FEM: Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen- und Fahrzeugbau

422 Pages·2010·52.961 MB·German

by  Bernd Klein (auth.)

Bernd Klein
FEM
"Man muss gelehrt sein, um Einfaches
kompliziert sagenzu können;
und weise, um Kompliziertes einfach
sagenzu können."
nachCharIes Tschopp
Bernd Klein
FEM
Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode
im Maschinen- und Fahrzeugbau
8., verbesserte und erweiterte Auflage
Mit 230 Abbildungen, 12 Fallstudien
und 20 Übungsaufgaben
STUDIUM
11
VIEWEG+
TEUBNER
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1. Auflage 1990
2.,neubearbeiteteAuflage 1997
3.,überarbeiteteAuflage 1999
4.,verbesserteund erweiterteAuflage 2000
5.,verbesserteund erweiterteAuflage 2003
6.,verbesserte und erweiterteAuflage 2005
7.,verbesserteAuflage 2007
8.,verbesserteund erweiterteAuflage 2010
AlleRechtevorbehalten
©Vieweg+TeubnerVerlagISpringerFachmedienWiesbadenGmbH2010
Lektorat: ThomasZipsner llmkeZander
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PrintedinGermany
ISBN978-3-8348-0844-8
v
Vorwort zur I. Auflage
Das Buchgibtden Umfang meiner Vorlesung über die Finite-Elemente-Methode wieder,die
ichseit 1987anderUniversität KasselfUTStudenten des Maschinenbaus halte.
Mein Anliegen istes hierbei,nichtnurTheoriezuvermitteln.sondernauchdie Handhabung
der Methode im Ablaufunddie Anwendung aneinigentypischen Problemstellungen inder
Elastestatik. Elastedynamik und Wänneleitungzuzeigen. Das realisierte Konzeptdürfteda
mitauchfürvielePraktiker(Berechnungstngenieure, CAE-KonstrukteureundCAD-System
beauftragte) in der Industrie von Interesse sein. da sowohl ein Gesamtüberblick gegeben
wird als auch die für das Verständnis benötigten mathematisch-physikalischen
Zusammenhänge dargestelltwerden.
Um damit auchdirekt umsetzbare Erfahrungen vermittelnzukönnen,stützt sichder Am...-en
dungsteilauf das verbreitete kommerzielle Programmsystem ASKA, das mir seit 1987 zur
Verfügung steht. Bei der Lösung der mit ASKA bearbeiteten Beispiele haben mich die
Mitarbeiterdes BereichesCAE der Firma [KOSS,Stuttgart.stets gutberaten.
Die Erstellung des Manuskriptes hat Frau. M. Winter übernommen. der an dieser Stelle
ebenfallsherzlichgedanktsei.
Kassel,imSeptember 1990 B.Klein
Vorwort zur 8. Auflage
Bücher haben die unangenehme Eigenschaft. nie fertig zu werden.So fallen mir auch beim
Arbeiten mit meinem Buch immer wieder Darstellungenund Ableitungenauf,die man bes
ser undschöner machen kann, Die Neuauflage enthält wieder viele Verbesserungen imText
und inden Übungen, die zum noch besseren Verständnisder Finite-Element-Methode bei
tragen sollen. Auch soll dem Lernenden einegegliiltete Theorie helfen, dieteils doch kom
plexen Zusammenhänge besser zu verarbeiten. Gemäß dem Motto des Buches .Anscbau
lichkeit vor Wissenschaftlichkeit" hoffe ich auch weiterhin aufeinen interessierten Leser
kreisan Fachhochschulen, Universitäten und indcr Praxis.
Die eingearbeiteten Verbesserungen beruhenzueinemerheblichenTeilaufAnregungenvon
Studierenden. Kollegen und Mitarbeitern, die auch weiterhin sehr dankbar aufgenommen
werden. Mit der textlichen Umsetzung war wieder Frau M. Winter betraut, der an dieser
Stelleebenfallsherzlichgedanktsei.
CaldenbeiKassel.imJanuarzülü B.Klein
VI
Inhaltsverzeichnis
Einführung .. 1
1.1 IlistorischerÜberblick I
1.2 Generelle Vorgehensweise 4
1.3 Aussagesicherheiteiner FE-Analyse 8
1.4 Qualitätsstandards 10
2 Anwendungsfelderund Software . 11
2.1 Problemklassen . 11
2.2 KommerzielleSoftware . 12
3 Grundgleichungender linearen Finite-Element- Methode .. 16
3.1 Matrizenrechnung . 16
3.2 Gleichungender Elastestatik . 19
3.3 Grundgleichungen der Elastedynamik . 26
3.4 FinitesGrundgleichungssystem . 27
3.4.1 Variationsprinzip . . 27
3.4.2 Methode vonGalerkin 31
4 nie Matrix-Steifigkeitsmethode . 34
5 Das Konzept der Finite-Element-Methode . 41
5.1 Allgemeine Vergehensweise . 41
5.2 FE-Programmsystem . 44
5.3 Mathematische Formulierung . 45
5.3.1 EbenesStab-Element . 45
5.3.2 Ebenes Drehstab-Element .. 50
5.3.3 Ebenes Balken-Element . 53
5.4 Prinzipieller Verfahrensablauf . . 62
5.4.1 Steiflgkeitsrransformation .. . . 62
5.4.2 Äquivalente Knotenkräfte . 65
5.4.3 Zusammenbau und Randbedingungen . 68
5.4.4 Sonderrandbedingungen . 72
5.4.5 LösungdesGleichungssystems . 74
5.4.6 Berechnungder Spannungen .... SI
5.4.7 Systematische Problembehandlung ... 83
6 Wahl der Ansatzfunktionen . 89
7 Elementkatalog Füretastostausche Probleme . 93
7.1 3-D~Balken-Element . 93
7.2 Scheiben-Elemente . 97
7.2.1 Belastungs- undBeanspruchungszustand .. . . 97
7.2.2 Dreieck-Element . 98
7.2.3 Flächenkoordinaten . 105
7.2.4 Erweiterungen des Dreieck-Elements 110
7.2.5 Rechteck-Element . 111
Inhaltsverzeichnis VII
7.2.6 Konvergenz Balken-Scheiben-Elemente 119
7.2.7 BerücksichtigungderSchubverformung 120
7.2.8 Viereck-Element 125
7.2.9 Isoparametrische Elemente 129
7.2.10 Numerische Integration .... 134
7.3 Platten-Elemente . 139
7.3.1 Belastungs- und Beanspruchungszustand 139
7.3.2 Problematikder Platten-Elemente 143
7.3.3 Rechteck-Platten-Element 146
7.3.4 Dreieck-Platten-Element 152
7.3.5 Konvergenz 153
7.3.6 Schubverformung am Plattenstreifen 155
7.3.7 Beulproblemarik 156
7.4 Schalen-Elemente 165
7.5 Volumen-Elemente 170
7.6 Kreisring-Element 175
8 Kontaktprobleme . . 182
8.1 Problembeschreibung . . 182
8.2 Einfache Lösungsmethode fürKontaktprob1cme 184
8.3 Lösungzweidimensionaler Kontaktprobleme ..... 188
8.3.1 Iterative Lösung nichtlinearer Problemeohne Kontakt . 188
8.3.2 Iterative Lösung mit Kontakt . 18'
•
FEM-Ansatz für dynamische Probleme . 202
' .1 Virtuelle Arbeitinder Dynamik . 202
' .2 Elementmassenmatrizen . 204
9.2.1 3-D-Balken-Element 205
9.2.2 Endmassenwirkung . 207
9.2.3 Dreieck-Scheiben-Element . 20'
9.3 Dämpfungsmatrizen . 212
9.4 Eigenschwingungen ungedämpfterSystem . 213
9.4.1 Gleichungssystem . 213
9.4.2 Numerische Ennittlungder Eigenwerte . 221
9.4.3 Statische Reduktion nach Guyan . 222
9.5 Freie Schwingungen . . 226
9.6 Erzwungene Schwingungen 228
9.7 BeliebigeAnregungsfunktion ..... 237
9.8 LösungderBewegungsg1eichung 238
'0 Grundgleichungendernichtlinearen Finite-Element-Methode ... 247
10.1 Lösungsprinzipienfürnichtlineare Aufgaben .... 247
10.2 Nichtlineares Elastizitätsverhalten . 250
10.3 Plastizität . 253
1004 Geometrische Nichtlinearität . 257
10.5 Instabilitätsprobleme . 259
VIII 1nhaltsverzeichnis
11 Wärmeiibertragungsprobleme .. 266
11.1 PhysikalischeGrundlagen ..... 266
11.2 Diskretisierte Wärmeleitungsgleichung 271
11.3 Lösungsverfahren 273
11,4 Thermisch-stationäre strukturmechanische Berechnung 275
11.5 Therrnisch-transientestrukturmechanische Berechnung 276
12 Mehrkdrpersysteme 279
12.1 Merkmaleeines MKS 279
12.2 Kinematikvon MKS 281
12.2.1Drehmatrix 283
12.2.2 Ebene Bewegung 285
12.3 KinetikvonMKS . 287
12.3.1 Grundbeziehungenfürden starrenKörper 289
12.3.2 Newton-Euler-Methode 291
12,4 Lagrange'sche Methode 293
12.5 Mechanismenstrukturen 295
13 Bauteiloptimierung 297
13.1 Formulierungeiner Optimierungsaufgabe 297
13.2 Parameteroptimierung 298
13.3 BionischeStrategie 300
13,4 Selektive Kräftepfadoptimierung 303
14 Grundregeln der rEM-Anwendung 306
14.1 Fehlerquellen 306
14.2 Elementierung und Vernetzung 307
14.3 Netzaufbau 311
14,4 Bandbreiten-Optimierung 314
14.5 Genauigkeitder Ergebnisse 318
14.6 Qualitätssicherung 320
Fallstudie 1:zuKapitel 4 Mcurix-Steiflgkehsmetitode 323
Fallstudie2: zuKapitel 5 Konzeptder FEM/Allgemeine Vergehensweise 325
Fallstudie 3:zu Kapitel5 Konzeptder FEM/Schiefe Randbedingungen 329
Fallstudie 4:zu Kapitel5 KonzeptderFEM/ Durchdringung 330
Fallstudie5:zu Kapitel7AnwendungwmSchalen-Elementen 332
Fallstudie6: zuKapitel7.5Anwendungvon Volumen-Elementen/ Mappedmeshtng 335
Fallstudie7:zuKapitel7.5Anwendungder Vohnnen-Elemente/ Free meshing 337
Fallstudie8:zu Kapitel9 Dynamische Probleme 340
Fallstudie 9:zu Kapitel9.6 ErzwungeneSchwingungen 343
Fallstudie 10:zuKapitel 10 Materialnichtlinearität 347
Fallstudie 1I:zuKapitel I0,4GeometrischeNichtlinearität..... 350
Fallstudie 12:zuKapitel 11Warmeleitungsprableme 353
Übungsaufgabe 4.1 357
Übungsaufgabe 5.1 358
Übungsaufgabe 5.2 359
Übungsaufgabe 5.3 361
Inhaltsverzeichnis IX
Übungsaufgabe 5.4 363
Übungsaufgabe 5.5 365
Übungsaufgabe 5.6 368
Übungsaufgabe 5.7 369
Übungsaufgabe 5.8 370
Übungsaufgabe 5.9 373
Übungsaufgabe 6.1 374
Übungsaufgabe 7.1 375
Übungsaufgabe 7.2 376
Übungsaufgabe 9.1 377
Übungsaufgabe 9.2 378
Übungsaufgabe 9.3 379
Übungsaufgabe 9.5 380
Übungsaufgabe 10.4 381
Übungsaufgabe 11.1 382
Übungsaufgabe 11.2 383
MathematischerAnhang 384
QM-Checklisteeiner FE-Berechnung 400
Literaturverzeichnis 402
Sechwortverzeichnis 407
x
Formelzeichensammlung
o
- A - 0 ifferenzialopera-
'; Multiplikatoren torenrnatrix
A (mm2) Quersehninsfläche
A (mm) Koordinatenmatrix; - E-
Koetlizientenmatrix: E (Nfmm2) Elastizitätsmodul
Iterationsmatrix E (N/mm2) Elastizitätsmatrix
A Boole'sche Matrix [T Tangenten-Elastizi-
A; Koeffizient tätsmatrix
- F-
- ß-
f (N) bezogene(verteilte)
B Lösungsbereich
Km"
B differenzierteAn-
F(x) Funktionallgemein
satzfunktionsmatrix:
F (N) Vektor deräußeren
Koeffizientenmatrix
Einzelkräfte
ßN nichtlinearer Anteil
F, äußere Kräfte
der Matrix ß
Fh Reaktionskräfte
-C- F' Resultierende der
C (Nimm) Federkonstante Schwingungs-Dtjl,
C Elementdämpfungs- F; Einzelkraft
matrix
F äquivalente Einzel-
ci_Ci Integrationskonstante i3 kräfte
c; (mm; Koeffizient F, unbekannte
grd) Reaktionskräfte
cij (N/mm; Drehsteitlgkeitskoef-
grd) fizient -G-
c
Systcmdärnpfungs- g Zeilenvektoren
matrix; gj,gj Formfunktionen
Wärmekapazitäts-
G (N/mm2) Gleitmodul
matrix
G Formfunktions-
matrix:
- D-
Matrixder Knoten-
d (mm) Knotenversente-
ansatzfunktionen
bungen
d (mm/s2) Knorenbeschleuni- Gi Formfunktionsmatrix
gung G, (N) Gravitationskraft
d (mm/s) Knotengeschwindig- Gkub kubischerAnteil der
keit Formfunktionsmatrix
dp Plattenanteilder G1in linearer Anteilder
Knotenverschiebung Formfunktionsmatrix
ds Scheibenanteilder G, rotatorischer Anteil
Knotenverschiebung der Formfunktions-
D(u) Differenzialoperator rnattix
Formelzeichensammlung XI
G, translatoriseher (W/nm-K) Systemwärmelei-
Anteilder Form- rungsmatrix
funktionsmatrix IK" ~j partitionierte
Ko, Systemsteitlgkehs-
- Jf- matrix
h Stützstelle K" Systembiegesteifig-
h, (mm) Amplitudenhöhe keitsrnatrix
H HerrnireseheAn- Kcc reduzierteSteifig-
satzfunktionsrnatrix keitsmatrix
KN (NImm) geometrische
•J. Systemsteitlgkeits-
I Integral. allgemein rnatrix
I Gebietsintervall: K r (NImm) Tangentensteilig-
Einheitsmatrix keitsmatrix
K (NImm) Initialspannungs-
a
. J. matrix
J Jacobi-Matrix
J (mru') polares Flächenträg- • L .
p
heitsmomcnt (ij Koeffizienten;
Jy,J (mm") Flächenträgheits- Matrixelement
I-
moment L (mm) Länge
2. Invariantedes L DitTerentialoperator
J,
Spannungstensors L (NImm) Drelecksmatrix;
Lastoperator
·K-
k (NImm) Federkonstante -M·
k (NImm) Elernentsteifigkeits- m (kg) Elementmassen-
matrix: matrix
(W/mmK) Elementwärme- mij (kg) Massenkoetlizient
leitungsmatrix mK Knotenlastvektor
k (Nimm) transformierte voneingeleiteten
Elementsteifig- Momenten
keitsmatrix mo Oberflächenlastvek-
kll (Nimm) Biegesteiflgkeits- torbeiverteilten
matrix Momenten
kG (Nimm) geometrischeSteiflg- m, (Nmml verteiltesTorsions-
kelrsmatrtx rnm) moment
kij verschiebungsein- mx.y seitenbezogene
flusszahlen. Biegemomente
(Nimm) Steiflgkeitskoef- M Systemmassenmatrix
flzienten Mb Biegemoment
kl' (Nimm) Plattenanteilder M reduzierte Massen-
Steitigkeitsmatrix cc
matrix
ks (Nimm) Scheibenanteilder Mi (N.mm) Moment
Steiflgkeitsmatrix
'"l partjtionierte
K, M Diagonalhypermatrix
I'"" Systemmassenmatrix
K (Nimm) Systemsteitigkeits- I\\u I\\s
matrix: