Table Of ContentISBN 978-3-662-23713-7 ISBN 978-3-662-25804-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-25804-0
Als Dissertation von der Philosophischen Fakultät
der Philipps-Universität zu Marburg a. d. Lahn
angenommen am 25. November 1959
Berichterstatter: Prof. Dr. WOLTER
l\Iitbcrichterstatter: Prof. Dr. FLÜGGE
Tag der mündlichen Prüfung: 9. Dezember 1959
Experimentelle und theoretische Untersuchungen
an ebenen Flächellantcnnen
INHALTSÜBERSICHT
Seite
Teil A. Abgrenzung des Themas . . 39
Teil B. Die Kreissektor·Antenne als Randwertproblem 39
1. Problemstellung und Wahl eines geeigneten Koordinatensystems 39
a) Problemstellung und Läsungsmethode. . . . . 39
b) Einführung elliptischer Kegelkoordinaten . . . . 40
2. Die Lecher~vVene in einer elliptischen Kegelleitung . 41
a) Berechnung der TEM-Welle in einer elliptischen Kegelleitung 41
b) Der Wellenwiderstand der Sektorleitung. . . . 41
3. Kugelwellen elektrischen und magnetischen Typs in elliptischen
Kegelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
a) Berechnung der Kugehvelle elektrischen Typs im Strahlungs-
raUIll . . • . • • • . . . • • • • 42
b) Die .E-Wellen und H-Wellen der Sektorleitung . . . . 45
c) Entartung der Lameschen Differentialgleichung . . . 46
4. Anschluß der Felddarstellungen und theoretischer Befund 72
a) Der Reflexion.koeffizient der TEM-Welle 72
b) Eingangswidel'stand. . 72
c) Richtdiagramme . . . 74
d) Stromdichteverteilung . 76
5. Anhang . . 76
a) Berechnung der Rntwicklungskoeffizienten. 76
b) Berechnung des Reflexionskoeffizienten . . t30
c) Berechnung der elektrischen Feldkomponente E#oo ~2
d) .l<'ormelsammlung. . . . . . . . . . . . . . . 82
Teil C. Experimentelle Untersuchungen an ebenen -Flächenantennen ~3
1. vVidcrstandsmcssung. . . . . . . . . . . . . . . . . B3
a) Methode zur ~Iessung des Antennen-Eingangswiderstandes 83
b) \Viderstandsortskurven ebener Flächenantennen . 83
2. Richtdiagramme . . . . . . . . . . . . . . . Bi;
a) Anordnung zur Aufnahme von Richtdiagrammen . 8;";
b) Richtdiagramme ebener Flächenantcnnen 86
Zusammenfassung . H7
Literatu rverr.eichnis Si
Sonderdruck aus
"Zeitschrift für angewandte Physik", 12. Band, 1. Heft, 1960, S. 3fJ-47
Springer~ Verlag, BeTlin· Göttingen • Heidelberg
Experimentelle und theoretische Untersuchungen an ebenen Flächenantennen *
Von SIEG1'RIED BLUME
Mit 26 Textabbildungen
(Eingegangen am 1. August 1959)
Übersicht über die wichtigsten Bezeichnungen nntersucht. Eine Lösung der Maxwellschen Glei
x, y, z = kartesische Koordinaten chungen ist für nichtrotationssymmetrisehe Strahler
r, v, ft = elliptische Kegelkoordinaten dieser Art noch nicht bekanntgeworden.
r, IJ, rp = sphärische Polarkoordinaten Es soll im ersten Abschnitt dieser Arbeit die
g, rp = ebene Polarkoordinaten
= halber Öffnungswinkel eines Kreissektors Kreissektor-Antenne als Randwertproblem behandelt
werden. Im zweiten Abschnitt wird über eigene Mes
t:o = Dielektrizitätskonstante des freien Raumes sungen an unsymmetrischen, ebenen Flächenantennen
1'0 = Permeabilität des leeren Raumes berichtet.
,r,y=.e ,2~,,, /)f/>. == KKroenisswtaenltleennz GahI.l (78)
A = Wellenlänge im Vakuum Teil B
UJ = Kreisfrequenz
a, b = Konstanten des elliptischen Kegelkoordinaten- Die Krcissektor-Antenne als ltandwcrtproblem
systems
A, B = Konstanten GI. (83) 1. Problemstellung und Wahl
C~ = Reihenentwicklungskoeffizienten eines geeigneten Koordinatensystems
D~ = Konstanten GI. (8i b), (9i b), (92b)
E", Ev• E/..t; EI}; Ee = elektrische Feldkomponenten in ellipti a) Problemstellung und LÖ8ungsmethode
senen Kegelkoordinaten, sphärischen Polar
koordinaten und ebenen Polarkoordinaten Wir verbinden einen Kreissektor mit dem Öff
= Konstante mit der Dimension einer elektrischen nungswinkel 2()( über den Innenleiter eines Koaxial
Feldstärke kabels mit einem unsymmetriseh arbeitenden Sender.
E=E(k) = vollständiges elliptiscbes Integral zweiter Gat Der Kreissektor liege in der xz-Ebene eines kartesi
tung (mod . k)
F,f(v), F,f(I') = Lamesehe Funktionen schen Koordinatensystems. Den Außenleiter des Ko
Gn(oc) = Entwicklungskoeffizienten des Reflexionsko- axialkabels wollen wir an eine sehr gut leitende Metall
effizienten platte anschließen, die in der yz-Ebene liegt.
Hr, H" HI'; H~ = magnetische Feldkomponenten in ellipti
schen Kegelkoordinaten und in Polarkoordi z!
naten
= Konstante mit der Dimension einer magneti~
sehen Feldstärke
H,t(x) V= erste Hankeische Zylinderfunktion J-~'r-''} >
h~(~) 2:;:
= H;H(x)
i = V=-T = imaginäre Einheit
Jn(x) = Besselsehe Zylinderfunktion -,&~
V2"X +.
in(x) = Jn (x)
k=b/a=cos oc
K = K (k) = vollständiges elliptisches Integral erster Gat
tung (mod . k)
K~(v), L~(v), M,f(v), N,f(v) = Lamesehe Funktionen der vier
Klassen
\pl == HReefrltezxsicohnesrk oVefefkiztoiern t (elektrischer Strahlungs ;c-o
vektor) Abu. 1. Ebene Kreissektor~Antcnlle. axialsymmetrisch erregt
Q = Fitzgeraldscher Vektor (magnetischer Strah-
lungsvektor)
ffi=R+iX = Eingangsimpedanz Durch diese unsymmetrische Speisung wird bei
r 0 = Länge des Kreissektors Widerstandsmessungen eine Abschirmung zwischen
u = skalares elektrodynamisches Potential Strahler und Meßleitung erreicht, die, als Koaxial
v = Variable GI. (68) leitung ausgebildet, zwischen Sender und Antenne
w w' = Lösungen der Wellengleichung
Z' = Wellenwiderstand der Sektorleitung liegt.
Zo = V1' ;/ '0 = Feldwellcnwiderstand. Bei den folgenden theoretischen Untersuchungen
wollen wir mit einer ins Unendliche ausgedehnten nnd
sehr gut leitenden Grundplatte rechnen.
Teil A Eine vom Sender auf der Koaxialleitung erregte
Abgrenzung der Themas Lecher-Welle mit den Feldkomponenten EQ und H~,
auch TEM-Welle genannt, laufe in Richtung der
Über die Breitbandeigenschaften von flächen positiven x-Achse auf den Sektor zu (Abb. 1). Beim
haften ebenen Dipolen ist bereits in mehreren Arbeiten Eintritt in die aus Kreissektor als Innenleiter nnd
berichtet worden (s. [1] bis [6]). Flächenhafte An Grundebene als Außenleiter bestehende Leitung der
tennen wurden dabei hauptsächlich experimentell Länge ro bleibt der Typ der Welle erhalten. Die Be
rechnung der TEM-Welle in dieser "elliptischen
• Dissertation aus dem Institut für Angewandte Physik
der Universität Marburg a. d. L. Kegelleitung" ist die erste Aufgabe. Am Ende unserer
40 S. BLUME: Untersuchungen an ebenen Flächenantennen angZeewitasnchdrteif tP fhüyrs ik
von der Kugelhalbfläche r =ro begrenzten Leitung a und b sind positive Zahlen, wobei willkürlich a>b
setzen wir einen Teil der TEM-Welle durch eine Kugel gesetzt wurde. r, v, (t haben die Bereiche
welle elektrischen Typs in den freien Raum fort. Der
restliche Teil wird an eben dieser Aperturfläche re O:O::r, }
(2)
flektiert werden und zur Bildung einer stehenden 0;;;; v';;;; b';;;;(t';;;; a'.
Welle auf der Leitung führen.
Die orthogonalen Flächenscharen bestehen aus kon
Die Kugelwelle elektrischen Typs im Strahlungs
zentrischen Kugeln
raum besitzt z. B. eine elektrische Feldkomponente in
Fortpflanzungsrichtung, die TEM-Welle dagegen nicht. x' + y' + z' = r', (3)
Zur vollständigen Beschreibung der Feldverteilung auf
der Aperturfläche müssen deshalb die höheren Wellen elliptischen Kegeln um die x-Achse
typen in der Sektorleitung neben der TEM-Welle
X'
herangezogen werden. Den Aufbau dieser E-Wellen v' (4)
bzw. H-Wellen der Sektorleitung - also Wellen mit
einer elektrischen bzw. magnetischen Feldkomponente und elliptischen Kegeln um die z-Achse
Ninu nF oirsttp faluasn zduenrg Tsrhiecohrtiuen gd e-r Hwohelrrdoehnr lweiitre ra ubfezkeaignennt,. ix<2' + p.' -y2/} 'i" - a' _Z2 p.' = O. (5)
daß solche Wellentypen stets eine kritische Wellen
länge besitzen. Wenn wir das System mit einer Das Bogenelement lautet
Wellenlänge erregen, die oberhalb der größten kriti +
schen Wellenlänge - hier von der Größenordnung ro- ds' = dr' r'«(t2 -v2) X }
lMieagnt, wdiarndn dwesehrdaelbn aanllnee Nhmebeenn wdeülrlfeenn ,s tdaarkß guendtäemr pdfetr. X ( (b' - V~r(~, -v2) +(ß2~b~fi~,-= ßi)) . (6)
Voraussetzung A> ro die durch die Nebenwellen be Die Polarachse hat bei den Transformationsformeln (1)
schriebene Störung rasch abklingt. Insbesondere wird die Richtung der positiven x-Achse. rp wird von der
am Speisepunkt der Antenne praktisch nur die TEM
oberen Hälfte der xy-Ebene aus gezählt im mathe
Welle vorhanden sein. Wir verzichten deshalb von
matisch positiven Sinne. Wenn der Punkt (xyz) einen
vornherein auf eine vollständige Beschreibung der
z
Feldverteilung in der Aperturfläche r=ro und be
rücksichtigen allein die TEM-Welle. Eine Verbes z
serung durch Hinzunahme höherer Wellentypen führt
allerdings auch zu großen mathematischen Schwierig
keiten. Unsere Vereinfachung läßt sich schließlich
auch durch die befriedigende Übereinstimmung zwi
schen experimentellem Befund und berechneten
Werten rechtfertigen. Die Kugelwelle elektrischen --------~~------.x
Typs außerhalb des Halbkugelraumes vom Radius ro
müssen wir gewissen Symmetrieforderungen unter Abb. 2. Entarteter elliptischer Abb.3. Entarteter elliptischer Kegel
Kegel in positiver ::z:':Richtung in positiver z~Richtung
werfen. Auf der unendlich gut leitenden Grundebene
müssen ferner die tangentialen elektrischen Kompo Oktanten durchläuft, so durchlaufen r, v, (t gerade ihr
nenten verschwinden. Die einander entsprechenden oben zugewiesenes Intervall. Nimmt eine der Koordi
Feldkomponenten der TEM-Welle im Innenraum der naten v bzw. (t ihren Grenzwert an, so rückt der
Leitung und der Kugelwelle elektrischen Typs im Punkt (xyz) gerade auf eine der Grenzebenen des
Außenraum der Leitung schließen wir auf der Apertur Oktanten.
fläche aneinander an. Wir gelangen so zu einer aus Untersuchung der Grenzfälle.
den Randwerten gewonnenen Lösung der Maxwell 1. Der elliptische Kegel um die x-Achse entartet
sehen Gleichungen. für v = 0 in die yz-Ebene.
Die Behandlung dieses Randwertproblems lehnt 2. Wir lassen sodann in der Gleichung des Kegels
sich in der Methodik an Arbeiten von SCHELKUNOFF [7J um die x-Achse y-->-O gehen und setzen v =b ein. Aus
und PAPAS u. KING [8J über rotationssymmetrische (4) ergibt sich dann
Kegelantennen an. Eine Darstellung dieser Methode
findet man auch bei ZUHRT [9J. Zx22 = a,2--b--2= -b2-.
b) Einführung elliptischer Kegelkoordinaten Nun ist aber (Abb. 2)
Wir führen zunächst elliptische Kegelkoordinaten -'" = ctga.
r, v, (t ein. In der Nomenklatur wollen wir uns dabei z
möglichst weitgehend an das Buch von HOBSON [lIJ Daraus folgt also
halten. ctg' a = o} _b' b' .
x= r cos {} = r J"".
b1ar -,' = Die letzte Gleichung ist e.rf üllt, Vwe-nnb w'i r setzen:
Y = r sin {} cos rp = r .l~-,-p.,-v--~ab,= '' l=-/b'=' =-"V":2'- (1) cosoc = ab ' sma= 1--. (7)
b b' a'
Z = rsin{}sinrp = r 1f /aa2v~~a 1'V-/.a 2b _' vi vD =e rb eilnl iepitnisecnh eS eKkteogre iln udmer dxize- Exb-eAnceh msei te dnetmar theatl bfeünr
HeXftl I1. -B1a9n6d 0 S. BLUME: Untersuchungen an ebenen Flächenantennen 41
Öffnungswinkel IX. Durch das Verhältnis bJa wird IX aus GI. (11) und (14)
festgelegt. g(l')
3. Für,u = a entartet der elliptische Kegel um die ~,= V.I " -", (17)
z-Achse in die xy-Ebene.
4. Wir lassen in der Gleichung des elliptischen Aus GI. (10) und (12) folgen schließlich die Differen
Kegels um die z-Achse y-+O gehen und setzen ,u =b tialgleichungen
ein. Aus (5) folgt:
(;2
b;' (rE,) -1-,,2. (rE,) = 0, (18)
Nun ist aber (Abb.3) ;"~,2, -(r H,,) + ,,2. (,. H,,) = 0, (19)
x =tgß. wobei
(20)
Ein Vergleich ergibt
gesetzt wurde.
tgß = etglX,
also GI. (18) und (19) werden durch eine r-Abhängigkeit
ß =90o-rJ.. (8) dlaeur teFt oarlmso me-icti "(1!r6 ) eurnfüdl lt(.1 7) Die allgemeine Lösuug
Für,u = b entartet der elliptische Kegel um die z-Achse
in einen Sektor mit dem halben Öffnungswinkel ß in (21)
der xz-Ebenc.
Unser elliptisches Kegelkoordinatensystem ist
offensichtlich zur Behandlung der Aufgabe geeignet; H = __. R_ 0_ ((~';;':f_ p~e-_ix)r (22)
denn die vorkommenden Flächen (Abb.l) sind Ko (I Ul"p,2_V2, r r ,.
ordinatcnflächen in diesem System.
Aus der Differentialglciehung (10) cr/l:ibt sich für das
Verhältnis der Konstanten Eo und Ho der \Vert
2. Die Lecher-Welle
in einer elliptischen Kegelleitung
a) Berechnung der TEM-Welle
in einer elliptischen Kegelleitung
Zo ist der Feldwellenwiderstand des freien Raumes;
Die Feldgleichungen lauten bei einer Zeitabhängig \J wollen wir Reflexionskoeffizient nennen.
keit e-irot im Vakuum
1
b) Der Wellenwiderstand der Sektorleitunq
rotH =-iWEoE,
H"
rotE = iw,uoH, Die Feldlinien E, und verlaufen auf Kugel
(9) oberflächen. Eine jede Kugeloberfläche ist für unsere
divH =0,
Lecher-Welle eine induktions- nnd verschiebungs
divE = O. stromfreie Fläche. vVir können also Spannung und
Strom in eindeutiger \Vcisc berechnen.
Als Feldkomponenten kommen E, und ~, in Be Die Spannung zwischen zwei Potentialflächen v,
tracht. Nach den allgemeinen Formeln für krumm
linige orthogonale Koordinaten (s. [12J) erhalten wir und V2, also zwischen zwei elliptischen Kegeln um die
x-Achse, ist das Linienintegral der elektrischen Feld
in elliptischen Kegelkoordinaten aus den Maxwell
stärke E,:
sehen Gleichungen folgende Differentialgleichungen
für E,. und H" : u = j'E,d8,. . (24)
"
(10)
Den Strom auf unserer elliptischen Kegelleitung be
C:v- (1'/f,,2 - 1'2HJ-)I = 0 ' (ll) rFeeclhdnsetnä rwkier~ a,u su mde mde Un mIlnanuefninleteitgerra :l der magnetischen
1 ')
rGr (rE,) = iw,uoH", (12) (25)
8:-(V;2-_~2EJ = 0, (13) Das Verhältnis UJI der auslaufenden Welle ist der
Wellenwiderstand der elliptischen Kegelleitung.
a (11;'-_y2H) = 0 (14)
all fl'
-t;(V;2_y2Ev) =0. (26)
(15)
Die Differentialgleichung, die sich aus der Forderung Hier wollen wir speziell den \V ellen widerstand Z
Er =0 ergibt, ist in diesem Systcm enthalten. einer elliptischen Kegelleitung berechnen, bei der der
Aus GI. (13) und (15) folgt Innenleiter zu einem Sektor vom Öffnungswinkel 20t
und der Außenleitcrzu ein Cl' Ebene entartct ist (Abb.I).
E p =_-1I/;i(2 -r=--LV2. (16) Wbzwir. s(e2t2z)e inn dGaIz. u( :2e4l)e nu zcwrs. te(:nl5 )S euimn.m Danied Lenin iaeunse lGeIm. e(2n1te)
42 S. BLUME: Untersuchungen an ebenen Flächenantennen angZeewitasnchdrteif tP fhüyrs ik
ds, und ds sind aus (6) zu entnehmen. Wir erhalten Wellenwiderstand der entsprechenden symmetrischen
p
o Leitung ist doppelt so groß.
U= ~o ei xr JV (iJ' ~c~iT- = ;2) , IEnin Ae ebnbt.s4p riescth Ze ndales F Fourmnketli iosnt bveoreni trsx vaounf gAeRtrLaTg e[6n J.
b über die Lösung der Potentialgleichung abgeleitet
worden, die dasselbe liefert.
Zu den Darstellungen (21) und (22) ist noch fol
gendes zu bemerken: E, und ~ werden (abgesehen
also von r =0) singulär für v =fl =b, d.h., gerade an den
Kanten des Sektors. Die Funktion I I ~ ist aber
z = Zo auf einer Kugcloberfläche r = ro quadrr}a.uti2s-chv2 integrier
4 bar:
r
dl
• r2(/1' -v')
J.b ... obKerufgläecl-he b a
J J
Wir formen Vi62- vdi)v( az-~~2j . unter Einführung einer = 8 dv dfl VibC-';i)(a;'::: ~/V(/1''::'b')(a'---/12j
neuen Variaob len t =v/b um. Bei Berücksichtigung von o b
" u = a8 , K(cosrx)K(sinrx).
,Q \
zoo J. Sie kann somit dort nach einem vollständigen ortho
gonalen Funktionensystem entwickelt werden.
1\
0
3. Kugelwellen ele/ctrischen und magnetischen
Z TZ ~ '\I "- Typs in elliptischen Kegelkoordinaten
a) Berechnung der Kugelwelle elektrischen Typs
"-
8& im Strahlungsraum
I '"
" Im Innenraum der Leitung haben wir uns auf die
\ TEM-Wellc festgelegt. Insbesondere läuft die Kom
ponente ~ auf Kreisperipherien direkt um den Sektor
0 herum. Der Vektor der Stromdichte auf der Antenne
kann deshalb bei dieser Beschränkung auf die TEM
Abu. 4. Wellenwiderst.and sektorförmiger ~'lächellantenllcll Welle auch nur eine radiale Komponente besitzen.
Dann hat aber der Hertzsehe Vektor P im Außen
b/a = cos rx erhalten wir raum der Leitung auch nur eine von Null verschiedene
Jb 1 Komponente Pr.
'-:'v~~a''::' ~ / V~ --/;)(: -~:t~) Zur Lösung der Maxwellschen Gleichungen
V(b2 v')
o rotH =-iweoE, (28a)
= ~K(cosrx). rotE =iwfloH, (28b)
a
Dabei ist K (cos rx) das vollständige elliptische Inte divH =0, (29a)
gral erster Gattung mit dem Modul cos rx.
divE =0 (29b)
Mit der Substitution
(/1)' machen wir den Ansatz
I _ b'
a' b H = - iweorotP (30)
mit P=(P" 0, 0). Dann folgt aus GI. (28b)
findet man ferner
rotE = u2 rot P,
Ja K also
V~ _b :~= /1') = -1 (sin rx). E=u2P+gradu, (31)
b
da ja die Rotation eines Gradienten verschwindet.
Dabei ist wieder K (sin rx) das vollständige elliptische
Integral erster Gattung mit dem Modul sin rx. Durch den Ansatz (30) ist div H =0 erfüllt. Wir
bestimmen jetzt den Zusammenhang zwischen der
Folglich ist
skalaren Funktion u und der Komponente· Pr des
(27) Hertzschen Vektors aus der ersten Maxwellsehen
GI. (28a). Dann ist auch div E =0 erfüllt. Dazu
der Wellenwiderstand der unsymmetrischen Sektor setzen wir (30) und (31) in GI. (28a) ein. Wir erhalten
leitung. Wir wollen stattdessen auch vom Wellen
+
widerstand der Kreissektor-Antenne sprechen. Der u' P grad u - rot rot P = O. (32)
HeXfIt I1. -B1a9nd6 0 S. BLUME: Untersuchungen an ebenen Flächenantennen 43
Die Vektorgleichung (32) zerlegen wir in die drei Lösungen Y(v;,u) gelangen, wenn wir der Separations
Komponentengleichungen konstantenq den Wert -71,(71,+1) geben, wobei
71,=0;1;2;3; ... sein kann_ Die regulären Funk
tionen Y(v;,u) sind äquivalent den regulären Kugel
flächenfunktionen y(tt; rp). Man kann über die Trans
formation der Glieder cos {}, sin {} . sin <p und sin tt .
cos rp der Kugelflächenfunktionen nach den Formeln (1)
zu einer Darstellung der "Lameschen Produkte"
Y(v;,u) gelangen (s. HEINE [10] und HOBSON [ll]).
o~rB o-v _=o ' (34) Der Separationsansatz
(42)
DU 8'.?,
öß - ar8ß =0. (35) führt uns mit der Separationskonstanten -p(b'+a')
von der Differentialgleichung (40) zu den folgenden
Die beiden letzten Gleichungen sind erfüllt für Differentialgleichungen:
u = e-e.. ?r, - (36) V02:::..v,) (a,-=-.2) -d~v M.. b''::::;') (~C;;') dFd,v ( V))" + 1( 4;{)
Wir setzen + [p(b'+a')-n(n+l)v'Jl'~(v) = 0,[
Pr=rw. (37)
Es ist also
u =-8a(r,w:)- . -V(~2-=-b2)(~'~;2) d~ (Vf;'~b-i)(a2---,ui) ~~/~"))+l (44)
+ [p(b'+a')-n(n+ 1),u']F,(f') =0.[
Wir führen dies in GI. (33) ein, die wir vorher noch
durch r dividieren. Wegen Man erhält also zwei genau gleiehe Differentialglei
chungen, die sich nur durch das Symbol v bzw. I'
1 8u 1 ..<!~(rw) voneinander unterscheiden. Im folgenden soll daher
r or ör2 der Index I bzw. 2 weggelassen werden. Man nennt
findet man GI. (43) bzw. (44) "Lamesche Differentialgleichung".
Die Konstante p ist zunächst willkürlich, so daß es
,1.' 8iJr ( r , TOWr ) + aislts,o L iöns ueningeern udneer nDdilfifcehreenn tAianlgzlaehicl hvuonng eWn e(4g3e)n b mzwö.g (l4ic4h)
zu finden. Mann kann aber für positive ganze Werte
von n die Konstante p so wählen, daß die Fnnktionen
(38) F(v) bzw. F(,u) Polynome werden, die für den gesamten
Wertebereich von v bzw. I' endlich sind. Es gibt für
jedes positive ganze n jeweils 2n+ I solcher Polynome.
Die 2n + 1 Polynome Fn (1') lassen sich für jedes posi
tive ganze n in folgende vier Klassen einteilen:
Das ist aber gerade die in elliptischen Kegelkoordinaten
angeschriebene Wellengleichung für die skalare Funk Kn (fl) = co,u" + c1,un-2 + C,fl"-4 +-.
tion w. Der Ansatz Ln(f') = lIpCb2 (cof',,-l +-C1,u,,-3 + ... ), 1(45)
w =R(r) Y(v;,u) (39) Mn(f') = Va'-p2(co,un-l +-c1fln-3 + ... ),
führt mit der Separationskonstanten q zu den fol N,. (1') = V(~=b')(a2-~'i (CO,u,,-2+C1,u,,-4+ .).
genden Differentialgleichungen:
Dasselbe gilt für die Polynome Kn (v), Ln (v), Mn (v)
V(bCV')(~2_V2) :. (V(bCV')(~2_V') 8Y~/))+- und Nn (v), wobei die Wurzeln stets so zu schreiben
v sind, daß sie reelle Werte im gesamten Bereich von v
+- Cu' - b')(~'--=/t2) x bzw. I' besitzen. Wir wollen schließlich durch einen
(40) zweiten Index 8 diejenigen Polynome unterscheiden,
x 8_ (V(P,2 _ b') (a' --1") ~Y~';,u))_ die bei festgehaltenem n zu einer Klasse gehören.
aß Oß
Wegen (37), (39) und (42) wird Isich also die Vektor
-q(p,2-v') Y(v;,u) =0, komponente Pr> abgesehen vom Radialanteil, als eine
Linearkombination der folgenden "Lameschen Pro
:r (r' d~;r)) + (,,'r' + q) R(r) = o. (41) dukte" ergeben:
K~(v)K~(,u),
Zur Differentialgleichung (40) Li, (v) Li, (1'),
(46)
Die Funktionen Y(v;,u) sind Funktionen auf einer M~(v)M~(,u),
Kugeloberfläche. Eine Transformation der Diffe N~(v)N~(f').
rentialgleichung (40) auf Kugelkoordinaten {} und <p
führt uns zur Differentialgleichung der Kugelflächen Es ist also in einer Reihenentwicklung nach Lameschen
Produkten
fnuunrk dtiaonnne nz u Yau({f} ;d <epr) . gaHnzieenra Kusu geerlkolbäerrtf läsicchhe, redgaußl äwreinr I I G~ F,; (v) F,; (1')
n 8
44 S. BLUME: Untersuchungen an ebenen Flächenantennen ang~eeiwtascnhdrtief tP fhüyrs ik
jedes Produkt Fi (v) . Fi (ft) so zu verstehen, daß Fi (v) lnngen der oben erwähnten Art. Dieser Forderung
stets genau dieselbe Funktion ist wie Fi (ft), daß also genügen dagegen die Faktoren sin 'P, cos 'P und
keine Glieder sin'P' cos 'P in (48) nicht. Wir ziehen daraus den Schluß,
daß der Hertzsehe Vektor unseres Problems im Außen
K;,(v) K;dft}, K~ (v) K::(ft),
raum in bezug auf seinen 'Vinkelanteil nur aus
K~ (v) L~ (ft), K~ (v) 111:' (ft), . " Lam6schen Produkten vom Typ K~(v)· K~(ft) auf
mit 71,*,'" bzw. 8,*,8' vorkommen. Bei festem 71 sind gebaut werden darf.
die 271 + 1 Produkte (46) voneinander linear unab Für geradzahliges n findet man ; + 1 Funktionen
hängig.
der Klasse K. Für ungeradzahliges n findet man
Die Lamcschen Produkte stellen im übrigen ein i (n + 1) Funktionen der Klasse K.
vollständiges orthogonales Funktionensystem dar.
t
Soll eine gegebene Funktion (v ; ft) nach Lameschen
Produkten entwickelt werden, so hat man sie vorher Zur Ditterentialgleichung (41)
7,U zerlegen in Teile, die den Lameschen Produkten Mit q = - n(n + 1) lautet GI. (41):
der vier Klassen in ihrer Form entspreehen. Jeder
dieser Teile von t(v; ft) wird dann gerade nach Pro d (r.<lR(r))' .L(,,2r2-n(n-t1))R(r) =0.
dukten einer dieser vier Klassen entwickelt (s. REINE dr d'r I
[10] und HOB SaN [11]). Das ist aber gerade die Diffel'entialgleiehung der halb
Die Vektorkomponente Pr wird also in unSerem zahligen sphärischen Zylinderfunktionen. Da uns nur
Fall in bezug auf ihren Winkelanteil zunächst dar ins Unendliche auslaufende 'VelIen interessieren,
gestellt werden dm'eh eine Linearkom bination aller kommen bei einer Zeit abhängigkeit e-iml nur sphäri
tamcschen Produkte: sehe Hanke I-Funktionen erster Art in Frage
K;, (v) K~ (ft),
B,;c-!("r)
Vb2~;;2 Vft2 =bi 8;,-1 (v) S~-l (ft), V;r
Vai=~ Vd2-=~2 T,;-dv) '1;;_1 (ft), (47)
Damit ist gleichzeitig die Sommerfeldsehe Ausstrah
V( b2 - v2) (a' - v2) V (ft2= b') (~2= ft2) X lungsbedingung erfüllt.
X U,;_2 (v) U,;_2 (ft)· gleiDchieu nhgi er allein interessierende Lösung der Wellen.
Dabei sind K, S, '1" U reine Polynome von v bzw. ft. Ll w + ,,2 W = 0
Die Faktoren vor diesen Polynomen können wir nach
lautet alw wegen (3B):
den Transformationsformeln (1) in Kugelkoordinaten
anschreiben; bis auf Konstanten also: ln
K~(v) K~(ft), ) w ~-;.-'iY-- L"". . L'"-. , .C'n' BnIV~ ,",r ( "r) Kn' (V ) Kn' (f t ) .
sinD cos 'P 8;'-1 (v) S~l (ft),
(48)
sin 1~ sin 'P T,; --d v) '1;; __ dp), Die Koeffizienten Ci, sind zunächst unbekannt. Aus
sin2D ,in 'P cos'P U,;-2 (v) U,;-:2 (ft). v~
%weckmäßigkeitsgl'ündcll ist die Konstante
Aus tlymmetriegründen muß aber der Hertzsehe Vek vor die Doppelsumme gezogen worden. "
tor unseres Problems folgender Forderung geniigen:
Er muß, wie die TEM-Welle im Innenraum der Lei Wegen Pr = tW findet. man also
tung, in allen vier Oktanten des betrachteten Halb
raumes außerhalb der Kugelhalbfläche r = 1'0 (Abb.l)
gleich aufgebaut sein, d.h., er muß invariant sein
gegenüber Spiegelungen an den beiden Symmetrie
ebenen des Kreissektors. Da die Exponenten zweier Die Komponenten des elektromagnetischen Feldes
aufeinanderfolgender Glieder in den Polynomen K, S, folgen hiermit bei Berücksichtigung von (36) aus (30)
T, U sich jeweils um zwei Einheiten unterscheiden, und (31). Wir berechnen zunächst die Komponente Er.
stehen in den Produkten
Er =,,2Pr +grad,u
K;(v) .K;,(ft), S;,-dv), S;-r{ft},
Ti-dv), Ti-dft), u,:-z(v)· U,Z-2(ft) = ,,2 Pr + _(,0Ir _ ( ~cPrr )"
nur Glieder der Fo(rvmp )i (pet + ft2k). Vx-~L .J"L\."..\J' Cn' [X '·1 i/rxr-·- HnI -l--,1( _xr )
n s
Aus den Transfol'mationsformcln (1) erhält man aber
leicht
vft =bacos{},
v2 -)- p2 = a2 r(I + ab22J - ("s in2 'P f- ab-', cos2 'P) sin2 0 j . Ed.rh m. fuüßr va u=f0 d,e vr eursncehnwdliincdhe ng.u tK l:e'(ivte) nidste nn uGnr ufünrd egbeerande ,
zahliges n eine gerade Funktion von v und für ungerad
Man erkennt also sofort, daß die zuletzt angeschrie zahliges n eine ungerade Funktion von P. Wir erfüllen
benen Produkte invariant sind gegenüber Spicgc- also die Randbedingung, wenn wir nur iiber ungerade n
