Fast Library for Number Theory

294 Pages·2012·1.89 MB·English

FLINT
Fast Library for Number Theory
Version 2.3.0
1 July 2012
William Hart∗, Fredrik Johansson†, Sebastian Pancratz‡
∗ Supported by EPSRC Grant EP/G004870/1
† Supported by Austrian Science Foundation (FWF) Grant Y464-N18
‡ Supported by European Research Council Grant 204083
Contents
1 Introduction 1
2 Building and using FLINT 3
3 Test code 5
4 Reporting bugs 7
5 Contributors 9
6 Tuning FLINT 11
7 Example programs 13
8 FLINT macros 15
9 fmpz 17
9.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9.2 Simple example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9.3 Memory management . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9.4 Random generation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9.5 Conversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9.6 Input and output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9.7 Basic properties and manipulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9.8 Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9.9 Basic arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9.10 Greatest common divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
9.11 Modular arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
9.12 Bit packing and unpacking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
9.13 Logic Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
9.14 Chinese remaindering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
10 fmpz vec 33
10.1 Memory management . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
10.2 Randomisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
10.3 Bit sizes and norms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
10.4 Input and output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
10.5 Conversions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
10.6 Assignment and basic manipulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
10.7 Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
10.8 Sorting. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
10.9 Addition and subtraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
10.10 Scalar multiplication and division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
10.11 Sums and products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
10.12 Reduction mod p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Contents iii
10.13 Gaussian content . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
11 fmpz factor 39
11.1 Factoring integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
12 fmpz mat 41
12.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
12.2 Simple example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
12.3 Memory management . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
12.4 Basic assignment and manipulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
12.5 Random matrix generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
12.6 Input and output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
12.7 Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
12.8 Transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
12.9 Modular reduction and reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
12.10 Addition and subtraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
12.11 Matrix-scalar arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
12.12 Matrix multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
12.13 Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
12.14 Trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
12.15 Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
12.16 Rank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
12.17 Nonsingular solving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
12.18 Row reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
12.19 Nullspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
12.20 Echelon form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
13 fmpz poly 53
13.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
13.2 Simple example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
13.3 Definition of the fmpz poly t type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
13.4 Memory management . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
13.5 Polynomial parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
13.6 Assignment and basic manipulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
13.7 Randomisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
13.8 Getting and setting coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
13.9 Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
13.10 Addition and subtraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
13.11 Scalar multiplication and division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
13.12 Bit packing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
13.13 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
13.14 Squaring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
13.15 Powering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
13.16 Shifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
13.17 Bit sizes and norms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
13.18 Greatest common divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
13.19 Gaussian content . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
13.20 Euclidean division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
13.21 Divisibility testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
13.22 Power series division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
13.23 Pseudo division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
13.24 Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
13.25 Evaluation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
13.26 Newton basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
iv Contents
13.27 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
13.28 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
13.29 Taylor shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
13.30 Power series composition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
13.31 Power series reversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
13.32 Square root . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
13.33 Signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
13.34 Hensel lifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
13.35 Input and output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
13.36 Modular reduction and reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
13.37 Products. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
13.38 Newton basis conversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
14 fmpz poly factor 93
14.1 Memory management . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
14.2 Manipulating factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
14.3 Input and output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
14.4 Factoring algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
15 fmpq 97
15.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
15.2 Memory management . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
15.3 Canonicalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
15.4 Basic assignment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
15.5 Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
15.6 Conversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
15.7 Input and output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
15.8 Random number generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
15.9 Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
15.10 Modular reduction and rational reconstruction . . . . . . . . . . . . . . 103
15.11 Rational enumeration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
15.12 Continued fractions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
15.13 Summation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
16 fmpq mat 107
16.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
16.2 Memory management . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
16.3 Entry access. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
16.4 Basic assignment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
16.5 Addition, scalar multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
16.6 Input and output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
16.7 Random matrix generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
16.8 Special matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
16.9 Basic comparison and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
16.10 Integer matrix conversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
16.11 Modular reduction and rational reconstruction . . . . . . . . . . . . . . 110
16.12 Matrix multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
16.13 Trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
16.14 Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
16.15 Nonsingular solving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
16.16 Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
16.17 Echelon form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
17 fmpq poly 113
17.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Contents v
17.2 Memory management . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
17.3 Polynomial parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
17.4 Accessing the numerator and denominator . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
17.5 Random testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
17.6 Assignment, swap, negation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
17.7 Getting and setting coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
17.8 Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
17.9 Addition and subtraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
17.10 Scalar multiplication and division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
17.11 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
17.12 Powering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
17.13 Shifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
17.14 Euclidean division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
17.15 Power series division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
17.16 Greatest common divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
17.17 Derivative and integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
17.18 Square roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
17.19 Transcendental functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
17.20 Evaluation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
17.21 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
17.22 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
17.23 Power series composition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
17.24 Power series reversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
17.25 Gaussian content . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
17.26 Square-free . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
17.27 Input and output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
18 fmpz poly q 137
18.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
18.2 Simple example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
18.3 Memory management . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
18.4 Randomisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
18.5 Assignment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
18.6 Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
18.7 Addition and subtraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
18.8 Scalar multiplication and division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
18.9 Multiplication and division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
18.10 Powering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
18.11 Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
18.12 Evaluation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
18.13 Input and output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
19 fmpz poly mat 143
19.1 Simple example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
19.2 Memory management . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
19.3 Basic properties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
19.4 Basic assignment and manipulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
19.5 Input and output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
19.6 Random matrix generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
19.7 Special matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
19.8 Basic comparison and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
19.9 Norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
19.10 Evaluation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
19.11 Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
vi Contents
19.12 Row reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
19.13 Trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
19.14 Determinant and rank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
19.15 Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
19.16 Nullspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
19.17 Solving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
20 nmod vec 151
20.1 Memory management . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
20.2 Modular reduction and arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
20.3 Random functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
20.4 Basic manipulation and comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
20.5 Arithmetic operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
20.6 Dot products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
21 nmod poly 155
21.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
21.2 Simple example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
21.3 Definition of the nmod poly t type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
21.4 Memory management . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
21.5 Polynomial properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
21.6 Assignment and basic manipulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
21.7 Randomisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
21.8 Getting and setting coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
21.9 Input and output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
21.10 Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
21.11 Shifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
21.12 Addition and subtraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
21.13 Scalar multiplication and division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
21.14 Bit packing and unpacking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
21.15 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
21.16 Powering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
21.17 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
21.18 Derivative and integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
21.19 Evaluation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
21.20 Multipoint evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
21.21 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
21.22 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
21.23 Taylor shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
21.24 Modular composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
21.25 Greatest common divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
21.26 Power series composition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
21.27 Power series reversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
21.28 Square roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
21.29 Transcendental functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
21.30 Products. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
21.31 Subproduct trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
21.32 Inflation and deflation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
21.33 Factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
22 nmod mat 187
22.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
22.2 Memory management . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
22.3 Basic properties and manipulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Contents vii
22.4 Printing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
22.5 Random matrix generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
22.6 Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
22.7 Transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
22.8 Addition and subtraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
22.9 Matrix-scalar arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
22.10 Matrix multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
22.11 Trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
22.12 Determinant and rank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
22.13 Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
22.14 Triangular solving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
22.15 Nonsingular square solving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
22.16 LU decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
22.17 Reduced row echelon form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
22.18 Nullspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
23 nmod poly mat 195
23.1 Memory management . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
23.2 Basic properties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
23.3 Basic assignment and manipulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
23.4 Input and output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
23.5 Random matrix generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
23.6 Special matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
23.7 Basic comparison and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
23.8 Norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
23.9 Evaluation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
23.10 Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
23.11 Row reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
23.12 Trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
23.13 Determinant and rank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
23.14 Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
23.15 Nullspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
23.16 Solving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
24 fmpz mod poly 203
24.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
24.2 Simple example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
24.3 Definition of the fmpz mod poly t type . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
24.4 Memory management . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
24.5 Randomisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
24.6 Attributes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
24.7 Assignment and swap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
24.8 Conversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
24.9 Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
24.10 Getting and setting coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
24.11 Shifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
24.12 Addition and subtraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
24.13 Scalar multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
24.14 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
24.15 Powering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
24.16 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
24.17 Power series inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
24.18 Greatest common divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
24.19 Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
viii Contents
24.20 Evaluation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
24.21 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
24.22 Radix conversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
24.23 Input and output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
25 padic 219
25.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
25.2 Data structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
25.3 Context . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
25.4 Memory management . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
25.5 Randomisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
25.6 Assignments and conversions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
25.7 Arithmetic operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
25.8 Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
25.9 Special functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
25.10 Input and output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
26 arith 231
26.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
26.2 Primorials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
26.3 Harmonic numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
26.4 Stirling numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
26.5 Bell numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
26.6 Bernoulli numbers and polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
26.7 Euler numbers and polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
26.8 Legendre polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
26.9 Multiplicative functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
26.10 Cyclotomic polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
26.11 Swinnerton-Dyer polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
26.12 Landau’s function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
26.13 Dedekind sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
26.14 Number of partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
26.15 Sums of squares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
26.16 MPFR extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
27 ulong extras 245
27.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
27.2 Simple example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
27.3 Random functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
27.4 Basic arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
27.5 Miscellaneous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
27.6 Basic arithmetic with precomputed inverses . . . . . . . . . . . . . . . . 247
27.7 Greatest common divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
27.8 Jacobi and Kronecker symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
27.9 Modular Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
27.10 Prime number generation and counting . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
27.11 Primality testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
27.12 Square root and perfect power testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
27.13 Factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
27.14 Arithmetic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
27.15 Factorials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
28 long extras 261
28.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
28.2 Random functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
Contents ix
29 fft 263
29.1 Split/combine FFT coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
29.2 Test helper functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
29.3 Arithmetic modulo a generalised Fermat number . . . . . . . . . . . . . 264
29.4 Generic butterflies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
29.5 Radix 2 transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
29.6 Matrix Fourier Transforms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
29.7 Negacyclic multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
29.8 Integer multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
29.9 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
30 qsieve 273
30.1 Quadratic sieve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
31 longlong.h 275
31.1 Auxiliary asm macros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
32 mpn extras 277
32.1 Macros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
32.2 Utility functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
32.3 Divisibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
32.4 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
32.5 GCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
32.6 Special numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
33 profiler 279
33.1 Timer based on the cycle counter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
33.2 Framework for repeatedly sampling a single target . . . . . . . . . . . . 280
34 interfaces 281
34.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
34.2 NTL Interface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
References 283