Extensi´on multivariable del método de Gauss de determinaci´on orbital con alto orden de

94 Pages·2013·2.93 MB·Spanish

Extensio´n multivariable del
me´todo de Gauss de determinacio´n
orbital con alto orden de convergencia
Carlos Andreu Estelle´s
Juliode2013
Directores
Dr.AliciaCorderoBarbero
Dr.JuanRamo´nTorregrosaSa´nchez
ProyectoFinaldeCarrerapresentadoenlaUniversitatPolite`cnicadeVale`ncia
paraobtenerelt´ıtulodeIngenieroSuperiorenTelecomunicaciones.

Agradecimientos
Realmente todav´ıa no me creo del todo que tal d´ıa como hoy este´ escribiendo
esta pa´gina, recordando que an˜os atra´s llegar a este punto parec´ıa una quimera.
Quiza´ lapalabraagradecimientossequedacortaparareferirmealaspersonasque
hancontribu´ıdoaque,enpocosd´ıas,mediganlafamosafrase...
Parami,lapalabraquema´sseadecuaesadmiracio´n.Sientoadmiracio´nporNoelia
CambilTebalacualhasidotodoynadadurantetodosmisan˜osdecarrera.Mitodo
porque con su lealtad, honestidad, carin˜o y respeto han hecho que sea una mejor
personaquevaloratodoloquelerodea.Minadaporquecuandoellanohaestado
a mi lado, so´lo ha habido fracaso. A ma´s de uno hemos hecho callar cuando nos
hemospuestoatrabajarenequipo,apoya´ndonossiempreunoenelotroydisfrutan-
do cuando los reconocimientos eran para ambos. No hay suficientes pa´ginas en el
mundoparaagradecertequesigassiendomicompan˜erayamiga,nihaysuficientes
vocablos para describir todo lo que te admiro. Si te vale, que a mi no porque la
palabrasemequedacorta,graciascarin˜o.
Sientoadmiracio´npormispadresdelosqueheaprendidoqueconconstancia,tra-
bajoyhumildadenestavidatodoretosehacepequen˜o.Lesagradezcoquesiempre
hayan visto el vaso medio lleno y que me hayan levantado tantas veces como hi-
ciera´nfaltaparaseguircaminandopormuygrandequeparecieraelobsta´culo,so´lo
poramorycarin˜o.Sabe´isquesinvosotros,hoynoser´ıanilamitaddepersonaque
soyhoy.
QuieroagradeceraCari,amisabuelosyamisfamiliareshaberestadoah´ı.Adema´s,
me gustar´ıa dedicar todo este trabajo a dos personas que nos han dejado reciente-
mente que son mi bis Carmen y mi abuela Lola. Aunque no este´is y os eche de
menos, sigo sintiendo esa fuerza que siempre me habe´is trasmitido y se´ que don-
de quiera que este´is, seguro que os sent´ıs orgullosas de vuestro nieto el inquieto.
Sientoenormementenohabercumplidovuestrosuen˜odevermeund´ıadelantede
untribunal,peroestetrabajoesunhomenajeparalasdos,osquiero...
2
Tambie´nquieroagradeceramisamigosycompan˜eroselhaberestadocuandoma´s
los necesitaba, el haber compredido que no pudiera amoldarme a todos los planes
ybuscarhuecosparanoperderrelacionesquecontinuandesdelainfancia.Gracias
atodosporformarpartedemivida.
Esteproyectonotendr´ıasentidosinomencionara,agradecierayexpresaramiad-
miracio´n por dos personas, mejor dicho, amigos que siempre han estado cuando
ma´sselesnecesitaba.Siemprehansidounapoyoincondicionalyesperoquesiga-
mos trabajando juntos, porque en todos estos an˜os de universidad jama´s he traba-
jado tan agusto como ahora. Alicia y Juan Ramo´n, gracias por vuestra paciencia,
humildadysinceridad.
Me gustar´ıa agradecer a todos los profesores que fueron un antes y un despue´s.
Fueronunantesyundespue´sporquedespue´sdesusclaseshicierondemiunaper-
sonama´smadurayformada.Sinvuestrasganas,empen˜oyvocacio´nhoytampoco
estar´ıaaqu´ısentadoescribiendo.Graciasatodosyesperoquenuncaabandone´isla
docencia porque no hay mejores que vosotros para seguir formando a las genera-
cionesvenideras.
Por u´ltimo, quiero agradecer a Nacho haber conf´ıado en aquel nin˜o callado y con
rallaalladoqueeduco´ desdelos11an˜os.Graciasporcreerenmi.Nacho,locon-
seguimos.
Valencia,2013.
C.
 TeruAVel..,E

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3

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Indice general
1. Introduccio´n 10
1.1. Resumenyobjetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2. Conceptosnume´ricosprevios 13
2.1. Condicionamientodeunsistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2. LamatrizJacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3. Me´todositerativosbasadosensistemasde
ecuacionesnolineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4. Ordendeconvergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.1. ´Indicedeeficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.2. ´Indiceoperacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.3. ´Indicedeeficienciaaproximado . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.4. ´Indiceoperacionalaproximado . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5. Descripcio´ndelaso´rbitasbajoestudio . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6. Criteriodeparada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7. DesarolloenseriedeTaylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3. ElProblemadeDosCuerpos 23
3.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2. Descripcio´ndelproblema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Integraldelasa´reas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Teoremadelasfuerzasvivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.1. Ca´lculodelaposicio´n(cid:126)r . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.2. Ca´lculodelavelocidad(cid:126)v . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3. Ca´lculodeefeme´rides. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.1. Definicio´ndelospara´metrosorbitales . . . . . . . . . . . 29
4. Determinacio´npreliminardeo´rbitasconelme´todoGaussiano. 34
4.1. Contextohisto´rico.GaussylaAstronom´ıa . . . . . . . . . . . . . 34
5
4.2. Me´tododedeterminacio´ndeo´rbitasapartirdedosposicionesysu
separacio´ntemporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3. Elvectorvelocidad(cid:126)v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.4. Algoritmo computacional para la obtencio´n de la velocidad. Tra-
bajandoconPuntoFijo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.5. Obtencio´n de los para´metros keplerianos a partir de los vectores
posicio´n(cid:126)r yvelocidad(cid:126)v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.5.1. Ca´lculodelsemiejemayoraylaexcentricidade . . . . . 41
4.5.2. Obtencio´ndelainclinacio´ni . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.5.3. Ca´lculo de la ascesio´n recta del nodo ascendente Ω y del
argumentodelperigeoω . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.5.4. Ca´lculodelaanomal´ıamediaM . . . . . . . . . . . . . . 42
4.6. Determinacio´npreliminardeo´rbitasconNewton-Raphson.Me´to-
doDanchick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.6.1. Primer estudio. Nuevo me´todo de determinacio´n prelimi-
nardeo´rbitas.Iteracio´nenX . . . . . . . . . . . . . . . 44
5. Me´todosdedeterminacio´ndeo´rbitasconsistemasdeecuaciones. 49
5.1. Me´todosparasistemasdeecuacionesnolineales . . . . . . . . . 49
5.1.1. Elme´tododeGausscon2variables . . . . . . . . . . . . 49
5.2. Me´todosdeordensuperior.TraubyJarratt . . . . . . . . . . . . . 50
5.3. Nuevafamiliademe´todospararesolversistemasdeecuacionesno
lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3.1. SegundoEstudio.Me´todositerativosvectorialesparael
ca´lculodeo´rbitaspreliminaresdesate´litesartificiales . . . 51
5.3.2. Demostracio´ndelordendeconvergencia . . . . . . . . . 52
5.3.3. ExpresionesdelasfuncionespesoH yG . . . . . . . . . 56
5.3.4. Ana´lisisdeeficienciadeNAJC1yNAJC2 . . . . . . . . 57
6. Resultadosnume´ricos. 59
6.1. Eleccio´ndeWolframMathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.2. Resultadosnume´ricosdelaso´rbitasbajoestudio. . . . . . . . . . 60
6.2.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.3. Estudiodelaestabilidad.Representacio´ndelosplanosdina´micos 64
6.3.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.4. Resultadosnume´ricossobreproblemasacade´micos . . . . . . . . 68
6.4.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7. Conclusionesyl´ıneasfuturas. 71
7.1. Reflexionesfinalesyl´ıneasdeinvestigacio´nfuturas . . . . . . . . 71
Anexos 73
6
A. Representacio´ndelplanoDina´micodeunme´todoiterativo 74
B. Me´todositerativos. 76
B.1. Me´tododeDanchickDANC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
B.2. Me´tododeGausscondosvariablesSNR . . . . . . . . . . . . . . 77
B.3. Me´tododeTraubSTR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
B.4. Me´tododeJarratSJ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
B.5. Nuevafamiliademe´todosdeordenseis. . . . . . . . . . . . . . . 78
B.5.1. Me´todoNAJC1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
B.5.2. Me´todoNAJC2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
C. Orbitasbajoestudio 80
C.1. Programaparalaobtencio´ndel,myν -ν . . . . . . . . . . . . 80
2 1
C.2. O´rbitasdereferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
C.2.1. Programa para el ca´lculo de posiciones en las o´rbitas de
referencia.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
C.2.2. O´rbitadereferenciaI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
C.2.3. O´rbitadereferenciaIII.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
C.2.4. O´rbitadereferenciaVI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
C.2.5. Condicionesiniciales,F yF(cid:48)eno´rbitasdereferenciaI,III
yVI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
C.3. O´rbitasdesate´litesartificialescomerciales. . . . . . . . . . . . . 84
C.3.1. Programa para el ca´lculo de posiciones en las o´rbitas des-
tinadasacomunicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
C.3.2. O´rbitaMolniya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
C.3.3. O´rbitaTundra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
C.3.4. Condicionesiniciales,F yF(cid:48) eno´rbitascomerciales. . . . 86
C.4. Ca´lculodelavelocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
C.5. Ca´lculodelospara´metrosorbitalesapartirdela
velocidadylaposicio´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
D. Ejemplosacade´micos. 89
D.1. Sistemaconn=2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
D.2. Sistemaconn=3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
D.3. Sistemaconn=4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7
´
Indice de figuras
2.1. Representacio´naproximadadeunao´rbitadetipoMolniya . . . . 19
2.2. Representacio´naproximadadeunao´rbitadetipoTundra . . . . . 20
3.1. Diagramadefuerzasdedoscuerpossinperturbacionesexternas . 24
3.2. O´rbitaenelplano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3. O´rbitaenelespacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4. Representacio´nsistemadecoordenadasdefinidoporplanoorbital 33
4.1. DiagramadeFlujoparaobtencio´ndelavelocidadconPuntoFijo. 39
4.2. Relacio´nsector-tria´nguloconν −ν > π/4 . . . . . . . . . . . 40
2 1
4.3. DiagramadeFlujodelme´tododeR.Danchick . . . . . . . . . . . 43
4.4. Gra´ficadexenfuncio´ndey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.5. Primerara´ızdey enfuncio´ndeX . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.6. Segundara´ızdey enfuncio´ndeX . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.7. Tercerara´ızdey enfuncio´ndeX . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.8. Gra´ficadeF(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.1. Evolucio´ndel´ındicedeeficiencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2. Evolucio´ndel´ındiceoperacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.1. Ciclodetrabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.2. Planodina´micodeSNR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.3. Planodina´micodeSTR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.4. Planodina´micodeSJ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.5. Planodina´micodeNAJC1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.6. Planodina´micodeNAJC2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8
´
Indice de tablas
6.1. ResultadosO´rbitadeReferenciaI. . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.2. ResultadosO´rbitadeReferenciaIII. . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.3. ResultadosO´rbitadeReferenciaVI. . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.4. ResultadosO´rbitaMolniya. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.5. ResultadosO´rbitaTundra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.6. Resultadosdesistema(a)conx(0) = (4,−3)T. . . . . . . . . . . 69
6.7. Resultadosdesistema(b)conx(0) = (12,−2,−1)T. . . . . . . . 69
6.8. Resultadosdesistema(c)conx(0) = (5,5,5,−1)T. . . . . . . . . 69
9