EXERC´ICIOS DE C´ALCULO Ediç˜ao eletrônica

138 Pages·2009·12.38 MB·Portuguese

TarcisioPraciano Pereira
PhD inMathematics
´ ´
EXERCICIOS DE CALCULO
Exerc´ıcios de C´alculo.
Tarcisio Praciano-Pereira
Dep. de Matem´atica - Univ. Estadual Vale do Acarau´
vers˜ao 2000
Edic¸˜ao eletrˆonica
CopyleftTarcisioPraciano Pereira
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Sum´ario
tado,noenderec¸otarcisio@@e-math.ams.org
I Geometria anal´ıtica e nu´meros x
1 Retas, c´ırculos e par´abolas. 1
1.1 Gr´aficosdecurvas noplano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 As func¸˜oes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.1 M´ediaaritm´eticaponderada. . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Lendo ainformac¸˜aoobtida . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 A´rea sobumacurva-aintegral. . . . . . . . . . . . . . . 7
Pereira,TarcisioPraciano
1.3 Retas,coeficienteangularederivada . . . . . . . . . . . . . . . . 14
P496c Exerc´ıciosdeCa´lculo
1.3.1 Ocoeficienteangular-derivada. . . . . . . . . . . . . . . 14
Sobral: UVA,2001 1.4 Equac¸˜aodoc´ırculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
249.p 1.5 Par´abolas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Bibliografia
1.6 As cˆonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
ISBN:85-87906-08-9
1.6.1 Ahip´erbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1-Ca´lculoDiferencialeIntegral-2-Derivadas 1.6.2 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3-Integral-4-Volumes. 1.6.3 Aequac¸˜aodaelipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
I.T´ıtulo
CDD517.3
2 estrutura dos nu´meros 48
2.1 Nu´meros naturais,inteiros eestrutura. . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.1 Nocomec¸oeramos nu´merosnaturais. . . . . . . . . . . . 48
2.1.2 Depois vieramos nu´meros inteirosrelativos. . . . . . . . . 49
2.1.3 Estrutura ´algebricadorel´ogio. . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1.4 Oaneldos inteiros.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2 Nu´meros racionais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3 Nu´meros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4 Sucess˜oesdenu´merosracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.5 Sucess˜oes-exemplosedefinic¸˜oes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.6 AintegralnosentidodeRiemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.7 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.7.1 Limite ecomportamentoassint´otico . . . . . . . . . . . . 66
2.7.2 Olimitezero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.8 Sucess˜oesgeradasporsomasdeRiemann . . . . . . . . . . . . . 83
2.8.1 Amostragemestat´ısticacomsomasdeRiemann . . . . . . 83
2.8.2 Umprograma paraexecutaros testescomsomasdeRie-
mann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
iii
2.9 Nu´meros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5 C´alculo da derivada e da integral 179
5.1 T´ecnicasdederivac¸˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.2 An´alisedogr´aficodeumafunc¸˜ao.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
II Deriva¸c˜ao e Integra¸c˜ao univariadas 98
5.3 C´alculodederivadasegr´aficos defunc¸˜oes. . . . . . . . . . . . . . 192
5.4 Nu´meros complexosetrigonometria. . . . . . . . . . . . . . . . . 194
3 C´alculo Num´erico da Integral 99
5.5 Derivada dasfunc¸˜oestrigonom´etricas. . . . . . . . . . . . . . . . 194
3.1 AintegraldeRiemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.6 Aderivadadefunc¸˜oesracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
3.2 Integrac¸˜aogeom´etrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.7 Diferencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
3.3 SomasdeRiemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.8 Aderivac¸˜aoimpl´ıcita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
3.4 C´alculo“num´erico”daintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.9 Retatangente,planotangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
3.5 C´alculodealgumasintegrais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.9.1 Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
3.6 Func¸˜oes definidasporumaintegral.. . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.10 Func¸˜oes definidasviaintegral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
3.6.1 Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.10.1 Ovalor m´ediointegral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
3.6.2 Construc¸˜aogr´aficadeprimitivas . . . . . . . . . . . . . . 113
5.10.2 Func¸˜oes definidas viaIntegral. . . . . . . . . . . . . . . . 211
3.6.3 Afunc¸˜aologaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.11 Afunc¸˜aologaritmonatural. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
3.7 Valorm´edio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.11.1 Afam´ıliadas func¸˜oeslogar´ıtmicas. . . . . . . . . . . . . . 217
3.7.1 Func˜ao cont´ınua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.12 Afunc¸˜aoexponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.13 PolinˆomiodeTaylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
4 Continuidade e derivada 126
5.14 T´ecnicasdeintegrac¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
4.1 Acontinuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.14.1 OteoremafundamentaldoC´alculo . . . . . . . . . . . . . 221
4.2 Exemplos dedescontinuidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.14.2 Aregra dacadeianoc´alculointegral . . . . . . . . . . . . 224
4.3 Motivac¸˜aoparaoestudodelimites.. . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.14.3 Integrac¸˜aopor partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
4.3.1 Comportamentoassint´otico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.14.4 Frac¸˜oes racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
4.3.2 Sucess˜oesdivergentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.14.5 Miscelˆaneadeexerc´ıciosdeintegrac¸˜ao . . . . . . . . . . . 230
4.4 OtestedeCauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.15 OteoremafundamentaldoC´alculo-primeira vers˜ao.. . . . . . . 232
4.4.1 Ofreio interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.16 C´alculode´areas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
4.4.2 Propriedades dolimite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.4.3 Ooperador limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6 Desigualdades 235
4.4.4 Sucess˜oes,limiteseinduc¸˜aofinita. . . . . . . . . . . . . . 149
6.1 Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
4.5 Teoremassobrecontinuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.5.1 Derivadas descont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 7 Problemas geom´etricos 240
4.5.2 Continuidadeedescontinuidade . . . . . . . . . . . . . . . 159 7.1 Interpretac¸˜aogeom´etricadaderivada. . . . . . . . . . . . . . . . 240
4.5.3 Operac¸˜oes aritm´eticas econtinuidade. . . . . . . . . . . . 161 7.2 Comprimentodearco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
4.5.4 Sucess˜aodos quocientedediferenc¸as . . . . . . . . . . . . 162 7.3 arcodeumacurva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
4.5.5 Derivada econtinuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 7.3.1 Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
4.5.6 TeoremadoValor intermedi´ario. . . . . . . . . . . . . . . 168 7.3.2 Integrais el´ıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
4.6 Func¸˜oes cont´ınuaseolimite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 7.4 Volumedes´olidosderevoluc¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
4.7 C´alculodaderivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 7.5 Aregradel’Hˆopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
4.7.1 Coeficienteangularderetas . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Bibliografia............................................................................... 256
4.7.2 Coeficienteangulardepar´abolas. . . . . . . . . . . . . . . 174
4.7.3 Coeficienteangularinstantˆaneodeoutros polinˆomios. . . 176
4.7.4 Regras dederivac¸˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
2.1 Comonumpaqu´ımetro,adefinic¸a˜odelimitedeterminaaoscilac¸a˜oaceita´vel
deumasucessa˜o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.1 Soma de Rieman para a func¸a˜o y = 0.5sen(6x)+9 x2 com passo de
−
integracao 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3
Lista de Figuras 3.2 Gra´ficosdosretaˆngulosdasomadeRiemannpara x2+2x+1compasso
0.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .−R.3. . . . . . . . . . . . 106
3.3 Gra´ficodafunc¸a˜oy=sen(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.4 Gra´ficodafunc¸a˜oy=cos(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.5 Gra´ficodeumpolinoˆmiodoprimeirograu . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.6 Gra´ficodeumafunc¸a˜odosegundograu . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
1.1 Ogra´ficodeumafuncaonointervalo[ 6,6]. . . . . . . . . . . . . . . . 2 3.7 Gra´ficodeumafunc¸a˜odoterceirograu . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
−
1.2 Nu´merocarrosporminuto,numpontodumarodovia. . . . . . . . . . . . 3 3.8 Gra´ficodef(x)= 1 ; x>0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
x
1.3 Adivisa˜odeumsegmentonumaraza˜odada . . . . . . . . . . . . . . . 4 3.9 Gra´ficodafunc¸a˜ologaritmonatural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
1.4 Velocidadecontraotempo,gra´ficodavelocidade . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 A´reanula,a´reaa´lgebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.1 Func¸a˜ocaracter´ısticade(a,b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.2 Sucesso˜esconvergentesparazeroepara1. . . . . . . . . . . . . . . . . 134
1.7 Aintegralcorrespondea` a´readosdoistriaˆngulos.. . . . . . . . . . . . . 12 4.3 sucessa˜olimitadaedivergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
1.8 Func¸a˜oescadaeaFunc¸a˜o“Linear”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.4 sucessa˜odivergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
1.9 Funcaoescadaassociadaaumafunc¸a˜ona˜olinear. . . . . . . . . . . . . . 17 4.5 Asomadequaisquerdoisladosdeumtriaˆngulo´emaiordoqueoterceiro. 144
1.10 Araza˜ofixaentre∆xe∆y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.6 Aderivadadef ´edescont´ınuanaorigem: f′(0)na˜oexiste. . . . . . . . . 153
1.11 Duasformasdaequac¸a˜oreta. Aretana˜o´eparalelaaoOY . . . . . . . . 20 4.7 Avelocidade´eumafunc¸a˜ocont´ınua,compiquesnasmudanc¸asdemarcha. . 154
1.12 Umafunc¸a˜ocomtangentesem( 6.5,f( 6.5))eem( 4.7,f( 4.7)).. . . . 21 4.8 Ogra´ficodaderivadaded,(acelerac¸a˜o),nocasodomotoristabarbeiro. . . 155
1.13 Umpedraemrotac¸a˜oquesaipe−latange−nte. . . . .−. . . .−. . . . . . . 22 4.9 Quocientedediferenc¸as∆f com∆x∈{110,1}ef(x)=x3−3x2−x. . . . 162
1.14 pya=ramco(xm−paara)r+b.; .m.=.2.;.P.=.(.2,.3)..C.o.m.o.gr.a´fi.c.od.a.p.rim.e.ira. b.is.se.tri.z. 25 44..1101 QQuuoocciieenntteeddeeddiiffeerreenncc¸¸aass∆∆ff ccoomm∆∆xx∈∈{{111100,,11}} ee ff((xx))==x|xs|e.n(x.).. .. .. .. .. .. 116634
1.15 y=m(x a)+b;m= 1 ; P =(2,3). . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.12 Sucesso˜esconvergindoparazero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
1.16 Diversas−retascomdistin−to2scoeficientesangulares,passandotodasnaorigem. 28 4.13 Supremo e Infimo de um sub-conjunto da reta; O ma´ximo, aqui, con¨ıcide
1.17 Distaˆnciaentredoispontos,d(P,Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 comosupremo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
1.18 C´ırculodecentro(a,b)eraiorr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.14 Ha´umtriaˆnguloretaˆngulodelados∆x,∆ycujahipotenusaesta´sobreuma
1.19 C´ırculoeelipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 secante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
1.20 Estapara´bolana˜ocortaOX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.15 Sucessa˜odesecantesseaproximandodeumatangente. . . . . . . . . . . 175
1.21 Estapara´bolatemraizesreais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.16 Graficodef edesuatangentenoponto(4,f(4)). . . . . . . . . . . . . . 176
1.22 Estapara´bolana˜ocortaOY. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.23 Estapara´bolacortaOY. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.1 .Curvaden´ıvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
1.24 C´ırculoouelipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7.1 Umapoligonalqueligapontosnogra´ficodef. . . . . . . . . . . . . . . 244
1.25 Para´bola,sec¸a˜ocoˆnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7.2 Fazendo o gra´fico de f rodar em volta do eixo OX, se tem um so´lido de
1.26 Hip´erbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
revoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
1.27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7.3 Gra´ficodeumafunc¸a˜oedesuatangentenoponto(a,f(a)). . . . . . . . . 254
1.28 Gra´ficosdehip´erboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.29 Elipsessa˜odeformac¸o˜esdec´ırculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.30 C´ırculoouelipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.31 Tiposdecoˆnicassobreasregio˜esouretas. . . . . . . . . . . . . . . . . 47
vi
Introduc¸a˜o. Com texto tipogra´fico, estou fazendo referˆencia a um termo t´ecnico, ja´ definido
•
Estelivrosecompo˜ededuas“partes”. anteriormenteouconsideradobemconhecidocomotal.
Aprimeira´eumaesp´eciedepasseiotur´ısticosobreosassuntosdoCa´lculo,derivadae Ao usar letra pequena estou lhe querendo dizer que o assunto´e “polˆemico”, que ha´
• integraljuntocomumarevisa˜odaGeometriaAnal´ıticaindispensa´velparadesenvolver • muitomaiscoisaparaserditodoqueestouconseguindodizernaquelemomento.
oCa´lculoenestepasseiotur´ısticovisitamososnu´meros.
Usotextosublinhadoparachamarsuaatenc¸a˜odeumdetalhequepoderiapassarde-
Como todo passeio tur´ıstico, este ´e superficial e reconhecemos nisto um defeito que • sapercebido,temomesmosentidotextoemnegrito.
aindana˜osabemoscomoresolverapesardenostermosdedicadodurantemaisde15a
Chamoemparticularsuaatenc¸a˜oparaostextosetiquetadoscomapalavra“observac¸a˜o”,
umabuscadecomofazeristoreunindoaseriedadedotratamentocomumaprecupac¸a˜o
quasetodosesta˜oescritoscomletrapequenaeportantoseclassificam,comoacima,em“as-
pedago´gica. O que nos consola´e que comec¸amos esta tentativa quando tamb´em na
suntoincompleto”,quedeveserdiscutidocommaiscuidado. Sa˜oumaformadeabrirmosuma
Am´erica alguns grupos iniciavam o que hoje se chama de reforma do C´alculo tendo
discussa˜osobreumto´picoqueseencontranomomentocertodediscutirmascujodesenvolvi-
al´ı se produzido um cisma significativo entre os que buscam a soluc¸a˜o pedago´gica e
mentoquebrariaaunidadedotexto. Leiaasobservac¸o˜esparaseinteirardoseuconteu´dosem
osquepreferemcontinuartrilhandoocaminhodesempre. Nabibliografiavocˆepode
quebraroavanc¸odoseutrabalhoevolteaelasquandosesentirmotivado. Dentrodotexto
encontraraspegadasdonossocaminhar,ver[2],quandocomec¸amos.
existeumaoumaispalavras-chave,listadasno“´ındiceremissivo”,aofinalparalhepermitir
Nasegundapartedesenvolvemosprimeiroaintegraledepoisaderivada,nestaordem, umretornocoˆmodoaoassunto.
•
parafinalmentejuntarmosasduasnumterceirocap´ıtulo. Estasegundapartetemmais Emparticularfac¸ausodo“´ındiceremissivo”quandoquiserprocurarumassuntodein-
doiscap´ıtulosdeproblemasgen´ericos: desigualdadeseproblemasgeom´etricos,quesa˜o teresse espec´ıfico. Construimos este´ındice com cuidado para tentar listar o maior nu´mero
umvale-tudousandoderivadaeintegrac¸a˜o. poss´ıveldeto´picos,contidosnolivro,atrav´esdesuaspalavras-chave. Umusoimportantedo
Este´eum livro de exerc´ıcios que esperamosque sirva a dois propo´sitos. Aoaluno que ´ındiceremissivoconsistenalocalizac¸a˜odadefinic¸a˜odostermoscontidosnolivro.
desejeaprofundarosseusconhecimentosouestudarsozinho,aoprofessorquequeiraseinspirar Itensimportantesnestelivrosa˜oosprogramasdecomputador,vocˆeospodeconseguircom
emnossastentativasparaacrescentarapoiocomputacionala`s suasaulas. o autor do livro, via internet, tarcisioe-math.ams.org. Possivelmente junto com o livro, no
Ocr´ıticoferinodira´queolivro´ecao´tico,etemraza˜o. Mas´equereconhecemospoucoo mesmodireto´rio,vocˆeencontraoarquivoprograma.tgzcontendotodososprogramasusados
m´etodoaxioma´ticoeaapresentac¸a˜oacabadaebemtalhadacomoumm´etodopedago´gico. O nolivro.
aprendizadotemmuitodecao´ticoena˜ovemosporquedeixariamosdeusaraintegralcomoum Estelivro´edistribuidosobalicenc¸adotipocopyleft,esta´registradojuntoaa` Biblioteca
m´etodogeradordesucess˜oesquandoestivermosfalandodenu´merosedesucesso˜es. Aomesmo Nacional. Comocopyleft,vocˆetemodireitodefazerco´piasdolivroedistribu´ı-lodesdeque
tempo,aexposic¸a˜odoalunoaosconceitosdeintegral,como“a´reaalg´ebricasobumacurva”, na˜osejaparaterganhoscomestadistribuic¸a˜o. E´ inteiramentelegaltirarco´piasparatodos
ou“coeficienteangularinstantaˆneo”desdeosprimeirosmomentos,temnecessariamenteque osalunosdeumaturmaouparausopessoal,desdequeistosejafeitodecapaacapaeque
conduziroalunoadesmistificarestesconceitosqueelepodedominargeom´etricamentedesde sejacobradoapenasocustodaco´pia.
ocomec¸o. Euficariamuitogratoseinformadodeco´piasfeitasdestelivroedoseuuso. Sugesto˜es
Euna˜odefenderiaocaoscomom´etodo,eficoabertoparaaquelesquequiseremsejuntar parapro´ximasedic¸o˜essa˜obemvindas.
amimnestaempreitadaparaproduzirumtrabalhomaisarrumado. Sobral,31de janeirode 2005
Estelivrotemnosexerc´ıciosseuobjetivo. Ele´eformadodelistasdeexerc´ıciosentremea- TarcisioPraciano-Pereira
dasdecomenta´riosteo´ricos. Asoluc¸a˜odestaslistasesta´planejadaparasairemumsegundo
volume.
Dentrodoscap´ıtulosha´se¸c˜oesdemodoadistribuirosexerc´ıciosporassunto. Ha´pequenos
textosteo´ricosfazendoaintroduc¸a˜odecadacap´ıtuloeat´emesmodassec¸o˜es.
Os comenta´rios, o texto teo´rico, sa˜o de nossa considera¸ca˜o um material importante do
livro, mas nem sempre o mais fa´cil porque ´e resumido e supo˜e que o estudante ja´ tenha
estudado Ca´lculo e esteja apenas completando sua habilidade com exerc´ıcios de revisa˜o e
aprofundamento. Sugiroqueoleitorinicialmentedˆemenosimportaˆnciaa`teoria,eseconcentre
nosexerc´ıcios.
Talvezoleitordevalera“teoria”naordememqueelaaparec¸a,massemlhedarmuitaim-
portaˆncia,numaprimeiraleitura. Paralhepermitirumabuscamaisacuradadeinformac¸o˜es,
olivrotemum´ındiceremissivoalfab´etico,aofinal,emquesepretendequetodososconceitos
seencontramindexadosdeformaapermitirumfa´cilretornoaelesquandoacharnecessa´rio.
Os exerc´ıcios foram escritos para serem feitos com aux´ılio de uma teoria m´ınima. A
pro´pria teoria deve surgir dos exerc´ıcios. Isto na˜o implica uma sugesta˜o de despreso pela
teoria,nelaha´dicasdecomoseaprofundarnasoluc¸a˜odosexerc´ıcios. Emsuma,quasetodos
osexerc´ıciospodemserresolvidosemmaisdeumn´ıvel,evocˆedeveresolvˆe-losnon´ıvelque
puder,edepoistentaraprofundarasoluc¸a˜o.
Usoumaconvenc¸a˜otipogra´ficanolivro,
Textoemit´alico,representamaterialquevocˆedeveolharcomcuidado,possivelmente
•
na˜oesta´definidoaindaeestouusandoaconcepc¸a˜ointuitivadotermo. Comfrequˆencia,
aousartermosemit´alicoelespodemaparecerposteriormentenotextodefinidos,neste
casoprocureno´ındiceremissivoalfab´eticoumaocorrˆenciadotermomaisafrenteno
livro.
Cap´ıtulo 1
Retas, c´ırculos e par´abolas.
Parte I
1.1 Gr´aficos de curvas no plano
Geometria anal´ıtica e 1.2 As fun¸c˜oes
nu´meros
As func¸˜oes s˜ao uma generalizac¸˜ao dos nu´meros: fazemos as qua-
tro operac¸˜oes com func¸˜oes, mas sobretudo, faremos duas no-
vas operac¸˜oes com elas: integra¸ca˜o e diferencia¸ca˜o. Estas duas
operac¸˜oes s˜ao o objetivo do C´alculo. N˜ao lhe iremos ensinar o
que´e func¸˜ao, se vocˆe estiver estudando C´alculo´e porque j´a sabe
o que elas s˜ao, o que faremos ´e lhe falar delas com outro enfo-
que preparando-o para as duas operac¸˜oes novas que ocupara˜o a
segundapartedolivro.
N´osqueremosentenderasfunc¸˜oescomogra´ficosqueeventualmentetˆemuma
equac¸˜ao“alg´ebrica”masn˜aoprecisanecessariamenteserassim.
No gr´afico (fig. 1.1) vocˆe tem uma func¸˜ao arbitr´aria, y =f(x). Se trata de
umafunc¸˜ao
f :[ 6,6] R
− −→
que, portanto,associaacada pontodo dom´ınio,um nu´meroreal. Tais func¸˜oes
servem para associar “quantidades” a pontos do intervalo. ”C´alculo”´e a dis-
ciplina que tem por objeto func¸˜oes que devem ser analisadas basicamente por
doism´etodos:
derivada;
•
integral;
•
para,destaforma,tirardelasdiversas informac¸˜oes.
Este´eoassuntodestelivro.
x 1
carros/minuto
Fluxo de carros por minuto
90
’data’
80
grafico de y = m(x-a) + b - primeira bissetriz - comparar
20 70
15 ’data’
10 60
5
0 50
-5
-10 40
-15
-20 30
-25
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
20
10
0 0 5 10 15 20 25 hora
Figura1.1: Ogra´ficodeumafuncaonointervalo[ 6,6]. Figura1.2: Nu´merocarrosporminuto,numpontodumarodovia.
−
1.2.1 M´edia aritm´etica ponderada aritm´etica, quer dizer que
Nesteexemplotemosumafunc¸˜aoquen˜aotemumaequac¸˜aoalg´ebricaeveremos V(15)=10 ; V(18)=90 (1.1)
comopodemoscriar modelosques˜aoaproximac¸˜oes defunc¸˜oes. 16 [15,18]= V(16) [10,90] (1.2)
∈ ⇒ ∈
Exemplo: 1 Resultados de um sensor... V(16)´e a m´edia entre os valores
Suponhaqueosistemadeengenhariadetr´aficotenhacolocado,emumponto
V(15),V(18).
deumarodovia, umsensorpara contaronu´merodecarrosquepor al´ıpassasse
a cada minuto. A contagem foi estratificada para alguns momentos do dia re- subordinada aos pesos s= 1,t= 2, veja a figura (fig. 1.3).
sultando na seguinte tabela de dados 3 3
Na Geometria Anal´ıtica aprendemos a dividir um segmento numa raza˜o
dada, e aqui vemos o uso desta divisa˜o. Queremos encontrar dois pesos
hora quant. 0 9 10 14 15 18 22
\
0 0 10 90 10 90 0 s,t
Mas para apresentar os dados ao pu´blico, o diretor do servic¸o fez uma in- tal que o ponto
terpola¸ca˜o linear dos dados expressa no gra´fico (fig. , 1.2) pa´gina 3. s(15,V(15))+t(18,V(18))
Esta fun¸ca˜o assume os valores
se encontre sobre o segmento de reta determinado pelos pontos
x 0 9 10 14 15 18 22 (15,V(15)),(18,V(18))
V(x) 0 0 10 90 10 90 0
A geometria plana nos conduz a` solu¸ca˜o, temos que obter triaˆngulos semelhan-
Interpola¸ca˜o linear significa uma poligonal que une os pontos que represen- tes, veja a figura (fig. 1.3) pa´gina 4, e queremos que um dos triaˆngulos seja
tam os valores conhecidos ou os dados colhidos. Com a interpola¸ca˜o atribui- determinado pelos pontos
mosvaloresaospontosintermedia´rios,ondeofenoˆmenona˜ofoimedido, m´edia
15,16,(16,V(16)) (15,V(15)),(18,V(18))
∈
de modo que (16,V(16)) fique sobre a reta que une os pontos porque a base comum do trap´esio na˜o destro´i a propor¸ca˜o.
(15,V(15)),(18,V(18)) Observac¸˜ao: 1 M´edia e estimativa
No exemplo acima falamos de ”interpola¸c˜ao linear”de dados. A interpolac¸a˜olinear ´e
porque desejamosfazer umainterpolac¸˜aolineardos dados. umm´etodosimplificadoparaestimardadosentredoisvaloresqueforamrealmentecoletados.
E´umaestimativarazoa´velporque´eumam´ediaen´osadmitimosqueasm´ediass˜aoumaboa
representa¸c˜aodarealidadeapartirdosdadosqueconhecemos.
H´aoutrasformasmaissofisticadas,eprecisas,deinterpola¸c˜ao,masam´ediaaritm´etica
ponderada´eumbomcome¸co.
Com a interpola¸c˜ao linear temosV(16)=36+ 2 carros por minuto. Isto pode parecer
3
irreal,n˜aopoderiam passar36carrose”doisterc¸osdecarro”emumminuto. Maspoderiam
terpassado,emm´edia,36carrosedoister¸cosemumminutonoinstantet=16.
Vejaquesetratadeum“valorm´edio”,umaestimativa:
No“instante”,15,passaram10carros/m;
•
noinstantet=18passaram90carros/m;
•
noinstanteintermedi´ario,t=16,podemoscalcularofluxodecarroscomumam´edia
•
aritm´eticaponderada,:
pesos:2,1 (1.10)
3 3
V(16)= 2V(15)+1V(18) (1.11)
3 3
210+190= 110 (1.12)
3 3 3
V(16)= 110 =36+2 (1.13)
3 3
comoaquantidadedecarrosporminuto. Ospesosforamdeterminadopelaposi¸c˜aode
16,relativamentea15e18.
no instante t = 17 podemos calcular o fluxo de carros com uma m´edia aritm´etica
•
ponderada:
pesos:1,2 (1.14)
3 3
V(17)= 1V(15)+2V(18) (1.15)
3 3
Figura 1.3: Adivisa˜odeumsegmentonumaraza˜odada 10+180 = 190 (1.16)
3 3 3
V(17)= 190 =63+1 (1.17)
O sistema de equa¸co˜es que temos de resolver aparece na (fig. 1.3). Os mes- 3 3
mos “pesos” que va˜o dividir a hipotenusa, tamb´em dividem o cateto horizontal como a quantidade de carros por minuto. Novamente, os pesos foram determinado
pelaposi¸c˜aode17,relativamentea15e18.
do triaˆngulo maior na figura. Para fazer a conta com o triaˆngulo, tiramos pri-
meiro aaltura 10transformando o trap´esionum triaˆngulo,efazemos ascontas Observac¸˜ao: 2 Pesos,modelagemeosfatos. Contradi¸c˜ao?
comotriaˆngulo“noch˜ao”. Depois acrescentamosa“base”10pararetornarao Vocˆepodeconferirosvalorescalculadosparaospesosapartirdogr´afico,(fig. 1.3).
trap´esio e calcular V(16): Aescolhados pesosn˜ao foi arbitr´aria, elafoi consequˆenciadeumaleida geometria, a
semelhanc¸adetriaˆngulos.
180+ 20= 80 (1.3) Maspodemosirumpoucomaisafundonestaquest˜aoetiraroutrasconclus˜oes.
3 3 3 NocasodeV(16),como16est´amaispr´oximode15quede18,opeso 2 foiatribuidoa
V(16)=10+ 830 (1.4) V(15)enquantoqueopeso 31 foiatribuidoaV(18). 3
V(16)=10+ 78 +2 (1.5) Quer dizer que geometria nos ensina que o valor V(15)´e muito mais importante para
3 3 o c´alculo de V(16) que o valor V(18) que se encontra mais longe. E´ porisso que a Terra
V(16)=10+26+ 23 =36+ 32 (1.6) gravita em torno do Sol que´e uma estrela de 7agrandeza, por estarmais perto, a for¸ca de
gravidadedoSolterminasendomaisimportante queaafor¸cadegravidade deumaestrela
Colocamos o triaˆngulo no cha˜o desnecessa´riamente. A propro¸ca˜o tamb´em de1agrandeza.
vale para o trap´esio: Nocaso deV(17), pelasmesmasraz˜oes, os pesosforam distribuidos ao contr´ario, uma
vezque17est´amaispr´oximode18.
190+ 210= 90 +20 = (1.7) Experimente inverter os pesos no c´alculo de V(16) e de V(17), fa¸ca uma interpola¸c˜ao
3 3 3 3
linearcomosvaloresresultantes,para quevocˆeseconvenc¸adequeasolu¸c˜aoqueno´sesco-
= 110 = 108 + 2 = (1.8)
3 3 3 lhemos´eamaisl´ogica.
=36+ 2 (1.9)
3
1.2.2 Lendo a informa¸c˜ao obtida 7. Comoconsequˆenciasdealgumasmedidasumpesquisadorencontrounuma
certa amostra de bacilos os seguintes dados
Podemos agora calcular a quantidade de carros que passaram, neste intervalo
de tempo, no ponto em que se encontra o sensor. Esta quantidade vai ser
mm3 quantidade mm3 quantidade
expressapelaa´rea do trap´esio que o gra´fico apresenta. Novamentea geometria
5 10 15 25
nosensinandoacriarumamodelagemparaanatureza.
10 18 20 30
Nointervalo[15,18]passaram(c´alculoda´area dotrap´esio):
Considerando estes valores de uma fun¸ca˜o f que fornece a quantidade
tempo3h=180m´eabasedotrap´esio (1.18)
de bacilos por mil´ımetro cu´bico, interpole os valores linearmente e fa¸ca o
V(15)+V(18) ´eaalturam´ediadotrap´esio (1.19)
2 gra´fico da fun¸ca˜o no intervalo [0,20].
V(15)+V(18) = 10+90 =50carros por minuto (1.20)
´areaalg´eb2rica=50ca2rros/minuto x 180minutos= (1.21) 1.2.3 A´rea sob uma curva - a integral.
´areaalg´ebrica=50carros/minuto x 180minutos= (1.22) O exemplo “censor da quantidade carros que passam por minuto” nos mostra
´areaalg´ebrica=50 x 180carros=9000carros (1.23) que a ´area daregi˜ao limitada pelo gr´aficode uma func¸˜ao eo eixo OX tem um
significado importante. Este nu´mero registra a quantidade do fenoˆmeno. Um
Comofoiumadurac¸˜aodetrˆeshorasotempomedido,temosquemultiplicar s´ımbolorepresentaesta´area:
estam´ediapor180minutos,paracalcularquantoscarrosteriampassadoporeste
ponto. Desta forma, o gr´afico reflete o que acontece nos pontos intermedi´arios 18
deumintervaloanalisado. V(t)=9000carros
Z
. Oadjetivolinear,eminterpola¸ca˜olinear´eusadoporqueusamosum“seg-
15
mento de reta”para definir o que se passa entre os pontos extremos, se fosse
queselˆe: integral de V desde 15 at´e 18.
uma curva logar´ıtmica, se chamaria “interpola¸ca˜o logar´ıtmica”, quadratica, se
Aintegral´eumdosm´etodos doc´alculoqueestudaremosnestelivro.
usassemosumacurvadosegundograu,etc...
Definic¸˜ao: 1 Primeira defini¸ca˜o da integral
Exerc´ıcios: 1 Fun¸co˜es e gra´ficos
Dadaumafun¸ca˜odefinidanointervalo[a,b],consideramosaregia˜olimitada
pelografico def,o eixoOX, e asretasx=a ,x=b. Seestaregia˜o tiveruma
1. Calculeo “volume” de tra´fego que passou pelo sensor entre16 e 17 horas
a´rea, designamos esta a´rea, que´e um nu´mero com o s´ımbolo
a partir dos dados coletados no exemplo acima.
b
2. Uma fun¸ca˜o f assume os seguintes valores
f
Z
(0,3),(3,5),(6,10),(10,0)
{ } a
´euma a´reaalg´ebricano sentidoquepode serpositiva, negativaoumesmo nula.
Considerando a fun¸ca˜o definida no intervalo [0,10], e interpolando line-
armente os valores dados acima, fa¸ca o gra´fico da fun¸ca˜o no intervalo
[0,10].
Ao longo deste livro vocˆe ir´a aprender a calcular integrais de func¸˜oes cujo
3. Calculeaproximadamente os valoresda fun¸ca˜of,definidanaquesta˜oan- gr´afico n˜ao ´e feito de segmentos de reta, mas neste primeiro cap´ıtulo calcula-
terior nos pontos: x 1,2,7,9 . remos integrais apenas neste caso mais simples usando as regras para calcular
∈{ } ´areadetrap´esios.
4. Consideref(x)=x+3.Calculeosvaloresf(0),f(1),f(2),f(3),f(4),f(5). Aquipodemosverqueaintegralrepresentaaquantidadedeumcertofenˆomeno,
Fa¸ca o gra´fico de f no intervalo [0,10]. aquiaquantidadedecarros quetrafegoupelarodoviaentredois momentoses-
colhidos.
5. Fa¸ca o gra´fico de f(x)=x+3 quando x [ 5,5].
∈ − Umoutroexemplodeveajud´a-loacompreendeeroquesignificaaquantidade
6. Fa¸ca o gra´fico de f(x)=x quando x [ 5,5]. Qual seria o valor m´edio do fenoˆmenoestudado.
∈ −
de f neste intervalo ?
Figura1.4: Velocidadecontraotempo,gra´ficodavelocidade Figura 1.5: A´reanula,a´reaa´lgebrica
Exemplo: 2 Distaˆncia percorrida Vamos ver um outro exemplo em que um novo fato se vai apresentar. Veja
Considere o gra´fico na figura (fig. 1.4) pa´gina 8, (fig. , 1.4) pa´gina 8, que a (fig. , 1.5)p´agina 9. Ogr´afico da func¸˜aose comp˜oede dois triangulos. Num
agora vamos interpretar como delesa´area´enegativa,nooutroa´area´epositiva.
V(t)=velocidade no pontotde um movel em Km/h Exemplo: 3
Vamos verificar estes dois fatos: “a´rea positiva” e “a´rea negativa”.
Agora a a´rea significa:
As integrais que calculamos at´e agora representam as a´reas sob os gra´ficos
de fun¸co˜es nos casos em que estes gra´ficos sa˜o segmentos de retas. A´reas de
h+H 10km/h+90Km/h
A= b= 3h=150Km traˆngulos ou trap´esios. Na figura (fig. , 1.5), o gra´fico se compo˜e de dois
2 2
triaˆngulos.
Arepresentaadistaˆnciapercorrida,novamenteaquantidadetotaldofenoˆmeno.
E´ esta a interpretacao usual de uma integral, quando a varia´vel ´e o tempo: Um triaˆngulo em que a base vaide 3 at´e 0, e a altura´e 1.5 e: A´rea:
• − −
quantidade do fenoˆmeno entre dois momentos dados.
(base) (altura) 3 ( 1.5)
Analisando o gra´fico que descreve o movimento de um ve´ıculo durante trˆes · = · − = 2.25
2 2 −
horas,vemosquehouveumimprevistonocaminhoquandoavelocidadeteveque
cair para 10 km/h. Engarrafamento? problemas na estrada? outro cuja base vaide 0 at´e 6 e a altura´e 3. A´rea:
A ana´lise, mesmo visual de um gra´fico transmite informa¸co˜es que devem •
(base) (altura) (6) 3
ser analisadas em profundidade para delas se tirar concluso˜es. Os m´etodos do · = · =9
Ca´lculo permitem esta ana´lise em profundidade. 2 2
Quer dizer que a quantidade do fenoˆmeno entre 3 e 0 ´e negatiga, e a
Observac¸˜ao: 3 Integral da fun¸ca˜o taxa-varia¸ca˜o −
quantidadedofenoˆmenoentre0e6´epositiva. Portantoa“quantidadetotal”do
Os dois exemplos de fun¸ca˜o cujas integrais calculamos, eram fun¸co˜es que
fenoˆmeno´e
mediam taxadevariac¸˜ao
9 2.25=6.75
Esta rela¸ca˜o entre taxa de variac¸˜ao e integral produz uma nova fun¸ca˜o que −
mede a quantidadetotal do fenoˆmeno. Neste caso, “quantidade total”significa “a´rea alg´ebrica”.