Ferramentas elementares para geometrias clássicas e hiperbólica complexa

140 Pages·2006·1.983 MB·Portuguese

by  Carlos H. Grossi

Ferramentas elementares para geometrias
cl´assicas e hiperbo´lica complexa
Carlos Henrique Grossi Ferreira
Orientador: Prof. Dr. Alexandre Ananin
Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP
Ferramentas elementares para geometrias
clássicas e hiperbólica complexa
Este exemplar corresponde à redação
final da tese devidamente corrigida e
defendida por Carlos Henrique Grossi
Ferreira e aprovada pela comissão jul-
gadora.
Prof. Dr. Alexandre Ananin
Orientador
Banca Examinadora
Prof. DI. Alexandre Ananin
Prof. DI. Caio José Colletti Negreiros
Prof. DI. Israel Vainsencher
Prof. Dr. Nikolai Alexandrovitch Goussevskii
Prof. DI. Yuri Dimitrov Bozhkov
Tese apresentada ao Instituto de Ma-
temática, Estatística e Computação
Científica, UNICAMP, como requi-
sito parcial para a obtenção do título de
DOUTOR em MATEMÁTICA.
FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA
BmLIOTECA DO IMECC DAUNICAMP
BibliotecáriaM: ariaJúliaMilaniRodrigues- CRB8a/2116
FeITeira,CarlosHenrique Grossi
F413f
FeITamentaselementares para geometrias clássicas e hiperbólica
complexa / Carlos Henrique Grossi FeITeira--Campinas, [S.P. :s.n.],
2006.
Orientador :AlexandreAnanin
Tese (doutorado) -Universidade Estadual de Campinas, Instituto
deMatemática,EstatísticaeComputaçãoCientífica.
1. Grupos discretos (MateIrlática).2. Geometria. 3. Topologia.4.
Álgebra. I. Ananin, Alexandre.11.UniversidadeEstadualde Campinas.
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III.
Título.
Títuloeminglês:Elementarytoolsforclassicandcomplexhyperbolicgeometries.
Palavras-chaveeminglês(Keywords): 1.Discretegroups(Mathematics).2. Geometry.
3.Topology.4.Álgebra.
Áreadeconcentração: Geometria
Titulação:DoutoradoemMatemática
Bancaexaminadora:Prof.Dr.AlexandreAnanin (IMECC-UNICAMP)
Prof.Dr. CaioJoséCollettiNegreiros(IMECC-UNICAMP)
Prof.Dr.Israel Vainsencher(ICEX-UFMG)
Prof.Dr. NikolaiAlexandrovitch Goussevskii(ICEX-UFMG)
Prof.Dr. YuriDimitrovBozhkov(IMECC-UNICAMP)
Datadadefesa: 15/09/2006
ProgramadePós-Graduação:DoutoradoemMatemática
Tese de Doutorado defendida em 15 de setembro de 2006 e aprovada
Pela Banca Examinadora composta pelos Profs. Drs.
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Prof. (a). Dr (a).ALEXANDRE ANANIN
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Prof.(a). Dr (a).ISRAELVAINSENCHER
Prof. (a). Dr (a). NIKOZAI ALEXANDROVITCH GOUSSEUSKI
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Ferramentas elementares para geometrias
cl´assicas e hiperbo´lica complexa
Este exemplar corresponde `a redac¸˜ao
final da tese devidamente corrigida e
defendida por Carlos Henrique Grossi
Ferreira e aprovada pela comissa˜o jul-
gadora.
Campinas, 20 de setembro de 2006
.............................................................
Prof. Dr. Alexandre Ananin
Orientador
Banca Examinadora
Prof. Dr. Alexandre Ananin
Prof. Dr. Caio Jos´e Colletti Negreiros
Prof. Dr. Israel Vainsencher
Prof. Dr. Nikolai Alexandrovitch Goussevskii
Prof. Dr. Yuri Dimitrov Bozhkov
Tese apresentada ao Instituto de Ma-
tem´atica, Estat´ıstica e Computac¸˜ao
Cient´ıfica, UNICAMP, como requi-
sito parcial para a obtenc¸˜ao do t´ıtulo de
DOUTOR em MATEMA´TICA.
A` minha fam´ılia
1
Resumo
Esta tese possui quatro partes.
A primeira parte apresenta uma construc¸˜ao que permite abordar todas as geometrias cla´ssicas sob
um mesmo ponto de vista. Utilizando tal abordagem, expressamos e caracterizamos, de modo simples
e isento de coordenadas, va´rios aspectos destas geometrias, tais como geod´esicas, distˆancias, transporte
paralelo, tensores de curvatura e curvaturas seccionais. Esperamos, assim, unificar e facilitar o estudo
das geometrias cl´assicas, evitando a introduc¸˜ao de va´rios “modelos” para uma mesma geometria (como
´e o caso dos modelos de Poincar´e, de Siegel e de Klein para as geometrias hiperbo´licas) bem como
evitando a descric¸˜ao de m´etricas atrav´es de sistemas de coordenadas espec´ıficos.
Asegundaparteconsisteemaplicarasferramentasdesenvolvidasanteriormenteparaocasoespec´ıfico
da geometria hiperbo´lica complexa. O foco central ´e o estudo de configurac¸˜oes de um nu´mero pequeno
de pontos. Deste modo estudamos propriedades ba´sicas de objetos elementares tais como linhas proje-
tivas, geod´esicas e bissetores. Estas propriedades provaram-se essenciais com rela¸c˜ao ao nosso principal
objetivo, o estudo de grupos discretos de isometrias do plano hiperbo´lico complexo.
A terceira parte consiste em uma vers˜ao do Teorema Poliedral de Poincar´e em que as exigˆencias
sobre a tessela¸c˜ao s˜ao suficientemente locais. Al´em disso, buscamos para o referido Teorema condi¸c˜oes
simples e verific´aveis na pra´tica. A vers˜ao apresentada pode ser aplicada em geometrias de curvatura
na˜o-constante, nas quais na˜o podemos explorar, por exemplo, os conceitos de convexidade.
Por fim, a quarta parte´e um artigo produzido em colaborac¸˜ao com os professores Alexandre Ananin
e Nikolai Goussevskii. Neste artigo, novos exemplo de variedades com estrutura hiperbo´lica complexa
s˜ao apresentados, resolvendo alguns problemas da a´rea.
2
Abstract
This thesis consists of four parts.
The first part consists of a construction interpreting all classic geometries in the same way. With
this construction, we express and characterize various aspects of these geometries, such as geodesics,
distances, paralleldisplacement, curvaturetensors, andsectionalcurvatures, inasimplecoordinate-free
way. We believe that this approach can unify and simplify the study of classic geometries escaping the
use of several “models” for the same geometry (as Poincar´e’s, Siegel’s, and Klein’s models of hyperbolic
geometry) as well as avoiding descriptions of metrics in specific coordinates.
Inthesecondpartweapplythepreviouslydevelopedtoolstothecaseofcomplexhyperbolicgeometry.
The guideline is the study of finite configurations of points. From this point of view, we study basic
properties of elementary geometric objects such as projective lines, geodesics, and bisectors. These
properties turned out to be crucial for our central purpose, the study of discrete groups of isometries of
the complex hyperbolic plane.
ThethirdpartconsistsofaversionofPoincar´e’sPolyhedronTheoremwheretheconditionsconcerning
the tessellation are sufficiently local. Also, we consider conditions that are simple and verifiable in
practice. The proposed theorem can be applied in the case of geometries of non-constant curvature
when some concepts, as those of convexity, are not applicable.
Finally, the fourth part is an article written in collaboration with professor Alexandre Ananin and
professor Nikolai Goussevskii. In this article, new series of examples of complex hyperbolic manifolds
are constructed, solving some problems in the area.
3
Sum´ario
0. Introduc¸˜ao 4
1. Uma abordagem para as geometrias cla´ssicas 9
1.1. Introduc¸˜ao 9
1.2. Espac¸o tangente 9
1.3. Forma e m´etrica 10
1.4. Subespac¸os reais e projetivos. Geod´esicas 12
1.5. Comprimento de geod´esica. Tˆancia 15
1.6. Conexa˜o de Levi-Civita 16
1.7. Transporte paralelo 20
1.8. Tensor de curvatura 23
1.9. Curvaturas seccionais 24
1.10. Alguns exemplos. Resumo 27
2. Geometria hiperbo´lica complexa elementar 29
2.1. Introduc¸˜ao 29
2.2. Configurac¸˜oes de um nu´mero pequeno de pontos 29
2.3. Planos reais 50
2.4. Bissetores 53
2.5. Apˆendice: Estrutura CR e calibrac¸˜oes 67
3. Teorema Poliedral de Poincar´e 69
3.1. Introduc¸˜ao 69
3.2. Tessela¸c˜ao local 70
3.3. Um teorema de Poincar´e “plano” 73
4. Artigo “Complex Hyperbolic Structures on Disc Bundles over
Surfaces I. General Settings. A Series of Examples” 85
4
Introduc¸˜ao
... to verify harmony through algebra.
— A. S. Pushkin, Mozart and Salieri
Apesar do nosso ha´bito de dividi-la em muitas a´reas, a matem´atica ´e uma ciˆencia inteira. Conside-
remos a t´ıpica “contraposic¸˜ao” entre geometria e ´algebra. Normalmente, os fatos vislumbrados atrav´es
da geometria obtˆem a forma mais geral quando expressados em termos alg´ebricos. Assim, ganhamos
interpretac¸˜oes geom´etricas mais ricas e adequadas dos fatos originais. A geometria alg´ebrica, da qual
na˜o trataremos neste texto, ´e um exemplo comum de tal fenˆomeno.
Esta tese ilustra a mencionada interac¸˜ao entre geometria e ´algebra no que diz respeito a`s geometrias
cl´assicas e, mais detalhadamente, `a geometria hiperbo´lica complexa. (Esperamos que o leitor na˜o
interpreteotermo“cl´assicas”muitoseriamente: pordefini¸c˜ao,geometriascl´assicass˜aoaquelastratadas
no Cap´ıtulo 1.)
Grossomodo,ageometria(Riemanniana)lidacomvariedadesrecobertasporumespac¸omodelocuja
estrutura ´e, por si, importante. Nas u´ltimas d´ecadas, esta ´area alcanc¸ou grande ˆexito com rela¸c˜ao `as
geometrias hiperb´olicas de curvatura constante, essencialmente em dimens˜ao trˆes (vide trabalhos de
Thurston, Hamilton, Perelman, etc.). Em dimensa˜o quatro, destaca-se entre as geometrias hiperb´olicas
a geometria hiperbo´lica complexa: por um lado, esta constitui o exemplo mais simples poss´ıvel de
variedade hiperbo´lica Ka¨hleriana com curvatura holomorfa constante mas com curvatura seccional na˜o-
constante; por outro, a geometria hiperbo´lica complexa lan¸ca luz para as geometrias hiperbo´licas de
curvaturaconstante. Valeapenamencionarque,dentreasC-superf´ıciescompletas,asmenosestudadas
s˜ao exatamente aquelas que admitem estrutura hiperbo´lica complexa.
Atualmente, ageometria hiperbo´lica complexa est´aemsuainfaˆncia. Ha´poucosexemplos conhecidos
de variedades com tal estrutura, inexistindo assim uma base que sustente hipo´teses razo´aveis e que
permita a formulac¸˜ao de quest˜oes adequadas. Logo, ´e importante buscar m´etodos que ampliem a
diversidade dos exemplos. Para isto, alguma cautela ´e necess´aria: a maioria das ferramentas utilizadas
nos casos de curvatura constante ou na˜o se aplicam ou produzem c´alculos enormes, n˜ao realiz´aveis na
pra´tica.
Assim,nossoprimeiropassoser´autilizardefinic¸˜oeslivresdecoordenadas. Tipicamente,emgeometria
hiperbo´lica complexa, ou mesmo na geometria de Lobatchevskii, s˜ao comuns f´ormulas complicadas ex-
pressandodeterminadosfatosgeom´etricos. Comumestudolivredecoordenadas,temosmaioreschances
de obter express˜oes mais simples, sem a complexidade relacionada `a escolha arbitra´ria de coordenadas.
Al´em disso, a abordagem introduzida busca estudar os objetos e conceitos geom´etricos per se; a ade-
quac¸˜aodetaisobjetoseconceitos`asdefinic¸˜oesgeraisdasgeometriasdiferencialeRiemanniana,embora
obviamentepresente,tempapelsecund´ario. Nestesentido,poder´ıamosdizerquetratamosasgeometrias
cl´assicas de modo elementar (como a geometria do segundo grau), na medida do poss´ıvel.
Partindo disso, ´e importante realizar-se um estudo sistem´atico da geometria hiperbo´lica complexa,
come¸cando pelos fatos mais b´asicos. Assim procuramos estudar alguns objetos geom´etricos naturais
(tais como linhas projetivas, geod´esicas, planos reais e bissetores). A` parte os novos resultados obtidos,