Exakte Algorithmen für schwere Graphenprobleme

333 Pages·2010·2.97 MB·German

by  Frank Gurski

eXamen.press
eXamen.pressisteineReihe,dieTheorieund
PraxisausallenBereichenderInformatik für
dieHochschulausbildungvermittelt.
· · ·
Frank Gurski Irene Rothe Jörg Rothe
Egon Wanke
Exakte Algorithmen für
schwere Graphenprobleme
123
Priv.-Doz.Dr.FrankGurski Prof.Dr.IreneRothe
Heinrich-Heine-UniversitätDüsseldorf HochschuleBonn-Rhein-Sieg
InstitutfürInformatik FachbereichfürMaschinenbau
Universitätsstr.1 ElektrotechnikundTechnikjournalismus
40225Düsseldorf 53754SanktAugustin
Deutschland Deutschland
[email protected] [email protected]
Prof.Dr.JörgRothe Prof.Dr.EgonWanke
Heinrich-Heine-UniversitätDüsseldorf Heinrich-Heine-UniversitätDüsseldorf
InstitutfürInformatik InstitutfürInformatik
Universitätsstr.1 Universitätsstr.1
40225Düsseldorf 40225Düsseldorf
Deutschland Deutschland
[email protected] [email protected]
ISSN1614-5216
ISBN978-3-642-04499-1 e-ISBN978-3-642-04500-4
DOI10.1007/978-3-642-04500-4
SpringerHeidelbergDordrechtLondonNewYork
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(cid:2)c Springer-VerlagBerlinHeidelberg2010
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Fu¨rFritzGrunewaldundHelmutStoyan
inmemoriam
Vorwort
Dies ist ein Buch u¨ber schwere Probleme auf Graphen, fu¨r die es vermutlich keine
effizientenAlgorithmengibt.EswerdenMethodenvorgestellt,mitdenensichexakte
AlgorithmenzurLo¨sungsolcherProblemeentwerfenlassen.ImerstenTeildesBu-
cheswerdendieerforderlichenGrundlagenderAlgorithmik,Graphentheorie,Logik
undKomplexita¨tstheoriebehandelt.DerzweiteTeilbefasstsichmitFest-Parameter-
Algorithmen, die die den schweren Problemen innewohnende Berechnungsha¨rte in
geeignetenParameterneinfangenundsiedortunscha¨dlichmachen,sowiemitexak-
ten Exponentialzeit-Algorithmen fu¨r schwere Graphenprobleme, die effizienter als
dienaivenExponentialzeit-Algorithmenfu¨rdieseProblemesind.ImdrittenTeildes
Buches werden Algorithmen vorgestellt, mit denen die im Allgemeinen schweren
Graphenprobleme effizient gelo¨st werden ko¨nnen, sofern sie auf geeignete Graph-
klassen eingeschra¨nkt werden. Dabei wird einerseits eine geeignete Baumstruktur
von Graphen ausgenutzt, andererseits werden Fest-Parameter-Algorithmen ange-
wandt,dieeffizienteLo¨sungenerlauben,soferngewisseGraphparameterkleinsind.
Dieses Lehrbuch, das eine breite U¨bersicht u¨ber dieses Gebiet gibt, richtet sich
inersterLinieanStudierendeimMasterstudiumInformatikundindenho¨herenSe-
mesterndesBachelorstudiumsInformatik.Zahlreicheerkla¨rendeAbbildungen,Bei-
spiele und U¨bungsaufgaben erleichtern den Zugang zum Stoff, und das Sach- und
Autorenverzeichnis mit seinen 878 Eintra¨gen sowie die Randnotizen ermo¨glichen
dasschnelleAuffindenvonSchlu¨sselbegriffen.DiesesBuchistaberauchfu¨ralljene
geeignet,diesichtiefermitdenaktuellenForschungsfragenindiesemneuenTeilge-
bietderAlgorithmikbescha¨ftigenwollen.
Wirwu¨nschenvielFreudebeimLesen!
Danksagungen
Lena Piras und Patrick Gwydion Poullie danken wir herzlich fu¨r das Lesen von
Teilen dieses Buches und ihre hilfreichen Korrekturvorschla¨ge. Den Mitarbeiterin-
nenundMitarbeiterndesSpringer-Verlagssindwirfu¨rihrestetsprofessionelleund
freundlicheUnterstu¨tzungsehrverbunden.
VIII Vorwort
Wa¨hrend der Arbeit an diesem Buch wurde der dritte Autor durch die Deut-
sche Forschungsgemeinschaft im Rahmen der DFG-Projekte RO 1202/11-1 und
RO1202/12-1sowieimEUROCORES-ProgrammLogICCCderEuropeanScience
Foundationgefo¨rdert.
Du¨sseldorf,Juli2010 FrankGurski
IreneRothe
Jo¨rgRothe
EgonWanke
Inhaltsverzeichnis
Vorwort ........................................................... VII
1 Einleitung..................................................... 1
TeilI Grundlagen
2 Aufwandsabscha¨tzungvonAlgorithmen .......................... 7
2.1 Algorithmen............................................... 7
2.2 Komplexita¨tsfunktionen ..................................... 9
2.3 AsymptotischeWachstumsfunktionen ......................... 12
2.4 EinigewichtigeKlassenvonFunktionen ....................... 15
2.4.1 KonstanteFunktionen ................................ 16
2.4.2 LogarithmischeFunktionen............................ 16
2.4.3 Polynome .......................................... 17
2.4.4 ExponentielleFunktionen ............................. 18
2.5 Literaturhinweise........................................... 18
3 Graphen ...................................................... 19
3.1 Grundbegriffe ............................................. 19
3.2 SpezielleGraphenundGrapheigenschaften..................... 26
3.3 EinigeAlgorithmenfu¨rGraphen.............................. 33
3.3.1 TopologischeAnordnungen............................ 33
3.3.2 Durchlaufordnungenfu¨rGraphen....................... 35
3.3.3 Zusammenhangsprobleme............................. 39
3.3.4 TransitiverAbschluss................................. 43
3.3.5 Matching-Probleme .................................. 45
3.4 Ausgewa¨hlteProblemeaufGraphen........................... 50
3.4.1 Unabha¨ngigeMengen,CliquenundKnotenu¨berdeckungen . 50
3.4.2 Partitioninunabha¨ngigeMengenundCliquen............ 52
3.4.3 DominierendeMengenunddomatischeZahl ............. 56
X Inhaltsverzeichnis
3.4.4 DasProblemdesHandelsreisenden ..................... 58
3.5 Ausgewa¨hlteAlgorithmenentwurfstechniken.................... 60
3.5.1 Backtracking........................................ 60
3.5.2 Teileundherrsche ................................... 61
3.5.3 DynamischeProgrammierung.......................... 61
3.6 Entscheidungs-,Optimierungs-undSuchprobleme............... 62
3.7 Literaturhinweise........................................... 64
4 Logik ......................................................... 65
4.1 BoolescheAusdru¨cke ....................................... 65
4.2 SAT,3-SAT,2-SATundHorn-SAT............................ 71
4.3 BoolescheFunktionenundSchaltkreise ........................ 75
4.4 RelationaleStrukturenundLogikho¨hererOrdnung .............. 79
4.5 LogikersterOrdnung ....................................... 82
4.6 LogikzweiterOrdnung...................................... 88
4.7 MonadischeLogikzweiterOrdnung........................... 92
4.8 DieKomplexita¨tderLogik................................... 97
4.9 Literaturhinweise........................................... 103
5 Komplexita¨tstheorie............................................ 105
5.1 KlassischeKomplexita¨tstheorie............................... 105
5.1.1 DeterministischeZeit-undPlatzklassen ................. 105
5.1.2 NaiverExponentialzeit-Algorithmusfu¨rDreifa¨rbbarkeit.... 109
5.1.3 Nichtdeterminismus,ReduktionenundNP-Vollsta¨ndigkeit.. 113
5.1.4 DiePolynomialzeit-Hierarchie ......................... 125
5.2 ParametrisierteKomplexita¨tstheorie ........................... 130
5.2.1 ParametrisierteProbleme,FPTundXP .................. 130
5.2.2 W-Hierarchie........................................ 138
5.3 Literaturhinweise........................................... 142
TeilII ExakteAlgorithmenfu¨rGraphen
6 Fest-Parameter-Algorithmenfu¨rausgewa¨hlteGraphenprobleme .... 147
6.1 Knotenu¨berdeckung ........................................ 148
6.1.1 Problemkernreduktion ................................ 148
6.1.2 VerbesserterSuchbaummitbeschra¨nkterHo¨he ........... 153
6.2 HittingSetfu¨rMengenderGro¨ßedrei ......................... 153
6.3 Graphmodifikation ......................................... 156
6.4 Parameterwahl............................................. 161
6.5 OffeneProbleme ........................................... 161
6.6 Literaturhinweise........................................... 162