Eulerian graphs and local complementation

0.74 MB·English

by  François Genest

Université de Montréal
7
0
0 GRAPHES EULÉRIENS ET
2

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COMPLÉMENTARITÉ LOCALE
a
J

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] par
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C
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h François Genest
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[ Département de mathématiques et de statistique

1 Fa
ulté des arts et des s
ien
es
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7
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/ Thèse présentée à la Fa
ulté des études supérieures
h
t en vue de l'obtention du grade de
a
m
Philosophiæ Do
tor (Ph.D.)
: en Mathématiques
v
i
X
r
a
février 2008
(cid:13)

François Genest, 2001
Université de Montréal
Fa
ulté des études supérieures
Cette thèse intitulée
GRAPHES EULÉRIENS ET
COMPLÉMENTARITÉ LOCALE
présentée par
François Genest
a été évaluée par un jury
omposé des personnes suivantes :
(président-rapporteur)
M. Gert Sabidussi
(dire
teur de re
her
he)
(membre du jury)
M. Herbert Fleis
hner
(examinateur externe)
(représentant du doyen)
Thèse a

eptée le:
SOMMAIRE
Nous dé(cid:28)nissons dans
ette thèse la notion de
omplémentation de graphes
bi
oloriéset les notionsde graphepur etde graphe inversible.L'étude des graphes
purs est motivée par deux
onje
tures
on
ernant les systèmes de transitions de
graphes eulériens et par la
onje
ture de double re
ouvrement.
L'utilisation de règles de substitution nous permet de déterminer quand deux
suites de
omplémentation donnent le même graphe. Pour les graphes bi
oloriés,

es suites de
omplémentation font pla
e à des ensembles de
omplémentation.
Les graphes inversibles(lesgraphes bi
oloriésdont l'ensembledes sommets est
un ensemble de
omplémentation) ont
e
i de parti
ulier que leur inverse possède
les mêmes automorphismes. L'inversibilité se dé(cid:28)nit aussi pour les graphes non

oloriés en les munissant de leur
oloriage naturel.
Il est proposé que la
ara
térisation des graphes purs permettrait de valider
la
onje
ture de double re
ouvrement. Nous dé
rivons
omment les graphes purs
ont des fa
torisations essentielles en graphes purs primitifs. Les quatre
lasses
de parité
onnues de graphes purs primitifs sont présentées. Les listings des pro-
grammes ayant permis d'établir la pureté de
es graphes sont in
lus.
mots
lés:
omplémentaritélo
ale,systèmesdetransitions,graphespurs,graphes
inversibles, graphes eulériens, double re
ouvrement, orthogonalité.
SUMMARY
We de(cid:28)ne pure graphs, invertible graphs, and the notion of
omplementation
of bi
oloured graphs. The study of pure graphs is motivated by two
onje
tures
about the transition systems of eulerian graphs and by the Cy
le Double Cover
Conje
ture.
We show how substitution rules
an be used to determine when two
omple-
mentation words produ
e the same graph. For bi
oloured graphs,
omplementa-
tion words give way to
omplementation sets.
The invertible graphs (bi
oloured graphs whose vertex set is a
omplementa-
tion set) are shown to have the property that their inverse has the same auto-
morphisms. The property of being invertible
an also be de(cid:28)ned for non-
oloured
graphs by endowing them with their natural
olouring.
It is proposed that a
hara
terization of pure graphs would
ontribute to esta-
blish the truth of the Cy
le Double Cover Conje
ture. We show how pure graphs
have essential fa
torizations into primitive pure graphs. The four primitive pure
parity
lasses are presented. In
luded are the listings of the programs used to test
graphs for purity.
keywords : lo
al
omplementation, transition systems, pure graphs, invertible
graphs, eulerian graphs, double
y
le
over, orthogonality.
DÉDICACE
À Marie, que j'admire.
REMERCIEMENTS
Avant tout, je tiens à remer
ier mon dire
teur de re
her
he, Gert Sabidussi. À

ha
un de nosentretiens, j'aiappré
ié sarigueur de raisonnement et son
ara
tère
fran
et jovial. Ces années de re
her
hes ont
omporté leur part de doutes et si
j'ai gardé
on(cid:28)an
e en la qualité de mon travail,
'est en grande partie par
e qu'il
m'a traité en
ollègue.
Je remer
ie Marie, pour tout
e qu'elle est.
Comme d'autres avant moi, je remer
ie Jérome Fournier, qui sait mettre les
gens à l'aise et
ontribue beau
oup à rendre l'atmosphère du département a
-

ueillante.
Mer
i à Alexandre Girouard, Louis-Sébastien Guimond, Carsten Heinz, Do-
nald Knuth, Leslie Lamport, Linus Torvalds, et tous
eux qui ont fa
ilité mon
travail de réda
tion.
Mer
i au FCAR et à l'Université de Montréal pour leurs
ontributions (cid:28)nan-

ières.
Table des matières
Sommaire........................................................ iii
Summary........................................................ iv
Dédi
a
e......................................................... v
Remer
iements.................................................. vi
Table des (cid:28)gures................................................. ix
Introdu
tion..................................................... 1
0.1. Dé(cid:28)nitions........................................................ 3
0.2. Cara
térisation des graphes eulériens.............................. 5
0.3. Historique du problème........................................... 7
0.4. Les graphes purs.................................................. 11
Chapitre 1. Word and set
omplementation of graphs, invertible
graphs.............................................. 15
1.1. Abstra
t.......................................................... 15
1.2. Introdu
tion...................................................... 15
1.3. Lo
al
omplementation and substitution rules..................... 17
1.4. The diameter of a
omplementation graph......................... 24
1.5. Lo
al and global substitution rules................................ 32
1.6. Complementation sets ............................................ 34
viii
1.7. Complementation and symmetry.................................. 36
1.8. Referen
es........................................................ 41
Chapitre2. Transitionsystems,orthogonalityand lo
al
omplementation.
43
2.1. Abstra
t.......................................................... 43
2.2. Introdu
tion...................................................... 43
2.3. Preliminaries...................................................... 44
2.4. Transition graphs................................................. 45
2.5. Lo
al
omplementation and pure graphs .......................... 48
2.6. An interpretation of Theorem 2.5.14 .............................. 64
2.7. Primitivity of pure bi
oloured graphs.............................. 66
2.8. Referen
es........................................................ 74
Con
lusion....................................................... 77
Annexe A. Classe de parité des pentagones siamois............. 78
Cay(Z ,±{1,3,4})
13
Annexe B. Classe de parité de ................ 82
Annexe C. Programmes........................................ 90
Bibliographie.................................................... 92
Table des (cid:28)gures
G′ = G′[uv][vw][uw]
1.1 Su

essive
omplementations show that .......... 21
1.2 ..................................................................... 28
G
1.3 A
onne
ted graph whose
omplementation graph has diameter
10|V(G)|/9
(also found in [2℄)........................................ 30
C {−1,−2,−3}
n
1.4 The
omplementation of with respe
t to . ........... 37
1.5 The self-
omplementary symmetri
graph on 13 verti
es.............. 41
2.1 To the left, a graph with TS indi
ated by ar
s. To the right, one of its
TG's................................................................. 46
2.2 The parity
lass of the pentagon (with its natural
olouring).......... 50
C K
5 5
2.3 Corresponden
e between and with a transition system made of
two 5-
y
les.......................................................... 61
2.4 Some pure alternan
e graphs and
orresponding transition systems... 63
z
2.5 The possible pairs of transitions at ................................. 65
2.6 The
orresponding transition graphs.................................. 65
z
2.7 When is isolated in the bi
oloured graph. .......................... 65
2.8 The
orresponding transition graphs.................................. 66
2.9 A transition system
onstru
ted from the Petersen graph and some
asso
iated bi
oloured graphs. ........................................ 73
Z Z
13 17
2.10 The primitive pure graphs and ............................... 74
INTRODUCTION
PSfrag repla
ements
Voi
i un graphe simple (sans bou
les ni arêtes multiples) dont
haque sommet
est
olorié en blan
ou en noir :
u
1
u
2 u
7
u
5
u u
3 6
u
4
A
Peut-on trouver un sous-ensemble des sommets du graphe qui soit un indépen-
dant (au
une paire de sommets ne sont adja
ents) maximal (tout autre sommet
A
a un voisin dans ) et qui ne
ontienne que des sommets noirs? Un tel sous-
ensemble est appelé une anti
lique noire.
Il est assez fa
ile de se
onvain
re que, dans l'exemple présenté, le graphe
u u
3 7
n'admet au
une anti
lique noire. En e(cid:27)et, les sommets blan
s et n'ont

ha
un qu'un seul sommetnoir
omme voisin. Toute anti
lique noiredevrait don
u u
1 4

ontenir à la fois les sommets et , mais
eux-
i sont adja
ents.
Dé(cid:28)nissons maintenant un jeu dont le but est en
ore de trouver une anti
lique
noire, mais dans lequel il est permis de modi(cid:28)er le graphe de départ en e(cid:27)e
tuant

ertaines
omplémentations lo
ales. Complémenter lo
alement un graphe par rap-
port à un sommet donné,
'est inverser les adja
en
es entre ses voisins. (
.-à-d. si
v w u v w
et sont adja
ents à et qu'il y a une arête entre et , la
omplémentation
u
lo
ale par rapport à fait disparaître
ette arête; s'il n'y en a pas, elle en fait