Table Of ContentTable des mati(cid:18)eres
Table des mati(cid:18)eres du tome 2..................................................... ix
Table des mati(cid:18)eres du tome 3..................................................... x
e
Avant-propos de la 2 (cid:19)edition..................................................... xi
Partie 1 : Topologie
Chapitre I. Topologie g(cid:19)en(cid:19)erale ................................................... 5
1{1. Topologie produit............................................................. 5
1{2. Une ((fausse)) topologie produit............................................... 8
1{3. Th(cid:19)eor(cid:18)emede Tietze-Urysohn.................................................. 9
1{4. Compacti(cid:12)cation d'Alexandrov ............................................... 12
1{5. Th(cid:19)eor(cid:18)emede Stone-Weierstra(cid:25)................................................ 13
1{6. Applications du th(cid:19)eor(cid:18)eme de Stone ........................................... 15
1{7. Une variante du th(cid:19)eor(cid:18)eme de Stone-Weierstra(cid:25)................................ 17
1{8. Th(cid:19)eor(cid:18)emede Poincar(cid:19)e ........................................................ 18
1{9. Une r(cid:19)eciproqueau th(cid:19)eor(cid:18)eme de Heine......................................... 19
1{10. Espaces bien encha^(cid:16)n(cid:19)es....................................................... 19
1{11. Valeurs d'adh(cid:19)erences d'une suite............................................. 22
Chapitre II. Topologie appliqu(cid:19)ee................................................. 25
2{1. Autour du th(cid:19)eor(cid:18)eme des ferm(cid:19)es embo^(cid:16)t(cid:19)es ..................................... 25
2{2. Topologie p-adique............................................................ 26
2{3. Approximation des irrationnels par les rationnels ............................. 28
2{4. Approximation diophantienne et limite ....................................... 32
2{5. Dilatations dans les espaces compacts......................................... 32
2{6. Ensemble de Cantor........................................................... 33
2{7. Espaces m(cid:19)etriques compacts .................................................. 37
2{8. Distance de Hausdor(cid:11)......................................................... 39
2{9. Cube de Hilbert............................................................... 41
2{10. Cage in(cid:12)nie.................................................................. 43
2{11. Exemples d'espaces non hom(cid:19)eomorphes...................................... 44
2{12. Un espace non localement connexe........................................... 44
2{13. Racine n-i(cid:18)eme d'un hom(cid:19)eomorphismede R .................................. 45
2{14. Sur le graphe d'une application continue..................................... 46
2{15. Un crit(cid:18)ere de continuit(cid:19)e...................................................... 47
2{16. Convergence des suites de fonctions r(cid:19)eciproques ............................. 47
vi Table des mati(cid:18)eres
Chapitre III. Topologie du plan .................................................. 50
3{1. Th(cid:19)eor(cid:18)emede Jordan pour les polygones....................................... 50
3{2. Topologie des polygones....................................................... 52
3{3. Chemins dans un carr(cid:19)e(I) .................................................... 53
3{4. Groupe fondamental d'un espace topologique ................................. 55
3{5. Indice d'un lacet par rapport (cid:18)a un point ...................................... 58
1
3{6. Indice d'un lacet de classe C par morceaux .................................. 59
3{7. Th(cid:19)eor(cid:18)emedu rel(cid:18)evement (en dimension 1) .................................... 60
3{8. Th(cid:19)eor(cid:18)emedu rel(cid:18)evement...................................................... 61
3{9. Chemins dans un carr(cid:19)e(II) ................................................... 63
3{10. Th(cid:19)eor(cid:18)eme de Brouweren dimension 2 ....................................... 63
3{11. Une d(cid:19)emonstration du th(cid:19)eor(cid:18)eme de d'Alembert.............................. 64
3{12. Nombre d'enroulements...................................................... 65
n
Chapitre IV. Topologie de R ..................................................... 68
n
4{1. Les ferm(cid:19)es de R sont les z(cid:19)eros de fonctions ind(cid:19)e(cid:12)niment d(cid:19)erivables .......... 68
4{2. Dimension topologique........................................................ 69
4{3. Lemme de Sperner............................................................ 70
4{4. Dimension topologique d'un simplexe ......................................... 73
4{5. Th(cid:19)eor(cid:18)emede Brouwer......................................................... 76
4{6. Champ rentrant dans la sph(cid:18)ere ............................................... 77
4{7. Le th(cid:19)eor(cid:18)eme du point (cid:12)xe de Schauder........................................ 79
Partie 2 : Suites, s(cid:19)eries
Chapitre V. S(cid:19)eries de Fourier .................................................... 86
5{1. Le th(cid:19)eor(cid:18)eme de Fejer.......................................................... 86
5{2. Vitesse de convergence de la s(cid:19)erie de Fourier.................................. 88
5{3. S(cid:19)eries de Fourier (cid:18)a coe(cid:14)cients positifs ........................................ 91
5{4. Le th(cid:19)eor(cid:18)eme de l'(cid:19)echantillonnage.............................................. 93
5{5. Sommation de Poisson des s(cid:19)eries de Fourier................................... 95
5{6. Le ph(cid:19)enom(cid:18)ene de Gibbs....................................................... 96
5{7. Formule sommatoire de Poisson............................................... 98
5{8. Le th(cid:19)eor(cid:18)eme de Cantor-Lebesgue.............................................. 100
5{9. Coe(cid:14)cients de Fourier des fonctions (cid:18)a variation born(cid:19)ee ....................... 100
5{10. Une in(cid:19)egalit(cid:19)ede Hilbert ..................................................... 101
Chapitre VI. Analyse asymptotique ............................................. 103
6{1. Transformation de Toeplitz et moyenne de Ces(cid:18)aro ............................ 103
6{2. Un th(cid:19)eor(cid:18)eme taub(cid:19)erien de Hardy ............................................. 105
6{3. Th(cid:19)eor(cid:18)emesde Tauber et Littlewood........................................... 106
6{4. Sommabilit(cid:19)e au sens d'Abel................................................... 110
6{5. Nombres de Bernoulli et fonction (cid:16) ........................................... 112
6{6. La formule sommatoire d'Euler{Maclaurin.................................... 114
6{7. Application de la formule sommatoire d'Euler{Maclaurin..................... 115
6{8. Un (cid:19)equivalent de s(cid:19)erie......................................................... 117
6{9. E(cid:19)quation diophantienne et s(cid:19)erie g(cid:19)en(cid:19)eratrice................................... 119
6{10. Analyse asymptotique des s(cid:19)eries de Lambert................................. 121
6{11. In(cid:19)egalit(cid:19)ede Carleman........................................................ 123
6{12. Quelques fractions continues................................................. 124
Table des mati(cid:18)eres vii
Chapitre VII. Syst(cid:18)emes dynamiques discrets................................... 127
7{1. Convergence de suites d(cid:19)e(cid:12)nies par it(cid:19)eration d'une fonction continue .......... 127
7{2. E(cid:19)tude du sinus it(cid:19)er(cid:19)e........................................................... 129
7{3. ((3-cycle implique chaos)) ..................................................... 131
7{4. E(cid:19)quir(cid:19)epartitionmodulo 1 ..................................................... 132
7{5. Application arithm(cid:19)etique du th(cid:19)eor(cid:18)eme ergodique.............................. 134
7{6. E(cid:19)tude d'une suite d(cid:19)e(cid:12)nie par r(cid:19)ecurrence ...................................... 138
7{7. Moyenne arithm(cid:19)etico-g(cid:19)eom(cid:19)etriqueet variantes................................ 139
7{8. Le th(cid:19)eor(cid:18)eme d'Anosov ........................................................ 141
Partie 3 : Int(cid:19)egration
Chapitre VIII. Th(cid:19)eorie de la mesure ............................................ 149
8{1. Continuit(cid:19)e uniforme de l'int(cid:19)egrale de Lebesgue................................ 149
8{2. Convergence presque partout.................................................. 149
8{3. In(cid:19)egalit(cid:19)esde Hardy ........................................................... 150
8{4. Int(cid:19)egrale de Riemann ......................................................... 152
8{5. Fonctions (cid:18)a variation born(cid:19)ee .................................................. 154
8{6. Int(cid:19)egrale de Riemann-Stieltjes ................................................ 158
8{7. Approximation d'une partie mesurable par des ouverts ou des ferm(cid:19)es......... 161
8{8. Le th(cid:19)eor(cid:18)eme de Lusin ......................................................... 163
8{9. Th(cid:19)eor(cid:18)emede Vitali et applications............................................ 164
8{10. Mesures ext(cid:19)erieures, mesure de Hausdor(cid:11).................................... 166
8{11. Dimension et mesure de Hausdor(cid:11) (I)........................................ 168
8{12. Dimension et mesure de Hausdor(cid:11) (II)....................................... 170
Chapitre IX. Analyse asymptotique ............................................. 173
1. Th(cid:19)eor(cid:18)emes ergodiques......................................................... 173
9{1. Ergodicit(cid:19)edu billard carr(cid:19)e .................................................... 173
9{2. Le th(cid:19)eor(cid:18)eme ergodique de von Neumann...................................... 175
9{3. E(cid:19)quir(cid:19)epartitionmodulo 1, nombres de Pisot .................................. 176
9{4. Le th(cid:19)eor(cid:18)eme ergodique de Birkho(cid:11)............................................ 179
9{5. Th(cid:19)eor(cid:18)emedu retour de Poincar(cid:19)e(I)........................................... 181
9{6. Th(cid:19)eor(cid:18)emedu retour de Poincar(cid:19)e(II).......................................... 181
2. E(cid:19)quivalents d'int(cid:19)egrales ....................................................... 183
9{7. Le th(cid:19)eor(cid:18)eme de Karamata .................................................... 183
9{8. Un calcul d'(cid:19)equivalent......................................................... 185
9{9. M(cid:19)ethode de Laplace........................................................... 187
9{10. M(cid:19)ethode de la phase stationnaire ............................................ 189
9{11. Un calcul d'(cid:19)equivalent ....................................................... 190
9{12. Un (cid:19)equivalent d'int(cid:19)egrale .................................................... 192
9{13. Nombre de points dans un disque............................................ 194
Chapitre X. In(cid:19)egalit(cid:19)es............................................................. 196
10{1. In(cid:19)egalit(cid:19)eisop(cid:19)erim(cid:19)etrique..................................................... 196
10{2. In(cid:19)egalit(cid:19)eisodiam(cid:18)etrique...................................................... 197
10{3. Une in(cid:19)egalit(cid:19)earithm(cid:19)etico-g(cid:19)eom(cid:19)etrique....................................... 199
10{4. Lemme de van der Corput ................................................... 201
10{5. Une in(cid:19)egalit(cid:19)esubtile ......................................................... 202
10{6. Une preuve analytique de l'in(cid:19)egalit(cid:19)ed'Hadamard............................ 203
viii Table des mati(cid:18)eres
Chapitre XI. Calculs............................................................... 206
11{1. La plus courte fa(cid:24)con de calculer le volume d'une boule....................... 206
11{2. Transcendance de e .......................................................... 207
11{3. Norme d'une fonction et de sa d(cid:19)eriv(cid:19)ee n-(cid:18)eme ................................ 208
11{4. Une limite d'int(cid:19)egrale........................................................ 210
11{5. Un calcul d'int(cid:19)egrale......................................................... 210
11{6. Une expression de la constante d'Euler ...................................... 213
11{7. Fonction B d'Euler .......................................................... 215
11{8. Int(cid:19)egralesavec partie enti(cid:18)ere................................................. 217
11{9. Convergence en mesure ...................................................... 218
11{10. Th(cid:19)eor(cid:18)emedes moments..................................................... 221
11{11. Caract(cid:19)erisationdes fonctions caract(cid:19)eristiques............................... 222
11{12. Une expression de la moyenne arithm(cid:19)etico-g(cid:19)eom(cid:19)etrique..................... 223
Bibliographie........................................................................ 227
Index................................................................................. 229
Table des mati(cid:18)eres du tome 2
Table des mati(cid:18)eres du tome 1...................................................... ix
Avant-propos ...................................................................... xi
Partie 4: Analyse r(cid:19)eelle............................................................ 1
Chapitre XIII. Compl(cid:19)ements de topologie ......................................... 5
Chapitre XIV. Autour du lemme de Rolle ......................................... 15
Chapitre XV. D(cid:19)eriv(cid:19)ee,di(cid:11)(cid:19)erentielle................................................ 25
Chapitre XVI. Convexit(cid:19)e .......................................................... 46
Partie 5: Analyse complexe....................................................... 63
Chapitre XVII. G(cid:19)en(cid:19)eralit(cid:19)es........................................................ 67
Chapitre XVIII. Principe du maximum............................................ 89
Chapitre XIX. Repr(cid:19)esentationconforme........................................... 95
Chapitre XX. Exemples de fonctions holomorphes................................. 110
Partie 6: Analyse num(cid:19)erique...................................................... 137
Chapitre XXI. Approximation..................................................... 139
Chapitre XXII. Interpolation ...................................................... 162
Chapitre XXIV. R(cid:19)esolution num(cid:19)erique d'(cid:19)equations, optimisation.................. 196
Bibliographie ...................................................................... 211
Index .............................................................................. 213
Table des mati(cid:18)eres du tome 3
Table des mati(cid:18)eres du tome 1...................................................... viii
Table des mati(cid:18)eres du tome 2...................................................... viii
Avant-propos ...................................................................... ix
Partie 7: Analyse fonctionnelle................................................... 1
Chapitre XXV. Topologies dans les espaces vectoriels norm(cid:19)es ..................... 5
Chapitre XXVI. G(cid:19)eom(cid:19)etriedes espaces vectoriels norm(cid:19)es.......................... 17
Chapitre XXVII. Th(cid:19)eorie spectrale................................................ 39
Chapitre XXVIII. Op(cid:19)erateursdans les espaces de Hilbert ......................... 55
Partie 8: E(cid:19)quations di(cid:11)(cid:19)erentielles................................................ 79
Chapitre XXIX. Existence, stabilit(cid:19)e, croissance.................................... 82
Chapitre XXX. Exemples.......................................................... 105
1. E(cid:19)tudes pratiques...................................................... 105
2. Th(cid:19)eorie autonome..................................................... 116
3. Applications (cid:18)a la physique et (cid:18)a la biologie............................. 127
Chapitre XXXI. E(cid:19)quations du second ordre ....................................... 144
1. Oscillations ........................................................... 144
2. Th(cid:19)eorie de Sturm-Liouville............................................ 154
Partie 9: G(cid:19)eom(cid:19)etrie di(cid:11)(cid:19)erentielle ................................................ 167
Chapitre XXXII. Calcul di(cid:11)(cid:19)erentiel................................................ 171
Chapitre XXXIII. Courbes ........................................................ 189
Chapitre XXXIV. Surfaces, etc. ................................................... 206
Bibliographie ...................................................................... 223
Index .............................................................................. 225
e
Avant-propos de la 2 (cid:19)edition
Cet ouvrage d'exercices est le premier d'une s(cid:19)erie de trois consacr(cid:19)ee au pro-
gramme d'analyse de l'agr(cid:19)egation de math(cid:19)ematiques, vu comme une synth(cid:18)ese
etunapprofondissementdesconnaissancesacquises aucoursdesdeuxpremiers
cycles universitaires. Ce tome traite de topologie, de suites et s(cid:19)eries, et d'int(cid:19)e-
gration. Le tome 2 s'int(cid:19)eresse aux fonctions d'une variable r(cid:19)eelle ou complexe
et (cid:18)a l'analyse num(cid:19)erique, tandis que le tome 3 aborde l'analyse fonctionnelle,
la g(cid:19)eom(cid:19)etrie di(cid:11)(cid:19)erentielle et les (cid:19)equations di(cid:11)(cid:19)erentielles.
Plusieurs sortes d'exercices ont (cid:19)et(cid:19)e retenus: en premier lieu, les ((grands
classiques))que lecandidat(cid:18)al'agr(cid:19)egationsedoitdema^(cid:16)triser;ensuitequelques
r(cid:19)esultats importants d'analyse et de topologie accessibles (cid:18)a un (cid:19)etudiant de
deuxi(cid:18)eme cycle; en(cid:12)n, des exemples et des contre-exemples, sur lesquels le
lecteur pourra s'entra^(cid:16)ner (cid:18)a appliquer les grands th(cid:19)eor(cid:18)emes, mais apprendra
aussi (cid:18)a saisir les limites de l'intuition na(cid:127)(cid:16)ve. Dans tous les cas, nous avons
cherch(cid:19)e (cid:18)a mettre en (cid:19)evidence les points-clefs et les raisons profondes qui sous-
tendent les r(cid:19)esultats (cid:19)enonc(cid:19)es, plut^ot que de donner aux exercices un caract(cid:18)ere
anecdotique en utilisant des m(cid:19)ethodes trop particuli(cid:18)eres.
Ce livre comporte de nombreux exercices de synth(cid:18)ese qui mettent en jeu
d'autres exercices, leur faisant suite ou leur proposant une application int(cid:19)eres-
sante.
Du point de vue plus sp(cid:19)eci(cid:12)que de l'agr(cid:19)egation, ce recueil vise (cid:18)a pr(cid:19)eparer
l'(cid:19)ecrit aussi bien que l'oral: si des exercices longs peuvent habituer le lecteur
aux di(cid:14)ciles (cid:19)epreuves en six heures, les exercices les plus courts ou certaines
questions ind(cid:19)ependantes constituent de bons d(cid:19)eveloppements (cid:18)a exposer le jour
de l'oral.Nous pensons n(cid:19)eanmoins que ce livre pourra int(cid:19)eresser un publicplus
e e
large: (cid:19)etudiants de 2 et 3 cycles, (cid:19)el(cid:18)eves et enseignants des classes pr(cid:19)epara-
toires, (cid:19)el(cid:18)eves des grandes (cid:19)ecoles.
Unetable desmati(cid:18)eres etunindex permettentenoutreunrep(cid:19)eragefaciledes
exercices utilisant les th(cid:19)eor(cid:18)emes et les notions du cours. Au d(cid:19)ebut de chaque
chapitre (cid:12)gure un bref rappel de cours qui r(cid:19)esume les notions n(cid:19)ecessaires (cid:18)a
la r(cid:19)esolution des exercices dont, cela va sans dire, nous donnons des solutions
compl(cid:18)etes.
A(cid:18) l'occasion de cette seconde (cid:19)edition, nous tenons (cid:18)a remercier les lecteurs
et les (cid:19)etudiants pour leurs remarques et suggestions. Nous avons par ailleurs
ajout(cid:19)e de nouvelles indications dans certains (cid:19)enonc(cid:19)es; nous esp(cid:19)erons que cela
contribuera (cid:18)a rendre cet ouvrage plus accessible, et par l(cid:18)a-m^eme, plus utile.
Partie 1
Topologie
2 Topologie
Rappels
LeslettresN, Z,Q, R etC d(cid:19)esignentrespectivement lesensemblesdesentiers
naturels, des entiers relatifs, des nombres rationnels, des nombres r(cid:19)eels et des
nombres complexes. Un nombre complexe est dit alg(cid:19)ebrique s'ilest racine d'un
(cid:22)
polyno^me non nul (cid:18)a coe(cid:14)cients dans Q. On note Q l'ensemble des nombres
alg(cid:19)ebriques. Les (cid:19)el(cid:19)ements de C nQ(cid:22) sont appel(cid:19)es nombres transcendants.
Un ensemble est dit d(cid:19)enombrable s'il est (cid:19)equipotent (cid:18)a N ; on dit qu'il a la
(cid:22)
puissance du continu s'il est (cid:19)equipotent (cid:18)a R. Ainsi, Z et Q (et m^eme Q) sont
d(cid:19)enombrables, tandis que C a la puissance du continu.
Soit a un entier sup(cid:19)erieur ou(cid:19)egal (cid:18)a 2. Tout nombre r(cid:19)eel x 2 [0;1[ poss(cid:18)ede un
P
1 (cid:0)n
d(cid:19)eveloppement a-adique sous la forme x = n=1xna ou(cid:18) les xn sont des (cid:19)el(cid:19)e-
ments de f0;:::;a(cid:0)1g. De plus, on peut imposer que les xn ne soient pas tous
(cid:19)egaux (cid:18)a a(cid:0)1 (cid:18)a partir d'un certain rang, auquel cas on parle de d(cid:19)eveloppement
a-adique propre. Pour a = 10, on parle de d(cid:19)eveloppement d(cid:19)ecimal.
Six est un r(cid:19)eel, on note bxc sa partieenti(cid:18)ere; c'est leplus grand entier relatif
inf(cid:19)erieur ou (cid:19)egal (cid:18)a x.
Si X et Y sont deux espaces topologiques, on note C(X;Y) l'ensemble des
n
fonctions continues de X dans Y. De plus, si X est un ouvert de R , on
k m m
d(cid:19)esigne par C (X;R ) l'ensemble des fonctions de X dans R admettant des
di(cid:11)(cid:19)erentielles continues jusqu'(cid:18)a l'ordre k (et continues si k = 0).
Un hom(cid:19)eomorphisme d'un espace topologique X sur un espace topologique
(cid:0)1
Y est une application continue ' : X ! Y qui admet un inverse ' : Y ! X
continu.
Le diam(cid:18)etre (d'une partie) d'un espace m(cid:19)etrique est la borne sup(cid:19)erieure
des distances de deux points. La distance d'un point (cid:18)a une partie d'un espace
m(cid:19)etrique est la borne inf(cid:19)erieure des distances de ce point aux points de la
partie.
Un espace topologique X sera dit s(cid:19)epar(cid:19)e si pour tous points x et y de X, il
existe deux ouverts U et V disjoints contenant respectivement x et y. (Axiome
((T2)) ou axiome de Hausdor(cid:11); l'exercice 1{3 introduit un autre axiome de
s(cid:19)eparation qui donne naissance aux espaces normaux.)
Si X est un espace topologique et A une partie de X, on note A(cid:22) l'adh(cid:19)erence
de A dans X ; on dit que A est dense si A(cid:22) = X. Un point d'accumulation
d'une partie A de X est un (cid:19)el(cid:19)ement a 2 A tel que a appartient (cid:18)a l'adh(cid:19)erence
de Anfag.
Un espace topologique est dit compact s'il est s(cid:19)epar(cid:19)e et s'il v(cid:19)eri(cid:12)e la condi-
tionde Borel-Lebesgue:de tout recouvrement ouvert on peut extraire un sous-
recouvrement (cid:12)ni. On sait qu'un espace m(cid:19)etrique est compact si et seulement
s'il v(cid:19)eri(cid:12)e la condition de Bolzano-Weierstra(cid:25): toute suite admet (au moins)
une valeur d'adh(cid:19)erence. Une partie d'un espace topologique est dite compacte
sielleest compactepourlatopologieinduite.Une partiecompacteest toujours
ferm(cid:19)ee. Un espace topologique est localement compact si tout point admet un
n
voisinage compact. On conna^(cid:16)t aussi les compacts de R : ce sont les ensembles
ferm(cid:19)es et born(cid:19)es (pour une norme quelconque). R(cid:19)eciproquement, un espace
vectoriel norm(cid:19)e localement compact est de dimension (cid:12)nie. Une partie est dite
