Table Of ContentFaserbu(cid:127)ndel von Variet(cid:127)aten und Invariantentheorie
Ein einfu(cid:127)hrendes Skript
1
Holger Weigand
1
e-mail: [email protected]
2
Einleitung
Die Hauptaufgabe des vorliegenden Skriptes besteht darin, eine elementare Theorie
von Faserbu(cid:127)ndeln lokal-algebraischer Variet(cid:127)aten (u(cid:127)ber einem algebraisch abgeschlosse-
nen K(cid:127)orper beliebiger Charakteristik) zu entwickeln, wobei die entsprechenden Aussa-
gen m(cid:127)oglichst vollst(cid:127)andig bewiesen werden (Kapitel 2). Hierbei wird das historisch (cid:127)altere
Konzept des Faserbu(cid:127)ndels mit Strukturgruppe G und typischer Faser F verwendet. Die
Darstellung folgt dabei im wesentlichen entsprechenden Theorien, wie sie in der Topolo-
gie oder Di(cid:11)erentialgeometrie u(cid:127)blich sind; vgl. [Ste] und [Hir]. Fu(cid:127)r die Konstruktion von
Faserbu(cid:127)ndeln von zentraler Bedeutung ist dabei die Verklebung von lokalen Modellen
der Form
//
hi
Vi✼✼✼ (cid:24)= Ui✞✞(cid:2)k F
✼ ✞
✼ ✞
✼ ✞
✼ ✞
(cid:25)i ✼✼ ✞✞ pr1
✼(cid:27)(cid:27) (cid:3)(cid:3)✞
✞
Ui
1
verm(cid:127)oge eines Cozyklus fgijg 2 Z (U;G), d.h. die Ui setzen sich zur sogenannten Ba-
sisvariet(cid:127)at X und die Vi zur Totalvariet(cid:127)at Y zusammen. Im Sinne dieses Konzeptes
werden assoziierte Faserb(cid:127)undel via Cozyklen durch Austauschen\ der typischen Faser
"
konstruiert. Die im lokal-trivialen Fall hierzu alternative Konstruktion von assoziierten
Faserbu(cid:127)ndeln aus Prinzipalbu(cid:127)ndeln, wie sie etwa in [Hus] dargestellt ist, wird hier keine
Verwendung (cid:12)nden.
Bei der Beschreibung von Variet(cid:127)aten und Morphismen werden - wie in der klassischen
algebraischen Geometrie - nur abgeschlossene Punkte beru(cid:127)cksichtigt. Um eine Kompa-
(cid:19)
tibilit(cid:127)at dieses Kalku(cid:127)ls mit der hier verwendeten Hauptreferenz El(cid:19)ements de G(cid:19)eom(cid:19)etrie
Alg(cid:19)ebrique [EGA] von Grothendieck/Dieudonn(cid:19)e herzustellen, wurde ein Kapitel 0 vor-
angestellt.
Kapitel1 dient als knappe Einfu(cid:127)hrung, sowohl in die Theorie der algebraischen Grup-
pen, als auch in die geometrische Invariantentheorie. Beschr(cid:127)ankt wurde dabei die Dar-
stellung zum einen auf Begri(cid:11)e, die fu(cid:127)r das grundlegende Verst(cid:127)andnis der Theorien not-
wendig sind und zum anderen auf S(cid:127)atze, die in Kapitel 2, sowie in der Anwendung
bei Modul-Problemen ben(cid:127)otigt werden. In diesem Sinne ist Kapitel 1 als Einfu(cid:127)hrung
in die umfangreiche Standardliteratur zu verstehen, wobei die zahlreichen und exakten
Literaturreferenzen ein tiefer gehendes Studium der Materie erm(cid:127)oglichen sollen (vgl. Li-
teraturverzeichnis).
In gewisser Weise alsBindegliedzwischen Kapitel1 und Kapitel2 dient der Abschnitt
2.5, wo spezielle geometrische Quotienten im Zusammenhang mit Prinzipalbu(cid:127)ndeln un-
tersucht werden. Tats(cid:127)achlich zeigt sich, da(cid:25) gewisse Quotienten von Variet(cid:127)aten nach
freien Gruppenoperationen die Struktur von Zariski-lokal-trivialenPrinzipalbu(cid:127)ndeln be-
sitzen.
Zum schnelleren Au(cid:14)nden der hier behandelten Begri(cid:11)e und De(cid:12)nitionen wurde ein
ausfu(cid:127)hrliches Sachregister angefu(cid:127)gt.
3
Ganz herzlich bedanken m(cid:127)ochte ich mich bei Herrn Professor G. Trautmann fu(cid:127)r zahlrei-
che fruchtbare Diskussionen, sowie bei Herrn Dr. B. Kreu(cid:25)ler fu(cid:127)r das akribische Lesen
des Manuskriptes und wichtige Korrekturhinweise. Ebenso gilt mein Dank Herrn Dr.
habil. K. Zuo, mit dem ich einige l(cid:127)angere Beweise von wichtigen S(cid:127)atzen des 2. Kapitels
durchsprechen konnte.
Allen, die mirbei Computerproblemen hilfreichzur Seite standen, giltmeinherzlicher
Dank: Dr. O. Bachmann, A. Fru(cid:127)hbis-Kru(cid:127)ger, T. Keilen, U. P. Klein, Dr. B. Kreu(cid:25)ler, K.
Kru(cid:127)ger, P. Leopold, Dr. C. Lossen, Dr. W. Pohl, J. Schmidt, Dr. H. Sch(cid:127)onemann, Dr.
W. Veith, M. Wenk und T. Wichmann.
Kaiserslautern, im Dezember 1998 H. Weigand
4
Inhaltsverzeichnis
0 Ultraschemata und Variet(cid:127)aten 7
0.1 Der Begri(cid:11) des Ultraschemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.2 Substrukturen und Verklebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
0.3 Produkte und Faserprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
0.4 Quasikompaktheit und Irreduzibilit(cid:127)at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
0.5 Variet(cid:127)aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
0.6 Morphismen mit speziellen Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1 Algebraische Gruppen, G-Variet(cid:127)aten und Quotienten 27
1.1 Grundlegende De(cid:12)nitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2 Kategorielle und geometrische Quotienten . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3 Homogene Variet(cid:127)aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.4 Zusammenh(cid:127)angende und au(cid:13)(cid:127)osbare Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.5 Reduktive und halb-einfache Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.6 Quotienten nach reduktiven Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2 Faserbu(cid:127)ndel von Variet(cid:127)aten 68
2.1 Grundlegende De(cid:12)nitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.2 Morphismen von Faserbu(cid:127)ndeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.3 Unterbu(cid:127)ndel und Schnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.4 Konstruktion von Faserbu(cid:127)ndeln aus bereits gegebenen Faserbu(cid:127)ndeln . . . 90
2.5 Geometrische Quotienten, Prinzipalfaserungen
und Prinzipalbu(cid:127)ndel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.6 Spezielle zu einem Vektorraumbu(cid:127)ndel assoziierte Faserbu(cid:127)ndel . . . . . . . 108
2.7 Reduktion und Erweiterung der Strukturgruppe . . . . . . . . . . . . . . 116
2.8 A(cid:14)ne und projektive Faserbu(cid:127)ndel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Literaturverzeichnis 133
Index 136
5
6
Kapitel 0
Ultraschemata und Variet(cid:127)aten
Vorbemerkung: Der Sinn dieses nullten\ Kapitels (das im Prinzip als Anhang gele-
"
sen werden kann) besteht in der Begru(cid:127)ndung der in der Literatur h(cid:127)au(cid:12)g stillschweigend
gemachten Vereinbarung, bei der Betrachtung von algebraischen Schemata (u(cid:127)ber einem
algebraisch abgeschlossenen K(cid:127)orper k) nur abgeschlossene Punkte zu beru(cid:127)cksichtigen.
Der Vorteil dieser lokal-klassischen Sichtweise liegt in der M(cid:127)oglichkeit der Verwendung
eines geometrisch-topologischen Kalku(cid:127)ls, wie er in der klassischen algebraischen Geome-
trie u(cid:127)blich ist. Im folgenden soll versucht werden, dieses Konzept (das das historisch
urspru(cid:127)ngliche ist, vgl. [FAC]) in der wesentlich allgemeineren Darstellung E(cid:19)l(cid:19)ements de
G(cid:19)eom(cid:19)etrie Alg(cid:19)ebrique [EGA] wiederzu(cid:12)nden. Als Hauptreferenz hierfu(cid:127)r dient der An-
hang von [EGA I].
0.1 Der Begri(cid:11) des Ultraschemas
0.1.1 De(cid:12)nition: Sei k ein algebraisch abgeschlossener K(cid:127)orper von beliebiger Charak-
teristik und A eine endlich erzeugte kommutative k-Algebra. Dann ist
(Spec(A);OSpec(A))
ein a(cid:14)nes Schema u(cid:127)ber Spec(k); vgl. [EGA I, 6.5.1 und 1.3.4], sowie [Har, II 2.1, 2.3 und
2.5]. Man setzt nun
def
Spm(A) = fa 2 Spec(A)ja ist maximalg
und bezeichnet mit
" : Spm(A) ,! Spec(A)
die kanonische Einbettung der zugrundeliegenden topologischen R(cid:127)aume.
def (cid:0)1
OSpm(A) = " (OSpec(A))
ist dann die Urbildgarbe bzgl. " [EGA I, 0 3.7.1], bzw. die durch OSpec(A) auf dem Teil-
raum Spm(A) induzierte Garbe im Sinne von [God, II 1.5].
7
Der geringte Raum (Spm(A);OSpm(A)) wird als a(cid:14)nes Ultraschema u(cid:127)ber Spm(k)
oder als a(cid:14)nes k-Ultraschema bezeichnet. Der Morphismus von geringten R(cid:127)aumen
(Spm(A);OSpm(A)) (cid:0)! (Spm(k);k)
hei(cid:25)t Strukturmorphismus von (Spm(A);OSpm(A)).
0.1.2 Bemerkung: (Spm(A);OSpm(A)) ist sogar ein lokal-geringter Raum, wobei sich
dielokalenRingemitdenHalmenderStrukturgarbeAe= OSpec(A) indenabgeschlossenen
Punkten von Spec(A) identi(cid:12)zierten.
Andererseits l(cid:127)a(cid:25)t sich OSpm(A) ganz analog zu Ae konstruieren: Sei U o(cid:11)en in Spm(A),
und fu(cid:127)r jedes maximale Ideal x (cid:26) A bezeichne Ax die Lokalisierung von A in x. Dann
`
de(cid:12)niert man O(U)Spm(A)(U) als die Menge aller Abbildungen s : U ! x2U Ax, fu(cid:127)r die
gilt:
(i) s(x) 2 Ax fu(cid:127)r alle x 2 U und
(ii) fu(cid:127)r alle x 2 U existiert eine Umgebung V(x) (cid:26) U , sowie Elemente g;h 2 A, so
g
da(cid:25) fu(cid:127)r jedes y 2 V h 2= y und s(y) = gilt.
h
0.1.3 De(cid:12)nition: Ein Morphismus von geringten R(cid:127)aumen [EGA I, 0 4.1.1]
( ;(cid:18)) : (X;OX) (cid:0)! (Y;OY)
0 0
hei(cid:25)t Morphismus (cid:127)uber dem geringten Raum (Z;OZ), falls Morphismen ( ;(cid:18) )
00 00
und ( ;(cid:18) ) existieren, so da(cid:25) das Diagramm
//
( ;(cid:18))
(X;OX❄ ❄ ) (Y(cid:0) ;OY)
❄ (cid:0)
❄ (cid:0)
❄ (cid:0)
❄ (cid:0)
❄ (cid:0)
❄ (cid:0)
❄ (cid:0)
( 0;(cid:18)0) ❄ ❄ (cid:0) (cid:0) ( 00;(cid:18)00)
❄ (cid:31)(cid:31) (cid:127)(cid:127) (cid:0)
(cid:0)
(Z;OZ)
kommutiert. Sind OX und OY Garben von k-Algebren und gilt (Z;OZ) = (Spm(k);k),
so hei(cid:25)t ( ;(cid:18)) auch k-Morphismus . Fu(cid:127)r o(cid:11)ene Teilmengen U (cid:26) X und V (cid:26) Y mit
(U) (cid:26) V folgt dann aus dem kommutativen Diagramm
oo
(cid:18)V
OX(U\\✾ ) OYBB (V)
✾ ✆
✾ ✆
✾ ✆
✾ ✆
✾ ✆
✾ ✆
✾ ✆
✾ ✆
✾ ✾ - M (cid:17)1 ✆✆ ✆
k;
da(cid:25) (cid:18)V ein k-Algebrenhomomorphismus ist.
8
0.1.4 De(cid:12)nition: Ein geringter Raum (X;OX) hei(cid:25)t k-Ultraschema, falls fu(cid:127)r alle
x 2 X eine o(cid:11)ene Umgebung U(x) (cid:26) X existiert, so da(cid:25) (U;OXjU) k-isomorph zu
einem a(cid:14)nen k-Ultraschema ist. (X;OX) wird in diesem Sinne als geringter Raum u(cid:127)ber
(Spm(k);k) aufgefa(cid:25)t. Der entsprechende Morphismus wird wie in 0.1.1 als Struktur-
morphismus bezeichnet.
U hei(cid:25)t dann - wie bei Schemata - a(cid:14)ne Umgebung von x, bzw. a(cid:14)n-o(cid:11)ene
Teilmenge von X.
0.1.5 Satz: Die a(cid:14)n-o(cid:11)enenTeilmengen eines k-Ultraschemas (X;OX) bilden eine Ba-
sis der Topologie von X.
Beweis: [EGA I, App. 1.5, bzw. 2.1.5].
0.1.6 De(cid:12)nition: Seien (X;OX) und (Y;OY) k-Ultraschemata. Ein k-Morphismus
( ;(cid:18)) : (X;OX) (cid:0)! (Y;OY)
von geringten R(cid:127)aumen hei(cid:25)t k-Morphismus von k-Ultraschemata.
Sind zus(cid:127)atzlich fu(cid:127)r alle x 2 X a(cid:14)n-o(cid:11)ene Umgebungen V von (x) in Y und U(x)
in X mit (U) (cid:26) V gegeben, so da(cid:25) verm(cid:127)oge des durch (cid:18) gegebenen Homomorphismus
der Ringe von Schnitten
(cid:18)V : OY(V) (cid:0)! OX(U)
OX(U) zu einer endlich erzeugten OY(V)-Algebra wird, dann wird ( ;(cid:18)) als lokal von
endlichem Typ bezeichnet; vgl. [EGA I, 6.2.1].
0.1.7 Folgerung: JederMorphismusvonk-UltraschemataisteinMorphismusvonlokal-
geringten R(cid:127)aumen, d.h. der durch (cid:18) : OY ! OX induzierte Homomorphismus von
lokalen Ringen
#
(cid:18)x : O (x) (cid:0)! Ox
ist f(cid:127)ur alle x 2 X lokal; vgl. [EGA I, 0 4.1.12].
Beweis: Sei mx das maximale Ideal des lokalen Ringes Ox, so gilt fu(cid:127)r alle x 2 X
(cid:24) (cid:24)
Ox=mx = k = O (x)=m (x);
vgl. [EGA I, 6.5.3 und 3.5.5]. Die Behauptung folgt somit unmittelbar aus
0.1.7.1 Lemma: Seien R und S lokale k-Algebren mit maximalen Idealen m (cid:26) R und
n (cid:26) S; weiter gelte
(cid:24) (cid:24)
R=m = k = S=n:
Dann ist jeder Homomorphismus ' : R ! S lokal.
9
Beweis: Zu zeigen ist '(m) (cid:26) n: Angenommen, es existiert ein x 2 m mit '(x) 2= n,
was gleichbedeutend ist mit '(x) = (cid:21)1S +b fu(cid:127)r ein (cid:21) 2 k und ein b 2 n. Man hat also
n 3 ('(x)(cid:0)(cid:21)1S) = '(x)(cid:0)(cid:21)'(1R) = '(x)(cid:0)'((cid:21)1R) = '(x(cid:0)(cid:21)1R);
und verm(cid:127)oge der kanonischen Projektion
{
R 3 (x(cid:0)(cid:21)1R) 7(cid:0)! (cid:0)(cid:21)1R
(cid:0)1
folgt, da(cid:25) y = (x(cid:0)(cid:21)1R) 2= m gilt. Also existiert das Inverse y , und somit ist
(cid:0)1 ' (cid:0)1 (cid:0)1
1R = y y 7(cid:0)! '(y )'(y) = '(y )('(x)(cid:0)(cid:21)1S) 2 n
im Widerspruch zu '(1R) = 1S.
0.1.8 Satz: Die Kategorien der (k-Ultraschemata & k-Morphismen lokal von endlichem
Typ) im obigen Sinne und der (lokal-algebraischen k-Schemata & k-Morphismen lokal
von endlichem Typ) im Sinne von [EGA I, 6.5.1, sowie 2.3.1, 2.6.2, 6.2.1] sind (cid:127)aqui-
valent.
Beweis: Nach [EGA I, 6.5.2] ist ein lokal-algebraisches k-Schema ein Jacobson-Schema
[EGA I, 6.4.1], wobei genau fu(cid:127)r die abgeschlossenen Punkte Ox=mx = k(x) eine endliche
K(cid:127)orpererweiterung von k ist. Da hier stets k als algebraisch abgeschlossen vorausgesetzt
ist, giltsogar k(x) = k. Weiter sind die hier konstruierten k-Ultraschematainsbesondere
Ultraschemata im Sinne von [EGA I, App. 1.5]. Die Behauptung folgt nun unmittelbar
aus [EGA I, App. 1.6].
0.1.9 Korollar: Die Kategoriender(k-Ultraschemata &k-Morphismen)im obigenSin-
ne und der (lokal-algebraischen k-Schemata & k-Morphismen im Sinne von [EGA I,
6.5.1, sowie 2.3.1, 2.6.2] sind (cid:127)aquivalent.
Beweis: Die Behauptung ergibt sich sofort aus
0.1.9.1 Lemma: Sei ( ;(cid:18)) : (X;OX) (cid:0)! (Y;OY) ein k-Morphismus von lokal-alge-
braischen k-Schemata, dann ist f = ( ;(cid:18)) lokal von endlichem Typ [EGA I, 6.2.1].
Beweis: Nach [EGA I, 2.6.2] existiert ein kommutatives Diagramm
//
f
X✿s✿✿1✿✿✿✿✿✿ (cid:28)(cid:28) (cid:2)(cid:2)✆ ✆ ✆ ✆ ✆s✆ 2✆ ✆ Y
Spec(k);
d.h. s1 = s2 (cid:14)f ; da s1 lokal von endlichem Typ ist, gilt dies wegen [EGA I, 6.2.3(v)]
auch fu(cid:127)r f.
10
