Table Of ContentYves Gourinat
Exercices et
Problèmes
de mécanique
des solides
et des structures
© Dunod, Paris, 2011
ISBN 978-2-10-057122-2
T
ABLE DES MATIÈRES
Avant-propos V
Chapitre 1 - Structures - Poutres 1
1.1 Treillis porteur isostatique 1
1.2 Travée Symétrique Hyperstatique 1
1.3 Modes Plans d’une Poutre Coudée 2
1.4 Treillis Plan Triangulé 4
1.5 Anneau Doublement Hyperstatique 5
1.6 Travée en Flexion Symétrique et Antisymétrique 6
1.7 Maille Hexaédrale en Traction Diagonale 8
1.8 Flexion Dynamique sur Deux Segments 9
1.9 Poutre Hyperstatique Plane 11
1.10 Antirésonance par Masse Accordée 13
1.11 Contraintes d’Assemblage 16
1.12 Équivalence d’Absi Treillis / Poutre 2D 19
1.13 Masses Modales Effectives d’Interface en Effort Normal 21
1.14 Vibrations en Translations d’un Élément Prismatique 2D Complet 25
1.15 Thermique d’un Volet Composite à Longeron Métallique 27
1.16 Transmissibilité Fréquentielle 2D d’un Élément de Poutre Droite 28
Chapitre 2 - Structures - Coques 31
délit. 2.1 Dynamique d’un Disque en Cisaillement de Révolution 31
n
u
orisée est 22..23 MDievmerbgreannte P Haréambioslpiqhuéeri qDuéep lPoeysaabnlete Pressurisée 3323
n aut 2.4 Bande de Roulement d’un Pneu Tubeless 35
o
n
pie 2.5 Coque Tronconique sous son Propre Poids 36
o
oc 2.6 Déformées d’une Plaque Rectangulaire 37
ot
h
p
La 2.7 Peau Composite d’un Fuselage Pressurisé 39
–
d 2.8 Coque Hémisphérique sous Pression Non Uniforme 40
o
n
u
© D 2.9 Plaque en Flexion avec Appui Élastique 42
III
Problèmes de mécanique des solides
2.10 Virole Libre de Réservoir sous Pression Hydrostatique 44
2.11 Coque en Rotation 45
2.12 Modes de Torsion-Flexion d’un Rectangle Appuyé 46
2.13 Modes Libres d’une Plaque en Torsion-Flexion 48
2.14 Plaque en Flexion sur Appuis Asymétriques 49
2.15 Réservoir Torique Pressurisé 51
2.16 Étude d’un Micro Actuateur en Flexion 52
2.17 Élément de Coque Lanceur sous Chargement Complet 54
2.18 Déformée Quadratique d’une Plaque Carrée en Flexion 55
2.19 Réservoir Cryotechnique Pressurisé 57
2.20 Mode Fondamental d’un Disque Encastré en Flexion 58
2.21 Interface Tronconique 59
2.22 Flambage de Panneaux de Voilure 61
2.23 Réservoir d’Helium Pressurisé 63
Chapitre 3 - Problèmes Combinés 64
3.1 Structure en Arc Mince sur Appui Ponctuel 64
3.2 Flexion Libre d’une Poutre et d’une Plaque 66
3.3 Interface Tronconique Raidie 67
3.4 Analyse Implicite de Rayleigh d’Éléments Minces 2D 71
3.5 Modes Dynamiques de Gauchissement d’une Plaque Libre 76
3.6 Tronçon Courant de Fuselage Bilobé 78
Chapitre 4 - Architecture des Lanceurs 81
4.1 Performances Comparées d’un Lanceur Aéroporté 81
4.2 Performance de Lanceur à Transfert de Propergol 83
4.3 Faisabilité d’un Lanceur Hybride Monoétage 85
4.4 Architecture d’un Nano-lanceur aéroporté 86
4.5 Lanceur Rallumable en Configuration Interplanétaire 86
4.6 Composite Supérieur pour Mission Planétaire 88
4.7 Comparaison d’Architectures de Nanolanceurs 89
4.8 Prédimensionnement d’un lanceur à poudre 91
4.9 Le lanceur H2A - Architecture et Incident en Vol 93
Chapitre 5 - Solutions 97
IV
A -
VANT PROPOS
Cet ouvrage présente une série de problèmes originaux de statique et dynamique
des solides et structures, assortis des corrigés-types. Partant des éléments de poutres,
les problèmes sont ensuite élargis aux structures coques, dans leurs sollicitations
statiques, dynamiques et thermiques. Enfin, nous y avons joint des problèmes
d’architecture de lanceurs, également fondés sur les équations de la mécanique, dans
une application plus particulière.
La présentation selon cet ordre répond à plusieurs objectifs. Il s’agit tout d’abord
de favoriser une approche inductive - non strictement cartésienne ! - parfois délais-
sée dans les traités traditionnels. Il s’agit ensuite d’aborder des thématiques mixtes,
combinant statique, dynamique, thermique appliquées à des éléments discrets ou
continus. Il s’agit enfin de proposer un recueil fondamentalement différent des cours
de référence, et fondé sur des situations concrètes inspirées notamment du secteur
aérospatial, et bénéficiant d’années d’expérience en formation et recherche principa-
lement au sein des cursus d’Ingénieurs, notamment ceux de SUPAERO et de
l’ENSICA.
délit.
n
u
orisée est
ut
n a
o
n
pie
o
oc
ot
h
p
La
–
d
o
n
u
D
©
V
1
S - P
TRUCTURES OUTRES
1.1 T
REILLIS PORTEUR ISOSTATIQUE
On considère le treillis plan ABCD ci-dessous, constitué de 2 mailles triangulaires (l’une
équilatérale, l’autre en triangle-rectangle), chargé en son extrémité A par une force - Fy :
Les barres, prismatiques sont toutes réalisées en un matériau élastique linéaire de
module d’Young E, et ont toutes la même section droite d’aire S (et moment quadra-
tique en flexion I ). Les barres BC, CD et BD ont pour longueur L, et la barre AC a
z
pour longueur 2L. Le poids propre des barres est négligé par rapport à F.
1 Vérifier que le problème est isostatique.
2 Calculer les efforts dans toutes les barres.
3 Calculer le déplacement vertical v du nœud A.
A
4 Calculer le déplacement horizontal u du nœud C.
C
5 Donner la valeur critique F de F qui entraîne le flambage d’une barre.
c
Corrigé page 97
un délit. 1.2 TRAVÉE SYMÉTRIQUE HYPERSTATIQUE
orisée est On considère une poutre mince continue horizontale OAB de longueur totale 2L,
ut prismatique et travaillant linéairement en flexion (rigidité linéique EI en flexion).
n a
no Elle est rigidifiée par une seconde poutre mince verticale AC de longueur L, réali-
ocopie sée dans le même matériau, et de rigidité linéique ESb en effort normal et EIb en
ot flexion ; on suppose a priori que EI <<EI.
ph b
La Cette poutre verticale est encastrée à sa base C et simplement appuyée sur la
–
od poutre horizontale en A ; l’ensemble est chargé par une force centrale verticale vers
n
u
D le bas de module F :
©
1
Chapitre 1 • Structures - Poutres
1 Définir l’ordre d’hyperstaticité du problème dans son domaine linéaire.
2 Calculer la flèche verticale en A obtenue dans ce problème.
3 Donner la valeur de F qui entraîne le flambage.
4 Que devient cette valeur si la poutre AC est encastrée en A sur la poutre OAB (au
lieu d’être simplement appuyée) ?
Corrigé page 100
1.3 M P ’ P C
ODES LANS D UNE OUTRE OUDÉE
On considère une poutre droite O AO coudée à angle droit, entièrement réalisée en
1 2
un même matériau élastique homogène de module d’Young E et masse volumique ρ.
Le segment O A est paramétré par X (0≤X≤L ) et le segment O A par Y
1 1 2
(0≤Y≤L ). Les rigidités respectives des 2 segments en flexion autour de Z sont EI
2 1
et EI respectivement, et leurs masses linéiques ρS et ρS .
2 1 2
On précise que les 2 segments sont encastrés l’un sur l’autre en A (fixation
rigide), de sorte qu’ils forment une unique poutre coudée :
On considère, jusqu’à la question 7 incluse, que la flèche de flexion est très supé-
rieure aux déplacements dus aux efforts normaux et tranchants.
1 Montrer que le calcul des flèches dynamiques est équivalent au problème déve-
loppé suivant :
2
1.3 • Modes Plans d’une Poutre Coudée
2 La solution générique du problème équivalent considéré (ci-dessus) en flexion
dynamique est de la forme :
V (X;t) = f (X)g(t) sur le segment O A (0≤X≤L )
1 1 1 1
V2(Y;t) = f2(Y)g(t) sur le segment O2A (0≤Y≤L2)
Donner l’expression des fonctions f (X), f (Y) et g(t).
1 2
NB : On remarque que dans tout le problème, le segment O A est orienté selon X
1
(de O vers A) et le segment O A est orienté selon Y (de O vers A).
1 2 2
3 Écrire les Conditions Limites mécaniques qui permettent de calculer les
8constantes apparaissant dans les fonctions f et f .
1 2
4 Expliciter ces conditions limites et définir l’équation assurant l’existence de solu-
tions dynamiques non identiquement nulles (modes propres).
5 On suppose que l’on fixe en A un solide indéformable de masse M et moment
d’inertie dynamique j autour de AZ.
Z
Récrire les conditions limites mécaniques du problème de poutre en flexion, en
considérant toujours le problème équivalent développé.
NB : On ne demande pas de re-expliciter ces conditions en fonction des
constantes.
6 On supprime le solide additionnel, mais on soumet la structure à une charge dyna-
mique (excitation) linéique sinusoïdale, appliquée au segment O A.
1
délit.
n
u
orisée est
ut
n a
o
n
pie
o
oc
ot
h
p
La
–
od Récrire les conditions limites mécaniques permettant de calculer la flèche en
n
u
D flexion dynamique, en faisant appel au principe d’équivalence.
©
3
Chapitre 1 • Structures - Poutres
NB : On ne demande pas l’explicitation des fonctions, mais l’écriture des condi-
tions mécaniques générant le système d’équations donnant la solution établie.
7 Si on souhaite traiter la dynamique continue en effort normal et en effort tran-
chant, justifier la pertinence d’une étude indépendante de l’étude précédente des
modes en flexion.
8 On suppose, pour cette dernière étude, que les flèches d’effort normal sont de la
forme :
U (X;t) = f (X)g(t) sur le segment O A (0≤X≤L )
1 3 1 1
U2(Y;t) = f4(Y)g(t) sur le segment O2A (0≤Y≤L2)
et celles d’effort tranchant :
V (X;t) = f (X)g(t) sur le segment O A (0≤X≤L )
T1 5 1 1
VT2(Y;t) = f6(Y)g(t) sur le segment O2A (0≤Y≤L2)
Donner la forme des fonctions f , f , f , F génériques.
3 4 5 6
9 Dans la configuration sans masse additionnelle et sans excitation, écrire les condi-
tions mécaniques permettant de calculer la dynamique propre en effort normal et
en effort tranchant :
Corrigé page 103
1.4 T P T
REILLIS LAN RIANGULÉ
On considère le problème plan de treillis ci-dessous, constitué de 4 mailles triangu-
laires équilatérales, chargé en son extrémité A par une force ponctuelle - Fy dirigée
1
vers le bas :
4
