FEM: Grundlagen und Anwendungen der Finite-Elemente-Methode

363 Pages·1999·14.19 MB·German

by  Bernd Klein (auth.)

Bernd Klein
FEM
Man sollte alles so einfach wie mög
lich machen, aber nicht einfacher.
A. Einstein
Aus dem Programm ____________- --..
Konstruktion
AutoSketch - Zeichenkurs
von H.-G. Harnisch und V. Küch
AutoCAD - Zeichenkurs
von H.-G. Harnisch
Maschinenelemente
Berechnen mit einer Tabellenkalkulation
von H.-G. Harnisch, D. Muhs und M. Berdelsmann
FEM
Grundlagen und Anwendungen
der Finite-Elemente-Methode
von B. Klein
Leichtbau-Konstruktion
von B. Klein
Lehr-und Lernsystem
Roloff / Matek Maschinenelemente
von W. Matek, D. Muhs, H. Wittel und M. Becker
I-DEAS Praktikum
von W. Wagner und J. Schneider
I-DEAS Praktikum CAE/ FEM
von H.-B. Woyand und H. Heiderich
vieweg ________________- -'
Bernd Klein
FEM
Grundlagen und Anwendungen
der Finite-Elemente-Methode
Mit 198 Abbildungen
12 Fallstudien und
16 Übungs aufgaben
3., überarbeitete Auflage
~
vleweg
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Klein, Bernd:
FEM: Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode;
mit 12 Fallstudien und 16 Übungsaufgaben/Bernd Klein. -
3., überarb. Auf!. - Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg, 1999
(Studium Technik)
ISBN 978-3-528-25125-3 ISBN 978-3-322-92856-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-92856-6
1. Auflage 1990
2., neubearbeitete Auflage 1997
3., überarbeitete Auflage 1999
Alle Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden, 1999
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Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, Wiesbaden
Gedruckt auf säurefreiem Papier
ISBN 978-3-528-25125-3
v
Vorwort
Das Buch gibt den Umfang meiner Vorlesung über die Finite-Elemente-Methode wieder, die
ich seit 1987 an der Gesamthochschule Kassel fur Studenten des Maschinenbaus halte.
Mein Anliegen ist es hierbei, nicht nur Theorie zu vermitteln, sondern auch die Handhabung
der Methode im Ablauf und die Anwendung an einigen typischen Problemstellungen in der
Elastostatik, Elastodynamik und Wärmeleitung zu zeigen. Das realisierte Konzept dürfte
damit auch fur viele Praktiker (Berechnungsingenieure, CAE-Konstrukteure und CAD
Systembeauftragte) in der Industrie von Interesse sein, da sowohl ein Gesamtüberblick gege
ben wird als auch die fur das Verständnis benötigten mathematisch-physikalischen Zusam
menhänge dargestellt werden.
Um damit auch direkt umsetzbare Erfahrungen vermitteln zu können, stützt sich der Anwen
dungsteil auf das verbreitete kommerzielle Programmsystem ASKA, das mir seit 1987 zur
Verfugung steht. Bei der Lösung der mit ASKA bearbeiteten Beispiele haben mich die Mitar
beiter des Bereiches CAE der Firma IKüSS, Stuttgart, stets gut beraten.
Die Erstellung des Manuskriptes hat Frau. M. Winter übernommen, der an dieser Stelle eben
falls herzlich gedankt sei.
Kassel, im September 1990 B. Klein
Das bleibende Interesse von Praxis, Fachhochschulen und Hochschulen hat wiederum dazu
gefuhrt, daß die 2. Auflage seit einiger Zeit vergriffen ist. Nachdem diese Auflage bereits
weitestgehend überarbeitet war, konnte ich mich bei der Neuauflage auf Fehlerkorrekturen
und kleineren Textanpassungen beschränken.
Für die Fehlerkorrekturen danke ich meinen Mitarbeitern Dipl.-Ing. L. Hinrichsen und
Dipl.-Ing. Th. Kühn. Die Manuskriptbearbeitung lag wieder in den Händen von Frau
M. Winter, der ebenfalls mein Dank gilt.
Kassel, im August 1998 B. Klein
VI
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung ...•.••••••.......................•..•.•......•.••.••.•..•.......................•••........•..•......•.•.•.•.••..•..• 1
1. 1 Historischer Überblick ................................................................................................ 1
1.2 Generelle Vorgehensweise .......................................................................................... 4
1.3 Aussagesicherheit ....................................................................................................... 8
2 Anwendungsgebiete• ....••••••.•....................•.••••...........•...••..........•............•.••.................... 10
3 Grundgleichungen der linearen Finite-Elemente-Methode •••••................••.••••...........• 12
3. 1 Matrizenrechnung..................................................................................................... 12
3.2 Gleichungen der Elastostatik ..................................................................................... 15
3.3 Grundgleichungen der Elastodynamik ............. , ...................... , .................................. 22
3.4 Finites Grundgleichungssystem ........................................................................ , ....... , 22
3.4.1 Variationsprinzip ................................................................................................ 22
3.4.2 Methode von Galerkin ....................................................................................... 26
4 Die Matrix-Steifigkeitsmethode ..•...........•••••........••••••..•....•••••••.....•.•.••••..•.•..•.•.......•..•..• 29
5 Das Konzept der Finite-Elemente-Methode ........•.........••••........•••........•...•••••••...•.......•. 36
5.1 Allgemeine Vorgehensweise ..................................................................................... 36
5.2 FE-Programmsystem ................................................................................................ 39
5.3 Mathematische Formulierung .................................................................................... 40
5.3.1 Ebenes Stab-Element ......................................................................................... 40
5.3.2 Ebenes Dreh-Stab-Element ................................................................................ 45
5.3.3 Ebenes Balkenelement. ....................................................................................... 48
5.4 Prinzipieller Verfahrensablauf ................................................................................... 56
5.4.1 Steifigkeitstransformation .................................................................................. 56
5.4.2 Äquivalente Knotenkräfte .................................................................................. 59
5.4.3 Zusammenbau und Randbedingungen ................................................................. 61
5.4.4 Sonderrandbedingungen ..................................................................................... 65
5.4.5 Lösung des Gleichungssystems ........................................................................... 67
5.4.6 Berechnung der Spannungen .............................................................................. 70
5.4.7 Systematische Problembehandlung ..................................................................... 72
6 Wahl der Ansatzfunktionen .........••••.•.....•••••••••...•••....••••..•....•...........•.••••....•••••••.•...•...•• 77
7 Elementkatalog für elastostatische Probleme •••.•..•..•.••..•....•...........•.............•.•.•.•......... 81
7. 1 3 D-Balken-Element ............................ , .............................................. , ...................... 81
7.2 Scheibenelemente ..................................................................................................... 85
7.2.1 Belastungs-und Beanspruchungszustand ............................................................ 85
7.2.2 Dreieck-Element ................................................................................................ 86
7.2.3 Flächenkoordinaten ............................................................................................ 93
7.2.4 Erweiterungen des Dreieck-Elements ................................................................. 98
7.2.5 Rechteck-Element .............................................................................................. 99
7.2.6 Konvergenz Balken-Scheiben-Elemente ............................................................ 107
7.2.7 Exkurs Schubverformung ................................................................................. 108
7.2.8 Viereck-Element .............................................................................................. 113
7.2.9 Isoparametrische Elemente ............................................................................... 116
Inhaltsverzeichnis VII
7.2.10 Numerische Integration ................................................................................... 122
7.3 Plattenelemente ....................................................................................................... 127
7.3.1 Belastungs-und Beanspruchungszustand .......................................................... 127
7.3.2 Problematik der Plattenelemente ....................................................................... 130
7.3.3 Rechteck-Platten-Element... .............................................................................. 134
7.3.4 Dreieck-Platten-Element ................................................................................... 139
7.3.5 Konvergenz ...................................................................................................... 140
7.3.6 Schubverformung am Plattenstreifen ................................................................. 142
7.3.7 Beulproblematik ............................................................................................... 143
7.4 Schalen-Elemente .................................................................................................... 152
7.5 Volumen-Elemente .................................................................................................. 157
7.6 Kreisring-Element .................................................................................................... 162
8 Kontaktprobleme ...........••.•••....................••••.....•••••••......•••••••.....................••.•.............. 168
8.1 Problembeschreibung ............................................................................................... 168
8.2 Eine Lösungsmethode fur Kontaktprobleme ............................................................. 170
8.3 Lösung zweidimensionaler quasistatischer Kontaktprobleme .................................... 174
8.3.1 Iterative Lösung ohne Kontakt .......................................................................... 174
8.3.2 Iterative Lösung mit Kontakt ............................................................................ 175
9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme ••••.......•••.................•.•.................................... 188
9.1 Virtuelle Arbeit in der Dynamik ............................................................................... 188
9.2 Elementmassenmatrizen ........................................................................................... 190
9.2.1 3D-Balken-Element .......................................................................................... 190
9.2.2 Endmassenwirkung ........................................................................................... 193
9.2.3 Dreieck-Scheibenelement .................................................................................. 194
9.3 Dämpfungsmatrizen ................................................................................................. 198
9.4 Eigenschwingungen ungedämpfter Systeme ............................................................. 199
9.4.1 Gleichungssystem ............................................................................................. 199
9.4.2 Numerische Lösung .......................................................................................... 207
9.4.3 Statische Reduktion nach Guyan ....................................................................... 208
9.5 Freie Schwingungen ................................................................................................ 212
9.6 Erzwungene Schwingungen ..................................................................................... 214
9.7 Beliebige Anregungsfunktion ................................................................................... 220
10 Grundgleichungen der nichtlinearen Finite-Elemente-Methode .•...•....................... 223
10.1 Lösungsprinzipien fur nichtlineare Aufgaben .......................................................... 223
10.2 Nichtlineares Elastizitätsverhalten .......................................................................... 226
10.3 Plastizität ............................................................................................................... 229
10.4 Geometrische Nichtlinearität .................................................................................. 23 3
10.5 Instabilitätsprobleme .............................................................................................. 23 5
11 Finite-Elemente-Lösung von Wärmeleitungsproblemen ...••..•••................................ 241
11.1 Physikalische Grundlagen ...................................................................................... 241
11.2 Diskretisierte Wärmeleitungsgleichung ................................................................... 246
11.3 Lösungsverfahren .................................................................................................. 248
11.4 Rückrechnung zu den mechanischen Kennwerten ................................................... 249
12 Grundregeln der FEM-Anwendung ...................................•...................................... 252
12.1 Elementierung ....................................................................................................... 252
VIII Inhaltsverzeichnis
12.2 Netzautbau ........................................................................................................... 255
12.3 Bandbreiten-Optimierung ...................................................................................... 259
12.4 Genauigkeit der Ergebnisse ................................................................................... 263
13 Die Optimierungsproblematik .................................................................................. 266
13. 1 Formulierung einer Optimierungsaufgabe ............................ , ................................. 266
13.2 Variation der Parameter ........................................................................................ 267
13.3 Biotechnische Strategie ......................................................................................... 269
13.4 Selektive Kräftepfadoptimierung ........................................................................... 272
Fallstudie 1: zu Kapitel 4 Matrix-Steifigkeitsmethode ..................................................... 276
Fallstudie 2: zu KapitelS Konzept der FEM / Allgemeine Vorgehensweise ..................... 278
Fallstudie 3: zu Kapitel 5 Konzept der FEM / Schiefe Randbedingungen ........................ 283
Fallstudie 4: zu KapitelS Konzept der FEM / Durchdringung ........................................ 284
Fallstudie 5: zu Kapitel 7 Anwendung von Schalen-Elementen ....................................... 286
Fallstudie 6: zu Kapitel 7.5 Anwendung von Volumen-Elementen / Mapped meshing ...... 288
Fallstudie 7: zu Kapitel 7.5 Anwendung von Volumen-Elementen / Free meshing ........... 290
Fallstudie 8: zu Kapitel 9 Dynamische Probleme ............................................................ 293
Fallstudie 9: zu Kapitel 9.6 Erzwungene Schwingungen .................................................. 296
Fallstudie 10: zu Kapitel 10 Materialnichtlinearität ...................... " .................................. 301
Fallstudie 11: zu Kapitell 0.4 Geometrische Nichtlinearität .............................................. 304
Fallstudie 12: zu Kapitel 11 Wärmeleitungsprobleme ........................................................ 306
Übungsaufgabe 4.1 .............................................................. , ....... , ................................. 310
Übungsaufgabe 5.1 ... , ....... , ............................................................................................ 311
Übungsaufgabe 5.2 ........................................................................................................ 312
Übungsaufgabe 5.3 .............................................................. , ......................................... 314
Übungsaufgabe 5.4 ........................................................................................................ 316
Übungsaufgabe 5.5 ........................................................................................................ 3 18
Übungsaufgabe 5.6 ........................................................................................................ 321
Übungsaufgabe 5.7 ........................................................................................................ 322
Übungsaufgabe 5.8 ........................................................................................................ 325
Übungsaufgabe 6.1 ........................................................................................................ 326
Übungsaufgabe 7.1 ........................................................................................................ 327
Übungsaufgabe 7.2 ........................................................................................................ 328
Übungsaufgabe 9.1 ........................................................................................................ 329
Übungsaufgabe 9.2 ........................................................................................................ 330
Übungsaufgabe 9.3 ........................................................................................................ 331
Übungsaufgabe 11.1 ......................................................................................................... 332
Literaturverzeichnis ..... " ...... " ......................................................... , ................................. 333
Mathematischer Anhang .................................................................................................. 337
Sachwortverzeichnis ......................................................................................................... 343
IX
Formelzeichensammlung
-E-
-A-
E (N/mm2) Elastizitätsmodul
ai Multiplikatoren
E (N/mm2) Elastizitätsmatrix
A (mm2) Querschnittsfläche
A (mm) Koordinatenmatrix; ~T T angenten-Elastizitäts-
matrix
Koeffizientenmatrix
A Boolesche Matrix
Ai Koeffizient -F-
f (N) bezogene (verteilte)
Kraft
-B- F(x) Funktion allgemein
B Lösungsbereich; F (N) Vektor der äußeren
(Nmm) Plattensteifigkeit
Einzelkräfte
B differenzierte Ansatz-
F äußere Kräfte
-a
funktionsmatrix;
Koeffizientenmatrix ~b Reaktionskräfte
F Resultierende der
-c
Schwingungs-DGL
-C-
F Einzelkraft
c (Nimm) Federkonstante 1
Fia äquivalente Einzel-
c Elementdämpfungs-
kräfte
matrix
F unbekannte Reaktions-
ci, Ci Integrationskonstante -s
kräfte
ci (mm;grd) Koeffizient
Cij (N/mm;grd) Drehsteifigkeitskoef-
fizient - G-
e
Systemdämpfungs- g Zeilenvektoren
matrix; gi, gj Formfunktionen
Wärmekapazitätsmatrix
G (N/mm2) Gleitmodul
G F ormfunktionsmatrix;
-D- Matrix der Knotenan-
d (mm) Knotenverschiebungen satzfunktionen
G. Formfunktionsmatrix
d (mm1s) Knotengeschwindigkeit -1
GK (N) Gravitationskraft
~p Plattenanteil der 2. kubischer Anteil der
kub
Knotenverschiebung
Formfunktionmatrix
~s Scheibenanteil der GI" linearer Anteil der
-ffi
Knotenverschiebung
Formfunktionsmatrix
D(u) Differentialoperator
G rotatorischer Anteil der
D Differentialoperatoren- -f
Formfunktionsmatrix
matrix
X Formelzeichensammlung
~t translatorischer Anteil ~s (NImm) Scheibenanteil der Stei-
der Formfunktions- figkeitsmatrix
matrix K,M Diagonalhypermatrix
K
(NImm) Systemsteifigkeits-
matrix;
-H-
fYV I mn· K) Systemwärmeleitungs-
h StützsteIle
hi (mm) Amplitudenhöhe matrix
H Hermitesche Ansatz- IK-a a Kahl partitionierte System-
funktionsmatrix ~ba ~bb
steifigkeitsmatrix
Systembiegesteifig-
~B
-1-
keitsmatrix
I Integral, allgemein K
reduzierte Steifigkeits-
I Gebietsintervall; -cc
matrix
Einheitsmatrix K
G geometrische System-
steifigkeitsmatrix
K
- J- N (NImm) lnitialverschiebungs-
J Jacobi-Matrix
matrix
K
Jp (mm4) polares Flächenträg- T (NImm) Tangentensteifigkeits-
heitsmoment matrix
Jy,Jz (mm4) Flächenträgheits-
moment
I -L-
J2 2. Invariante des fij Koeffizienten;
Spannungstensors
Matrixelement
L (mm) Länge
L (NImm) Dreiecksmatrix
-K -
k (NImm) Elementsteifigkeits-
matrix;
-M-
fYVlmn·K) Elementwärmeleitungs-
m (kg) Elementmassenmatrix
matrix
mij (kg) Massenkoeffizient
k (NImm) tranforrnierte Element-
m Knotenlastvektor von
steifigkeitsmatrix K
~B (NImm) Biegesteifigkeitsmatrix eingeleiteten Momen-
ten
~G (NImm) geometrische Steifig- mo Oberflächenlastvektor
keitsmatrix
bei verteilten Momen-
k·· Verschiebungseinfluß-
IJ ten
zahlen; mt (Nmnlrmjverteiltes Torsions-
(NImm) Steifigkeitskoeffizien-
moment
ten
mx,y seitenbezogene Biege-
~p (NImm) Plattenanteil der Stei-
momente
figkeitsmatrix
M Systemmassenmatrix