ein diskretes Spektrum yon solchen Eigenschwingungen,
die am Laserprozel3 effektiv teilnehmen kSnnen. Wit werden welter unten
noch auf einige Einzelheiten der Eigenschwingungen einer solchen Perot-
Fabry-Anordnung eingehen und betraehten nun kurz die Laserbedingung
selbst.
Hierzu bestimmen wir die Zahl der pro Sekunde fiir eine bestimmte Eigen-
schwingung geschaffenen Photonen. Istdie Strahlungslebensdauer eines Atoms
Sekunden, so ist die pro Sekunde ausgestrahlte Zahl der Photonen insgesamt
1/3. Da uns aber lediglich eine bestimmte Welle interessiert, miissen wir
noch durch die Zahl aller mSglichen vom Atom aussendbaren Eigenschwin-
gungen dividieren. Nach der bekannten Formelgibt es innerhalb einer Linien-
breite zl~,
Der heutige Stand derTheorie des Halbleiterlasers 3
V 8s~
e(~)~'l~ -- -c:~--~l~ O.l)
Schwingungen (V = Volumen).
Die Zahl
1
--~o-(~7)~:~-v (1.2)
gibt also an, wieviel Photonen pro Sekunde yon dem Atom spontan in eine
bestimmte Eigenschwingung hinein emittiert werden. Da wir jedoch die Zahl
der dutch induzierte Emission geschaffenen Photonen bereehnen wollen,
miissen wir nach Einstehz mitder Zahl der vorhandenen Photonen n multi-
plizieren :
(an)dr_ i,d,zicr, --~n(To(v)A,,)-L (1.3)
Sind nun imgesttmtenVolumenN~ Atome angeregt und N1Atome im Grund-
zustand, soergibt sich als Zahl derdurch induzierte Emission in eine bestimmte
Eigenschwingung emittierten Photonen
( d_~.) ~_ (N.,__Na)(.co(,,)A.v)_b," (1.4)
dt
/induziert " *
Damit der LaserprozeB stattfinden kann, muB diese Zahl der induziert er-
zeugten Lichtquanten mindestens ebenso grof3 sein wie die Zaht der pro
/ dn \
Sekunde verlorengehenden Lichtquanten" 1'l ~= /
mit ergebenden Ungleichung --t- \-fl-t-]Verlust"Arts der sich da-
hebt sich die Zahl der Photonen heraus, sodal3 wir endgfiltig als Laserbedia-
gung erhalten:
(N~-NOc'~ 1
> --= 2z. (1.6)
TI."8~"A~, t
Damit der Laserprozel3 stattfinden kann, mu/3 die Lebensdauer t einer Eigen-
schwingung hinreichend gro[3 sein. Dieser Lebensdauer sind aber einmal
dutch die Beugung, dann aber besonders auch dutch das endliche Reflexions-
verm6gen der Spiegel Grenzengesetzt. AuBerdem istes gi.instig, um optimale
Lichterzeugung zu bekommen, dieses Reflexionsverm6gen =~=1 zu wahlen.
Man mul3daherversuchen, die linke Seite der obigen Ungleichung mSglichst
groB zu machen. Das kann entweder durch eine geniigend hohe Inversion
N,--N~, also durch ein geniJgend starkes Pumpen, erfolgen oder abet dutch
Auswahl yon MaterJalien, die eine geni.igend kleine Linienbreite fiJr den
optischen Ubergang besitzen.
Hierfiir wurden zunachst diskrete atomare ~rberg~inge herangezogen, wie
z.B. der Obergang am Chromst6ratom im Rubin oder die Obergange an
seltenen Erden, die als StSratome in Wirtskristallen, z.B. dem Calciumfluorid
oder dem Calciurnwolframat eingebaut werden. Ebenso bekommt man der-
artige scharfe Linien z.B. an Gasatomen. Von diesem Standpu.nkt ist es
eigentlich fiberraschend, dab man auch bei Band-zu Band-Uberg~.ngen
4 H.Haken
oder StSrstellen-zu Band-lJbergangen den Lasereffekt im Halbleiter findet.
Dies beruht zum groBen Tell daratff, dab hier durch Stromzufuhr geniigend
stark gepumpt werden kann.
Wir wenden uns nun einigen Teilaspekten bei der theoretischen Behandlung
des Lasereffektes zu und beginnen zunachst mit den Eigenschwingungen im
Perot-Fabry-Etalon.
3. Eigenschwingungen im Perot-Fabry-Etalon
W~ihrend bei einem Hohlraumresonator mit allseits geschlossenen W~nden
die Frequenz stationtirer Schwingungen, eben der Eigenschwingungen,
wohlbekannt ist, ist die Verwendung yon Eigenschwingungen bei einerAnord-
nung yon zwei parallel sich gegeniiberstehenden Spiegeln zan~ichst durchaus
fragwtirdig, da dauernd Licht, z.B. durch Beugung, nach aut3en weggeht und
daher keine eigentlichen station~.ren Zust~nde sich ausbilden kSnnen. Man
kann aber trotzdem einenAnsatzftirdie Eigenschwingungen in Form zerfal/en-
[uL
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0,8 O,S
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0.2 O,Z
42 Qv ~ 48 :,0 ~}R ~,~ 0,u ~Tg O,g ZO.v/P
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~2 8,v 0.5 a6 ~,Oy/g
Abb. I
linke H~tlfte: rechte H~.lfte:
Amplituden- und Phasenverteilung f/Jr die unterste Amplituden- und Phasenverteilung ffir die unterste
Eigensehwiogung gerader Symmetrie f~ir den zweidi- Eigenschwingung ungerader Symmetric f~ir den
rnensionalen Resonator (entnommen der Arbeit yon zweidimensionalen Resonator
H. Risken, Z. Phys. 180, 150 (1964))
der Zust~inde finden, bei denen angenommen wird, dab sich der gesamte
Intensit~tsverlauf r~iumlich bis auf einen gemeinsamen Zeitfaktor, der im
allgemeinenein exponentielles Abklingen darstellt, erhalten bleibt. Von dieser
Vorstellung aus wurdeals erstes von box und Li [5] eine Rechnung durehge-
fi2hrt, bei der man aufeinem Spiegel eine Anfangslichtverteilung vorgibt, dann
nach dem Huyghenschen Prinzip die Ausstrahlung dieser Lichtverteilung und
DerheutigeStanddcrTheoric des Halbleiterlasers
die sich daraus ergebende Lichtverteilung auf dem gegeniiberliegenden Spiegel
untersucht. L~if3t man das Licht mehrmals zwischen diesen Spiegetn auf diese
Weise lain und hergehen, so steUt sich, wie die Verfasser zeigen konnten,
tats~ichlich eine Lichtverteilung auf dem einzelnen Spiegel ein, die sich im
Laufe der Zeit nut noch durch einen gemeinsamen Zeitfaktor ver~ndert. Der
Fall planparalleler Spiegel ist in der Folgezeit auch analytisch behandelt
worden, so u.a. von Vainshtein [6]. Die genauesten Rechnungen, die auch
Feinheiten in der lntensit~tsverteitung wiedergeben, stammen yon Risken [7].
Die Resultate sind in Abb. 1 zusammen mit den ursprtinglichen Resultaten
yon Fox und Li angegeben. Allerdings wird bei Riskens Rechnungen gleieh
yon vornherein ein aktives Material angenommen. Die einzelnen Eigen-
schwingungen k/Snnen dutch ihre Symmetrie ganz /thnlich wie die Eigen-
schwingungen in einem Hohlraumresonator unterschieden werden.
Beispiele solcher Eigenschwingungen, die eineverschiedene Zahl yon Knoten-
ebenen senkrecht zu den Spiegeln haben, sind in Abb. 2gegeben.Dutch
Abb. 2
Einlge einfache BeispieIe f~ir Knotenebenen yon Eigenschwin-
gungenin einem Resonator mlt quadratischem Querschnitt. Die
Zahl der beobachteten Knotenebetaen ist oft noch ~.esentlich
gr6fler
Anwendung gekriimmter Spiegel anstelle der planparallelen Platten k/Snnen
die Beugungsverluste noch herabgesetzt werden. Hierzu liegen eingehende
Rechnungen yon Boyd und Gordon [8]usw. vor.
Dieses oben entwickelte Bild der Eigenschwingungen des Perot-Fabry-Inter-
ferometers mug beim Halbleiterlaser unter Umst~.nden in 2 Richtungen
abgewandelt werden.
1. Beim Halbleiter ist die lichterzeugende Zone yon einem absorbierenden
Material umgeben. Dieses Problem wttrde yon Whorter, Zeiger und Lax [91
sowie neuerdings yon Stern [10] behandelt. Hierbei wird eine Wellengleichung
mit komplexem Brechungsindex angesetzt, wobei der Realteil ng in der
Emitter- und Absorberzone verschieden und natiirlich auch das Vorzeichen
des ImaginS.rteils, das den Absorptions- bzw. Emissionsprozeg beschreibt, je
nach Zone verschieden ist. Zur Erkl~.rung der experimentelten Resultate beim
GaAs mul3 nach Stern Ans ~ 0,02 sein, ein Wert, der jedoch ziemlich hoch
erscheint und weitere Untersuchungen notwendig macht.
2. Beim Halbleiterlaser braucht das Reflexionsverm6gen nicht mehr nahe bei
1 zu liegen, da u.a. auch Reflexion ohne Verspiegelung benutzt wird, die bei
etwa 30~ liegt. Hierbei wird das iibliche Verfahren zur theoretischen Behand-
lung yon Lasert~tigkeit allerdings fra~viirdig. Dieses Verfahren, das wir auch
in unserem Artikel beschreiben, besteht darin, dab zun~tchst Eigenschwin-
gungen in nichtaktiven Material, die zerfallen k~nnen, vorausgesetzt werden
und dann mit diesen Eigenschwingungen der LaserprozeB behandelt wird.
Wie Rechnungen des Verfassers [I1]fnrden Grenzfall sehr kleinen Reflexions-
verm/Sgens gezeigt haben, kiSnnen durch den LaserprozeB ganz neue diskrete
Eigenschwingungen geschaffen werden, die zunachst als zerfallende Zustande
