Explicit computation of the Abel-Jacobi map and its inverse

228 Pages·2017·2.44 MB·English

by  Hugo Labrande

Explicit computation of the Abel-Jacobi map and its
inverse
Hugo Labrande
To cite this version:
Hugo Labrande. Explicit computation of the Abel-Jacobi map and its inverse. Computational Geom-
etry [cs.CG]. Université de Lorraine, 2016. English. ￿NNT: 2016LORR0142￿. ￿tel-01403849v2￿
HAL Id: tel-01403849
https://theses.hal.science/tel-01403849v2
Submitted on 20 Mar 2017
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E´cole doctorale IAEM Lorraine
Explicit computation of the
Abel-Jacobi map and its inverse
`
THESE
pr´esent´ee et soutenue publiquement le 14 novembre 2016
pour l’obtention du
Doctorat de l’Universit´e de Lorraine
(mention Informatique Fondamentale)
par
Hugo Labrande
Composition du jury
Rapporteurs : John Boxall Professeur, Universit´e de Caen
Guillaume Hanrot Professeur, E´NS Lyon
Examinateurs : Pierrick Gaudry Directeur de recherche, CNRS, Nancy
Renate Scheidler Professeur, University of Calgary
Encadrants : Emmanuel Thom´e Directeur de recherche, INRIA Nancy
Michael J. Jacobson, Jr. Professeur, University of Calgary
Laboratoire Lorrain de Recherche en Informatique et ses Applications — UMR 7503
University of Calgary
Mis en page avec la classe thesul.
i
To Becky, with love
ii
iii
Remerciements
À la fin of a three year cotutelle, there are beaucoup de people to thank, en français and in
English.J’hopenepasforgetanybody,maistellementm’ontentouréandsupportedduringthese
3 ans de thèse that I’m bound to have oublié certains. Sorry!
Je tiens à remercier en premier lieu John Boxall et Guillaume Hanrot pour avoir accepté
de relire ce manuscrit, et pour leurs commentaires, qui m’ont grandement aidé à finaliser ce
manuscrit. I would also like to thank Matthew Greenberg and Wayne Eberly for accepting to
be a part of the examination committee for my candidacy exam in Calgary, as well as Faramarz
Famil Samavati for sitting as the neutral chair. Je souhaite également remercier Sylvain Lazard
pourm’avoirsuivientantqueréférentinterneaucoursdecestroisdernièresannées.Jesouhaite
enfinremercierPierrickGaudryd’avoiracceptéd’êtreexaminateuràlasoutenancedethèse,ainsi
qu’à l’examen de candidature ; mais aussi pour son aide et son expertise sur certaines parties
ardues, comme la lecture du deuxième livre de Mumford. I also wish to thank Renate Scheidler,
who kindly accepted to be part of the defense jury, as well as the jury for my candidacy exam
in Calgary.
I also wish to thank my advisors for their guidance. Many thanks to Mike, for his advice, his
help and mentorship, during this project and the previous ones, and helping to make me almost
a fully-grown researcher over the last six years. Un grand merci à Emmanuel, pour m’avoir
proposé ce sujet de thèse, pour s’être toujours montré disponible et patient, pour ses réponses
pointuesàmesquestionsfréquentes,poursonaidesurtouslesaspects,aussibienthéoriquesque
d’implémentation que pratico-pratiques, ainsi que de m’avoir dit quand j’écrivais trop, ou trop
de bêtises.
Je voudrais également remercier tous ceux qui se sont montrés intéressés par mes travaux de
thèse et m’ont permis de les présenter tout au long de ces trois dernières années. I would like to
thank the Number Theory Group in Calgary, and more particularly those of the Number Nosh,
whohavebeenverywelcomingandallowedmetogivepracticetalksthereafewtimes.Enfin,un
grand merci à Christophe Ritzenthaler, et à Andreas Enge et Damien Robert, de m’avoir invité
dans leurs départements respectifs pour y présenter mes travaux, ainsi que pour les discussions
qui s’en suivirent, toujours très stimulantes et dont les fruits se retrouvent dans ce manuscrit.
A cotutelle is a lot of administrative work, and I cannot forget to thank everyone who was
involvedinmakingthiscotutellepossible.MerciàVanessaBinet,ainsiquelerestedubureaudes
Études Doctorales de l’UL, pour leur aide. Thank you to the Graduate Studies at the Computer
SciencedepartmentoftheUniversityofCalgary,andmanythankstoBrittaTravisforanswering
so many of my questions. Un grand merci à Sophie Drouot pour son aide, notamment pour la
planificationdemes(nombreux!) voyages.JesouhaiteégalementremercierSuzanneCollinpour
m’avoir permis de faire mes heures d’enseignement à Télécom Nancy, tout en composant avec le
fait que j’étais absent la moitié de l’année ; finally, I would like to thank the Computer Science
department at the UofC for providing me with the opportunity to be a teaching assistant there.
Un grand merci également à tous mes collègues, des deux côtés de l’Atlantique. Thanks to
Sebastian for brightening up the office and studying the theory with me. Mille mercis à Marie-
Andrée, l’autre moitié du Bureau des Isogénies, pour sa bonne camaraderie. Merci à Aurélien
poursesconseilsetsesmeubles;merciégalementàHubertetÉricpourcesformationsdoctorales
mémorables.MerciàJérémie,ainsiqu’àRémi,pourlesdiscussionsoccasionnellesentrelyonnais.
Merci à Aurore, et nos longs échanges de mails pendant l’hiver canadien. Et bien entendu, un
grand merci à toute l’équipe Caramel/Caramba, source inépuisable de rires et de trolls, pour
l’ambiancedetravailexceptionnelle,quej’étaistoujourstrèsheureuxderetrouver.MerciàPaul,
Jérémie,Marion,Pierre-Jean,etPierrick,pourleurencadrementbienveillant,etleuraideetleur
disponibilité pour les “jeunes” ; merci à Alexander, Enea et Maike, et merci à Svyat et Simon
iv
pour les trolls et la bonne humeur. Merci à mes co-bureaux successifs – et il y en eut – Laurent,
Hamza,Cyril,Nick,StéphaneetLuc,pouravoirentrecoupélessilencesproductifsdediscussions
animées sur tout et n’importe quoi. Un merci tout particulier à Laurent, qui a sait décrypter
les règlements de l’Université de Lorraine comme personne, et sans qui les formations doctorales
auraient paru beaucoup plus longues.
Andof course, thanks toall thatis notworkandthat allowed meto blowoff steamthrough-
out this time. Merci à Azathoth, Natrium, Yoruk, Stormi et Otto, pour leur passion et leur
ténacité. Merci aux improvisateurs nancéens, et tout particulièrement à ceux de l’association
Improdisiaque ; merci à Steff pour son énergie, à Jess pour son amitié et son rire, et à Fanny
pour son soutien constant et les soirées saucisson épiques. Merci à Armand pour son amitié, nos
discussions profondes comme légères, et pour sa pêche. Thank you to the UofC Improv Club
for always making me feel so welcome every time I came back, and for opening me to so many
new perspectives; thanks to the Kinkonauts Level B class for the fun times. Merci à Anh Thy et
Laure pour toutes ces heures passées au téléphone ; merci à Clément, Olivier et Guillermo pour
leur amitié profonde depuis si longtemps.
Many thanks to my in-laws, for making sure I had a big, loud family whenever I was in
Calgary; for their support in so many ways for the last 5 years; and for always teaching me
something new about Canada or the English language.
Un grand merci à mes parents, pour leur présence constante, leur soutien dans les moments
difficiles, leur joie dans tous les bons moments, leurs encouragements et leur amour, depuis le
début du début. Merci à Manon, toujours aussi proche, toujours aussi complice, toujours aussi
présente, même avec la distance, que ce soit pour raconter des bêtises ou parler longuement.
And of course, thank you to my wife, for her unconditional love and support throughout the
last three years; who stood by me always; who told me to go for it even if she still wonders what
the heck is a theta-constant; who was always patient and understanding; who knows exactly
when I need to stop working and go for a hot chocolate or a Blizzard; who gives me so much
every day and whom I dedicate this manuscript to. Et merci à la petite Anaïs de m’avoir laissé
dormir un peu pour que je finisse d’écrire ce manuscrit. Love you both.
Contents
Introduction 1
1 Contributions of this thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Outline of the manuscript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Computational model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.1 Precision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Loss of precision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 Cost of computations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1 Background on elliptic and hyperelliptic curves 11
1.1 Elliptic curves and isogenies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.1 Elliptic curves over a field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.2 Isogenies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.3 Finding a ‘-isogenous curve: Vélu’s formulas . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.4 Computing an ‘-isogeny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.5 Computing an isogeny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2 Applications of isogenies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.1 Isogenies and the ECDLP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.2 The SEA point counting algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.3 Isogeny-based cryptography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3 The Abel-Jacobi map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.1 Definition of the map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.2 Maps between complex tori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.3 Elliptic functions and the ℘ function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.4 Inverse of the Abel-Jacobi map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4 Hyperelliptic curves and the Abel-Jacobi map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.1 Hyperelliptic curves over C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.2 The Abel-Jacobi map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
v
vi Contents
2 Background on theta functions 31
2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Addition and duplication formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.1 τ-duplication formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.2 Riemann formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Reduction of the first argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.1 Quasi-periodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.2 z-duplication formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Reduction of τ via the symplectic group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.1 Symplectic group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.2 Action of the symplectic group on θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.3 Fundamental domain for τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.4 Loosened requirements for τ for g ≥2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5 Genus 1 instantiations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5.1 Duplication formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5.2 Other equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5.3 Argument reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.6 Genus 2 instantiations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6.2 Reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6.3 Duplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6.4 The Kummer surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 AGM and Borchardt mean 47
3.1 The real AGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.1 Rate of convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.2 Brent-Salamin algorithm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 The complex AGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.1 Choice of signs and optimal AGM sequences . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.2 Convergence of optimal AGM sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.3 Theta-constants and arithmetico-geometric mean . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3 Applications of the complex AGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.1 Elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.2 Computing the complex logarithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.3 Computing the exponential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4 Generalization of the AGM to higher genera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4.2 Choice of roots and convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57