Experimentalphysik 5: Moderne Methoden der Datenanalyse Physik Denken

168 Pages·2013·2.499 MB·German

by  Martin Erdmann, Thomas Hebbeker (auth.)

Physik Denken
Martin Erdmann
Thomas Hebbeker
Experimental-
physik 5
Moderne Methoden der Datenanalyse
Springer-Lehrbuch
Physik Denken
Martin Erdmann · Thomas Hebbeker
Experimentalphysik 5
Moderne Methoden der Datenanalyse
Physik Denken
Prof.Dr.MartinErdmann
Prof.Dr.ThomasHebbeker
RWTHAachen
Physikzentrum
3.PhysikalischesInstitut
Otto-Blumenthal-Straße
52056Aachen
Deutschland
[email protected]
ISSN0937-7433
ISBN978-3-642-17293-9 ISBN978-3-642-17294-6(eBook)
DOI10.1007/978-3-642-17294-6
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Physik Denken
DiePhysikstelltdieBeobachtung,dieErklärungunddieVorhersagevonNaturvor-
gängenin den direktenZusammenhangmit der Mathematik.Physikalische Denk-
undArbeitsfähigkeitenerforderndeshalbfundierteKenntnisseüberdieexperimen-
tellen Methoden, die Interpretation von Messungen und die physikalischen Kon-
zepte,dieaufmathematischerBasisentwickeltwerden.
Die Lehr- und Lernmodule der Reihe Physik Denken orientieren sich an den
Anforderungen des Bachelorstudiums Physik. Die Reihe konkretisiert den Lehr-
undLernstoffderExperimentalphysikkurseandenUniversitäten.Studierendesol-
len sich die wesentlichen physikalischen Konzepte aneignen, experimentelle und
statistische Methoden zu deren Überprüfung kennenlernen und Fähigkeiten zur
DurchführungentsprechenderBerechnungenentwickeln.
DiePortionierungdesLernstoffsinderReihePhysikDenken,dieausführlichen
Berechnungen, die vielen Abbildungen, die Beispiele und die kleinen Aufgaben
vermittelndieMachbarkeitdesStudiums.Einige,teilweiseanspruchsvolleExperi-
mentewerdenausführlichbeschrieben.DasLayoutlädtzurMitarbeiteinundbietet
Platz für das Einfügen eigener Anmerkungen. Größe und Gewicht der einzelnen
Lehr-undLernmodulesindzurtäglichenMitnahmeandieUniversitätkonzipiert.
DemSpringer-Verlag,insbesonderedenLektorenFrauDr.rer.nat.Spillnerund
Herrn Dr. rer. nat. Schneider,danken wir für die professionelle Unterstützung bei
derUmsetzungderLehr-undLernmodule.FürdiefachlicheBegutachtungdanken
wirunseremKollegenHerrnUniv.-Prof.Dr.rer.nat.Wiebusch.Vielenengagierten
Mitarbeitern danken wir für Korrekturen und die Unterstützung beim Übertragen
derFormelnundBilderindasLATEX-System.UnserenFamiliendankenwirfürihr
konstruktivesEncouragement.
Aachen2012 Univ.-Prof.Dr.rer.nat.M.Erdmann
Univ.-Prof.Dr.rer.nat.T.Hebbeker
V
Inhaltsverzeichnis
1 MesswertundMessgenauigkeit ................................. 1
1.1 ErgebnisangabeneinesExperiments........................... 1
1.2 MesswerteeinerMessreihe .................................. 2
1.3 Datenanalyse .............................................. 3
1.4 FragenundZiele ........................................... 8
2 Wahrscheinlichkeit............................................. 11
2.1 Wahrscheinlichkeitsbegriff................................... 11
2.2 Kombinatorik.............................................. 12
2.3 KombinationenvonWahrscheinlichkeiten...................... 15
2.4 TheoremvonBayes ........................................ 18
3 Wahrscheinlichkeitsverteilungen................................. 21
3.1 Zufallsvariable,Messdaten................................... 21
3.2 KenngrößenfürWahrscheinlichkeitsverteilungen................ 23
3.3 Gleich-,Binomial-,Poisson-,Gauß-Verteilung.................. 29
3.4 ZweidimensionaleWahrscheinlichkeitsdichten .................. 44
4 KombinationvonZufallsvariablen ............................... 49
4.1 CharakteristischeFunktion................................... 49
4.2 FaltungvonWahrscheinlichkeitsdichten ....................... 51
4.3 ZentralerGrenzwertsatz .................................... 53
4.4 KenngrößenausMessdaten .................................. 57
5 MessfehlerundFehlerfortpflanzung.............................. 65
5.1 TransformationvonWahrscheinlichkeitsdichten................. 65
5.2 Fehlerfortpflanzungsgesetz................................... 66
5.3 FehlerfortpflanzungbeizusammengesetztenMessgrößen ......... 72
6 ParameterschätzungausMessdaten.............................. 79
6.1 Maximum-Likelihood-Methode .............................. 79
6.2 MethodederkleinstenQuadrate .............................. 92
VII
VIII Inhaltsverzeichnis
7 StatistischeTestverfahren.......................................105
7.1 Hypothesen,Konfidenzgrößen,signifikanteAbweichungen .......105
7.2 t-Test ....................................................110
7.3 (cid:2)2-Methode ..............................................114
7.4 Computersimulation ........................................122
7.5 Likelihood-Quotient ........................................124
8 Klassifizierung.................................................127
8.1 Fisher-Diskriminanten-Methode ..............................127
8.2 VerfahrenmitBoosted-Decision-Trees.........................131
9 SystematischeFehler ...........................................137
9.1 Einordnung................................................137
9.2 Vorgehen .................................................139
9.3 ZusammenfassenvonFehlern ................................145
10 LösungenzudenAufgaben......................................153
Literaturverzeichnis ................................................161
Sachverzeichnis ....................................................163
Kapitel 1
Messwert und Messgenauigkeit
MesswerteeinesExperimentsunterliegenzufälligenSchwankungen,diez.B.durch
naturgegebene physikalische Prozesse oder die begrenzte Genauigkeit der Mess-
apparaturzustandekommenkönnen.
Wir stellen in diesem Kapitel das wichtigste statistische Verfahrenvor, um aus
Messwerten eine Schätzung des wahren Werts und quantitativeAngaben über die
UnsicherheitderSchätzungzuextrahieren.
FürdieAnwendungsolcherRezepteaufeinfachePraktikumsversuchemagdas
ausreichen.UmprofessionellzuexperimentierenundmitMessdatenauchkomple-
xereFragestellungenbeantwortenzukönnen,isteinVerständnisfürdieGründeund
UrsachenderVerfahrenerforderlich.WirwerdendaherindiesemKapiteldenwei-
terenVerlaufdiesesLehr-undLernmodulsmotivieren.
1.1 Ergebnisangaben eines Experiments
Datenanalysen werden in vielen unterschiedlichen Bereichen wie z.B. Medizin,
Psychologie,Wirtschaft,Banken,Wettervorhersage,Geheimdienstenetc.benötigt.
WeltweitwerdenoffensichtlichimmermehrDatenaufgenommen.UmdieBedeu-
tung der Daten zu verstehen, werden überall Experten gebraucht, die mit statisti-
schenVerfahrenkorrektumgehenkönnen.
IndenexperimentellenNaturwissenschaftenwerdenDatenanalyseverfahrenein-
gesetzt,umGesetzmäßigkeitenherauszufindenundumdieReproduzierbarkeitvon
Experimentenzu quantifizieren.Die beiden wichtigsten Fragestellungenbetreffen
hier das Messresultat und die Unsicherheit, mit der das Resultat des Experiments
behaftetist.
BeidenMessunsicherheitenunterscheidetmanzweiSortenvonMessfehlern:
SystematischeFehler: Fehler,dieauchbeiWiederholungdesExperimentsMess-
werteindieselbeRichtungverschieben(z.B.zukleinerenWerten).
StatistischeFehler: ZufälligauftretendeFehler.SiestreuenumdenwahrenWert.
M.Erdmann,T.Hebbeker,Experimentalphysik5,Springer-Lehrbuch, 1
DOI10.1007/978-3-642-17294-6_1,©Springer-VerlagBerlinHeidelberg2013
2 1 MesswertundMessgenauigkeit
Als Messergebnis eines Experimentswird üblicherweise die aus vielen Mess-
werten extrahierte beste Schätzung des wahren Werts („Messwert“) inklusive der
UnsicherheiteninfolgenderWeisenotiert:
Messwert˙Fehler : (1.1)
Fallssichstatistische undsystematischeFehlertrennenlassen,gibtmansiehäufig
auchseparatan:
Messwert˙statistischeFehler˙systematischeFehler : (1.2)
DieseMessfehlerbeziehensichaufdieGenauigkeitdesmitdemExperimentermit-
telten Messresultats. Nicht gemeint sind mit diesen Fehlern Abweichungen von
theoretischenBerechnungenodervonAngabenausderLiteratur.
Die Fehlerangabe ist eine Wahrscheinlichkeitsaussage. Üblicherweise bedeutet
dieseAngabe,dasssichderwahreWertmit68%Wahrscheinlichkeitinnerhalbdes
FehlerintervallsŒMesswert(cid:2)Fehler,MesswertCFehler(cid:3)befindet.
Außerdem enthält die Fehlerangabe ein Maß für die Reproduzierbarkeit des
Experiments. Bei einer wiederholten Messung wird der neue Messwert mit 68%
WahrscheinlichkeitinnerhalbdesFehlerintervallsumdenwahrenWertliegen.
1.2 Messwerte einer Messreihe
UmunseinenEindruckvoneinerstatistischenAuswertungvonMessdatenzuver-
schaffen,machenwirfolgendesGedanken-Experiment:
Experiment:ZeitmessungfürTennisball
Eine Tennisballmaschine schleudert einen Ball unter einem festen Abwurf-
winkelmiteinerbestimmtenAnfangsgeschwindigkeit.WirmessendieZeitt
vomAbschussbiszumÜberquerendesNetzesinsgesamt8Mal.
DieMesswertederMessreihebetragen:
t=s: 1,10 0,98 1,22 1,01 1,05 0,85 0,99 1,03
1:3 Datenanalyse 3
Gesucht ist eine Schätzung der wahren Flugzeit des Tennisballs über die Zeit-
messungenderMessreihe.Wirgehenin diesemBeispieldavonaus, dassAbwurf-
winkel und Abschussgeschwindigkeitsehr genau reproduzierbarsind und nur die
ZeitmessungmiteinerStoppuhrmessbarschwankt.
Wir wollen die Genauigkeit dieser Zeitschätzung bestimmen und dabei auch
eineAussageüberdieReproduzierbarkeitdesExperimentserhalten.Bevorwirdie
entsprechendenAntworten geben,entwickeln wir eine Vorstellung davon, wie die
Messwertezustandekommen.
1.2.1 StatistischeInterpretationvonMesswerten
Jede einzelne Messung wird von naturgegebenenSchwankungenund von appara-
tiven Fehlerquellenbeeinflusst, die den Wert zum Zeitpunktder Messung bestim-
men.EinenMesswerterhaltenwirdemnachmiteinergewissenWahrscheinlichkeit
(Kap.2).
Die Messdaten x ;x ;:::;x eines Experiments können wir als Zufallsvaria-
1 2 n
ble auffassen, die einer Wahrscheinlichkeitsverteilung f.x/ entnommen wurden
(Kap. 3). Gemeinsam bilden diese Messwerte eine sogenannte Stichprobe aus
dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist vom
Experimentabhängig.
MitmehrerenMessdatenkönnenwirdiezugrundeliegendeWahrscheinlichkeits-
verteilungrekonstruierenundz.B.mitdemwahrscheinlichstenWertundderBreite
derVerteilungcharakterisieren(Kap.3).DabeiwollenwirdenwahrenWert,denwir
z.B.alsdenMittelwertderVerteilungf.x/ansehen,möglichstgenaubestimmen.
DerZentraleGrenzwertsatzhilftunsbeidenstatistischenFehlernmitfolgender
Wahrscheinlichkeitsinterpretation: Viele Fehlerquellen, die unabhängig voneinan-
dersindundzufälligdenMesswertindieeineoderandereRichtungziehen,folgen
gemeinsameinerGauß-Verteilungf.x/.SieistdemnachfürvieleSituationeneine
guteNäherungfürdiedenMesswertenzugrundeliegendeWahrscheinlichkeitsver-
teilung(Kap.4).
1.3 Datenanalyse
CCoonnssttaanntt 22..7711 ±± 11..1199
N 4 MMeeaann 11..0044 ±± 00..0044
In der Abbildung ist eine Häufig- SSiiggmmaa 00..111188 ±± 00..003322
keitsverteilung der Messdaten unse-
res Tennisball-Experiments gezeigt.
Dabei ist die Anzahl N der Messun- 2
gen innerhalbvon einzelnen Interval-
len als Funktion der Zeit t aufge-
tragen. Die Darstellung einer solchen
Verteilung bezeichnetman als Histo- 0
0.8 1 1.2 1.4
gramm.
t / s