Faszination Kristalle und Symmetrie: Einführung in die Kristallographie

327 Pages·2016·67.29 MB·German

by  Frank Hoffmann (auth.)

Studienbücher Chemie
Prof. Dr. Jürgen Heck, Hamburg, Deutschland
Prof. Dr. Burkhard König, Regensburg, Deutschland
Prof. Dr. Roland Winter, Dortmund, Deutschland
Die „Studienbücher Chemie“ sollen in Form einzelner Bausteine grundlegende und weiter-
führende Themen aus allen Gebieten der Chemie abdecken. Sie streben nicht unbedingt die
Breite eines umfassenden Lehrbuchs oder einer umfangreichen Monographie an, sondern sollen
Studierende der Chemie – durch ihren Praxisbezug aber auch bereits im Berufsleben stehende
Chemiker – kompakt und dennoch kompetent in aktuelle und sich in rascher Entwicklung be-
findende Gebiete der Chemie einführen. Die Bücher sind zum Gebrauch neben der Vorlesung,
aber auch anstelle von Vorlesungen geeignet. Es wird angestrebt, im Laufe der Zeit alle Bereiche
der Chemie in derartigen Texten vorzustellen. Die Reihe richtet sich auch an Studierende ande-
rer Naturwissenschaften, die an einer exemplarischen Darstellung der Chemie interessiert sind.
Mehr Informationen zu dieser Reihe auf http://www.springer.com/series/12700
Frank Hoffmann
Faszination Kristalle
und Symmetrie
Einführung in die Kristallographie
Frank Hoffmann
Universität Hamburg
Hamburg
Deutschland
Studienbücher Chemie
ISBN 978-3-658-09580-2 ISBN 978-3-658-09581-9 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-658-09581-9
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Planung: Frank Wigger
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V
Vorwort
Liebe Leserinnen, liebe Leser,
ein neues, deutschsprachiges Lehrbuch über Kristallographie liegt vor Ihnen. Sie sind einge-
laden, eine Rundreise durch Formen, Muster, Symmetrien und Strukturen zu unternehmen.
Dabei werden Exkurse über Schönheit genauso eine Rolle spielen wie spezifische Struktur-
betrachtungen.
Es ist nicht so, dass auf dem Lehrbuchmarkt eine Lücke klaffen würde, dass Lehrbücher über
Kristallographie nicht oder nur in englischer Sprache zur Verfügung stehen würden. Der Ent-
schluss, den bestehenden Lehrbüchern dennoch ein weiteres zur Seite zu stellen, beruht im
Wesentlichen auf einer Lehrerfahrung, die ich 2014/2015 gemacht habe: Die Durchführung eines
siebenwöchigen MOOCs (“Massive Open Online Course”) auf der iversity-Plattform zum Thema
Kristalle und Symmetrie mit ca. 2000 Teilnehmern. Wie in einer normalen Vorlesung auch, ging
das Interesse im Verlauf des Kurses und mit zunehmendem Schwierigkeitsgrad zurück, aber das
Entscheidende war: Es waren Teilnehmende aus aller Welt dabei, mit sehr unterschiedlichen
fachlichen, kulturellen und sozio-ökonomischen Hintergründen. Und alle einte ihre Faszination
für Kristalle. So entstand auch ein anregender Austausch in dem begleitenden Forum zum Kurs
mit insgesamt knapp 500 Beiträgen. Dieser Kurs richtete sich an Anfänger, die auf dem Gebiet
keinerlei Vorbildung aufweisen mussten. Das vorliegende Buch verfolgt den gleichen Ansatz und
bereitet die Inhalte so auf, dass fast vollständig auf Formeln und fortgeschrittene Mathematik
verzichtet werden kann.
Mir kommt es als Lehrender vor allem darauf an, die jeweiligen grundlegenden Konzepte eines
Fachs zu vermitteln – und zwar so, dass möglichst die quasi natürliche Neugier der Lernenden
dabei möglichst lange erhalten bleibt oder zumindest nicht gänzlich erlischt ☺. Die quantitati-
ven und mathematischen Zusammenhänge sind längst unzählige Male aufgeschrieben worden,
dazu bedarf es gewiss keines neuen Buches. Und es darf bezweifelt werden, ob es dem Verständ-
nis besonders zuträglich ist, wenn ich Ihnen erzählen würde, dass die Symmetrieoperation einer
horizontalen Spiegelung auch als Matrix geschrieben werden kann:
1 0 0 
0 1 0 
0 0 −1

Nun zählt ein Buch per se zunächst einmal zu den heutzutage eher verpönten Frontal-Lehr-
mitteln und scheint für den angestrebten Zweck deshalb denkbar ungeeignet zu sein. So kann
dieses Buch nur das unvollkommene Ergebnis eines Versuches sein, die Leserinnen und Leser
in möglichst hohem Maße in das Geschehen bzw. die Lehrinhalte mit einzubinden: Es ist ein
Buch, das zu aktiver Mitarbeit anregen soll. Beim Lesen selbst, aber auch darüber hinaus. Sie
sind eingeladen, Kristallmodelle aus Papier zu basteln und ihre Symmetrieeigenschaften zu
entdecken, ggf. Ihre eigenen Kristalle bzw. Minerale zu fotografieren und nach den kristallo-
graphischen Punktgruppen zu klassifizieren. Darüber hinaus gibt es zwischendurch einige
kristallographische Knobeleien und zur Veranschaulichung können Sie durch die zur Verfügung
VI Vorwort
gestellten Begleitmaterialien die dreidimensionale, atomare Struktur von vielen Mineralen am
Bildschirm erkunden. Sie finden alle Begleitmaterialien unter der folgenden URL:
https://crystalsymmetry.wordpress.com/lehrbuch/
Hier finden Sie auch eine Möglichkeit, mit mir Kontakt aufzunehmen, sollten Sie Fragen zum
Buch haben oder etwas nicht verstanden haben. Ich werde dann versuchen, Ihre Fragen zufrie-
denstellend und zeitnah zu beantworten.
Ich wünsche Ihnen viel Spaß beim Durcharbeiten des Buches und würde mich freuen, wenn
Ihr Interesse und Ihre Neugier an der Kristallographie anschließend sogar gewachsen sind.
VII
Danksagung
Ich möchte allen Menschen und Institutionen danken, die an der Erstellung dieses Buches in
der einen oder anderen Form mitgewirkt haben: Amir C. Akhavan, Nicola Ashcroft und der
IUCr, Carole Atallah und dem Mineralogischen Museum Beirut, Dr. Richard Bartlett, Heidi
Waechtler von Coach House Books und Christian Bök, Prof. Dr. Kenneth G. Libbrecht, Erika
Link von der Fa. Der Linkshänder, Dr. Jose Luis Marroquin, der Physikalisch-Technischen
Bundesanstalt, Dr. Brian J. Sanderson, der Fa. Scanmore UG, Dr. Brian A. Wichmann, Inge
van Eycken und der V.o.G. Atomium sowie dem Verlag Wiley-VCH für die Abdruckerlaubnis
von Bildern. Darüber hinaus geht mein Dank an: Prof. Dr. Ulrich – Meister aller Klassen – Beh-
rens, Carl-Philipp – der hagere Riese – Elverfeldt, Prof. Dr. Michael – myboss – Fröba, Eva – die
unermüdliche Bastelfee – Gjuzi, dem Mitherausgeber der Reihe Studienbücher Chemie Prof.
Dr. Jürgen Heck für seine Fürsprache beim Springer-Verlag, Dr. Ninja – Chefin vom Dienst –
Reineke, Dr. Michael – blender-König – Sartor, Támas – das kurze Muskelpaket – Simon, ferner
Kerstin Hoffmann, Martina Mechler und Frank Wigger vom Springer-Verlag, u.a. dafür, dass sie
es aufgrund ihres Einsatzes ermöglicht haben, dass erstmals ein Buch dieser Reihe durchgängig
im Vierfarbdruck erscheint – einfach großartig. Herzlichen Dank!
Frank Hoffmann
Hamburg, im Juni 2016
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung ............................................................................1
1.1 Kristalle – Strukturen – Größenskalen ..................................................2
1.2 Fachtermini – kristallographische Lyrik .................................................5
1.3 Der Begriff Kristall und seine Definition ................................................6
1.4 Anisotropie ............................................................................9
1.5 Robert Hooke und das Korrespondenzprinzip I ........................................10
1.6 Die hexagonale Symmetrie von Schneeflocken ........................................14
1.7 Das Prinzip der Elementarzelle ........................................................18
1.7.1 Charakterisierung der Elementarzelle ....................................................22
1.8 Die sieben Kristallsysteme .............................................................24
1.9 Gitter und Basis/Motiv ................................................................28
Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 Kristallformen und Bravais-Gitter ................................................33
2.1 Phänomenologie äußerer Kristallformen ..............................................35
2.1.1 Tracht und Habitus .....................................................................40
2.2 Miller-Indices .........................................................................42
2.2.1 Negative Miller-Indices .................................................................47
2.2.2 Netzebenenscharen und Miller-Indices in 3D .............................................48
2.2.3 Miller-Indices, Weiss’sche Parameter, Kristallflächen und das Korrespondenzprinzip II ......50
2.3 Die Wahl von Elementarzellen und Bravais-Gitter (Zentrierungen) .....................52
2.3.1 Primitive Elementarzellen/Gitter ........................................................52
2.3.2 Zentrierte Elementarzellen ..............................................................56
2.3.3 Die 14 Bravais-Gitter ....................................................................61
2.4 Atompositionen – fraktionale Koordinaten ............................................64
2.4.1 Fraktionale Koordinaten kleiner null oder größer eins ....................................66
2.5 Austausch von kristallographischen Informationen (CIF-Dateien) .....................66
2.6 Visualisierung von Kristallstrukturen mit VESTA .......................................69
2.6.1 Download und Installation ..............................................................69
2.6.2 Erstellen der Elementarzelle .............................................................70
2.6.3 Spezifizieren der Atomstruktur ..........................................................73
2.6.4 Atombindungen generieren ............................................................75
2.6.5 Ansichtsmodi, Begrenzungen und das Erstellen von Bildern und CIFs .....................76
2.7 Vier Aspekte des Hexagonalen (Kristallsystems) .......................................76
2.8 Trigonal – rhomboedrisch – hexagonal-R ..............................................85
Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3 Symmetrie (ist überall) .............................................................93
3.1 Symmetrieoperation und Symmetrieelement .........................................94
3.2 Die fünf Punktsymmetrie-Elemente ...................................................95
3.2.1 Identität ...............................................................................96
3.2.2 Spiegel- und Rotationssymmetrie .......................................................96
3.2.3 Inversionssymmetrie ..................................................................103
IX
I nhaltsverzeichnis
3.2.4 Drehinversionen ......................................................................104
3.3 Symmetrie äußerer Kristallformen – Kristallklassen ...................................108
3.3.1 Erste Beispiele .........................................................................109
3.3.2 Systematisches Vorgehen – kristallographische Blickrichtungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113
3.3.3 Beziehung zwischen Kristallsystem und Kristallklasse ....................................118
3.3.4 Kristallklassenposter, Kristallformen zum Basteln und interaktive
Kristallklassendarstellungen ...........................................................122
3.3.5 Kristallformen mit VESTA ...............................................................124
Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127
4 Symmetrie in der Ebene – über Tapetenmuster, islamische
Mosaiken, Bilder von Escher und heterogene Katalysatoren ..................129
4.1 Gleitspiegelebenen ..................................................................130
4.1.1 Was ist eine Gleitspiegelebene? ........................................................133
4.2 Die fünf Bravais-Gitter der Ebene, die 17 Ebenengruppen und ihre
Bedeutung für Kultur und Technik ....................................................135
4.2.1 Notation der Ebenengruppen ..........................................................137
4.2.2 Algorithmus zur Identifikation der Ebenengruppe .......................................138
4.2.3 Ebenensymmetrie in kulturellen Zusammenhängen .....................................141
4.2.4 Ebenensymmetrie in der Technik und Beziehungen zwischen
3D- und 2D-Bravais-Gittern ............................................................146
4.3 Werden Sie kreativ – entwerfen Sie Ihre eigenen 2D-Muster! .........................152
4.4 Zwischenfazit und Übergang zur Symmetrie im Raum ................................152
Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154
5 Translationsbehaftete Symmetrieelemente in Kristallen
und Raumgruppen I ...............................................................155
5.1 Gleitspiegelebenen in Kristallen ......................................................156
5.1.1 Die drei einfachen Gleitspiegelebenen a, b und c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157
5.1.2 Die drei komplizierteren Gleitspiegelebenen n, d und e ..................................161
5.2 Schraubenachsen – helicale Symmetrie ..............................................167
5.2.1 Charakteristika von Helices ............................................................169
5.2.2 Das Symmetrieelement Schraubenachse ...............................................170
5.2.3 Schraubenachsen in Kristallstrukturen ..................................................171
5.2.4 Systematische Übersicht über kristallographische Schraubenachsen .....................174
5.3 Raumgruppen ........................................................................177
5.3.1 Definition und Symbolik von Raumgruppen ............................................179
5.3.2 Zusammenhang Raumgruppe – Punktgruppe – Kristallsystem ...........................181
Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189
6 Raumgruppen II – Internationale Tabellen ......................................191
6.1 Die Raumgruppe Pmm2 im Detail ....................................................193
6.1.1 Kopfabschnitt einer Raumgruppe ......................................................193
6.1.2 Diagrammbereich / Symmetrieelement-Diagramm ......................................195
6.1.3 Das Allgemeine-Lagen-Diagramm ......................................................197
6.1.4 Asymmetrische Einheit ................................................................201
6.1.5 Lagen/Positionen und Koordinaten .....................................................203
6.1.6 Ursprung und Ursprungswahl ..........................................................207